(Microsoft PowerPoint - esercizi di cinematica [modalit\340

Esercizi di Cinematica
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
1
Le equazioni cinematiche
Moto rettilineo uniforme
a=0
v = v0 = costante
x(t ) = x0 + v0t
28 febbraio 2009
Moto rettilineo
uniformemente accelerato
a ≠ 0 e costante
v(t ) = v0 + at
1 2
x(t ) = x0 + v0t + at
2
2
2
v f − v0 = 2a ( x − x0 )
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
2
ESERCIZIO n.1
Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con
accelerazione a=3.0m/s2, mentre una seconda auto che
sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con
velocità costante v=72.0 Km/h.
a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà
nuovamente la seconda?
b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà
percorso?
c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale
distanza dal semaforo si trovano?
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
3
SOLUZIONE
Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s2,
mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa
con velocità costante v=72.0 Km/h.
a)
Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?
b)
Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?
c)
In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal
semaforo si trovano?
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
Prima cosa da fare: DISEGNO
ovvero uno schema che ci
aiuti a descrivere il moto.
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
4
Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà
nuovamente la seconda?
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
1 2
x1 = at
2
x2 = vt
Poniamo x1 = x2
1 2
at = vt
2
1
at = v
2
t=2
v
a
72000
t=2
28 febbraio 2009
3600 = 40 = 13.3 sec
3
3
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
5
Quale velocità avrà in quell’istante e
quale distanza avrà percorso?
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
1 2
at
2
v1 = at
x1 =
28 febbraio 2009
1
x1 = 3(13.3) 2 = 265.3m
2
v1 = 3(13.3) = 40.0 m
sec
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
6
In quale istante le auto hanno la stessa velocità ?
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
v1 = at
v1 = v2 = at
v2 = costante
v
t= 2 =
a
28 febbraio 2009
72000
3
3600 = 6.6 sec
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
7
A quale distanza dal semaforo si trovano?
(quando hanno la stessa velocità)
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
1 2
x1 = at
2
x2 = vt
28 febbraio 2009
1
x1 = 3(6.6) 2 = 65.34m
2
72000
x2 =
6.6 = 132m
3600
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
8
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le
due auto.
X [m]
Automobile 2, velocità = cost
Automobile 1, accelerazione = cost
tempo [s]
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
9
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le
due auto.
v [m/s]
Automobile 1, accelerazione = cost
Automobile 2, velocità = cost
tempo [s]
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
10
ESERCIZIO n.2
Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili
del fuoco tesa a 11.0m più in basso.
•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.
La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.
•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di
arresto.
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
11
SOLUZIONE
Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0m
più in basso.
•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.
La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.
•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto.
Dividiamo lo studio in due fasi:
1) Moto in caduta libera dell’uomo per 11.0 m, con
velocità iniziale pari a zero;
2) Moto uniformemente decelerato per 1.5 metri.
Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA CHE C’E’
ACCELERAZIONE DI GRAVITA’ g = 9.8 m/s2, DIRETTA VERSO
IL BASSO.
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
12
Calcolare la velocità dell’uomo quando
tocca la rete.
velocità iniziale v0 = 0
v=v0+at=gt, con a = g = 9.8 m/s2
Non conosciamo il tempo necessario a
raggiungere terra, cioè a percorrere 11
metri. Usiamo
1
1
g
x = x0 + v0t + at 2 = gt 2
2
2
11 metri
Da cui si ricava
t=
2x
22
=
= 1.5 sec
g
9.8
E quindi
v = gt = 9.8(1.5) = 14.7 m
28 febbraio 2009
sec
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
13
Calcolare la decelerazione
durante la fase di arresto.
dell’uomo
velocità iniziale v0 = 14.7m/s
velocità finale vf=0
Dopo avere percorso uno spazio s=1.5m
Si può applicare l’equazione
v 2f = v02 + 2as = 0
Da cui si ricava
2
v02
(14.7 ) = −72 m
a=− =−
sec 2
2s
3
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
14
ESERCIZIO n.3
Un cannone lancia un proiettile a velocità v0=300m/sec.
Calcolare l’alzo del cannone per avere la massima gittata
determinandone anche il valore.
alzo
gittata
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
15
SOLUZIONE
Nella schematizzazione del problema si osserva che la velocità
iniziale può essere decomposta nelle due componenti lungo l’asse x e
lungo l’asse y rispettivamente.
v0 x = v0 cos α
y
vy
0
v
La
componente
della
velocità lungo l’asse x
resterà
inalterata
e
costante.
v0x
v0
v0y
v0 y = v0 sin α
v0x
α
v0x
28 febbraio 2009
xg
x
Lungo x il moto è rettilineo
uniforme con velocità v0x.
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
16
SOLUZIONE
Lungo l’asse y, invece, agisce l’accelerazione di gravità. Ma agisce
nella direzione contraria; pertanto si avrà una decelerazione.
La
componente
della
velocità lungo l’asse y
varierà, annullandosi nel
punto di massima quota.
y
vy
0
v
-g
Lungo y il moto è rettilineo
uniformemente
accelerato.
v0x
v0
v0y
v0x
α
v0x
28 febbraio 2009
Pertanto si può scrivere
xg
x
1 2
y (t ) = − gt + v0 y t
2
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
17
SOLUZIONE
In sintesi ecco le equazioni orarie per le due componenti del moto
x(t ) = v0 x t
1 2
y (t ) = − gt + v0 y t
2
E sostituendo
le componenti
della velocità
x(t ) = v0 cos(α )t
1
y (t ) = − gt 2 + v0 sin(α )t
2
Ora per determinare la gittata si osserva che il tempo per percorrere
lo spazio xg può essere calcolato come
xg
xg
t=
v0 x
=
v0 cos α
e dopo tale tempo dovrà essere y(t)=0, quindi
2
xg
1  xg 
 + v0 sin α
− g 
=0
2  v0 cos α 
v0 cos α
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
18
SOLUZIONE
Con qualche passaggio algebrico …
(
)
x g gxg − 2v02 sin α cos α = 0
… escludendo la soluzione xg=0 (l’origine del moto), si ha
v02
x g = sin(2α )
g
Per determinare la gittata massima
dx g
dα
=0
v02
2 cos(2α ) = 0
g
2α = 90°
α = 45°
E quindi la massima gittata vale
x g max
28 febbraio 2009
v02 (300) 2
=
=
= 9183.67 m
g
9.8
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
19
ESERCIZIO n.4
Una palla di 0.40 Kg è lanciata in aria e raggiunge una altezza
massima di 20 m. Calcolare la sua velocità iniziale.
Schematizziamo il problema
y
h
v 2f = v02 + 2ah = 0
-g
v0
28 febbraio 2009
Considerando che la velocità
finale
sarà
nulla
e
la
decelerazione
è
sempre
costante si ha
e quindi
v0 = − 2ah = 2 gh = 2(9.8)(20) = 19.8 m
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
sec
20
ESERCIZIO n.5
Un oggetto viene spinto a salire su un piano inclinato con una
velocità iniziale v0=30m/sec. Essendo α=45° l’inclinazione
del piano inclinato, si determini:
1. Il tempo necessario ad arrestarsi;
2. A che altezza dal suolo si fermerà.
v0
α
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
21
SOLUZIONE
Schematizziamo il problema
x
y
-gx
-gy
α
s
α
h sarà la quota raggiunta
rispetto al piano orizzontale
g
v0
h
s sarà lo spazio percorso
lungo il piano inclinato fino
al punto di arresto
Appare ovvia la scelta del
sistema
di
rifermento
indicato
Il corpo è soggetto alla accelerazione di
gravità che va decomposta secondo il
riferimento scelto. Quindi …
g x = g sin α
g y = g cos α
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
22
SOLUZIONE
x
y
-gx
-gy
v f = v0 + at = v0 − g sin(α )t
α
g
v0
h
s
Riferendoci al moto lungo l’asse x ed
essendo esso decelerato, si potrà
scrivere
E dovendosi fermare si potrà
calcolare il tempo di arresto come
v0
30
t=
=
= 4.32 sec
g sin α 9.8 sin 45°
α
Per trovare lo spazio percorso lungo x si ha
da cui
v02
s=
2 g sin α
28 febbraio 2009
v 2f − v02 = −2 g sin (α )s
E quindi
2
(30) = 45.9m
v02
v02
h = s sin α =
sin α =
=
2 g sin α
2 g 2(9.8)
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
23
ESERCIZIO n.6
Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità
iniziale v01=25m/sec. Si calcoli la massima quota
raggiunta ed il tempo impiegato.
Un secondo sasso è lanciato verso l’alto, lungo la stessa
traiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A tale
sasso è impressa una velocità iniziale v02=15m/sec. Dopo
quanto tempo si incontreranno i due sassi? E a quale
quota?
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
24
SOLUZIONE
Schematizziamo il problema
y
h
Appare evidente che, nella
prima fase del moto, il
corpo, lanciato verso l’alto,
sarà
decelerato
dalla
attrazione gravitazionale.
Pertanto si potrà scrivere
g
v01
2
v 2f − v01
= 2ah = −2 gh
Ma, alla quota h il corpo si
fermerà. quindi
2
v01
(25) 2
h=
=
= 31.8m
2 g 2(9.8)
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
25
SOLUZIONE
y
Nota l’altezza raggiunta h=31.8m
è possibile determinare il tempo di
volo fino al punto di arresto.
h
g
Basta
ricordare
l’equazione
cinematica della velocità per il
caso di decelerazione
v01
v f = v01 − gt = 0
Pertanto si ha
t=
28 febbraio 2009
v01 25
=
= 2.55 sec
g 9.8
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
26
SOLUZIONE
Una seconda schematizzazione
y
h
y1
Ora il sasso n°1 è per un istante
fermo, poi inizierà a cadere sotto
l’azione della gravità
La sua legge oraria, con la quota
valutata rispetto al terreno, è
1 2
y1 = h − gt
2
g
v02
Per il sasso n°2 si ha ovviamente
y2
1 2
y2 = − gt + v02t
2
Quando si toccheranno dovrà
essere y1=y2. Quindi
1
1
h − gt 2 = − gt 2 + v02t
2
2
28 febbraio 2009
da cui
ti =
h 31.8
=
= 2.12 sec
v02
15
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
27
SOLUZIONE
Per la determinazione della quota
di impatto, utilizzando il valore
ti=2.12sec, basta applicare una
qualsiasi legge oraria
y
h
y1
1 2
y1 = h − gt
2
g
v02
y2
e sostituendo …
yi = h −
28 febbraio 2009
1 2
1
gti = 31.8 − 9.8(2.12) 2 = 9.77m
2
2
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
28