Esercizi di Cinematica 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 1 Le equazioni cinematiche Moto rettilineo uniforme a=0 v = v0 = costante x(t ) = x0 + v0t 28 febbraio 2009 Moto rettilineo uniformemente accelerato a ≠ 0 e costante v(t ) = v0 + at 1 2 x(t ) = x0 + v0t + at 2 2 2 v f − v0 = 2a ( x − x0 ) PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 2 ESERCIZIO n.1 Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s2, mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v=72.0 Km/h. a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda? b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso? c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal semaforo si trovano? Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto. 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 3 SOLUZIONE Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s2, mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsa con velocità costante v=72.0 Km/h. a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda? b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso? c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal semaforo si trovano? Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto. Prima cosa da fare: DISEGNO ovvero uno schema che ci aiuti a descrivere il moto. 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 4 Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda? Automobile 1, accelerazione = costante Automobile 2, velocità = costante 1 2 x1 = at 2 x2 = vt Poniamo x1 = x2 1 2 at = vt 2 1 at = v 2 t=2 v a 72000 t=2 28 febbraio 2009 3600 = 40 = 13.3 sec 3 3 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 5 Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso? Automobile 1, accelerazione = costante Automobile 2, velocità = costante 1 2 at 2 v1 = at x1 = 28 febbraio 2009 1 x1 = 3(13.3) 2 = 265.3m 2 v1 = 3(13.3) = 40.0 m sec PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 6 In quale istante le auto hanno la stessa velocità ? Automobile 1, accelerazione = costante Automobile 2, velocità = costante v1 = at v1 = v2 = at v2 = costante v t= 2 = a 28 febbraio 2009 72000 3 3600 = 6.6 sec PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 7 A quale distanza dal semaforo si trovano? (quando hanno la stessa velocità) Automobile 1, accelerazione = costante Automobile 2, velocità = costante 1 2 x1 = at 2 x2 = vt 28 febbraio 2009 1 x1 = 3(6.6) 2 = 65.34m 2 72000 x2 = 6.6 = 132m 3600 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 8 Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto. X [m] Automobile 2, velocità = cost Automobile 1, accelerazione = cost tempo [s] 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 9 Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto. v [m/s] Automobile 1, accelerazione = cost Automobile 2, velocità = cost tempo [s] 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 10 ESERCIZIO n.2 Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0m più in basso. •Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete. La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo. •Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto. 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 11 SOLUZIONE Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0m più in basso. •Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete. La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo. •Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto. Dividiamo lo studio in due fasi: 1) Moto in caduta libera dell’uomo per 11.0 m, con velocità iniziale pari a zero; 2) Moto uniformemente decelerato per 1.5 metri. Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA CHE C’E’ ACCELERAZIONE DI GRAVITA’ g = 9.8 m/s2, DIRETTA VERSO IL BASSO. 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 12 Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete. velocità iniziale v0 = 0 v=v0+at=gt, con a = g = 9.8 m/s2 Non conosciamo il tempo necessario a raggiungere terra, cioè a percorrere 11 metri. Usiamo 1 1 g x = x0 + v0t + at 2 = gt 2 2 2 11 metri Da cui si ricava t= 2x 22 = = 1.5 sec g 9.8 E quindi v = gt = 9.8(1.5) = 14.7 m 28 febbraio 2009 sec PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 13 Calcolare la decelerazione durante la fase di arresto. dell’uomo velocità iniziale v0 = 14.7m/s velocità finale vf=0 Dopo avere percorso uno spazio s=1.5m Si può applicare l’equazione v 2f = v02 + 2as = 0 Da cui si ricava 2 v02 (14.7 ) = −72 m a=− =− sec 2 2s 3 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 14 ESERCIZIO n.3 Un cannone lancia un proiettile a velocità v0=300m/sec. Calcolare l’alzo del cannone per avere la massima gittata determinandone anche il valore. alzo gittata 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 15 SOLUZIONE Nella schematizzazione del problema si osserva che la velocità iniziale può essere decomposta nelle due componenti lungo l’asse x e lungo l’asse y rispettivamente. v0 x = v0 cos α y vy 0 v La componente della velocità lungo l’asse x resterà inalterata e costante. v0x v0 v0y v0 y = v0 sin α v0x α v0x 28 febbraio 2009 xg x Lungo x il moto è rettilineo uniforme con velocità v0x. PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 16 SOLUZIONE Lungo l’asse y, invece, agisce l’accelerazione di gravità. Ma agisce nella direzione contraria; pertanto si avrà una decelerazione. La componente della velocità lungo l’asse y varierà, annullandosi nel punto di massima quota. y vy 0 v -g Lungo y il moto è rettilineo uniformemente accelerato. v0x v0 v0y v0x α v0x 28 febbraio 2009 Pertanto si può scrivere xg x 1 2 y (t ) = − gt + v0 y t 2 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 17 SOLUZIONE In sintesi ecco le equazioni orarie per le due componenti del moto x(t ) = v0 x t 1 2 y (t ) = − gt + v0 y t 2 E sostituendo le componenti della velocità x(t ) = v0 cos(α )t 1 y (t ) = − gt 2 + v0 sin(α )t 2 Ora per determinare la gittata si osserva che il tempo per percorrere lo spazio xg può essere calcolato come xg xg t= v0 x = v0 cos α e dopo tale tempo dovrà essere y(t)=0, quindi 2 xg 1 xg + v0 sin α − g =0 2 v0 cos α v0 cos α 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 18 SOLUZIONE Con qualche passaggio algebrico … ( ) x g gxg − 2v02 sin α cos α = 0 … escludendo la soluzione xg=0 (l’origine del moto), si ha v02 x g = sin(2α ) g Per determinare la gittata massima dx g dα =0 v02 2 cos(2α ) = 0 g 2α = 90° α = 45° E quindi la massima gittata vale x g max 28 febbraio 2009 v02 (300) 2 = = = 9183.67 m g 9.8 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 19 ESERCIZIO n.4 Una palla di 0.40 Kg è lanciata in aria e raggiunge una altezza massima di 20 m. Calcolare la sua velocità iniziale. Schematizziamo il problema y h v 2f = v02 + 2ah = 0 -g v0 28 febbraio 2009 Considerando che la velocità finale sarà nulla e la decelerazione è sempre costante si ha e quindi v0 = − 2ah = 2 gh = 2(9.8)(20) = 19.8 m PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) sec 20 ESERCIZIO n.5 Un oggetto viene spinto a salire su un piano inclinato con una velocità iniziale v0=30m/sec. Essendo α=45° l’inclinazione del piano inclinato, si determini: 1. Il tempo necessario ad arrestarsi; 2. A che altezza dal suolo si fermerà. v0 α 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 21 SOLUZIONE Schematizziamo il problema x y -gx -gy α s α h sarà la quota raggiunta rispetto al piano orizzontale g v0 h s sarà lo spazio percorso lungo il piano inclinato fino al punto di arresto Appare ovvia la scelta del sistema di rifermento indicato Il corpo è soggetto alla accelerazione di gravità che va decomposta secondo il riferimento scelto. Quindi … g x = g sin α g y = g cos α 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 22 SOLUZIONE x y -gx -gy v f = v0 + at = v0 − g sin(α )t α g v0 h s Riferendoci al moto lungo l’asse x ed essendo esso decelerato, si potrà scrivere E dovendosi fermare si potrà calcolare il tempo di arresto come v0 30 t= = = 4.32 sec g sin α 9.8 sin 45° α Per trovare lo spazio percorso lungo x si ha da cui v02 s= 2 g sin α 28 febbraio 2009 v 2f − v02 = −2 g sin (α )s E quindi 2 (30) = 45.9m v02 v02 h = s sin α = sin α = = 2 g sin α 2 g 2(9.8) PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 23 ESERCIZIO n.6 Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale v01=25m/sec. Si calcoli la massima quota raggiunta ed il tempo impiegato. Un secondo sasso è lanciato verso l’alto, lungo la stessa traiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A tale sasso è impressa una velocità iniziale v02=15m/sec. Dopo quanto tempo si incontreranno i due sassi? E a quale quota? 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 24 SOLUZIONE Schematizziamo il problema y h Appare evidente che, nella prima fase del moto, il corpo, lanciato verso l’alto, sarà decelerato dalla attrazione gravitazionale. Pertanto si potrà scrivere g v01 2 v 2f − v01 = 2ah = −2 gh Ma, alla quota h il corpo si fermerà. quindi 2 v01 (25) 2 h= = = 31.8m 2 g 2(9.8) 28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 25 SOLUZIONE y Nota l’altezza raggiunta h=31.8m è possibile determinare il tempo di volo fino al punto di arresto. h g Basta ricordare l’equazione cinematica della velocità per il caso di decelerazione v01 v f = v01 − gt = 0 Pertanto si ha t= 28 febbraio 2009 v01 25 = = 2.55 sec g 9.8 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 26 SOLUZIONE Una seconda schematizzazione y h y1 Ora il sasso n°1 è per un istante fermo, poi inizierà a cadere sotto l’azione della gravità La sua legge oraria, con la quota valutata rispetto al terreno, è 1 2 y1 = h − gt 2 g v02 Per il sasso n°2 si ha ovviamente y2 1 2 y2 = − gt + v02t 2 Quando si toccheranno dovrà essere y1=y2. Quindi 1 1 h − gt 2 = − gt 2 + v02t 2 2 28 febbraio 2009 da cui ti = h 31.8 = = 2.12 sec v02 15 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 27 SOLUZIONE Per la determinazione della quota di impatto, utilizzando il valore ti=2.12sec, basta applicare una qualsiasi legge oraria y h y1 1 2 y1 = h − gt 2 g v02 y2 e sostituendo … yi = h − 28 febbraio 2009 1 2 1 gti = 31.8 − 9.8(2.12) 2 = 9.77m 2 2 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 28