Elementi di Geometria dal punto di vista superiore
A.A. 2014/15
Orario delle lezioni: martedì 14-15, mercoledì 9-11, giovedì 9-11, aula Enriques
Argomento delle lezioni
23/9/14 (1 ora 14-15 progr. 1). Presentazione del corso, mediante Power-Point:
motivazioni per insegnare la Geometria, i contenuti del corso, la struttura del
corso, i seminari, l’esame. Esempi di forme, simmetrie e traiettorie.
23/9 (2 ore, 9-11 progr. 3). I. – Brainstorming sulle parole punto, retta e piano.
Punto come oggetto “piccolo” rispetto al contesto oppure come unità, e
confutazione di questi approcci, mediante l’equipotenza di segmenti diversi o
l’irrazionalità della radice di 2. Il circolo vizioso della definizione di segmento
come parte di una retta e di retta come segmento prolungabile. La necessità di
postulati per descrivere coerentemente questi tre tipi di oggetti.
II. – Ripasso di nozioni di Algebra di base: coppie ordinate, prodotto cartesiano,
relazioni fra insiemi, relazione trasposta, composizione di relazioni. Relazioni
in un insieme, l’identità. Relazioni d’equivalenza, classi d’equivalenza, insieme
quoziente, partizioni. Alcuni esempi generali di relazioni d’equivalenza, la
relazione associata ad una funzione.
24/9 (2 ore, 9-11 progr. 5). I. – Riassunto sull’impostazione euclidea: il piano come
insieme non vuoto, i punti come suoi elementi e le rette come sottoinsiemi
particolari, da individuare mediante opportuni postulati. Il primo postulato e
le sue conseguenze; l’esistenza possibile di rette parallele; il piano proiettivo di
Fano, senza parallele, l’assioma delle parallele. L’ordinamento di ogni retta, le
nozioni di semiretta e segmento, la densità dell’ordine.
II. – Relazioni d’equivalenza in Geometria: il parallelismo debole nell’insieme
delle rette, fasci di parallele come punti impropri e l’insieme quoziente come
retta impropria; il piano proiettivo come esempio di geometria non euclidea,
senza parallele. L’insieme dei poligoni ed il numero dei lati. Giocando a
classificare i quadrilateri: trapezi, parallelogrammi, trapezi isosceli, rettangoli,
rombi, quadrati: una partizione o qualcosa di diverso?
30/9
(1 ora, 14-15 progr. 6). Necessità di rappresentazioni grafiche per illustrare le
nozioni geometriche, e di supporti tradizionali o tecnologici. Principali
convenzioni per rappresentare le figure geometriche e necessità di esplicitarle
agli allievi per evitare fraintendimenti e difficoltà legate ai cambi di registro.
1/10
(2 ore, 9-11 progr. 8). I. – Riassunto di alcuni postulati, in particolare
sull’ordinamento di una retta. Continuità della retta: insiemi separati, elementi
separatori, insiemi contigui di punti. Semipiani: definizione, proprietà.
II. – Relazioni d’equivalenza compatibili con le operazioni, operazione
quoziente; la congruenza mod m in Z; applicazione ai criteri di divisibilità ed
alla prova del nove.
2/10
(2 ore, 9-11 progr. 10). I. – Congruenza (o uguaglianza o isometria) di figure
piane: proprietà desiderabili, classi di equivalenza di punti, rette, semirette,
semipiani. Trasporto di un segmento nel tratto iniziale di una semiretta.
Segmenti consecutivi. Segmenti adiacenti e loro somma. Postulato di
compatibilità tra la somma di segmenti e la congruenza. Proprietà algebriche
1
della somma, il monoide delle classi di congruenza di segmenti. Sottrazione e
confronto di segmenti. Ordinamento dei segmenti e sue proprietà. Un criterio
di contiguità.
II. – Il gruppo simmetrico su un insieme; i gruppi di permutazioni e la loro
azione sull’insieme: orbite e stabilizzatori. I gruppi di permutazioni sui punti
del piano, che trasformano rette in rette. La scelta di un particolare
sottogruppo come gruppo delle isometrie e la nozione di classe di congruenza
come orbita rispetto a questo gruppo. Le diverse geometrie secondo Klein
(cenni).
7/10
(1 ora, 14-15 progr. 11). Ordinamento ed addizione di segmenti, proprietà che
li collegano. Multipli di un segmento e proprietà. Proprietà di Archimede.
Sottomultipli di un segmento, esistenza. Il punto medio di un segmento.
8/10
(2 ore, 9-11 progr. 13). I. – Circonferenza e cerchio di dati centro e raggio,
definizioni. Angoli, possibili definizioni; angoli convessi come intersezione di
semipiani; angoli piatti; angoli concavi e insiemi complementari di angoli
convessi, angoli esplementari. Angoli nulli e angoli giro. Angoli consecutivi e
adiacenti. L’assioma del trasporto di angoli. Somma di angoli convessi e
assioma di compatibilità con la congruenza. Proprietà della somma di angoli
convessi; la somma può non essere convessa; somma di angoli concavi, l’angolo
giro come elemento assorbente.
II. – La somma modulo l’angolo giro e il gruppo abeliano delle classi di
congruenza degli angoli; il periodo di un angolo piatto è 2. Sottomultipli di un
angolo, esistenza (en.). La bisettrice di un angolo, il caso di un angolo piatto ed
esistenza degli angoli retti. Ordinamento degli angoli convessi mediante
trasporto ed inclusione; estensione dell’ordinamento a tutto l’insieme delle
classi di congruenza degli angoli; proprietà: ordine totale, denso e continuo
con minimo e massimo (en.).
9/10
(2 ore, 9-11 progr. 15). I. – L’ordine fra gli angoli è relativo all’insieme delle
classi di congruenza, ma non al gruppo additivo di tali classi. Angoli opposti al
vertice. Asse di un segmento, esistenza. Poligonali, vertici, lati, poligonali
chiuse, poligonali semplici. Poligono convesso come intersezione di semipiani
determinati dai lati di una poligonale semplice chiusa opportuna.
II. – Angoli interni, poligono convesso come loro intersezione. Diagonali e loro
conteggio. Poligoni regolari. Angoli esterni. Triangoli, classificazione in base ai
lati. Proprietà di triangoli congruenti e primo criterio di congruenza dei
triangoli.
14/10 (1 ora, 14-15 progr. 16). Due proprietà degli angoli convessi. Ripresa delle
proprietà dei triangoli congruenti e del primo criterio. Conseguenze: proprietà
dei triangoli isosceli; caratterizzazione dell’asse di un segmento; il circocentro
di un triangolo e la circonferenza circoscritta. Il teorema dell’angolo esterno;
angoli alterni interni ed esistenza di rette parallele.
15/10 (2 ore, 9-11 progr. 18). I. – Seminario di Spagnolo, Milandri, Mangianti sulle
nozioni di punto, retta e piano nei testi di scuola primaria e secondaria; i
modelli, gli assiomi, le applicazioni, gli esercizi proposti. Breve dialogo con i
presenti a commento del seminario.
II. – Il monoide delle relazioni in un insieme rispetto alla composizione e
all’identità. Potenze di una relazione; chiusura transitiva di una relazione; la
relazione d’equivalenza generata da una relazione simmetrica, con un
esempio. Relazioni d’ordine in un insieme: definizione, ordine totale, ordine
2
stretto, due esempi: l’ordine alfabetico delle parole, l’inclusione
sottoinsiemi di un insieme. Strutture relazionali, insiemi ordinati o poset.
fra
16/10 (2 ore, 9-11 progr. 20). I. – Perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.
Esistenza e unicità della perpendicolare da un punto ad una retta e
dipendenza dal postulato delle parallele. Secondo criterio di congruenza dei
triangoli. Terzo criterio di congruenza dei triangoli (en.). Criterio di
congruenza dei triangoli rettangoli.
II. – Massimo e minimo di un sottoinsieme di un poset; esempi. Buon ordine.
Intervalli; relazione di copertura, ordine discreto; ordine denso. Maggioranti e
minoranti di un sottoinsieme; estremo superiore ed inferiore di un
sottoinsieme; ordine completo.
21/10 (1 ora, 14-15 progr. 21). Un’altra dimostrazione dell’esistenza della
perpendicolare da un punto ad una retta. Caratterizzazione dei punti della
bisettrice di un angolo convesso. Elenco delle principali proprietà dei triangoli:
relazioni fra lati ed angoli, diseguaglianza triangolare, somma degli angoli
interni e angolo esterno, punti notevoli, la retta di Eulero, proprietà dei
triangoli isosceli.
22/10 (2 ore, 9-11 progr. 23). I. – Seminario di Biazzo, Tronati e Vaccari sulla
nozione di angolo nei testi delle scuole secondarie: definizioni, classificazioni,
somma, diseguaglianze, misura in gradi.
II. – L’ordine nei numeri razionali assoluti è totale, denso, ma non completo.
Continuità secondo Dedekind di un ordine totale: sottoinsiemi separati,
elementi separatori; continuità e completezza coincidono per ordini totali.
23/10 (2 ore, 9-11 progr. 25). I. – Angoli coniugati interni ed angoli corrispondenti di
due rette parallele tagliate da una trasversale. Quadrilateri: due diagonali,
somma degli angoli interni, necessità di modificare la definizione di somma di
angoli. Trapezi, definizione, terminologia, proprietà degli angoli; lista dei
trapezi notevoli: trapezi rettangoli; trapezi isosceli, con le loroproprietà;
parallelogrammi con le loro proprietà che li caratterizzano, riguardanti i lati
opposti, gli angoli opposti, le diagonali; un criterio perché un quadrilatero sia
un parallelogramma. Rettangoli, rombi, quadrati e loro proprietà.
II. – Diagrammi di Hasse per i poset finiti, esempi. Elementi massimali. Catene,
catene massimali. L’assioma di Zorn, l’assioma di Zermelo o di scelta, l’assioma
di Hausforff-Birchkoff sulle catene massimali e l’assioma del buon ordine come
proposizioni equivalenti, ma indipendenti dagli altri assiomi della teoria degli
insiemi (en.).
28/10 (1 ora, 14-15 progr. 26). Il piccolo teorema di Talete. Costruzione di un
sottomultiplo di un segmento. La congiungente i punti medi di due lati di un
triangolo e l’esistenza del baricentro. Poligoni convessi: congruenza, somma
degli angoli interni, somma degli angoli esterni, ogni lato è minore della
somma degli altri. Poligoni circoscrittibili e loro caratterizzazione. Poligoni
inscrittibili, caratterizzazione, apotema. Poligoni regolari: definizione, angoli,
congruenza.
29/10 (2 ore, 9-11 progr. 28). I. – Caratterizzazione dei poligoni regolari mediante le
circonferenze inscritta e circoscritta concentriche. Somma di poligoni,
procedimenti, condizioni, non compatibilità con la congruenza, poligoni
generalizzati. Scomposizione di un poligono mediante una poligonale.
Differenza di poligoni (cenni).
II. – Isometrie del piano: definizione, il gruppo delle isometrie piane, le
3
proprietà elementari: conservano la congruenza delle rette, dei triangoli, delle
circonferenze. Le simmetrie assiali: definizione e dimostrazione che sono
isometrie. Isometrie con due punti uniti.
30/10 (2 ore, 9-11 progr. 30). I. – Seminario di Fabbri e La Monaca sul parallelismo
nei testi dei vari ordini scolastici: definizioni di parallele, la distanza fra di
esse, il V postulato di Euclide, le proprietà degli angoli alterni, corrispondenti e
coniugati formati con una trasversale; le geometrie non euclidee e la loro
collocazione; l’opportunità di trattarle o no (breve discussione).
II. – Seminario di Bassi, Bianchedi e Tronconi su circonferenza e cerchio nei
testi dei vari ordini scolastici: definizioni, costruzioni, archi, corde e diametri,
angoli al centro ed alla circonferenza, mutue posizioni fra rette e circonferenze
o fra due circonferenze; le tangenti ad una circonferenza; breve discussione.
4/11
(1 ora, 14-15 progr. 31). Isometrie con due punti uniti: dimostrazione del
teorema. Isometrie tra due segmenti congruenti. Isometria fra i lati di due
triangoli congruenti. Ogni isometria è prodotto di al più tre simmetrie.
L’insieme delle simmetrie assiali come generatore del gruppo delle isometrie
5/11
(2 ore, 9-11 progr. 33). I. – Seminario di Ferrari, Valmorra e Vannucci sulla
congruenza di figure e triangoli nei testi della scuola secondaria di I e II grado:
i tre criteri di congruenza dei triangoli e quello dei triangoli rettangoli; alcune
costruzioni ed un filmato con Geogebra. Commenti vari su pseudo-definizioni,
impostazioni fuorvianti e figure mal fatte da allievi.
II. – L’azione del gruppo delle isometrie sul piano e sulle figure piane;
confronto fra le classi di congruenza e quelle di isometria e la loro coincidenza
nel caso delle figure note. La possibile sostituzione della congruenza con
l’isometria e le difficoltà di individuare per assiomi un opportuno sottogruppo
del gruppo simmetrico sul piano, che funga da gruppo delle isometrie.
6/11
(2 ore, 9-11 progr. 35). I. – Riepilogo sulla somma di poligoni. Equiestensione
di figure piane: definizione per assiomi; chiusura rispetto alla somma e alla
differenza. Riduzione di ogni poligono ad un rettangolo equiesteso:
parallelogrammi e rettangoli, triangoli e parallelogrammi, poligoni e triangoli.
Il primo teorema di Euclide.
II. – Orientamento di una retta e delle rette parallele. Segmenti orientati.
Segmenti equipollenti. Vettori come classi d’equipollenza di segmenti orientati.
Somma di vettori, compatibilità con l’equipollenza (en.), proprietà, il vettore
nullo, vettori opposti. Il gruppo abeliano additivo dei vettori del piano.
Periodo di un vettore non nullo. Elementi uniti in una traslazione.
11/11 (1 ora, 14-15 progr. 36). Isometrie con assi paralleli: le traslazioni, il vettore
associato; la traslazione associata ad un vettore e gli infiniti modi di
fattorizzarla nella composizione di due simmetrie con assi paralleli.
Composizione di traslazioni e somma di vettori. Il sottogruppo delle traslazioni
isomorfo al gruppo additivo dei vettori del piano.
12/11 (2 ore, 9-11 progr. 38). I. – (Con l’ausilio di Geogebra). Costruzione della figura
che illustra il primo teorema di Euclide. Il teorema di Pitagora ed il suo
inverso. Il secondo teorema di Euclide. Ogni rettangolo è equivalente ad un
quadrato. Ogni poligono è equivalente ad un quadrato.
II. – (Con l’ausilio di Geogebra) Angoli orientati (cenni), l’angolo orientato fra
due rette. Prodotto di due simmetrie con assi incidenti: le rotazioni, il centro,
l’angolo orientato. La rotazione di dati centro ed angolo orientato e gli infiniti
modi di fattorizzarla come prodotto di due simmetrie con assi incidenti nel
4
centro ed angolo metà dell’angolo della rotazione. Composizione di rotazioni
con lo stesso centro e somma di angoli orientati. Il gruppo abeliano delle
rotazioni con lo stesso centro. Le simmetrie centrali.
13/11 (2 ore, 9-11 progr. 40). I. – Le parti poco chiare della teoria
dell’equiestensione: la classe di equivalenza di un punto, o del piano, o la
possibilità di scegliere i quadrati come rappresentanti di tutte le altre classi di
equiestensione. Somme di rettangoli con basi congruenti ed altezze
decrescenti; la curva di Peano, l’insieme di Dirichlét. La necessità di teorie più
potenti.
II. – Composizione di rotazioni con centri diversi e di rotazioni con traslazioni.
Il gruppo dei movimenti. Il prodotto di un numero pari di simmetrie è un
movimento. Prodotti di tre simmetrie, nei vari casi: le antitraslazioni. La
classificazione delle isometrie piane.
18/11 (1 ora, 14-15 progr. 41). Grandezze: l’insieme, la relazione d’equivalenza, la
relazione d’ordine parziale, la relazione “ternaria”; i due assiomi base, per
ordinare totalmente il quoziente e trasformare la relazione ternaria in una
operazione. Gli assiomi per stabilire le proprietà di densità e continuità
dell’ordine nel quoziente. Gli assiomi per definire nel quoziente una struttura
di monoide commutativo regolare ordinato. L’insieme quoziente così
strutturato come insieme di grandezze “omogenee”. Osservazioni sul
linguaggio formale, ineccepibile ma incomprensibile, e quello colloquiale,
confuso ed ambiguo.
19/11 (2 ore, 9-11 progr. 43). I. – Seminario di Berardone, Boninsegna e Cecchi sui
teoremi di Pitagora, Euclide e Talete nei testi di scuola secondaria di primo e
secondo grado: le varie dimostrazioni ed applicazioni del teorema di Pitagora,
le varie formulazioni dei teoremi di Euclide, la collocazione e la dimostrazione
del (piccolo) teorema di Talete. I triangoli rettangoli notevoli ed altri esercizi.
Brevissima discussione.
II. – Rapporto di grandezze omogenee non nulle: il caso del rapporto intero o
reciproco di un intero; il caso del rapporto razionale, grandezze
commensurabili. Grandezze incommensurabili e loro rapporto irrazionale.
Misura di una grandezza rispetto ad una fissata unità di misura. La misura
come isomorfismo additivo e d’ordine tra l’insieme delle grandezze e la
struttura additiva ordinata dei numeri reali “assoluti” (= non negativi) (en.).
Rapporto di grandezze e rapporto delle loro misure.
20/11 (2 ore, 9-11 progr. 45). I. – Seminario di Dari e Fiore sulla Geometria dello
spazio: assiomi, parallelismo, diedri, angoli e perpendicolarità fra rette e piani;
il teorema delle tre perpendicolari, nei testi della scuola secondaria.
II. – L’azione dei numeri reali “assoluti” su ogni insieme di grandezze e sua
compatibilità con uguaglianza, ordine, operazioni fra numeri e fra grandezze.
Insiemi di grandezze direttamente proporzionali. Proporzioni fra quattro
grandezze omogenee: possibilità di ricavarne altre con le stesse grandezze. I
segmenti di una retta come insieme di grandezze. Il teorema di Talete ed il suo
inverso.
25/11 (1 ora, 14-15 progr. 46). Poligoni come classi di grandezze. Le aree come
misura dei poligoni rispetto al quadrato unitario. Area di un rettangolo note le
misure dei lati. Formule note per le aree. Poligoni circoscrittibili. Poligoni
regolari, apotema, area. Formula di Erone (en.)
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27/11 (2 ore, 9-11 progr. 48). I. – Seminario di Ascione, Cercone, Tassotti sui poliedri
nei testi della scuola secondaria: definizioni, tipi di poliedri, relazione di
Eulero tra facce, vertici e spigoli; prismi e piramidi: superficie laterale e totale,
volume; poliedri regolari. Assenza generalizzata di dimostrazioni della formula
per il volume della piramide.
II. – Seminario di Antognoli, Ronchi e Venturelli sui solidi di rotazione nei testi
di scuola secondaria: definizioni, superficie laterale e totale, volume (con l’uso
della lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio e del principio di
Cavalieri). Cenni sulle sezioni coniche.
2/12
(1 ora, 14-15
progr. 49). Similitudine introdotta mediante assiomi;
coincidenza tra similitudine e congruenza per alcune figure elementari, tra cui
gli angoli. Criteri di similitudine per i triangoli. Figure simili, rapporto di
similitudine, rapporto fra le aree ed i quadrati dei lati. Circonferenza e cerchio
come elementi di separazione fra perimetri ed aree di poligoni regolari inscritti
e circoscritti. Similitudine fra circonferenze e fra cerchi. Rapporto costante fra
circonferenza e diametro e fra cerchio e quadrato del raggio, il numero π.
3/12
(2 ore, 9-11 progr. 51). I – seminario di Cattarina, Reali, Zamagni sul teorema
di Talete e le similitudini nei testi di scuola secondaria: figure simili, rapporto
di similitudine, criteri di similitudine per triangoli e teorema di Talete: mutue
deduzioni a seconda dei testi. Omotetie. I teoremi di Euclide introdotti
mediante le similitudini.
II. – Seminario di Agnorelli, Brezzi, Jacquier sull’equivalenza ed
equiscomponibilità nei testi dei vari livelli scolastici: equiscomponibilità con
esempi, equivalenza come uguale superficie occupata (data come concetto
intuitivo), trattazione poco formale; il teorema di Pitagora con la
dimostrazione pitagorica, assenza dei teoremi di Euclide in questo contesto.
4/12
(2 ore, 9-11 progr. 53). I. – Seminario di Casadei e Gazzani sulle isometrie e le
similitudini nei testi di scuola secondaria: definizioni, le traslazioni e i vettori,
angoli e rotazioni di dato verso, simmetrie centrali, simmetrie assiali,
trasformazioni involutorie. Omotetie. Invarianti di una trasformazione;
composizione di isometrie; similitudini come composizioni di isometrie e
omotetie.
II. – (con Power Point). Gli assiomi di Hilbert per la geometria euclidea del
piano e dello spazio: i tre termini primitivi e le tre relazioni primitive; i cinque
insiemi di postulati, con commenti vari sulle definizioni di segmento,
semiretta, angolo, triangolo, completezza, e confronti tra formulazioni diverse
su testi diversi. Fine del corso.
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