Il Teletrasporto Quantistico

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
Facoltà di Scienze
Corso di laurea in Fisica
Il Teletrasporto Quantistico
Relatore:
Candidato:
Prof. Michele Saba
Anno Accademico 2015-2016
Federico Cinus
2
Introduzione
Il Teletrasporto Quantistico è uno dei più importanti protocolli della teoria dell’informazione quantistica. Esso, sfruttando il fenomeno dell’entanglement come
risorsa, costituisce un pilastro delle tecnologie quantistiche che permettono lo sviluppo nel campo della comunicazione quantistica, computazione quantistica e reti
quantistiche. Il Teletrasporto si interpone tra la teoria della Meccanica Quantistica, la teoria dell’informazione classica e la Relatività Speciale. In particolare
tale protocollo mette in luce le potenzialità della Meccanica dei quanti sfruttando
però il trasferimento classico di informazione e nel rispetto delle leggi fondamentali
della Relatività. Ma che cos’è il teletrasporto? Perché l’aggettivo ”quantistico”?
Dalla radice greca ”T ηλ−” (”lontano”) e dall’italiano ”trasporto” si presenta una
banale risposta alla prima domanda, la quale esprime la non-località del processo
di trasferimento di informazione. La parola fu coniata da Charles H. Fort1 nel 1931
e fu associata al trasferimento di oggetti tra luoghi distanti senza il compimento
del percorso. Tale descrizione è propria dei film di fantascienza e dunque in una
rivisitazione fisica si traduce nel seguente processo: uno stato quantistico sconosciuto viene misurato e ”riassemblato” in una località distante con comunicazioni
subluminali. Per la risposta alla seconda domanda risulta evidente la necessità di
presentare quelli che sono gli assiomi fondamentali della Meccanica Quantistica e
sottolineare i due aspetti chiave della presente trattazione: il principio di sovrapposizione e il principio di località. Il cuore dei presenti principi è racchiuso in due
esperimenti noti come l’esperimento delle due fenditure e il paradosso EPR. In
principio antitetici i due esperimenti risultarono strettamente correlati (o meglio
”intrecciati”) agli occhi dei fisici a partire dal 1964, quando J. S. Bell mostrò la
violazione del realismo locale a beneficio della completezza della Meccanica Quantistica e della nascita di una teoria sull’Entanglement; quest’ultimo fa da collante
per i due principi e si dimostra la chiave di volta del Teletrasporto Quantistico.
1
Computer Science and York Centre for Quantum Technologies, University of York, York
YO10 5GH, United Kingdom
3
4
Indice
1 Elementi di MQ e paradosso EPR
1.1 I postulati della Meccanica Quantistica . . . . . . . . .
1.2 Il principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . .
1.2.2 Cenni sulla teoria dell’informazione quantistica .
1.3 Il Paradosso EPR e il realismo locale . . . . . . . . . .
1.3.1 La disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . .
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2 Entanglement Quantistico
2.1 La definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Stato entangled come stato puro . . . . . . . . . . . .
2.2 Le proprietà di uno stato entagled . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Paradosso EPR e disuguaglianza di Bell: Formalismo
2.3 La quantificazione dell’Entanglement . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Esempio: stati di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Le realizzazioni sperimentali di Entanglement . . . . . . . .
2.4.1 Conversione parametrica spontanea . . . . . . . . . .
2.4.2 Autostati del momento in entanglement . . . . . . .
2.4.3 Autostati di polarizzazione in entanglement . . . . .
2.5 Analizzatore di stati di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Teletrasporto Quantistico
3.1 La visione classica e quantistica . . . . .
3.2 Il protocollo del teletrasporto quantistico
3.3 La realizzazione sperimentale e i risultati
3.3.1 Esperimento . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Risultati sperimentali . . . . . . .
3.4 Cenni ad altri schemi di teletrasporto . .
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4 Decoerenza come limite sperimentale
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6
INDICE
5 Conclusioni
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Bibliografia
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Capitolo 1
Elementi di MQ e paradosso EPR
1.1
I postulati della Meccanica Quantistica
Il presente capitolo si prefigge di esplicare i due aspetti fondamentali del Teletrasporto Quantistico: il principio di sovrapposizione e il non realismo-locale. Seguono dunque i fondamenti della teoria dei quanti al fine di permettere una descrizione
appropriata dei due temi citati e di quelli dei capitoli successivi.
1 Stati. Un sistema fisico è descritto da uno stato, ovvero un vettore nello
spazio di Hilbert (H). Quest’ultimo è uno spazio vettoriale su C che gode di:
a) : prodotto interno hψ|φi che mappa una coppia di vettori in C con
le seguenti proprietà: positività (hψ|φi > 0 per |ψi 6= 0), linearità e
simmetria (hψ|φi=hφ|ψi∗ ).
b) : completezza nella norma k ψ k= hψ|ψi1/2
Gli stati sono descritti per convenzione da stati normalizzati (hψ|ψi=1) la cui
fase globale non ha significato fisico a differenza di quella relativa. Data la
definizione di prodotto scalare e la proprietà di linearità dello spazio esistono
combinazione lineari di stati (|Ψi = a|ψi+b|φi) ancora appartenenti ad esso.
2 Osservabili. Una proprietà misurabile del sistema fisico viene detta osservabile e le viene associato un operatore autoaggiunto, ovvero:
a) tramite la sua azione mappa vettori in vettori: A : |ψi 7→ A|ψi
b) corrisponde una trasformazione lineare: A(a|ψi+b|φi) = aA|ψi+bA|φi
c) è autoaggiunto poiché: A = A† da cui hψ|A|φi = hψ|A|φi∗
d) poiché auto-aggiunto gli autostati corrispondenti agli autovalori (tutti
reali) formano una base ortonormale nello spazio H: A = Σn an En
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8
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MQ E PARADOSSO EPR
3 Misure. Il processo di misura mediante il quale un osservatore acquisisce
informazioni sul sistema avviene tramite il valore di aspettazione dell’operatore, cosı̀ definito:
hai = hψ|A|ψi
Il risultato della misura è proprio l’autovalore a e la probabilità di ottenere
tale valore è data dal modulo quadro della proiezione dello stato che descrive
il sistema sull’autostato corrispondente all’autovalore:
P (an ) = khψ|En ik2
Se la misura viene ripetuta l’esito risulta il medesimo con probabilità unitaria, come se lo stato del sistema fosse collassato nel particolare autostato.
Due osservabili possono essere misurate simultaneamente senza regole d’indeterminazione se gli operatori autoaggiunti (ad esse correlate) commutano:
[A, B] = 0; in tal caso esiste un set di autostati comune e le due osservabili
sono dette compatibili.
4. Dinamica. L’evoluzione temporale di un sistema chiuso è descritta da un
operatore unitario. In particolare vale:
|ψ(t0 )i = U (t, t0 )|ψ(t)i|ψ(t)i
Dove U (t, t0 ) è l’operatore unitario di evoluzione temporale. Dall’equazione
di Schrödinger si ricava il caso infinitesimo:
d
|ψ(t)i = −iH(t)|ψ(t)i
dt
Da cui segue che se l’operatore Hamiltoniana è indipendente dal tempo:
0
U (t, t0 ) = e−i(t −t)H
Si noti come la presente trattazione trascende ogni interpretazione della Meccanica
Quantistica; difatti essa (e i successivi capitoli) non entra nel merito dei dibattiti
storici della fisica dei quanti ma si focalizza sugli aspetti oggettivi corredati da
evidenze sperimentali, precludendo cosı̀ la possibilità di erronee interpretazioni dei
fenomeni.
1.2. IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
1.2
9
L’esperimento della doppia fenditura e
la sovrapposizione quantistica
Il principio di sovrapposizione ha un ruolo centrale in tutte le considerazioni inerenti all’informazione quantistica. In accordo con R. Feynman l’esperimento della
doppia fenditura ha in se stesso il cuore della Meccanica Quantistica; è dunque
utile esporre il presente esperimento al fine di spiegare la sovrapposizione quantistica. Si consideri una sorgente (ad esempio di radiazione elettromagnetica, anche
se l’esperimento è realizzabile anche con elettroni, neutroni, atomi), una doppia
fenditura e uno schermo per osservare le frange d’interferenza.
Figura 1.1: Esperimento della doppia fenditura
La descrizione matematica del fenomeno avviene sfruttando il postulato 1, ovvero lo stato del sistema è esprimibile come combinazione lineare di una base, in
particolare:
1
|Ψi = √ (|ψa i + |ψb i)
(1.1)
2
dove |ψa i e |ψb i sono gli stati corrispondenti all’apparato fisico con apertura della
sola fenditura a o b. La 1.1 esprime una sovrapposizione coerente di stati (tema
della prossima sezione); è dunque un’applicazione del principio di sovrapposizione.
In sintesi le particelle, sottostando al dualismo onda/particella, esprimono i loro
caratteri ondulatori e mostrano una figura d’interferenza; in particolare essa risulta ancora evidente a basse intensità, infatti i dati sperimentali confermano che la
singola particella può interferire con se stessa. La sovrapposizione dei due stati
(particella che passa in a o particella che passa in b) non permette di identificare
in quale fenditura passi la particella. Risulta evidente che per rispondere a questo
quesito è necessario un apparato di misura che interferisca con essa; questo produce ciò che viene definita decoerenza ovvero perdita di coerenza, che si traduce
sperimentalmente nella dissoluzione della figura d’interferenza. Si sottolinea che
l’interferenza viene osservata solo se non si ha alcuna possibilità di conoscere il
percorso, nemmeno in principio.
10
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MQ E PARADOSSO EPR
1.2.1
Stati puri e miscele statistiche
Si definisce stato puro un vettore nello spazio di Hilbert. Da un punto di vista
matematico esso è anche l’autostato di un operatore autoaggiunto; ne consegue che
fisicamente per tale stato esiste un’osservabile la cui misura sul sistema darebbe
luogo ad esiti non aleatori e in particolare darebbe come risultato certo l’autovalore
corrispondente all’autostato dell’operatore autoaggiunto. Un sistema composto è
dato dalla combinazione di stati puri la quale può essere ancora uno stato puro
se la sovrapposizione è ottenibile tramite una trasformazione che coincide con un
cambiamento di base (l’intero sistema è descritto dalla sovrapposizione), mentre
viene definita miscela statistica se lo stato fisico del sistema è descritto da uno degli
stati puri della sommatoria a cui corrisponde una certa probabilità. Quest’ultima
viene dunque descritta da un insieme statistico che preclude esiti non stocastici
nelle operazioni di misura.
Definito l’operatore densità ρ = |ψihψ|, ad esso è associata una matrice:
ρnn0 = hn0 |ψihψ|ni
Dunque si hanno: ρ = |ψihψ| (stato puro) ; ρ = ΣPi |ψihψ| (miscela statistica).
La matrice densità gode delle seguenti proprietà:
• T r(ρ) = 1 poiché Σpi = 1
• ρnn > 0
• 0 ≤ ρnn ≤ 1
• per uno stato puro: T r(ρ2 ) = T r(ρ) ovvero ρ2 = ρ
• per una miscela statistica: T r(ρ2 ) < T r(ρ)
La sovrapposizione viene definita coerente (è ancora uno stato puro) se vi sono,
all’interno della matrice densità, dei termini fuori dalla diagonale principale che
corrispondono alla presenza di una fase reciproca tra gli stati della sovrapposizione, altresı̀ si ha una miscela statistica. Nel caso di sovrapposizione coerente,
poiché stato puro, si ha un autovalore definito (”coerente”) per l’osservabile di
cui il sistema è autostato. Si consideri un sistema fisico costituito da due sottosistemi A e B; se lo stato totale che descrive il sistema è dato dal prodotto degli
stati dei due sottostistemi (|Ψi = |ψiA |ψiB ) viene definito separabile, mentre se
compare una somma o sottrazione di stati viene detto entagled. Si supponga di
voler misurare un’osservabile solo di A; essa sarà dunque definita come: A ⊗ IB
(dove IB è l’identità nel sottospazio del sistema B). Se lo stato è separabile allora ρAB = ρA ⊗ ρB , e dunque esiste un’operatore densità per lo stato di A:
tr(ρAB ) = tr(ρA ⊗ ρB ) = ρA tr(ρB ) = ρA . La misura del sottosistema A è ottenibile
dunque tramite la traccia parziale su B dell’operatore densità di AB.
1.2. IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
1.2.2
11
Cenni sulla teoria dell’informazione quantistica
Il principio di sovrapposizione ha ricadute sulla teoria dell’informazione. In particolare se un bit classico è assimilabile allo ”switchare” tra uno stato e un altro
(separati da una grande barriera di potenziale), un bit quantistico (qubit) ha la
possibilità di contenere informazione all’interno di una sovrapposizione coerente:
|Qi = α|0i + β|1i
da cui deriva la probabilità |α|2 di ottenere |0i e la probabilità |β|2 di ottenere
|1i. Si potrebbe pensare che l’indistingubilità degli stati in una sovrapposizione
tenda a declinare la possibilità di avere un’informazione ben definita, ma poiché
rappresentato da una sovrapposizione coerente, il qubit ha sempre un valore ben
definito per una base. É noto che i coefficienti α e β sono riconducibili, grazie alla
normalizzazione della somma delle probabilità, a una forma contenente le variabili
angolari:
θ
θ
|Qi = cos |0i + eiφ sin |1i
2
2
A tale forma corrisponde una sfera denominata sfera di Bloch, la quale esprime
la continuità dei valori assunti dalla sovrapposizione. Scaturisce dunque una domanda: quanta informazione contiene un qubit? La cui risposta è semplicemente
un’altra domanda: come si può quantificare qualcosa senza poterla misurare?
Figura 1.2: Sfera di Bloch
Si conclude elencando, per completezza, alcune delle proprietà (dimostrabili) di
cui gode il qubit:
• Il qubit non può essere convertito in bit classici
• Il qubit non può essere clonato o eliminato
• Il qubit può essere teletrasportato (argomento della presente trattazione)
12
1.3
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MQ E PARADOSSO EPR
Il Paradosso EPR e il realismo locale
Si consideri il decadimento di una particella con spin nullo (e.g. π 0 ). Definendo
l’origine del sistema di riferimento coincidente con essa si avrà l’emissione dei
prodotti del decadimento in direzioni opposte. Per la conservazione del momento
angolare gli spin di questi ultimi saranno opposti in verso. Scegliendo un asse per
la misura di tale momento (ẑ), lo stato di spin del sistema sarà descritto dalla
configurazione di singoletto:
1
|Ψi = √ (| ↑i1 | ↓i2 − | ↓i1 | ↑i2 )
2
(1.2)
Il principio di sovrapposizione permette di definire lo stato totale come combinazione dei vettori di una base, in questo caso quella determinata dalle due combinazioni
di spin antiparalleli per le particelle 1 e 2. Tale stato viene denominato entangled
e una misura su una delle due particelle influenza istantaneamente il risultato di
una eventuale misura sull’altra. Infatti, essendo l’atto della misura rappresentato
dall’azione di un operatore, l’effetto della prima misurazione sarà quello di ottenere uno dei due stati | ↑i1 | ↓i2 o | ↓i1 | ↑i2 (P = 50%) e una eventuale seconda
misura avrà una probabilità del 100% di ottenere lo spin antiparallelo al primo.
Generalizzando si può affermare che: dato un sistema quantistico costituito da
due particelle dove né posizione né momento sono ben definiti, mentre lo sono la
somma delle posizioni (centro di massa) e differenza dei momenti (singoli momenti nel c.m.), una misura della posizione o momento della particella 1 implica la
conoscenza precisa della posizione o momento della particella 2 (a una distanza
arbitraria) senza interagire con essa.
Il paradosso EPR, il quale prende il nome dai fisici Einstein, Podolsky e Rosen, si
pone in antitesi a tale risultato evidenziando che una teoria fisica completa deve
rispettare il realismo locale. Questo significa che l’azione sulla particella 1 non
può influenzare istantaneamente la particella 2 senza limiti spaziali. Si precisa che
tale paradosso non mette in discussione la validità della Meccanica Quantistica
ma piuttosto la sua completezza. Al fine di rimuovere la sua indeterminazione,
la meccanica dei quanti viene inserita all’interno della classe di teorie denominate
teorie locali a variabili nascoste. Secondo tale interpretazione una misura risulta
essere deterministica per natura ma si presenta con caratteri probabilistici poiché
alcuni gradi di libertà non sono noti precisamente. Infatti se un sistema fisico in
cui vengono misurati gli spin lungo ẑ è in realtà parametrizzato da (ẑ,λ), allora
se λ è nota il risultato sarà deterministico altresı̀ si otterrà una distribuzione di
probabilità consistente con le predizioni della meccanica quantistica. Le teorie a
variabili nascoste sono oltretutto locali perché la misura sulla particella 1 non modifica i valori delle variabili che governano le misure della 2 ma acquista informazioni
esclusivamente circa le variabili nascoste che permettono di predire il risultato su 2.
1.3. IL PARADOSSO EPR E IL REALISMO LOCALE
1.3.1
13
La disuguaglianza di Bell
Nel suo articolo del 1964 ”On the Einstein Podolsky Rosen paradox”, il fisico John
Stewart Bell propose il suo omonimo teorema: nessuna teoria locale a variabili nascoste può riprodurre tutte le predizioni della Meccanica Quantistica. Tale teorema
si fonda sulla violazione della disuguaglianza di Bell di cui segue una illustrazione
sintetica ed intuitiva che non sfrutta la teoria dell’entanglement o il formalismo
matematico necessario, i quali saranno propri del capitolo successivo (2.2).
Si considerino 2 individui (Alice e Bob), i quali possiedono 3 monete identiche
ciascuno. Alice si trova a Cagliari e Bob a Losanna; entrambi vogliono studiare la
correlazione tra i risultati delle misure eseguite su sistemi fisici (i set di monete)
posti in luoghi distanti. Ognuna delle monete ha il lato testa e croce e una etichetta che la identifica, in totale si hanno: monete 1, 2 e 3 di Alice e monete 1, 2
e 3 di Bob. Tutte le monete sono coperte da singole cover opache che impediscono
di vedere le stesse; inoltre Alice o Bob possono scoprire una sola delle 3 monete.
Realizzate molte copie identiche dei set di monete, l’esperimento ha inizio: Alice
scopre una moneta, le restanti spariscono istantaneamente, Bob scopre la moneta
con la medesima etichetta e succede altrettanto. Ripetono l’esperimento milioni
di volte e il risultato è sempre il medesimo: qualsiasi sia il valore della moneta
(Testa/Croce) ottenuto da Alice, Bob ottiene sempre il medesimo risultato di Alice. Pensando di aver scoperto una correlazione importante tra i set di monete i
due si dirigono da J. Bell per una spiegazione: quando un set di monete correlato
viene preparato il valore delle variabili nascoste non è completamente specificato,
ma esiste una distribuzione di probabilità P (x, y, z) con x, y, z ∈ [T, C] e vale:
ΣP (x, y, z) = 1
(1.3)
I due possono sapere con certezza solo se due delle monete hanno il medesimo
valore, si delineano cosı̀ i seguenti casi:
Puguali (1, 2) = P (CCC) + P (CCT ) + P (T T C) + P (T T T )
Puguali (2, 3) = P (CCC) + P (T CC) + P (CT T ) + P (T T T )
Puguali (1, 3) = P (CCC) + P (CT C) + P (T CT ) + P (T T T )
(1.4)
Sfruttando la 1.3 e 1.4 si ottiene:
Puguali (1, 2) + Puguali (2, 3) + Puguali (1, 3) = 1 + 2P (CCC) + 2P (T T T ) ≥ 1 (1.5)
I due sperimentatori ottengono con una eccellente accuratezza che:
P (1, 2) ' P (2, 3) ' P (1, 3) ' 1/4
Da cui segue la violazione della disuguaglianza 1.5:
Puguali (1, 2) + Puguali (2, 3) + Puguali (1, 3) ' 3 ·
1
<1
4
14
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MQ E PARADOSSO EPR
Capitolo 2
Entanglement Quantistico
Nel capitolo precedente si è visto come alcuni sistemi fisici mostrano diversi caratteri della Meccanica Quantistica, in particolare il principio di sovrapposizione
(esperimento delle due fenditure) e il non realismo-locale (paradosso EPR e disuguaglianza di Bell). Tramite i postulati si è potuto esprimere matematicamente
lo stato di tali sistemi, facendo riferimento in alcuni casi agli stati entangled. Nel
presente capitolo si darà una spiegazione più accurata di tale aggettivo, con la
definizione di entanglement, la sua quantificazione, esempi e sorgenti fisiche di tale
fenomeno.
2.1
La definizione
L’entanglement è un fenomeno fisico che si presenta nel momento in cui coppie o
gruppi di particelle sono create o interagiscono in modo tale che lo stato quantico
del sistema non è esprimibile come il prodotto degli stati delle singole particelle.
Ne consegue che ciascuna di esse non godrà di una descrizione matematica-fisica
indipendente dalle altre, ovvero svanirà l’individualità delle particelle a favore di un
insieme inseparabile. Nel formalismo matematico uno stato entangled si presenta
nel seguente modo; generalizzando lo stato 1.2:
1
|Ψi = √ (α|0i1 |1i2 + eiχ β|1i1 |0i2
2
(2.1)
dove la fase χ è determinata dalle proprietà interne della sorgente e può essere
assunta pari a 0 a scopo illustrativo. Poiché ogni stato composito (se separabile)
è esprimibile come somma o prodotto degli stati costituenti, è possibile affermare
che uno stato è entangled quando si ha la somma del prodotto di stati in cui gli
addendi sono diversi. Se α = β = 1 lo stato è detto massimamente in entanglement
(vedi sezione 2.3).
15
16
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
2.1.1
Stato entangled come stato puro
Si consideri la configurazione di singoletto espressa dallo stato 1.2. Come è noto
il sistema fisico si trova nell’autostato dell’operatore spin il cui autovalore è pari a
zero. Poiché la misura dello spin di tutto il sistema non ha esiti aleatori, si deduce
che lo stato entangled di singoletto è uno stato puro. Ne consegue che l’operatore
densità è cosı̀ definito: ρ = |ψihψ|, e dunque:
ρ2AB = (|ψihψ|)(|ψihψ|) = |ψihψ| = ρAB → T r(ρ2 ) = T r(ρ)
(2.2)
Come è noto dalla sezione 1.2.1 l’operatore densità del sottosistema A è dato dalla
traccia parziale su B dell’operatore densità AB ovvero:
ρA = trB (ρAB )
Si dimostra che per uno stato entangled essa è pari vale (vedi ”trasferimento
subluminale d’informazione”):
ρA = I/2
Il medesimo risultato è raggiungibile per una miscela statistica dei medesimi stati
che compongono lo stato entangled. Questo implica che dal punto di vista EPR
la probabilità delle misure in Meccanica Quantistica è insita nella miscela che descrive lo stato e non nella natura stessa, ma ciò è negato dalla trattazione di John
Bell (sezione 2.2.1). Più concretamente questo implica che in uno stato entangled, gli esiti stocastici di misure sul sistema non sono dovuti all’ignoranza dello
sperimentatore sullo stato reale del sistema, ma sono dovuti al fatto che si sta
misurando un’osservabile non compatibile con quella della quale il sistema si trova
in un autostato e dunque la stocasticità è insita nella natura stessa.
Cenni sulla decoerenza:
• Lo stato totale del sistema non è più entanlged (sovrapposizione coerente) e
dunque puro quando subentra la decoerenza
• In uno stato entangled, poiché puro, si ”perde” la coerenza dei due sottosistemi singoli che lo compongono, i.e. non è possibile misurare la fase reciproca
dei sottostati (vedi capitolo 4)
2.2. LE PROPRIETÀ DI UNO STATO ENTAGLED
2.2
17
Le proprietà di uno stato entagled
La formulazione matematica di uno stato entangled permette di evidenziare alcune
delle sue proprietà fisiche fondamentali.
1
|Ψi12 = √ (|0i1 |1i2 + |1i1 |0i2
2
(2.3)
Dalla trattazione sull’esperimento delle due fenditure (sezione 1.2) è noto che il
principio di sovrapposizione può essere interpretato come assenza di conoscenza
circa lo stato occupato dal sistema tra le possibilità date dagli stati che compongono tale sovrapposizione. In particolare il qubit 1 può avere valore 1 o 0 e in
egual modo il qubit 2 può avere come valore 0 o 1; solo una misurazione produce
valori ben definiti per i due qubits. Risulta evidente che tale indistinguibilità è una
proprietà delle basi di uno stato entangled ed è inoltre alla base della produzione
di esso, la cui trattazione seguirà nella sezione 2.4.
É inoltre interessante notare che nessuno dei due qubits possiede un valore definito, difatti se un sottosistema è soggetto a un’azione di misura il risultato ottenuto
sarà assolutamente random e il sottosistema correlato avrà un valore opposto.
La presente proprietà di correlazione è del tutto indipendente dalla locazione delle
due particelle coinvolte e dunque rappresenta una violazione del realismo locale;
inoltre l’essenza di tale violazione è che non vi è nessuna possibilità di spiegare la
correlazione tra le due parti sulla base i proprietà locali dei qubits singoli. I due
qubits sono più che correlati, sono una entità inseparabile. Sono entangled.
2.2.1
Paradosso EPR e disuguaglianza di Bell: Formalismo
Data la violazione del realismo locale (proprio del paradosso EPR) sembra opportuno rivisitare in chiave più formale la disuguaglianza che permette di escludere
la presenza di variabili nascoste. In particolare si formalizzeranno le risposte a tre
domande: [1] perché il concetto di variabile nascosta esplica il carattere aleatorio
delle misure in MQ? [2] Come viene violata la disuguaglianza di Bell in un esperimento di MQ? [3] L’informazione viaggia più veloce della luce?
Si considerino due particelle di spin semintero prodotte simultaneamente in uno
stato di singoletto. Indicando con σ1 e σ2 le due componenti dello spin selezionate
si avrà che a una misura σ1 · a = +1 sarà correlata σ2 · a = −1 e vice versa se a è
il versore della misura. S’introduca il parametro continuo λ e tale per cui sia una
misura lungo a sia lungo b possa essere parametrizzata da esso in modo tale che
la misura B non influenzi quella in A.
18
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Variabile nascosta e misure in MQ
Supponendo che la particella con spin 1/2 abbia polarizzazione lungo p e la variabile nascosta abbia una distribuzione di probabilità uniforme sulla semisfera
λ · p > 0, il valore della misura dello spin potrà essere:
sgnλ · a0
dove a0 è un vettore unitario dipendente da a e p. Mentre il valore di aspettazione
di una misura di spin sarà:
hσ · ai = 1 − 2θ0 /π
(2.4)
dove θ0 è l’angolo tra a0 e p. Ipotizzando che a0 sia ottenuto da a per rotazione
nella direzione di p sino:
2θ0
= cosθ
1−
π
dove θ è l’angolo tra a e p. Si ottiene dunque che:
hσ · ai = cosθ
(2.5)
Da cui risulta evidente che la misura è determinata da una variabile extra con caratteri statistici (poiché ignota) che soddisfano le necessità stocastiche delle misure
in Meccanica Quantistica.
Violazione della disuguaglianza
Nel 1964 J. Bell propose una generalizzazione dell’esperimento EPR considerando
rivelatori di spin mobili per angoli arbitrari e indipendenti. Si consideri una particella avente spin nullo che decade; i prodotti del decadimento saranno descritti
da una configurazione di singoletto e ne saranno misurati gli spin lungo direzioni
arbitrarie sui due rivelatori distanti. Dati i vettori di misura a e b si ha che il valor
medio del prodotto degli spin è:
P (a, b) = −a · b
La presente dimostrazione verte sulla impossibilità di ottenere un tale risultato per
qualsiasi teoria (locale) a variabile nascosta. Si supponga dunque che le misure
sulle due particelle siano scorrelate (teoria locale) ma dipendenti dalla variabile
nascosta λ. Esistono di conseguenza due funzioni A(a, λ) e B(b, λ) che esprimono
il risultato della misura rispettivamente della particella 1 e particella 2 e dunque
hanno valore pari a ±1. Per rivelatori allineati si ha:
A(a, λ) = −B(b, λ)
(2.6)
2.2. LE PROPRIETÀ DI UNO STATO ENTAGLED
19
Si denoti con ρ(λ) la funzione di densità di probabilità della variabile nascosta;
allora segue che:
Z
P (a, b) = ρ(λ)A(a, λ)B(b, λ)dλ
Per la 2.6 essa diventa:
Z
P (a, b) = −
ρ(λ)A(a, λ)A(b, λ)dλ
(2.7)
Introducento un versore arbitrario c, si ha:
Z
P (a, b) − P (a, c) = − ρ(λ)[A(a, λ)A(b, λ) − A(a, λ)A(c, λ)]dλ
Ma |A(b, λ)|2 = 1 e quindi:
Z
P (a, b) − P (a, c) = −
ρ(λ)[1 − A(b, λ)A(c, λ)]A(a, λ)A(b, λ)dλ
(2.8)
Poiché valgono:
A(a, λ) = ±1; A(b, λ) = ±1; A(c, λ) = ±1
allora:
−1 ≤ A(a, λ)A(b, λ) ≤ 1
ρ(λ)[1 − A(b, λ)A(c, λ)] ≥ 0
(2.9)
Calcolando il modulo della 2.8 e usando la 2.9:
Z
|P (a, b) − P (a, c)| ≤ ρ(λ)[1 − A(b, λ)A(c, λ)]dλ
ovvero:
|P (a, b) − P (a, c)| ≤ 1 + P (b, c)
(2.10)
Nota come disuguaglianza di Bell. L’incompatibilità con le predizioni della Meccanica Quantistica è evidente con un esempio. Se a e b formano un angolo di π/2
e c è posto a π/4 rispetto a entrambi si ha:
P (a, b) = 0; P (a, c) = P (b, c) ' −0.7
e la 2.10 è violata poiché: 0.7 1 − 0.7. La violazione della disuguaglianza di Bell
comporta la negazione di due assunzioni implicite dell’esperimento: conoscendo
la variabile nascosta è possibile predire con certezza il risultato di ogni misura
(realismo), la misura in un luogo non influenza in alcun modo quella in un altro
”lontano” (località). Si conferma dunque la completezza della MQ, l’impossibilità
di descrivere le sue predizioni con carattere stocastico mediante variabili nascoste
e la non località delle conseguenze dei processi di misura.
20
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Trasferimento subluminale d’informazione
299’792’458 m/s è il valore della velocità della luce e rappresenta una delle costanti
fondamentali della fisica: c. Dal diagramma di Minkowski della relatività ristretta
è noto che la coordinata spaziale e quella temporale sono strettamente dipendenti;
in particolare nel diagramma (x, ct) tale legame è evidenziato proprio dal limite
di propagazione dei segnali luminosi (c). Il presente limite coincide con quello
del trasferimento d’informazione e in tale diagramma è rappresentato dalle due
bisettrici dei quadranti, difatti nessuna particella avente massa può raggiungere la
velocità della luce a causa del fattore lorentziano. Si delineano cosı̀ delle regioni
dell’universo che non hanno legami tra loro, infatti se si considera un evento nell’origine gli unici eventi ad esso correlati sono quelli situati nell’ipercono superiore
(futuro assoluto di 0) e quello inferiore (passato assoluto di 0).
Figura 2.1: Diagramma di Minkowski
Risulta evidente il contrasto tra la relatività ristretta e la teoria dell’entanglement
poiché se una impone trasferimenti d’informazione subluminali, l’altra afferma che
è possibile conoscere il valore di una variabile entangled (e.g. spin) di una particella
a distanza arbitraria conoscendo il risultato della misura sulla particella correlata.
Tale contrasto non è solo di natura fisica ma anche di natura logica.
2.2. LE PROPRIETÀ DI UNO STATO ENTAGLED
21
Si consideri un segnale che viaggia lungo x a velocità u e due eventi (A e B):
xB − xA = u(tB − tA )
(2.11)
B si verifica dopo A: ∆t = tB − tA > 0. Nel sistema K 0 in moto rispetto a K con
velocità v:
h
i
v
∆t0 = t0B − t0A = γ (tB − tA ) − 2 (xB − xA )
c
Sostituendo la 2.11:
h
i
vu
0
∆t = γ (tB − tA ) − 2 (tB − tA )
c
Dunque:
h
vu i
∆t0 = γ 1 − 2 ∆t
c
Da cui segue che se u fosse maggiore di c esisterebbe un sistema inerziale in cui
l’effetto precede la causa. Pur non dimostrando l’inesistenza di particelle con velocità superluminale (non è possibile viaggiare a velocità pari a c) è necessario
concludere che, per mantenere valida la causalità, l’informazione deve viaggiare a
una velocità massima pari a c.
La proprietà dell’entanglement secondo cui è possibile dedurre informazioni circa la particella 1 (per esempio in uno stato di singoletto) misurando lo stato della
2, suggerisce un meccanismo superluminale d’informazione. Tale affermazione non
è esatta poiché trascura un aspetto fondamentale della misura: la scelta della base. Al fine di spiegare il teorema di non-comunicazione il quale implica che due
osservatori macroscopici non possano sfruttare l’entanglement quantistico per trasmettersi informazioni in modo istantaneo (cioè a velocità maggiore di quella della
luce), si sfrutta il banale esempio che segue. Si considerino Alice e Bob, la prima ha
i suoi qubits sulla Terra e il secondo nella costellazione di Andromeda. Alice vuole
inviare dell’informazione a Bob e può decidere di misurare lo spin lungo x oppure
lungo z; ne consegue che per Bob vi saranno due insiemi equamente probabili per i
suoi qubits: [| ↑z iA , | ↓z iA ] e [| ↑z iA , | ↓z iA ]. Poiché non vi è alcun modo per Bob di
distinguere tra i due insiemi quello corretto, non vi è alcun modo per Alice di comunicare il messaggio. Al fine di evidenziare ciò si considerino i due seguenti casi. Si
supponga che vi siano molte copie dei qubits e che Alice chiami Bob per riferirgli l’esito delle misure, senza accennare alcun informazione sulla base considerata; allora
Bob, se misura sul medesimo asse, avrà una coincidenza perfetta delle misure, viceversa otterrà una compatibilità del 50 %. Quest’ultima affermazione è vera poiché
in un asse ortogonale non si ha correlazione e, essendo 2 i possibili risultati della
misura, la probabilità del singolo è pari a 1/2. Ne consegue che se la statistica è affidabile Bob riesce a dedurre la base corretta e quindi ricevere il messaggio; il metodo
però sottintende un passaggio d’informazione subluminale circa l’esito delle misure.
22
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Dal punto di vista matematico il paradosso è risolvibile secondo quanto segue.
Si consideri il seguente stato entangled:
1
|Ψi = √ (|0iA |0iB + |1iA |1iB )
2
L’operatore densità del sistema AB è:
ρAB =
|00ih00| + |00ih11| + |11ih00| + |11ih11|
|0i|0i + |1i|1i h0|h0| + h1|h1|
√
√
=
2
2
2
Da esso si ricava l’operatore densità per il sottosistema A:
ρA = trB (ρAB ) =
|0ih0|h0|0i + |0ih1|h0|1i + |1ih0|h1|0i + |1ih1|h1|1i
2
Ma poiché gli stati sono normalizzati ed ortogonali:
|0ih0| + |1ih1|
1 1 0
I
ρA =
=
=
2
2 0 1
2
(2.12)
Tale operatore esprime l’ignoranza di Alice sull’azione di Bob, infatti pur essendo
preparato in uno stato puro il sistema originale appare ad Alice come una mistura
di |0iA e |1iA (50:50) e l’azione di Bob non può cambiare nulla sulla sua conoscenza
di esso, a meno che le invii informazioni circa la sua azione tramite un canale
di comunicazione classico (a velocità subluminali). Si dimostra che il medesimo
risultato vale anche per ρB .
2.3. LA QUANTIFICAZIONE DELL’ENTANGLEMENT
2.3
23
La quantificazione dell’Entanglement
Nella Meccanica Quantistica Statistica l’entropia di Von Neumann, essendo un’estensione quantistica dell’entropia di Gibbs e Shannon, è definita come:
S = −tr(ρlnρ)
(2.13)
Dato un sistema descritto dall’operatore densità ρ essa esprime la sua differenza
da uno stato puro la cui entropia è nulla. Essa gode di diverse proprietà che
permettono di quantificare l’informazione quantistica e classica di un insieme di
stati e l’entanglement di una sovrapposizione coerente.
• Stati puri. Uno stato puro ρ = |ψihψ| ha S(ρ) = 0
• Miscele statistiche. Uno stato massimamente in miscela statistica (ovvero
tutti gli stati hanno probabilità uguale) possiede il massimo dell’entropia:
S = lnN ; dove N è la dimensione dello spazio di Hilbert corrispondente.
• Invarianza unitaria. L’entropia è invariante per trasformazioni unitarie di
base poiché S(ρ) dipende solo dagli autovalori di ρ: S(U ρU −1 ) = S(ρ)
• Concavità. L’entropia è maggiore se siamo più ignoranti circa la preparazione del sistema, come conseguenza della convessità della funzione logaritmo.
• Stati biparte puri. Se uno stato composto da A e B, e descritto da ρAB è
puro allora: S(A) = S(B)
Si consideri lo stato di tripletto 2.3. Se il sistema composto è in questo stato, è
impossibile attribuire o al sottosistema A o al sottosistema B uno stato puro definito. In altri termini mentre l’entropia di tutto il sistema è zero (come dev’essere
per uno stato puro), l’entropia dei sottosistemi è maggiore di zero.
2.3.1
Esempio: stati di Bell
Se è possibile quantificare l’entanglement, allora quando esso è massimo? Gli
stati massimamente entagled sono caratterizzati dalla massima incertezza sulla
preparazione del sistema e dunque tutti gli stati della sovrapposizione hanno la
medesima probabilità. Come visto nella 2.12, in tal caso l’operatore densità di un
sottosistema è multiplo semintero della matrice identità ovvero è massimamente
in miscela statistica. Gli stati Bell sono un esempio di massimo entanglement e
formano una base nello spazio di Hilbert:
|0iA |0iB − |1iA |1iB
|0iA |0iB + |1iA |1iB
√
√
; |Φ− i =
2
2
|0iA |1iB + |1iA |0iB
|0iA |1iB − |1iA |0iB
√
√
|Ψ+ i =
; |Ψ− i =
2
2
|Φ+ i =
24
2.4
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Le realizzazioni sperimentali di Entanglement
tra particelle
I sistemi fisici che sfruttano stati entangled sono accomunati dall’isolamento dall’ambiente e dalla massimizzazione dell’entanglement. Tre diversi esperimenti sono
riusciti ad ottenere le condizioni quantiche necessarie e hanno avuto ripercussioni
nei campi inerenti l’informazione quantistica. Essi si basano sull’elettrodinamica
delle cavità quantiche (QED in cavità), trappole di ioni e risonanza magnetica
nucleare (NMR). Nel primo caso si ha l’interazione tra la luce confinata in una
cavità riflettente e atomi, in particolare è di rilievo l’utilizzo di circuiti a RF con
superconduttori i quali vengono usati per generare dei chip a risonatori a microonde che confinano i singoli fotoni e gli permettono di interagire con dei quantum
dot. Nel secondo caso vengono catturati degli ioni mediante un potenziale attrattivo che poi cambia segno in modo alternato e possono interagire generando stati
entangled sui gradi di libertà vibrazionali e di eccitazione elettronica. Nel terzo
caso le transizioni tra i livelli Zeeman (iperfine) di un nucleo immerso in un campo
magnetico permettono di ottenere informazioni circa l’isospin del nucleo atomico
che diventa una buona sorgente di qubits. Ad oggi però l’ottica quantistica si è
rivelata la più soddisfacente per qualità di entanglement prodotto ed esistono due
classi in cui può essere stabilito l’entanglement: tra fotoni singoli oppure tra due
polarizzazioni ortogonali di un raggio di luce.
2.4.1
Conversione parametrica spontanea
L’ottica non lineare è una parte dell’elettrodinamica classica che studia campi
elettrici forti (generati ad esempio da laser) che scatterano anelasticamente in
diversi modi. Questo significa che l’interazione con il materiale non cambia solo la
direzione ma anche la frequenza della luce. L’aggettivo ”non lineare” denota che il
vettore polarizzazione P è legato al vettore del campo elettrico E da una relazione
non lineare; difatti considerando lo sviluppo della suscettività del materiale si
ottiene l’ordine più basso del processo non lineare (il pedice indica la componente
i-esima):
(1)
(2)
(3)
Pi = χij Ej + χijk Ej Ek + χijkl Ej Ek El + ...
Al fine di osservare interazioni non lineari all’interno di un volume d’interazione
grande rispetto alle lunghezze d’onda coinvolte, è necessario considerare i contributi di tutto il volume. L’interferenza tra i contributi genera delle relazioni di fase
tra i diversi vettori d’onda associati ai campi elettromagnetici. I processi basati
sull’interazione del campo con l’atomo possono essere sia stimolati sia spontanei.
Un caso particolare di quest’ultimo è dato dalla conversione parametrica spontanea, la quale è un processo non lineare che coinvolge χ(2) e in cui un solo campo è
2.4. LE REALIZZAZIONI SPERIMENTALI DI ENTANGLEMENT
25
inizialmente eccitato con una pulsazione ωp .
Ciò che fisicamente avviene è una suddivisione dei fotoni in coppie, in accordo con
le leggi di conservazione dell’energia e momento le quali determinano delle relazioni
di fase tra i fotoni nel dominio delle frequenze. In particolare se i fotoni generati
avranno pulsazioni ω1 e ω2 allora:
ω1 + ω2 = ωp
da cui segue:
k1 + k2 = kp
dove k è il vettore d’onda. Se i fotoni hanno la medesima polarizzazione le relazioni
di fase e la conversione vengono denominate di Tipo-1, viceversa se ortogonali si
definiscono di Tipo-2. Tale processo è stimolato dalle fluttuazioni del vuoto, perciò
ne consegue che i fotoni sono generati in istanti random. L’efficienza di conversione
è molto bassa (1 paio ogni 1000 fotoni incidenti) ed è stimabile tramite il modulo
delle componenti di χ(2) .
2.4.2
Autostati del momento in entanglement
L’entanglement in questione è indotto dalle relazioni di fase che governano l’emissione di differenti lunghezze d’onda in differenti direzioni. Si consideri un’apertura
A (vedi figura); sono selezionati due modi (direzioni) dalla conversione parametrica. La selezione per ogni coppia prevede: un fotone di colore a (pulsazione
maggiore della metà di quella di pompaggio), un fotone di colore b (pulsazione
inferiore della metà di quella di pompaggio). Prima dello beamsplitter lo stato è:
1
|Ψi = √ [eiφb |ai1 |bi2 + eiφa |ai2 |bi1 ]
2
(2.14)
Il quale è uno stato entangled nonostante vi sia distinguibilità tra i modi. L’entanglement si manifesta realmente quando il modo a e il modo b si ricombinano
nel beamsplitter 50/50.
Figura 2.2: Schema dell’esperimento sull’entanglement di momento lineare basato sulla conversione parametrica
di Tipo-1
26
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Il beamsplitter trasforma un campo in ingresso (in) nel seguente modo:
1
|ini1 → √ [|outi3 + i|outi4 ]
2
1
|ini2 → √ [|outi4 + i|outi3 ]
2
(2.15)
E dunque lo stato prima dei rivelatori è:
1
|Ψi = [(eiφa − eiφb )|ai4 |bi3 + (eiφb − eiφa )|ai3 |bi4 +
2
i(eiφa + eiφb )|ai4 |bi4 + i(eiφa + eiφb )|ai3 |bi3 ]
(2.16)
Il modulo quadro delle ampiezze esprime la probabilità di coincidenza nelle rivelazioni tra i detector relativi ad a e b; essa varia cosinusoidalmente rispetto a
φ = φa − φb (ovvero la differenza di fase). Si noti che nel processo di conversione
parametrica non è conservata la fase ma solo la somma delle fasi nel modo a e
b, ed essa è pari a quella della raggio della sorgente. Quando φ = φa − φb = 0 è
possibile confermare la non località del processo tramite il 100% di correlazione
nelle misure binarie di momento.
2.4.3
Autostati di polarizzazione in entanglement
Si consideri una conversione parametrica spontanea con relazioni di fase di tipo-2.
Se è presente un angolo tra il raggio sorgente e l’asse ottico di conversione i fotoni
sono emessi lungo coni che non hanno un asse comune (vedi figura). Uno dei due
sarà polarizzato ordinariamente, viceversa l’altro; inoltre essi si intersecheranno
lungo due direzioni. Poiché nel tipo-2 i fotoni sono sempre polarizzati ortogonalmente, lungo le direzioni d’intersezione si avrà luce emessa non polarizzata e in
linea di principio non è possibile distinguere a quale cono appartenga un fotone.
Figura 2.3: Entanglement di polarizzazione tramite conversione parametrica di Tipo-2
2.5. ANALIZZATORE DI STATI DI BELL
27
Come visto nella sezione 2.2 l’indistinguibilità è una proprietà fondamentale
dei sottosistemi in entanglement e in questo caso non è esattamente verificata.
Le onde luminose che vibrano lungo la direzione dell’asse ottico ”vedono” un indice di rifrazione nS (indice di rifrazione straordinario) mentre quelle che invece
vibrano perpendicolarmente vedono nO (indice di rifrazione ordinario) tale che
nS 6= nO . Scaturisce dunque una differenza di velocità tra i fotoni che comporta
una distinguibilità temporale nella rilevazione. É comunque possibile eliminare la
differenza di cammino inserendo dei cristalli identici di metà spessore e ruotati di
π/2, ottenendo cosı̀ un vero entanglement di polarizzazione; esso è descritto da:
1
|Ψi = √ [|V i1 |Hi2 + eiφ |Hi1 |V i2 ]
2
(2.17)
dove H e V indicano rispettivamente polarizzazione orizzontale e verticale.
L’inserimento dei cristalli può portare inoltre a cambiare la fase tra le componenti
dello stato entangled. Questo permette di ottenere, inserendo una lamina quarto
d’onda in uno dei due raggi, altri due stati di Bell:
1
|Φ± i = √ [|V i1 |V i2 ± |Hi1 |Hi2 ]
2
2.5
Analizzatore di stati di Bell
L’analisi di stati di Bell, necessaria nel teletrasporto quantistico, si basa sulla proiezione di uno stato sulla base costituita dagli stati di Bell; una ripetizione di tale
misura comporta la conoscenza della probabilità che lo stato iniziale possa essere
trovato in uno degli stati citati. Gli stati di Bell dipendono dal tipo di entanglement che li descrive e nel caso di entanglement di polarizzazione tra due fotoni solo
una proiezione su due stati di Bell è possibile, e questo comporta la degenerazione
nella rilevazione degli altri due. Tale analisi viene denominata Analisi parziale di
stati di Bell e si basa sull’osservazione di antisimmetricità per scambio di particelle
di uno dei quattro stati di Bell (|Ψ− i).
|0iA |0iB − |1iA |1iB
|0iA |0iB + |1iA |1iB
√
√
; |Φ− i =
2
2
|0iA |1iB + |1iA |0iB
|0iA |1iB − |1iA |0iB
√
√
|Ψ+ i =
; |Ψ− i =
2
2
|Φ+ i =
(2.18)
Gli stati di Bell esprimono gli stati interni delle particelle; per una descrizione
totale è necessario introdurre la parte spaziale. Nel caso di un esperimento che
sfrutta bosoni lo spinore dovrà essere simmetrico e dunque per lo stato |Ψ− i si
avrà una parte spaziale antisimmetrica e viceversa per gli altri tre.
28
CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO
Si considerino due fotoni in uno stato di Bell di polarizzazione (grado di libertà
interno); poiché bosoni sono descritti da uno spinore simmetrico. Si consideri ora
l’incidenza dei due su un beam-splitter (a e b sono i modi); i possibili stati spaziali
sono:
1
|ΨA i = √ (|ai1 |bi2 − |bi1 |ai2 )
2
1
|ΨS i = √ (|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 )
2
dove i pedici A e S indicano: antisimmetrica e simmetrica. Al fine di garantire la
simmetricità dello stato totale si ha:
|Ψ+ i|ΨS i, |Ψ− i|ΨA i, |Φ+ i|ΨS i, |Φ− i|ΨS i
Poiché l’azione dello beam-splitter è descritta dalla trasformazione di Hadamard,
il quale agisce solo sulla parte spaziale si ha:
1
H|ai = √ (|ci + |di)
2
1
H|bi = √ (|ci − |di)
2
si ha:
(2.19)
1
H|ΨA i = √ (|ci1 |di2 − |di1 |ci2 ) = |ΨA i
2
Dunque |ΨA i è autostato dell’operatore beam-splitter e questo non influenza lo
stato interno del sistema; ne consegue che è possibile individuare lo stato spazialmente antisimmetrico e di conseguenza lo stato di Bell |Ψ− i.
Poiché due stati ortogonali massimamente in entanglement possono essere distinti,
è possibile individuare lo stato di Bell |Ψ+ i tramite una misura della polarizzazione. In tal modo si è riusciti a distinguere due stati di Bell su quattro, raggiungendo
l’obbiettivo dell’analisi parziale di stati di Bell.
Capitolo 3
Teletrasporto Quantistico
Il primo capitolo ha visto l’introduzione dei concetti base della Meccanica Quantistica quali stati, misure e principio di sovrapposizione (interferenza). Nel secondo capitolo si è analizzato l’entanglement e dunque le sue proprietà, tra cui la
non-località, l’indistinguibilità degli stati costituenti, la sua massimizzazione con
esempi e la sua generazione (conversione parametrica). Il presente capitolo ha lo
scopo di introdurre, spiegare e mostrare la realizzazione pratica del teletrasporto quantistico, il quale unisce i concetti precedentemente citati per trasferire uno
stato quantico in un altro sistema in una locazione distante.
3.1
La visione classica e quantistica
Il termine teletrasporto indica nel linguaggio comune il trasferimento simultaneo
di un oggetto da un luogo a un altro senza compimento di alcun moto nello spazio.
Banalmente questo risulta impossibile ma scaturiscono a riguardo due concezioni.
La prima è caratterizzata da una visione classica che vede l’acquisizione d’informazioni circa un determinato oggetto (lasciandolo intatto) e l’utilizzo delle medesime per manipolare altra materia al fine di ottenere una copia dello stesso. Non
si sta dunque trasportando un oggetto ma lo si sta copiando, inoltre non è possibile attuare tale schema con velocità superluminali. Da un’analisi quantitativa
del problema si rivela che: per un oggetto di 50Kg vi sono 1028 atomi e per ciascuno sono necessari 100 bit al fine di determinarne il tipo e la posizione relativa.
Segue che l’informazione da acquisire è pari circa a 1030 bit, a cui corrisponde, se
si considera un processore da 10GHz, un tempo di circa 1020 s ' 3 · 1012 anni!
29
30
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
Figura 3.1: Teletrasporto come copia di un oggetto
Da un punto di vista quantistico è particolarmente rilevante notare ciò che
comporta una misura precisa delle posizioni atomiche. Sfruttando il principio di
indeterminazione di Heisenberg si ha:
∆p2
h2
h
=⇒ ∆E '
'
∆x
2m
2m∆x2
Considerando una massa dell’ordine di grandezza di quella del protone, una precisione nella distanza di circa un raggio atomico (atomo d’idrogeno), si ottiene:
∆p '
∆E '
(10−34 )2
J ' 3 · 10−20 J
3 × 10−27 (10−11 )2
Ad essa corrisponde una variazione di velocità casuale delle particelle che è relazionata alla variazione di temperatura del corpo:
2∆E
1
6 × 10−20
KB ∆T ' ∆E =⇒ ∆T '
'
' 4000K
2
KB
1.410−23 J/K
Se non è possibile ”teletrasportare” un oggetto è lecito pensare che possa essere
trasferito uno stato ”interno” e dunque quantistico. Ancora una volta si vuole acquisire informazioni circa un determinato sistema quantistico (lasciandolo intatto)
e utilizzare le medesime per manipolare altra materia al fine di ottenere una copia
dello stesso. Da un punto di vista quantistico è noto dal capitolo 1 che l’azione di
misura fa collassare il sistema in uno degli stati che lo compone cancellando cosı̀
lo stato iniziale, dunque non è possibile mantenere il sistema inalterato. Inoltre
la copia di uno stato quantico è negata dalla teorema di no-cloning citato nella
sezione 1.2.2, in particolare la fedeltà rirpoduttiva non può essere superiore a 5/6.
Sembra dunque impossibile la realizzazione del teletrasporto quantistico ma essa
è invece fisicamente ottenibile sfruttando la teoria dell’entanglement.
3.2. IL PROTOCOLLO DEL TELETRASPORTO QUANTISTICO
3.2
31
Il protocollo del teletrasporto quantistico
Lo schema di seguito presentato è stato proposto nel 1993 da C. H. Bennett, G.
Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres e W. K. Wootters. Alice possiede uno
stato da trasferire a Bob (1), condivide uno stato entangled con lui (particelle
2 e 3) e può trasmettere classicamente informazione, mentre Bob può effettuare
trasformazioni unitarie (U ) sullo stato 3.
Figura 3.2: Schema del protocollo del teletrasporto quantistico
Si supponga che Alice abbia una particella 1 in uno stato quantistico descritto da:
|Ψi1 = α|0i1 + β|1i1
(3.1)
dove |0i e |1i sono due stati ortogonali con ampiezze complesse α e β che soddisfano
la relazione |α|2 + |β|2 = 1. Alice vuole inviare il presente stato a Bob sfruttando
l’entanglement e un canale di comunicazione classico. I due condividono una coppia
EPR, ovvero una coppia di particelle (2 e 3) in uno stato entangled completamente
ignoto ad entrambi (Alice particella 2 e Bob particella 3); è possibile immaginare
tale fatto come se lo stato fosse preparato da un’altra persona, per cui i due non
hanno potuto effettuare azioni di misura su di esso. Lo stato delle particelle 2 e 3
si trova in uno dei quattro stati di Bell, per le considerazioni esposte nella sezione
2.5 si considera:
1
(3.2)
|Ψ− i23 = √ (|0i2 |1i3 − |1i2 |0i3 )
2
Essendo uno stato entangled se una particella è sottoposta a un’azione di misura,
esso ha la proprietà di proiettarsi su un determinato stato che è sovrapposizione
di |0i e |1i e le due particelle saranno istantaneamente identificate da due stati
ortogonali.
32
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
La 3.1 esprime dunque lo stato della particella 1 da trasferire e la 3.2 lo stato
entangled delle particelle 2 e 3 sfruttate per il teletrasporto quantistico. Si noti
che particelle 1 e 2 non sono in entanglement; è dunque possibile ricondurre lo
stato complessivo delle tre particelle (prodotto tra la 3.1 e la 3.2) nella base dei
quattro stati di Bell:
1
|Ψi123 = |ψi1 ⊗ |ψi23 = (α|0i1 + β|1i1 ) √ (|0i2 |1i3 − |1i2 |0i3 )
2
1
= (α|001i123 − α|010i123 + β|101i123 − β|110i123 )
2
(3.3)
Dai quattro stati di Bell (2.18) si ricava:
2
|Ψ+ i + |Ψ− i = √ |01i;
2
2
|Ψ+ i − |Ψ− i = √ |10i;
2
2
|Φ+ i + |Φ− i = √ |00i;
2
2
|Φ+ i − |Φ− i = √ |11i
2
Mediante le presenti sostituzioni la 3.3 diventa:
1
1
|Ψi123 = α(|Φ+ i12 + |Φ− i12 )|1i3 − α(|Ψ+ i12 + |Ψ− i12 )|0i3
2
2
1
1
+ β(|Ψ+ i12 − |Ψ− i12 )|1i3 − β(|Φ+ i12 − |Φ− i12 )|0i3
2
2
(3.4)
Raccogliendo gli stati relativi alle particelle 1 e 2 si ottiene:
1
|Ψi123 = [|Ψ− i12 (−α|0i3 − β|1i3 )
2
+|Ψ+ i12 (−α|0i3 + β|1i3 )
+|Φ− i12 (+α|1i3 + β|0i3 )
+|Φ+ i12 (+α|1i3 − β|0i3 )]
(3.5)
Dalla 3.5 consegue che una misura attuata da Alice sullo stato delle particelle 1
e 2 impone che la particella 3 (di Bob) si trovi in una delle quattro combinazioni
tra parentesi tonde. Tale combinazione è direttamente correlata a quella iniziale
che Alice vuole trasmettere (particella 1, formula 3.1).
3.2. IL PROTOCOLLO DEL TELETRASPORTO QUANTISTICO
33
La correlazione tra la sovrapposizione che descrive la particella 3 (di Bob) e lo
stato iniziale della particella 1 (di Alice) è data dalle matrici di Pauli; in particolare:
Alice misura |Ψ− i12 → Bob applica I(3)
(3)
Alice misura |Φ− i12 → Bob applica σx
(3)
Alice misura |Φ+ i12 → Bob applica σy
(3)
Alice misura |Ψ+ i12 → Bob applica σz
Si noti che i parametri α e β rimangono ignoti ad ambo gli sperimentatori; infatti
Alice tramite la proiezione sugli stati di Bell non acquisisce alcuna informazione
sullo stato della particella 1 e l’azione di Bob, come espresso dalla formula 2.12,
non amplia la conoscenza di Alice sullo stato iniziale della particella 1. Le trasformazioni unitarie applicate da Bob non permettono di conoscere i valori α e β, la
cui misura effettiva comporterebbe un disturbo del sistema.
Si noti inoltre che le azioni di misura e proiezione producono per la particella 1 una
perdita dello stato iniziale, questo fa sı̀ che il presente processo non stia copiando
lo stato ma lo stia puramente trasferendo, in accordo con il termine ”teletrasporto”. Risultano dunque garantite la validità del teorema di no-cloning e la non
conoscenza dello stato iniziale.
Sintesi del protocollo del teletrasporto quantistico
1. Alice vuole trasferire lo stato della particella 1 a Bob
2. Una terza persona prepara uno stato entangled per le particelle 2 e 3
3. Alice possiede la particella 2 e Bob la 3
4. Alice proietta lo stato delle particelle 1 e 2 su uno dei quattro stati di Bell
5. A ogni stato di Bell corrisponderà una combinazione correlata allo stato
della particella 1
6. Alice comunica lo stato di Bell della misura a Bob
7. Bob compie una trasformazione unitaria per ottenere esattamente lo stato
della particella 1
34
3.3
3.3.1
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
La realizzazione sperimentale e i risultati
Esperimento
La realizzazione sperimentale del teletrasporto quantistico, di cui segue la trattazione, è incentrata sul trasferimento di uno stato di polarizzazione di un singolo
fotone (1) su un altro (3). La base dell’esperimento è ancora una volta il fenomeno dell’entanglement la cui generazione e misura è attuata rispettivamente dalla
sorgente EPR e misuratore di stati di Bell (BSM).
L’apparato sperimentale di cui segue uno schema è costituito da: una sorgente
d’impulso UV (laser titanio-zaffiro), un cristallo non-lineare (sorgente EPR) per
generare i due fotoni in entanglement (2, 3), un vetro riflettente per formare altri
due fotoni (1, 4) tramite il cristallo, un beamsplitter (BS), un beamsplitter con
polarizzazione (PBS), due detector f 1 e f 2 per la coincidenza dei fotoni 1 e 2 e
individuazione dello stato di Bell |Ψ− i12 , due detector per l’analisi dello stato del
fotone 3 (d1 e d2) e un detector che ha la funzione di trigger (p).
Figura 3.3: Realizzazione sperimentale del Teletrasporto Quantistico
Si noti come la scelta dello stato di proiezione (|Ψ− i12 ) da parte di Alice comporti
l’applicazione della trasformazione unitaria da parte di Bob; ne consegue che lo
stato della particella 3 sarà esattamente uguale a quello della particella 1.
3.3. LA REALIZZAZIONE SPERIMENTALE E I RISULTATI
35
L’esperimento procede nel seguente modo. Il laser genera un impulso lungo
200fs; quest’ultimo passa all’interno del cristallo e per conversione parametrica
genera due fotoni (2 e 3) in entanglement. L’impulso viene riflesso e ripassando
all’interno del cristallo genera un’altra coppia di fotoni (1 e 4). Il fotone 4 diretto
verso il detector p serve ad indicare il passaggio del fotone 1. Il fotone 1 passa all’interno di un polarizzatore che ne determina lo stato iniziale, dopodiché viene diretto
nel beamsplitter insieme al fotone 2. In tale frangente avviene, poiché l’azione del
beamsplitter sulla parte spaziale dello spinore 12 è descritta dalla trasformazione di
Hadamard (2.19), l’individuazione dello stato di Bell |Ψ− i12 . Condizione necessaria
perché questo avvenga è l’indistinguibilità dei due fotoni. La loro generazione risulta completamente indipendente per cui i tempi di arrivo al BS sono diversi; al fine di
eliminare tale distinzione si sfrutta un ritardo variabile, ottenuto traslando lo specchio riflettente, che massimizza la sovrapposizione tra i due pacchetti d’onda alla rilevazione. Poiché la lunghezza di coerenza del pacchetto è dell’ordine dei 50fs (una
risoluzione temporale di tale ordine porta alla distinguibilità) è necessario introdurre dei filtri d’interferenza da 4nm di spessore di fronte ai detector che comportano
una durata temporale del pacchetto di 500nm. Tale accorgimento permette di ottenere una indistinguibilità del 85% tra i fotoni 1 e 2. La sperimentazione procede con
la ricerca della coincidenza tra le rilevazioni dei detector f e d la quale rappresenta
ciò che nella teoria era il passaggio d’informazione classico tra Alice e Bob.
Sintesi dell’esperimento
1. Il laser titanio-zaffiro produce un impulso di 200 fs
2. L’impulso passa nel cristallo e genera due fotoni (2 e 3)
3. L’impulso viene riflesso da uno specchio posto a distanza variabile
4. L’impulso ripassa nel cristallo generando altri due fotoni (1 e 4)
5. Il fotone 1 passa attraverso un polarizzatore a 45◦
(evento triggerato dal fotone 4 tramite il detector p)
6. I fotoni 1 e 2 (non in entanglement) arrivano nel BS e fanno registrare la
coincidenza nei detector f 1 e f 2
7. Il fotone 3 è diretto verso il BS con polarizzazione e si registra la coincidenza
nel detector d2 e assenza di segnale nel d1
8. Il fotone 3 possiede esattamente la stessa polarizzazione del fotone 1 poiché
al punto 6 si sfrutta lo stato di Bell |Ψ− i12
36
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
3.3.2
Risultati sperimentali
I risultati sperimentali sono validi solo se confrontati con gli opportuni parametri
iniziali dell’esperimento. A tal proposito si sottolinea che lo stato del fotone 1 è
caratterizzato da una polarizzazione a +45◦ . Come già precisato la coincidenza tra
i fotoni 1 e 2 permette di ottenere, tramite il BS, lo stato |Ψ− i12 , ne consegue che
il fotone 3 debba avere esattamente una polarizzazione di 45◦ . Quest’ultima viene
analizzata mediante un beamsplitter che seleziona le due polarizzazioni ±45◦ . Al
fine di dimostrare l’effettivo avvenimento del teletrasporto occorre rilevare il fotone 3 attraverso il detector d2 a cui corrisponde la polarizzazione a 45◦ e assenza
di rilevamento nel d1 (polarizzazione a −45◦ ). In sintesi la triplice rilevazione e
coincidenza in d2, f 1 e f 2 e l’assenza di coincidenza in d1, f 1 e f 2 è la prova del
trasferimento della polarizzazione del fotone 1 al fotone 3.
La condizione di indistinguibilità dei fotoni 1 e 2 è data dalla variazione della posizione dello specchio riflettente, la quale genera una variazione temporale
dell’intervallo che intercorre tra le due conversioni parametriche. Tale fatto determina due regioni: una dove vi è la sovrapposizione temporale e si verifica il
teletrasporto, l’altra in cui non vi è sovrapposizione dei pacchetti e il fenomeno
non avviene. Poiché il beamsplitter evidenzia solo lo stato di Bell |Ψ− i12 (perché il
fotone è un bosone, lo spinore è simmetrico e la parte spaziale |ΨA i è suo autostato
- vedi pagina 28), allora la coincidenza tra i detector f 1 e f 2 ha una probabilità
del 25% (1 stato su 4) all’interno della regione del teletrasporto. Al di fuori di tale
regione i fotoni arrivano indipendentemente e la probabilità di coincidenza è del
50%. I fotoni 2 e 3 appartengono a uno stato entangled, dunque non hanno una
polarizzazione definita; ne consegue che la rilevazione nel detector d1 o d2 ha una
probabilità del 50%. Il prodotto delle probabilità di coincidenza tra i tre detector
al di fuori della regione dà come risultato 25%.
In sintesi si ha:
• una probabilità del 25% di coincidenza tra d2, f 1 e f 2 all’interno della regione
del teletrasporto;
• una probabilità del 25% di coincidenza tra (d2, f 1 e f 2) al di fuori della
regione del teletrasporto (vale anche per d1, f 1 e f 2)
• una probabilità dello 0% di coincidenza tra d1, f 1 e f 2 all’interno della
regione del teletrasporto
3.3. LA REALIZZAZIONE SPERIMENTALE E I RISULTATI
37
Il grafico seguente sintetizza le predizioni precedentemente elencate mostrando
l’andamento teorico della probabilità in funzione dello spostamento dello specchio
riflettente (delay). In alto la polarizzazione a −45◦ , in basso la polarizzazione a
45◦ (uguale a quella del fotone 1). In grigio la regione del teletrasporto.
Figura 3.4: Grafico teorico: probabilità di coincidenza d1f1f2 e d2f1f2 in funzione del ritardo tra 1 e 2 al BS
Si noti l’andamento decrescente nel primo grafico che soddisfa la condizione attesa
di non coincidenza per il detector d2 a polarizzazione −45◦ (ortogonale a quella
del fotone 1). La verifica di tal fatto con la costanza del valore nell’analisi a
+45◦ costituisce una prova del successo della sperimentazione poiché il fotone 3
ha esattamente la stessa polarizzazione del fotone 1.
38
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
La piena verifica dell’efficienza sperimentale di tale protocollo è realizzabile
tramite l’attuazione dell’esperimento in due basi non ortogonali tra loro: ±45◦ e
0◦ -90◦ . Seguono dunque i grafici dei dati sperimentali relativi alle 4 coincidenze
(se si comprende anche l’evento di trigger) per fotoni da teletrasportare rispettivamente con polarizzazione a 45◦ e 90◦ .
Figura 3.5: Grafici sperimentali: probabilità di coincidenza d1f1f2 e d2f1f2 in funzione del ritardo tra 1 e 2 al
BS (espresso in um) per le due basi di polarizzazione
Si definisce fedeltà del teletrasporto quantistico la sovrapposizione del qubit in
input e quello teletrasportato. In questo esperimento è dell’ordine del 80% poiché
la proiezione sullo stato di Bell |Ψ− i12 è eseguita mediante particelle non puramente in entanglement ma con tempi di arrivo al BS differenti. Segue un grafico
illustrativo.
Figura 3.6: Grafici relativi alla fedeltà del teletrasporto nelle due basi di polarizzazione
3.4. CENNI AD ALTRI SCHEMI DI TELETRASPORTO
3.4
39
Cenni ad altri schemi di teletrasporto
Schema a due particelle per il teletrasporto quantistico
Come visto nella sezione precedente lo schema a quattro particelle ha un’efficienza
limite che non raggiunge l’unità. Lo schema seguente non presenta limiti di fedeltà
poiché sfrutta una proiezione completa sugli stati di Bell, resa possibile dall’interazione controllata tra due particelle. Proposto per la prima volta da S. Popescu
e realizzato sperimentalmente a Roma, il presente protocollo sfrutta solamente le
due particelle che costituiscono il canale di comunicazione non-locale. In tal modo il terzo individuo, invece di preparare la coppia di particelle in entanglement,
introduce all’interno del singoletto lo stato Ψ da inviare, sfruttando altri gradi
di libertà della particella di Alice. Si noti dunque che la conoscenza dello stato
rimane ignota anche in questo caso; la differenza si riscontra nell’utilizzo di particelle entangled nella loro direzione, i.e. entanglement nel momento, e ben definite
nella polarizzazione. In particolare con la conversione parametrica si generano
fotoni entangled nella polarizzazione, si trasferisce l’entanglement allo spazio dei
momenti sfruttando opportuni beamsplitter, un terzo ”individuo” cambia cambia
la polarizzazione determinando cosı̀ lo stato iniziale, Alice proietta lo stato su uno
dei quattro stati di Bell e lo comunica a Bob il quale trasforma la sovrapposizione
del momento in una di polarizzazione (esattamente quella dello stato iniziale).
Teletrasporto di variabili quantiche continue
Il presente protocollo è stato proposto da L. Vaidman, rielaborato da Kimble e
realizzato sperimentalmente al Caltech. Esso si basa sul trasferimento di variabili
continue quali la posizione e il momento, sfruttando opportunamente gli stati entangled correlati a tali variabili quantiche. La differenza sostanziale con gli altri
schemi risiede negli spazi che descrivono le suddette variabili, difatti se alla polarizzazione corrisponde uno spazio interno di dimensione finita (2), al momento e
alla posizione sono relazionati spazi di Hilbert infinito-dimensionali. É inoltre interessante notare che per tali variabili vale il principio di indeterminazione, ovvero
[x, p] = i~, per cui posizione e momento non possono essere misurati contemporaneamente con arbitraria precisione. Sfruttando però una stato entangled le due
particelle non avranno valori individualmente definiti ma le loro proprietà totali
sı̀; difatti: x2 + x3 = 0 e p2 − p3 = 0 poiché commutano. In generale l’azione di
proiezione di Alice in questo caso non riguarderà i 4 stati di Bell ma produrrà dei
valori reali distribuiti in maniera continua: x2 + x3 = a e p2 − p3 = b con a, b ∈ R.
L’implementazione di tale schema ha visto l’utilizzo di altre variabili quantistiche
caratterizzate da spettri continui e dalle medesime relazioni di indeterminazione,
in particolare gli operatori x e p della teoria dell’oscillatore armonico.
40
CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO
Capitolo 4
Decoerenza come limite
sperimentale
A partire dal paradosso del gatto di Schrödinger i fisici si sono domandati ”esiste
un confine tra il mondo quantistico e classico?”. La risposta a tale domanda risiede nella teoria della decoerenza che si basa sull’affermazione che solo un sistema
isolato segue le leggi della MQ, altresı̀ è soggetto al fenomeno della decoerenza.
Come visto nella sezione 2.1.1 e 2.3 un sistema entangled è caratterizzato da una
entropia di Von Neumann pari a zero, minore di quella dei sottosistemi che lo compongo. Questo comporta che il fenomeno dell’entanglement generi una perdita di
significato della coerenza dei singoli sottosistemi, ovvero risulti inaccessibile la fase reciproca tra gli stati che lo compongono. La perdita di una fase costante tra
gli stati che caratterizza una sovrapposizione coerente (o stato puro) produce un
andamento stocastico degli autovalori e la perdita dei termini d’interferenza nelle
matrici densità che descrivono il singolo sottosistema. Quest’ultima affermazione si
traduce nella perdita dell’interferenza. Dalla formula 2.12 è noto che la misura del
sottosistema A (appartenente a uno stato entangled AB) corrisponde a un operatore densità pari all’identità moltiplicata per 1/2; questo implica che A si comporti
incoerentemente e rimanga una miscela degli stati che compongono il sistema totale. Allo stesso modo se un sistema isolato entra in contatto con l’ambiente esterno
si ha il fenomeno della decoerenza e il sistema viene definito aperto. Per un sistema
aperto valgono le negazioni degli assiomi della MQ: il sistema non è descritto singoli vettori, le misure non sono proiezioni ortogonali, l’evoluzione non è unitaria. La
perdita di coerenza coincide ancora una volta con l’inaccessibilità della fase relativa
degli stati che compongono la sovrapposizione che descrive il sistema. Quest’ultimo sarà dunque descritto da un operatore densità che rappresenta una miscela
incoerente di stati, ognuno con la sua probabilità. É dunque l’ambiente a generare
la decoerenza ma in particolare quella del sistema fisico in principio isolato, mentre
la sovrapposizione del sistema+ambiente diviene una sovrapposizione coerente.
41
42
CAPITOLO 4. DECOERENZA COME LIMITE SPERIMENTALE
Il presente fatto è interpretabile come entanglement tra sistema isolato e ambiente,
il quale genera la decoerenza dei suoi sottosistemi (e.g. sistema isolato) ma mantiene la coerenza dello sistema totale. L’unico modo per evitare la decoerenza e
perdita di entanglement di un sistema è perseguire l’isolamento del sistema fisico.
La decoerenza s’inserisce come principale ostacolo e limite al teletrasporto quantistico, poiché è essenziale che nel protocollo sperimentale venga mantenuto l’entanglement di polarizzazione dei fotoni, senza il quale non è possibile trasferire
alcuno stato quantistico. A tal proposito si citano alcuni degli attuali esperimenti
che con esito positivo sono riusciti ad ottenere il teletrasporto quantistico a grandi
distanze (dell’ordine di 100 km).
Figura 4.1: Record del teletrasporto di uno stato di polarizzazione tra fotoni posti a 143 km di distanza
(Palma-Tenerife)
1. 143 km di spazio aperto. Isole Canarie (La Palma-Tenerife). 09/2012. Autori: Ma Xiao-Song, T. Herbst, T. Scheidl, D. Wang, S. Kropatschek, W.
Naylor, B. Wittmann, A. Mech, J. Kofler, E. Anisimova, V. Makarov, T.
Jennewein, R. Ursin, A. Zeilinger.
2. 100 km di fibra ottica. 09/2015. Autori: Hiroki Takesue, Sjellee D. Dyer,
Martin J. Stevens, Varun Verma, Richard P. Mirin, Sae Woo Nam.
3. 21 m (teletrasporto tra atomi). 12/2012. Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Germania. Autori: Christian Nölleke, Andreas Neuzner, Andreas
Reiserer, Carolin Hahn, Gerhard Rempe, Stephan Ritter.
Capitolo 5
Conclusioni
Nel presente lavoro di tesi si è introdotto e descritto il concetto di teletrasporto
quantistico. In particolare le basi di tale processo sono state esposte nel capitolo 1 e sono l’azione di misura quantistica, il principio di sovrapposizione e la
non-località di alcuni fenomeni, quale ad esempio l’entanglement. Quest’ultimo
fenomeno descritto nel capitolo 2 permette la realizzazione del protocollo del teletrasporto poiché incarna le caratteristiche necessarie che delineano tale schema,
ovvero l’indistinguibilità degli stati che formano il sistema entangled e la correlazione tra le misure dei sottosistemi. Nel rispetto delle leggi della relatività
speciale l’entanglement può essere prodotto (conversione parametrica spontanea),
quantificato e sfruttato per trasferire uno stato quantistico. La necessità di un
canale di comunicazione classico tra trasmettitore e ricevente soddisfa il teorema
di non-comunicazione e impone una caratteristica fondamentale nelle sperimentazioni correlate: la coincidenza di rilevamento tra fotone iniziale e fotone in output.
Si è visto come l’utilizzo del teletrasporto quantistico permette di trasferire stati
ignoti ad arbitrarie distanze (non-località dell’entanglement); sperimentalmente
questo è visibile trasferendo la polarizzazione di un fotone ad un altro a distanza
arbitraria sfruttando una coppia di fotoni in entanglement. Proprio l’arbitrarietà
di tale locazione di arrivo ha permesso agli sperimentatori di investire sull’aumento della distanza del trasferimento in contrasto con il limite sperimentale dato
dalla decoerenza. Come mostrato nell’ultimo capitolo i record sperimentali sono
di 143 km in spazio aperto e 100 km con fibra ottica, i quali aprono la strada a
future tecnologie che potrebbero sfruttare il trasferimento d’informazione tra satelliti e stazioni a terra. I successivi sviluppi legati al teletrasporto quantistico
sono dunque molteplici e riguardano la teoria dell’informazione, comunicazione e
computazione quantistica che nello specifico esprimono le idee di rivoluzione nel
campo dell’internet e comunicazione sicura e veloce.
43
44
CAPITOLO 5. CONCLUSIONI
Elenco delle figure
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4.1
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 1.1 pag 2) 9
en.wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
it.wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.4 pag 57) 25
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.5 pag 59) 26
Prof. Lorenzo Marrucci, INFN Napoli, web.na.infn.it, presentazione: Teletrasporto Quantistico, (pag 3) . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.1 pag 52)
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.12 pag
68) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.13 pag
70) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.14 pag
71) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum
Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.15 pag
72) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
34
37
38
38
www.extremetech.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
45
46
ELENCO DELLE FIGURE
Bibliografia
[1] D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. The Physics of Quantum Information.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
[2] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum computation and Quantum
Information. Cambridge University Press, 2000.
[3] John Preskill. Lecture Notes of Course Information for Physics 219 /
Computer Science 219 - Quantum Computation. Caltech, 19997-1999.
http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/
[4] B. H. Bransden, C. J. Joachain. Quantum Mechanics - second edition. Pearson
Education Limited 1989, 2000.
[5] V. Barone. Relatività - Princı̀pi e applicazioni. Bollati Boringhieri, 2004, 2015.
[6] J. S. Bell. On The Einstein Podolsky Rosen Paradox. Department of Physics,
University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, 4 Novembre 1964.
[7] S. Pirandola, J. Eisert, C. Weedbrook, A. Furusawa, S. L. Braunstein. Advances
in quantum teleportation. Nature Photonics, 29 Settembre 2015.
[8] Kirk T. McDonald. Density-Matrix Description of the EPR “Paradox”. Joseph
Henry Laboratories, Princeton University, Princeton. 31 Marzo 2005, 3 Aprile
2013.
[9] Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crepeau, Richard Jozsa, Asher
Peres, William K. Wootters. Teleporting an Unknown Quantum State via Dual
Classical and EPR Channels. Dicembre 1992.
47
48
BIBLIOGRAFIA
Ringraziamenti
Ringrazio tutti i professori del dipartimento di Fisica di Cagliari per gli
insegnamenti, supporto e disponibilità di questi tre anni, sottolineando
professionalità e competenza in tutti gli ambiti della Fisica e non solo. A tal
proposito vorrei mettere in evidenza i miei ringraziamenti al Prof. Michele
Saba per l’aiuto e appoggio datomi per la stesura della presente tesi di laurea
e soprattutto per la disponibilità avuta durante tutto il corso della triennale,
rivelandosi un punto di riferimento e fonte d’ispirazione non solo per tale
periodo ma anche per il futuro.
Ringrazio inoltre tutti i tutor e dottorandi del dipartimento, anche loro per
disponibilità e pazienza rivelatesi, e i cui aiuti sono stati indispensabili per
la mia crescita personale. La crescita non è mai un percorso strettamente
individuale perciò ringrazio tutti i colleghi presenti in dipartimento e gli amici
che hanno appoggiato i miei studi. Concludo dicendo che il raggiungimento del
presente traguardo non sarebbe stato possibile senza il supporto delle menti
brillanti precedentemente citate, quindi ancora grazie.
Dedico (sottintendendo i corrispettivi ringraziamenti) la presente tesi ai miei
genitori, in particolar modo a mia madre nella speranza che possano realizzarsi
parzialmente i suoi sogni attraverso il mio conseguimento del titolo.
49