MS
Meccanica Sperimentale
La sperimentazione per l’analisi delle tensioni
e l’interpretazione del comportamento dei
materiali e delle strutture
Alessandro Freddi
Giorgio Olmi (Autore Esercizi)
2
Indice
INTRODUZIONE
Cap.1 CONTRIBUTO DELLA ANALISI SPERIMENTALE ALL’EVOLUZIONE
DELLE STRUTTURE
PARTE I: L’ANALISI DELLE TENSIONI
Cap.2 ESTENSIMETRIA ELETTRICA
2.1 RICHIAMI DI ESTENSIMETRIA ELETTRICA
Materiali per estensimetri
Valori caratteristici della resistenza elettrica degli estensimetri
Il fattore dell’estensimetro e la sensibilità trasversale
Taratura dell’estensimetro
Errore dovuto alla sensibilità trasversale
Influenza di una variazione di temperatura
Estensimetri autocompensati
Rosette estensimetriche
I circuiti di misura
Il circuito potenziometrico
Misura di deformazioni variabili nel tempo
ll ponte di Wheatstone
Calibrazione del ponte
Alimentazione del ponte
Collegamenti
2.2
ESEMPI DI APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Indice
3
Cap.3 : I RIVESTIMENTI FRAGILI
3.1 RICHIAMI DEL METODO
Introduzione
Tensioni nel rivestimento
Relazione tra le tensioni nel caso di comportamento elastico
Fessurazioni prodotte da carichi rilassati
Le curve isoentatiche
Modifica della sensibilità mediante le tensioni residue
I rivestimenti fragili reperibili sul mercato
Lo scorrimento viscoso
3.2 ESEMPI DI APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Cap. 4: FOTOELASTICITA’
4.1 RICHIAMI DEL METODO
Introduzione
Luce polarizzata
Intensità della radiazione luminosa
Polarizzatore piano
Doppia rifrazione o birifrangenza
Trattamento della luce in un sistema ottico
Trattamento della luce con polarizzatore più lamina birifrangente
Teoria della fotoelasticità
Disposizione degli elementi ottici in un polariscopio
Modello caricato in un polariscopio piano ad assi incrociati
Modello caricato in un polariscopio piano ad assi paralleli
Modello caricato in un polariscopio circolare ad assi incrociati
Modello caricato in un polariscopio circolare ad assi paralleli
4
Indice
Determinazione delle isocromatiche
Il compensatore di Babinet-Soleil
Compensazione mediante lamine a quarto d’onda
Metodo di moltiplicazione delle frange
Determinazione delle curve isocline
Punti isotropi e punti singolari
La costruzione delle curve isostatiche
La separazione delle tensioni principali
Metodi sperimentali
Materiali per modelli fotoelastici
Effetti di bordo
Capacità di congelare tensioni
Taratura del modello fotoelastico
Fotoelasticità tridimensionale
La preparazione della forma
La scelta dei carichi
La determinazione dei parametri della tensione
Stati di tensione alla superficie del modello
La determinazione dello stato di tensione in punti interni
Misura del fattore dell’intensità degli sforzi con il metodo fotoelastico
Fotoelasticità a riflessione
Il polariscopio a riflessione
Misura delle deformazioni principali delle deformazioni
La misura delle deformazioni nella struttura
Conclusioni
Indice
5
4.2 ESEMPI DI APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Le discontinuità geometriche
Stato di tensione in prossimità dell’apice di difetti
Stato di tensione in una cremagliera e in una cinghia dentata
Stato di tensione nei recipienti a pressione
Stato di tensione nelle teste delle espansioni polari negli alternatori
Stato di tensione in un anello caricato in tre punti
Stato di tensione dovuto all’urto
Applicazione della fotoelasticità a riflessione in biomeccanica
Stato di tensione nel contatto Hertziano
Cap. 5. INTERFEROMETRIA OLOGRAFICA
(in corso di revisione)
5.1 RICHIAMI DEL METODO
Introduzione
5.2 ESEMPI DI APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Misura di spostamenti in fessure circolari interagenti
Misura di meati nell’accoppiamento biella manovella
6
Indice
PARTE II: LA MECCANICA DEI MATERIALI
Cap. 6: EFFETTO DELLE SOLLECITAZIONI SUL COMPORTAMENTO DEL
MATERIALE NEL CASO STATICO
6.1 RICHIAMI DEI PRINCIPALI MECCANISMI FISICI
Introduzione
Il legame tra le tensioni e le deformazioni
Fenomenologia delle superfici nel caso di frattura mista
Cenni di teoria fisica della tensione di rottura.
Comportamento a frattura
6.2 APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Richiami sui fattori di concentrazione delle tensioni
Tensione imposta e deformazione imposta
La formula approssimata dovuta a Neuber
Il fattore di effetto di intaglio
Causa della riduzione del fattore di effetto di intaglio rispetto al fattore di concentrazione delle
tensioni
Coefficiente di supporto e sensibilità all’intaglio
Il valore medio delle tensioni e delle deformazioni
Influenza del valore medio delle tensioni sulla fatica uniassiale
Aspetti microscopici
Propagazione della cricca di fatica
Aspetti macroscopici delle superfici di frattura
Indice
7
Cap. 7: EFFETTO DELLE SOLLECITAZIONI SUL COMPORTAMENTO DEL
MATERIALE NEL CASO DI TENSIONI LOCALI VARIABILI
(Fenomenologia della fatica ad alto numero di cicli)
7.1 RICHIAMI DEI PRINCIPALI MECCANISMI FISICI
Introduzione
Influenza delle tensioni
Schema della macchina di prova a flessione rotante
La prova a flessione alterna in un piano assegnato
La prova a trazione/compressione
La curva di Wöhler
La curva in coordinate semilogaritmiche e doppio logaritmiche
7.2 APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Cap.8: EFFETTO DELLE SOLLECITAZIONI SUL COMPORTAMENTO DEL
MATERIALE NEL CASO DI DEFORMAZIONI LOCALI VARIABILI
(Fenomenologia della fatica oligociclica)
8.1 RICHIAMI DEI PRINCIPALI MECCANISMI FISICI
1. Introduzione
2. Legame tra le tensioni e le deformazioni
• Prova ripetuta a tensione imposta e a deformazione imposta
Simulazione del comportamento ciclico del materiale in campo elastoplastico
3. Simulazione dei fattori di concentrazione
4. Simulazione del comportamento a fatica del materiale
5. La fatica per carichi di ampiezza variabile
8.2 APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
8
Indice
Cap. 9: ASPETTI SPERIMENTALI DELLA MECCANICA DELLA FRATTURA
(Fenomenologia della frattura lineare elastica)
9.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
RICHIAMI DEI PRINCIPALI MECCANISMI FISICI
Introduzione
La Meccanica della frattura lineare elastica
Modi di frattura
Stato piano di tensione e stato piano di deformazione
Il fattore di intensità degli sforzi
L’effetto di limitate plasticizzazioni all’apice del difetto
La rottura fragile
Influenza della temperatura
La propagazione stabile del difetto
Valori sperimentali della tenacità a frattura
9.2
ESEMPI DI APPLICAZIONI ALLA MECCANICA DELLE STRUTTURE
Bibliografia essenziale alla fine dei capitoli
PARTE II:
MECCANICA DEI MATERIALI
CAPITOLO
6
EFFETTO DELLE SOLLECITAZIONI
SUL COMPORTAMENTO DEL
MATERIALE NEL
CASO STATICO
Effetto delle tensioni statiche
6-3
6.1- Richiami dei principali meccanismi fisici
Introduzione
La domanda che occorre porsi è la seguente:
Quale è la risposta del materiale ad una sollecitazione
dovuta ad uno stato di tensione imposta o ad uno stato
di deformazione imposta?
Per rispondere a questa domanda occorre ricordare
che le tensioni insorgono in un corpo di forma
geometrica nota, come equilibranti delle forze
applicate e come conseguenza della congruenza
interna tra le parti. La prima causa non dipende
dunque dal materiale mentre la seconda dipende oltre
che dalla forma geometrica anche dal materiale o dai
materiali di cui è costituito il corpo. E’ necessario
quindi, richiamare prima di tutto il legame esistente
tra la tensione e la deformazione, e successivamente
procedere all’esame degli aspetti macroscopici e
microscopici della frattura.
6-4
Meccanica dei Materiali
Il legame tra le tensioni e le deformazioni
Caso di sollecitazione monotonica in provino monoassiale a deformazione
crescente.
tensione
Se si registra l’andamento della tensione a livelli crescenti di deformazione imposta, si
distinguono la curva relativa alle tensioni e alle deformazioni vere dalla curva ottenuta
per le tensioni e le deformazioni così dette ingegneristiche, fig.1.
Rm
Rs
acciaio basso legato ad alta
resistenza
acciaio dolce
σe
Rs
σe lin
E
deformazione
0,02%
Fig.1 : Legame tra tensione e deformazione in prove uniassiali per un acciaio dolce e un
Acciaio basso legato ad alta resistenza e duttile
Effetto delle tensioni statiche
Come è noto il legame ingegneristico tra tensioni e deformazioni è ottenuto in provini
di forma unificata, caricati con deformazione crescente, con riferimento alla dimensioni
iniziali della sezione e alla lunghezza iniziale del tratto utile del provino. (ASTM E8 o
E8M): S=P/A0 dove A0 è l’area iniziale del provino ed e = (l-l0)/l0 dove l0 è la
lunghezza iniziale dello stesso.
Quando il materiale non manifesta una netta discontinuità tra il comportamento lineare
elastico e un comportamento non lineare non reversibile, (come accade per esempio
negli acciai basso legati ad alta resistenza), la tensione di snervamento Re è definita
come la tensione che corrisponde ad una deformazione plastica pari a 0,2%.
Rm è il valore della tensione di rottura che corrisponde al massimo della curva.. Oltre
tale valore la tensione scende per valori crescenti della deformazione fino alla rottura
finale del provino.
La pendenza del tratto rettilineo (la tangente dell’angolo con l’orizzontale) è il modulo
elastico E.
Per gli organi sollecitati in condizioni di carico statico, queste tre grandezze (E, Re e
Rm), sono il riferimento per la valutazione della loro resistenza.
Non si deve tuttavia dimenticare che Re e Rm dipendono non solo dal materiale,
ma anche dalla geometria del provino, fig.2.
6-5
6-6
Meccanica dei Materiali
Il motivo è da ricercarsi nel fatto che lo stato di tensione dovuto ai carichi e alla forma
geometrica, modifica il comportamento del materiale. Si vedano gli esempi seguenti
Diverso comportamento dovuto allo
stesso materiale con provino liscio e
provino intagliato
tensione
tensione
Andamenti dovuti a diverso materiale
ma con lo stesso tipo di provino
materiale fragile
Provino con intaglio
Provino liscio
materiale duttile
d
d
E
E
deformazione
deformazione
Fig2 : Effetto della geometria del provino sui parametri caratteristici del materiale
Effetto delle tensioni statiche
6-7
Questo è dovuto al fatto che solo nel provino liscio le tensioni uniformi hanno
andamento monoassiale e equilibrano direttamente i carichi esterni.
Nei provini con discontinuità geometriche nascono stati di tensione triassiali.
Se si rappresenta la sezione di fondo gola e un elemento infinitesimo periferico, si
evidenzia uno stato di tensione triassiale. Le due tensioni radiali e cerchianti nascono
per contrazioni laterali parzialmente impedite dall’effetto di intaglio che tende a ridurre
la contrazione naturale della sezione di fondo gola. La tensione longitudinale prevale.
Si genera una rottura fragile cioè con superficie di rottura perpendicolare all’asse del
provino, senza deformazioni plastiche apprezzabili.
σl
σr
σc
σ
r
σ
c
σ
l
Fig.3: Andamento qualitativo delle tensioni generate nella sezione di fondo gola da una tensione
longitudinale
6-8
Meccanica dei Materiali
Schematicamente, nel provino
monoassiale si presentano pertanto le
seguenti tipologie di frattura, che quindi,
per quanto visto, non dipendono solo
dalla duttilità del materiale, ma anche
dalla forma del provino (presenza di
discontinuità geometriche).
R. duttile
Fig.4: Aspetto della superficie di frattura
R. fragile
R. mista
Effetto delle tensioni statiche
Fenomenologia delle superfici nel caso di frattura mista
Il disegno descrive la
situazione tensionale nella
sezione mediana del provino
liscio, caricato
monotonicamente fino a
rottura.
Fig.5 :Stato di tensione e stato di deformazione lungo la superficie di frattura
6-9
6-10
Meccanica dei Materiali
La giustificazione
del fenomeno
Si può giustificare la forma a cratere della superficie di
frattura in questo modo:
E’ ragionevole assumere che lo strato di materiale nella
sezione di simmetria, caratterizzata dalla massima strizione,
sia soggetto ad una deformazione piana, che, in campo
plastico, dà origine ad una deformazione isovolumica.
Poiché sull’asse del provino si ha una contrazione trasversale
impedita con ν = 0, 5, si genera uno stato triassiale di
tensioni di trazione; (nasce una tensione radiale σr massima
al centro, dove il fenomeno di contrazione impedita è
massimo, e zero in superficie, e una corrispondente tensione
σu cerchiante identica, al centro, a σr per ragioni di
simmetria e nulla in superficie (per equilibrio con σr che è
nulla).
Il valore della σl è allora massimo al centro e minore al
bordo. Questa conclusione si può giustificare assumendo che
lo strato di materiale nella sezione di massima strizione, al
fine di mantenere piane le facce, deve contrastare la
contrazione in senso assiale dovuta alle tensioni trasversali
σr e σu che sono massime al centro del provino.
Effetto delle tensioni statiche
6-11
In altre parole il cerchio di Mohr che descrive le tensioni nei
punti della sezione ha il diametro kf sostanzialmente costante
al variare della distanza r e si limita a traslare sull’asse delle
tensioni normali, come è indicato nella fig. 8 passando dal
centro, alla superficie esterna del provino. La prima rottura
si manifesta allora al centro del provino perpendicolarmente
alla direzione delle tensione principale massima σl; prevale
infatti l’effetto di triassialità delle tensioni rispetto all’effetto
di scorrimento delle tensioni tangenziali. In superficie la
contrazione trasversale non è impedita e si manifesta una
strizione.
In prossimità della superficie la tensione radiale si annulla e
la tensione tangenziale massima tende al valore pari alla
metà della tensione principale σl.
La rottura avviene nella direzione di tale tensione
tangenziale, con superficie inclinata di 45 gradi rispetto alla
direzione della tensione principale massima.
6-12
Meccanica dei Materiali
Cenni di teoria fisica
della tensione di
rottura.
La causa microstrutturale della frattura si può individuare nei difetti
interni del legame atomico (o molecolare) i quali, sotto l’azione di
sollecitazioni, danno origine ad una superficie di separazione. Una
teoria che consenta la valutazione della forza di coesione tra due piani
atomici e il calcolo della relativa tensione di rottura, nell’ipotesi di una
tensione perpendicolare al piano del reticolo, può essere sviluppata
sulla base della conoscenza sperimentale del legame tensione –
deformazione (con deformazione si intende uno spostamento relativo di
due piani del reticolo). Nella figura la curva sperimentale né quella
rappresentata in grassetto, assimilabile, nel primo tratto, ad una
sinusoide.
Fig.6: Curva tensione - spostamento tra piani atomici.
Effetto delle tensioni statiche
6-13
La tensione necessaria ad allontanare due piani atomici, in assenza di difetti, della quantità x dalla
loro posizione di equilibrio, vale allora:
(4)
(avendo appunto approssimato la forma della curva sperimentale con una funzione sinusoidale, di
lunghezza d’onda λ).
La (4) (per piccoli valori di x), può essere approssimata da:
Nello stesso intervallo (piccoli valori di x), il legame tensione - deformazione segue anche una legge
lineare:
dove d è la distanza tra due piani atomici e E è il modulo elastico.
Uguagliando le due espressioni si ottiene allora una stima della tensione massima in funzione di λ e
di d:
6-14
Meccanica dei Materiali
Con essa si può fare una valutazione del valore della tensione di rottura necessaria a distaccare due
piani atomici. Ricordando che i valori medi ricavati sperimentalmente di d e di λ sono, per gli acciai
dell’ordine di grandezza di:
si giunge ad una stima del valore della tensione, compresa tra i valori seguenti:
valori molto superiori a quelli sperimentali. Di fatto i cristalli (o le aggregazioni di policristalli detti
grani), contengono sempre difetti e discontinuità, che portano ad aree di forte concentrazioni delle
tensioni su alcuni legami del reticolo, che riducono la tensione di rottura calcolata in precedenza di
due ordini di grandezza (per esempio, σapicale = 10−2 ·σmax per una microcricca di 3μm, pari a circa
104 · d).
I difetti reticolari, i più importanti dei quali vanno sotto il nome di dislocazioni, hanno poi un ruolo
molto significativo nel generare lo scorrimento dei piani atomici, piuttosto che il distacco, sia nel
comportamento statico come in quello dinamico del materiale, per il fenomeno di impilamento delle
stesse contro i bordi dei grani.
Possono aversi due tipi di dislocazioni: dislocazioni piane e dislocazioni tridimensionali.
La figura 7 mostra la struttura di una lega metallica e la varietà dei difetti e delle discontinuità che
possono essere presenti.
Effetto delle tensioni statiche
Fig.7: Schema della struttura di una lega metallica.
6-15
6-16
Meccanica dei Materiali
Comportamento
Si può quindi concludere questa esposizione osservando che il
a frattura
comportamento duttile e il comportamento fragile a rottura
non sono solo una caratteristica del materiale ma sono anche
legati alla distribuzione e al valore delle tensioni. Dipendono
poi ulteriormente dalle condizioni ambientali, come vedremo.
In altre parole, un materiale che si comporta normalmente in
modo duttile, in certe circostanze può rompersi in modo
fragile.
Può essere vero anche il contrario:
Materiali normalmente fragili possono comportarsi come
duttili quando sono caricati con una componente idrostatica
(cioè con uno stato triassiale di tensioni uniformi), di
compressione, di elevato valore.
Nello stesso modo, materiali normalmente duttili possono
aumentare la loro duttilità se si applica una tensione idrostatica
di compressione e ridurre la loro duttilità se si applica una
tensione con componente idrostatica di trazione elevata.
Effetto delle tensioni statiche
Caratteristiche
della frattura
fragile
6-17
La frattura fragile è caratterizzata dalla rapida propagazione di una
fessura accompagnata da una piccola deformazione plastica. nei
materiali policristallini si distingue una frattura fragile transgranulare
nella quale la fessura attraversa i policristalli, (con un andamento che
segue i piani cristallini) e una frattura fragile intergranulare, nella quale
la fessura segue i bordi dei policristalli.
Per quanto abbiamo visto molti sono i fattori che influenzano la frattura
fragile; in particolare:
• Composizione chimica
• Struttura dei policristalli
• - Presenza di inclusioni e difetti
• Lo stato tensionale, quando le tensioni normali sono grandi rispetto alle
tangenziali e come caso estremo, con elevata triassialità di tensioni di
trazione.
• I carichi dinamici. Lo scorrimento sui piani atomici è infatti
assimilabile ad uno scorrimento viscoso che richiede tempo per
realizzarsi. I carichi dinamici portano allora più facilmente a rotture per
distacco dei piani. Le tensioni normali ai piani cristallini possono
superare la tensione di rottura quando sono presenti concentratori di
tensione interni, come irregolarità o inclusioni.
• Le discontinuità geometriche come gli intagli e altri concentratori di
tensione. Come abbiamo visto essi sono responsabili di stati triassiali di
tensione.
6-18
Meccanica dei Materiali
• Gli spessori elevati e le dimensioni elevate. Aumenta infatti la
probabilità di difetti interni e superficiali che fungono da
concentratori di tensione. I provini di piccolo spessore hanno
comportamento più duttile di quelli di maggiori dimensioni.
Si devono poi ricordare gli effetti di alcune variabili ambientali che
influenzano la frattura fragile dei materiali e, in particolare, dei
metalli.
• La bassa temperatura. Essa riduce lo scorrimento e favorisce la
frattura per distacco.
• Alcuni trattamenti termomeccanici, specialmente quelli che
producono aumento della durezza.
• Le saldature. Anche in questo caso si possono formare strutture più
fragili, accompagnate da stati di tensione di trazione con possibili
componenti idrostatiche di trazione elevate.
• La corrosione con stati di tensione. Gli effetti chimici
dell’ambiente possono interferire sinergicamente con lo stato doi
tensione. Si parla di fratture per tensione-corrosione. (Gli acciai a
bassa resistenza sono in generale più sensibili alla corrosione in
ambiente basico, mentre gli acciai ad alta resistenza sono sensibili
all’idrogeno.
• L’ irraggiamento neutronico
Effetto delle tensioni statiche
Esempi di frattura
fragile
transcristallina
6-19
La forma più caratteristica è rappresentata dal clivaggio, cioè da frattura
procede lungo piani cristallini ben definiti, attraversando i singoli grani
generando una superficie di frattura con tracce a piuma, fig.1 La frattura
di questo tipo interessa più grani contigui.
Fig.8: Esempio di frattura fragile transcristallina (clivaggio). Ingradimento 650:1
Cordone di saldatura in acciaio ad alto contenuto di cromo.
6-20
Meccanica dei Materiali
Frattura intercristallina
La frattura segue il contorno dei grani quando i contorni sono infragiliti
da precipitati o da impurità. Le fratture che si generano nella fase di
tempra degli acciai sono caratteristiche di questa modalità perchè
seguono i contorni dei grani di austenite.
Anche l’infragilimento da idrogeno e la tensione sotto corrosione danno
luogo a questo tipo di frattura.
)
Fig.9: Frattura fragile intercristallina in acciaio da cuscinetti (1%C-1,5%Cr-0,25%Si-0,3%Mn
Effetto delle tensioni statiche
Frattura duttile
6-21
Da un punto di vista macroscopico è accompagnata da una elevata
deformazione plastica, da allungamento e strizione. E’ tipica dei metalli
puri ma può presentarsi anche in leghe. Impurezze presenti, distinte dal
metallo base equivalgono alla presenza di fori distribuiti
omogeneamente. L’aumento della tensione provoca un allargamento dei
fori e un assottigliamento dei collegamenti tra foro e foro. Il risultato è
visibile sulle superfici di frattura: si formano piccole cavità regolari
(dimple) la cui forma dipende da quella delle inclusioni che
contenevano, fig.11.
Fig. 10: Formatura di “ dimples” nella frattura di un acciaio per molle (1000:1)
6-22
Meccanica dei Materiali
6.2- Applicazione alla meccanica delle strutture
Richiami sul fattori di concentrazione delle tensioni
Le concentrazioni di tensione dovute a discontinuità geometriche rappresentano la principale
fonte di riduzione della resistenza di corpi con sollecitazioni variabili nel tempo.
Tuttavia esse sono definite in campo statico anche se, in questo caso, il loro ruolo di incremento
della sollecitazione locale, non viene di regola considerato. Esse derivano, per un dato carico, sia
dalla forma geometrica degli organi, sia dalla tecnologia di fabbricazione (fessure interne nei
cordoni di saldatura) e dalle condizioni di servizio (come certe forme di corrosione concentrata
che crea fessure superficiali).
Sarebbe tuttavia erroneo pensare che la riduzione della resistenza derivasse solo dall’incremento
delle tensioni nella discontinuità geometrica.
L’effetto degli intagli, gole, cambiamenti di sezione, fessure etc. dipende da diversi fattori come:
• il materiale nei punti interessati, (che può differire dal materiale base per trattamenti
termomeccanici ecc.)
• la concentrazione delle tensioni e delle deformazioni (che, come abbiamo visto, solo in campo
elastico sono in relazione lineare), responsabile anche della creazione di stati tridimensionali di
tensione in un volume di materiale nell’intorno del punto più sollecitato
• il gradiente delle tensioni e delle deformazioni
• lo scorrimento plastico locale, anche per volumi di materiale molto piccoli
Effetto delle tensioni statiche
6-23
Nel caso di strutture snelle come alberi e strutture sottili, la concentrazione delle tensioni è descritta,
per ciascun tipo di sollecitazione elementare (sforzo normale, flessione, torsione, taglio) dai fattori
di concentrazione Kt, definiti come rapporto tra la tensione massima nella sezione dell’intaglio,
calcolata con la teoria lineare elastica e la tensione nominale nella sezione stessa, calcolata con la
teoria elementare di Saint Venant.
Kt =
σ max
dove
S
S=
F
A
o
S=
S
e
K tτ =
W
τ max
T
dove
Mf
F
σmax
Mf
σmax
S
T=
Mt
Wp
Mt
τmax
Fig. 11: Concentrazione delle tensioni nelle discontinuità geometriche
T
6-24
Meccanica dei Materiali
Ovviamente sia la distribuzione delle tensioni ricavate dalla teoria dell’elasticità come la
distribuzione secondo Saint Venant soddisfano alle relazioni di equilibrio con i carichi esterni. Per
esempio si ha:
∫ σ (r )dA = σ
t
nom
⋅ Ak
A
I fattori di concentrazione, per come sono stati definiti, godono delle seguenti proprietà.
• sono definiti in campo elastico
• sono indipendenti dall’entità dei carichi
• sono indipendenti dal modulo elastico del materiale
• sono indipendenti dalle dimensioni
Dipendono solo dal tipo di carico e dalla geometria e possono quindi essere definiti, in accordo alla
letteratura tedesca, come Fattori di forma (con denominazione αk).
Se la forma del corpo è complessa e i carichi distribuiti in modo qualsiasi, non si
possono definire i fattori di concentrazione e la concentrazione delle tensioni in una
discontinuità geometrica può solo essere valutata con metodi numerici o
sperimentali.
Effetto delle tensioni statiche
6-25
Fig. 12: Esempi di Fattori di
concentrazione delle tensioni per albero
in trazione con variazione di diametro
6-26
Meccanica dei Materiali
Fig. 12 bis: Fattore di concentrazione
delle tensioni per albero in flessione
con variazione di diametro
Effetto delle tensioni statiche
6-27
Fig. 12 tris: Fattore di
concentrazione delle tensioni per
albero in torsione con variazione
di diametro
6-28
Meccanica dei Materiali
Lastra infinita con foro circolare
Un altro caso interessante di discontinuità geometrica è offerta dalla lastra di grande dimensioni
con foro circolare caricata all’infinito da una tensione uniforme di trazione.
Le espressioni analitiche delle tensioni sono
le seguenti [ ] [ ]:
3
σy/S= 1+0,5 (r/x)2 + 1,5 (r/x)4
σy /S
σx/S= 1,5 (r/x)2 – 1,5 (r/x)4
2
1
dove:
S= tensione nominale (carico/area)
σx/S
1 2
3
4
5
x/
r
σy = tensione longitudinale
σx = tensione trasversale
x= distanza dal centro del foro
r= raggio del foro
Kt=3 al bordo. Le tensioni longitudinali
decrescono rapidamente lungo x. A distanza
dal bordo pari al valore del diametro (x=3r) la
tensione è solo il 7% più grande di quella
nominale.
Fig. 13: Concentrazione delle tensioni dovuta a un foro circolare in lastra caricata in una direzione
Effetto delle tensioni statiche
6-29
Lastra infinita con foro ellittico
Per un foro ellittico di semi diametri a e b, soggetto ad uno stato di tensione
uniforme, un si dimostra, introducendo un sistema ellittico di coordinate, che
la tensione massima tangente al foro e perpendicolare al semi diametro
maggiore, vale l’espressione riportata:
b
a
Nel caso di tensione uniforme in una
sola direzione, perpendicolare al
diametro maggiore del foro, si ha
invece:
che, per a=b dà 3 per il fattore di
concentrazione, come visto.
Fig. 14: Concentrazione per foro ellittico in lastra caricata in una e in due direzioni
6-30
Meccanica dei Materiali
Tensione imposta e
deformazione imposta
C
2S
A
P
<2S
B
S
O
e
2e
>2e
Un altro aspetto importante del
comportamento meccanico dei materiali è
legato alla condizione di carico. Occorre infatti
distinguere se le tensioni derivano
direttamente dai carichi applicati o se
viceversa derivano da stati di deformazione
applicati o da condizioni di congruenza
interna. Oltre la tensione di snervamento
infatti, si deve distinguere la condizione di
tensione imposta da quella di deformazione
imposta.
La fig. mostra come valori di deformazione e
di tensione, che in caso di comportamento
lineare sarebbero rappresentati dallo stesso
punto, nel caso di comportamento non lineare
sono rappresentati da punti diversi della curva,
a seconda che rappresentino una condizione di
tensione imposta (punto A) oppure una
condizione di deformazione imposta (punto
B).
Fig.15 : Tensione imposta (A) e deformazione imposta (B) e punto generico (P).
Effetto delle tensioni statiche
6-31
Si realizza il primo caso quando le tensioni insorgono per equilibrio diretto dei carichi
esterni (p.e. tensioni membranali in recipienti a pressione), mentre il secondo caso si
ha quando le tensioni nascono per il rispetto di una condizione di congruenza interna
(tensioni secondarie nei recipienti a pressione) o esterna (forzamento albero-mozzo).
tensioni
secondarie
tensioni
primarie
A) Recipiente a pressione
B) Forzamento albero mozzo
Fig.16 : Esempi di tensione imposta (A- primaria) e deformazione imposta (B- tensione secondaria)
6-32
Meccanica dei Materiali
S
< 2S
La situazione che si realizza nelle
discontinuità geometriche è intermedia tra
i due casi estremi citati: un volume di
materiale di dimensioni limitate può
superare il limite elastico rimanendo
congruente con il resto del materiale che
permane in campo elastico, (vedi l’area
indicata). Si ritiene che, in questo caso, la
condizione del materiale sia comunque
più vicina alla condizione di deformazione
imposta. Il punto P sulla curva , sarà
dunque compreso nel tratto A−B e più
vicino a B che ad A (punto P).
Come si vedrà, questa osservazione sta
alla base della teoria della fatica basata
sulla deformazione locale.
Fig.17: Situazione intermedia tra quella di tensione imposta e quella di deformazione imposta.
Effetto delle tensioni statiche
6-33
La formula approssimata dovuta a Neuber
Se si supera il limite elastico, come abbiamo visto non è più rispettata la
proporzionalità tra le tensioni e le deformazioni. Pertanto il fattore di concentrazione
delle tensioni differisce dal fattore di concentrazione delle deformazioni. Si definiscono
allora due diversi fattori:
Kσ =
σ max
Kε =
S
ε max
e
Il legame tra e ed S è espresso dalla relazione e = S/E poiché sono valori in campo elastico.
Se si esamina la fig.18 si vede chiaramente che oltre il campo elastico la tensione è minore di
quella che sarebbe in campo elastico e la deformazione è maggiore (coordinate del punto P
rispetto alle coordinate del punto C). Valgono pertanto le relazioni:
Kσ < Kt < Kε
Neuber sulla base di ricerche su alberi in torsione ha determinato una relazione tra le
tre grandezze che viene estesa a tutti i casi di sollecitazione, che è la seguente:
Kσ Kε = Kt 2
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Meccanica dei Materiali
La fig.18 mostra l’andamento qualitativo di questi fattori al variare della tensione σ al fondo
dell’intaglio:
K
3
Kε
Kt = Kσ = Kε
2
Kσ
1
0
Rs
σ
Fig.18: Fattori di concentrazione entro e oltre il limite elastico.
Sostituendo nella relazione di Neuber le espressioni dei fattori di concentrazione, si ricava:
σmax / S . ε max / e = Kt 2
ovvero
σ max .ε max = S. e Kt 2 = (S. Kt )2
E
Effetto delle tensioni statiche
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Nella figura seguente possiamo allora individuare esattamente il punto P all’intersezione
della retta elastica con una iperbole,detta appunto di Neuber individuata dalla equazione
precedente.
C
2S
A
P
<2S
B
S
0
e
2e
>2e
Fig.19: Fattori di concentrazione entro e oltre il limite elestico.
σ max .ε max =(S. Kt )2 / E = cost.
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Meccanica dei Materiali
Bibliografia
[1] S. Fuchs et alii: Metal Fatigue in Engineering J.Wiley & Sons N.Y. 2002
[2] E. Haibach : Betriebsfestigkeit: Verfahren un Daten zur Bauteilberechnung
Springer Verlag Berlin 2002
[3] W. Eichlseder: Betriebfestigkeit Vol I Montan Universitaet Leoben, 2005
