Definizione di Flusso Il flusso è la quantità di materia
che passa attraverso una
superficie nell’unità di tempo.
Se si parla di campo elettrico
uniforme basterà dire linee di
campo per unità di superficie
• Il flusso aumenta se il campo elettrico aumenta
• Il flusso attraverso una superficie perpendicolare al campo è massimo
• Il flusso attraverso una superficie parallela al campo è zero
L’algoritmo che soddisfa queste condizioni è il prodotto scalare fra il
vettore campo elettrico E e un vettore ΔA normale alla superficie
! !
ΔφE = E ⋅ ΔA = EΔA cosθ
Flusso di un campo Il flusso attraverso una superficie chiusa è sempre
nullo, a meno che all’ interno della superficie non vi
sia una sorgente o un pozzo di campo:
Infatti il prodotto scalare misura la densità delle linee
di campo attraverso una superficie
ΔΦE = E ΔA cosθ
Può quindi verificarsi che le linee si addensino o si
diradino, in questo caso la superficie investita sarà
maggiore o minore, ma la densità di campo è la stessa.
Si deve prestare attenzione alla direzione delle linee del
campo che incidono sulla superficie chiusa.
Per le linee entranti il flusso è negativo mentre per le
linee uscenti il flusso è positivo; il risultato netto è 0.
Teorema di Gauss “Il flusso ΦE di campo elettrico che attraversa una qualunque superficie
chiusa è proporzionale alla carica in essa racchiusa”.
∫dΦE = Q/ε0
Caso di una carica puntiforme:
Il flusso elettrico elementare attraverso una
superficie infinitesima vale ΔΦE= E ΔA cosθ.
Se la superficie è perpendicolare alle linee di
campo cosθ = 1
ΔΦE= E ΔA
Se la superficie è una sfera di raggio r
∫ΔA = 4π r2
ΦE= E 4π r2
ma il campo vale E = F/q ovvero E = kQ/r2
ΦE = kQ/r2x4π r2 = 4π kQ
ponendo ε0 = 1/4π k (permettività) avremo ΦE = Q/ε0
Altre cariche situate fuori dalla sfera non contribuiscono al variare del
flusso perché tanto campo entra e tanto ne esce.
Legge di Gauss e di Coulomb Dalla legge di Coulomb si trova che il campo creato da una carica
puntiforme q a distanza r è: E = q / 4 π ε0 r2
Per il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico E è collegato con
la carica q interna ad una superficie chiusa dalla formula:
! !
ε 0 ∫ E ⋅ dA = qint
Se la carica è puntiforme, ragioni di simmetria ci dicono che il campo
è radiale quindi potremo usare come superficie Gaussiana una
superficie sferica
! !
ε 0 E ∫ dA = qint
2
ε 0 E (4πr ) = q
1
q
E=
4πε 0 r 2
Carica a simmetria sferica Se invece abbiamo una carica con distribuzione uniforme
sulla tangente e arbitraria sul raggio (vedi figure in basso)
allora possiamo calcolare il campo con lo stesso
procedimento usato nel caso del guscio.
Nel caso (a) il campo è a distanza r è il campo ottenuto
come se la carica fosse al centro della sfera E = q/4πε0 r2
Nel caso (b) il campo è il campo dovuto alla sola carica
interna q’ ovvero E = q’/4πε0 r2 e per calcolare q’ si fa
una proporzione
q'
4 3πr
3
=
q
4 3πR 3
⎛
⎞
q
⎟r
E = ⎜
⎜ 4πε R 3 ⎟
0
⎝
⎠
q' = q
r3
R3
r<R
Potenza del teorema di Gauss Supponiamo di voler conoscere il campo elettrico
generato da un filo carico (con densità λ) di lunghezza
infinita.
In questo caso costruire una sfera attorno al filo non
risulterebbe vantaggioso perché la distanza dalla carica
alla superficie sarebbe una funzione complessa, mentre
se costruiamo un cilindro attorno alla distribuzione di
carica lineare tutto è più semplice.
Attraverso le due basi il contributo al flusso totale è nullo
perché il campo ha simmetria radiale; mentre il flusso
attraverso la superficie laterale vale:
Φ = EAcosθ = E(2πrh)cosθ
La carica racchiusa all’interno della superficie è λh. Per il
teorema di gauss
ε0E(2πrh)= λh
λ 1
E=
ovvero
2πε 0 r
Campo ele<rico di una lastra carica isolante • Il valore del campo elettrico generato da una
distribuzione piana si può trovare utilizzando il teorema
di Gauss.
! !
ε 0 ∫ E ⋅ dA = qint
• Disegniamo una superficie chiusa cilindrica con le basi
parallele alla distribuzione piana e la superficie laterale
che attraversi la lamina (vedi figura).
• Per ragioni di simmetria si nota che il campo è
perpendicolare alla lamina.
σ
Allora ε0 = (EA + EA) = σA
E=
2ε 0
La semplicità con cui si ottiene questo risultato è una conferma della
potenza del teorema di Gauss.
P.S.
Si noti che, come per il caso del campo generato da un disco uniformemente carico, per
distanze finite il campo non dipende da r.
Campo elettrico di una
superficie carica
• Se volessimo calcolare il campo nei pressi di una
superficie molto grande, con densità di carica σ,
superficie possiamo usare il teorema di Gauss
assumendo il campo è costante.
• Le sue linee non attraversano la superficie laterale,
mentre attraversano una sola superficie di base.
ε0EA = σA
σ
E=
ε0
• La differenza con il campo della lamina isolante è dovuta al fatto
che all’interno del conduttore il campo elettrico E è 0.
• Mentre per la lamina la stessa densità di carica contribuisce sia a
destra che a sinistra
Energia potenziale e Potenziale Se, in un campo elettrico, cerchiamo di spostare una carica q da un
punto “iniziale” ad un punto “finale”, facciamo un lavoro meccanico che è
pari, ed opposto, al lavoro che fa il campo elettrico wmecc = - wele .
Il lavoro elettrico dipende solo dalle posizioni iniziali e finali della carica;
il campo elettrico E è una grandezza conservativa .
E’ quindi possibile attribuire ad una carica q, immersa in un campo
elettrico, una energia potenziale elettrica U(p).
Pertanto una carica di prova q0, passando dal punto A al punto B avrà
due diversi potenziali, la cui differenza è
U(A) – U(B) = wele = - wmecc
Se poniamo U(B) = U(∞) = 0 avremo che l’energia potenziale U(A) è il
lavoro che una forza elettrica Fe = q0E compie per portare una carica da
∞ al punto A.
Il potenziale elettrico V(p) generato da una carica Q è l’energia
potenziale U(p), posseduta da una carica unitaria q0 posta nel punto p
V(p) = U(p)/q0
Il Potenziale Siccome l’energia potenziale U dipende da w ed w dipende da q; se
raddoppiamo la carica esploratrice troveremo che anche il lavoro è raddoppiato e
quindi anche U. Possiamo concludere che esiste una funzione V indipendente
dalla carica esploratrice, funzione solo del campo E in discussione.
V = U/q
e naturalmente
ΔV = Vf – Vi = Uf/q – Ui/q = ΔU/q
La differenza di potenziale ΔV è una funzione della posizione
Vf – Vi = - w/q
e ci dice che la d.d.p. ΔV è il lavoro necessario alla forza elettrostatica di
spostare una carica unitaria fra due punti, e può essere positiva o negativa.
Se l’energia potenziale è nulla all’infinito anche il potenziale è nullo all’infinito,
quindi
L’ unità di misura del potenziale è [J/C] e si chiama Volt (V)
pertanto il campo elettrico E sarà definito come [V/m].
w∞
V =−
Per spostare un elettrone attraverso una differenza di
q
potenziale di un volt è necessaria una energia di un
elettronvolt [eV] 1eV = (1.6 10-19 C) (1J/C) = 1,6 10-19 J
Calcolo del Potenziale ! !
Definizione di Lavoro
dL = F ⋅ ds
! !
Lavoro di un campo elettrico
dL = q0 E ⋅ ds
f !
!
Calcolo integrale
L = q0 ∫ E ⋅ ds
i
f !
!
V f − Vi = − ∫ E ⋅ ds
Relazione fra Lavoro e d.d.p.
i
f !
!
Ponendo V = 0
V = − ∫ E ⋅ ds
i
i
Superfici equipotenziali Una superficie equipotenziale è il luogo
geometrico dove il potenziale è uguale.
La superficie può essere una reale o
immaginaria.
Spostare una particella carica su una
superficie equipotenziale non costa lavoro.
Una superficie equipotenziale è
perpendicolare alle linee di forza
Potenziale di una carica punAforme Si voglia spostare una carica q0 dal punto p (distante
r dalla carica q) all’infinito radialmente rispetto a q. La
definizione di potenziale richiede di fare l’integrale del
prodotto scalare
E ds = E cosθ ds
q
Vf – Vi = - ∫E dr
1
q
0 −V = −
dr =
2
∫
R
4πε 0 r
4πε 0
∞
fra 0 e inf
∞
1 q
⎡ 1 ⎤
⎢⎣ r ⎥⎦ = − 4πε R
R
0
1
q
V=
4πε 0 R
Una carica positiva realizza un
potenziale elettrico positivo
Potenziale di un dipolo ele<rico Naturalmente il potenziale soddisfa il principio di
sovrapposizione
1
n qi
2
V=
=
V
∑
∑
1
1 i
4πε 0
ri
Nel punto p il potenziale sarà la somma dei potenziali
dovuti alla carica (+) e alla carica (-)
⎛ q −q ⎞
q r( −) − r( + )
V = ∑1 Vi =
+
⎜
⎟⎟ =
∑
1 ⎜
4πε 0
⎝ r( + ) r( −) ⎠ 4πε 0 r( −) r( + )
1
2
2
Nell’ipotesi di r>>d
la differenza r(-) – r(+) ~ d cos θ e il prodotto
r(-) r(+) ~ r2
1
p cosθ
V=
4πε 0 r 2
p = qd
Potenziale di una distribuzione conAnua Quale è il potenziale di una distribuzione lineare di carica? Ponendo a zero il
potenziale a distanza infinita; a distanza r il potenziale elementare sarà:
dV = dq/4πε0r
e naturalmente il potenziale sarà l’integrale di tale grandezza. Se la carica è
una barretta uniformemente carica
dV =
1
dq
1
=
4πε 0 r
4πε 0
λdx
x2 + d 2
L
λ
1
V =
dx =
∫
2
2
0
4πε 0
x +d
L
λ
2
2
V =
ln x + x + d 0
4πε 0
[(
⎡ L + L2 + d 2
λ
V =
ln ⎢
4πε 0 ⎢⎣
d
)]
⎤
⎥
⎥⎦
Potenziale di un disco carico Per calcolare il potenziale dovuto ad un disco
carico dobbiamo individuare la carica elementare
da integrare. Sia un anellino largo dR’ a distanza R’
Allora dq = σ(2πR’)(dR’)
dq
1 σ (2πR ' )(dR ' )
dV =
=
2
4πε 0 r
4πε 0
z 2 + R'
σ R
R'
'
V = ∫ dV =
dR
=
∫
2
'
2
0
2ε 0
z +R
1
V=
σ
2ε 0
(z
2
+ R2 − z
)
Valore dell’energia potenziale di cariche fisse Abbiamo visto come si trova l’energia potenziale di una carica
esploratrice immersa in un sistema di cariche fisse. Vogliamo
determinare l’energia potenziale necessaria a formare l’insieme
delle cariche fisse. Per intenderci: quale deve essere il lavoro per
portare due cariche a una distanza fissa?
La prima carica portata dall’infinito alla posizione x non compie
nessun lavoro, ma la seconda carica che dall’infinito si posiziona a
(x-d) farà un lavoro per vincere la repulsione che sarà q2V e V =
q1/4πε0r è il potenziale generato da q1 quindi
L = q2V = U =
q1q2
4πε 0 r
1
Per cariche uguali il Lavoro sarà positivo, per cariche diverse sarà
negativo
Potenziale per un condu<ore carico In un conduttore, l’eccesso di carica si distribuisce
in modo che il potenziale all’interno e sulla
superficie sia costante.
Si è già visto che
f
V f − Vi = − ∫ E ⋅ ds
i
Siccome il campo elettrico all’interno deve essere 0
allora Vf = Vi
In figura sono mostrati anche gli andamenti del
campo e del potenziale interni ed esterni al
conduttore. La curva del campo elettrico si ottiene
derivando quella del potenziale.
Se il corpo non è una sfera può succedere che ci sia
una addensamento di carica (come succede in
prossimità di cuspidi) dove le cariche si possono
addensare fino a formare l’”effetto corona”
-
+
E=0
