LE LEGGI DI MENDEL

LE LEGGI DI MENDEL
I primi tre postulati di Mendel:
1.I caratteri genetici sono controllati da fattori che
esistono in coppie nei singoli organismi
2.Quando due fattori diversi, responsabili di un unico
carattere, sono presenti in un dato individuo, un fattore
è dominante sull’altro, che viene detto recessivo
3.Durante la formazione dei gameti, i fattori presenti in
coppie si separano, o segregano, casualmente in modo
tale che ciascun gamete riceve con la stessa
probabilità l’uno o l’altro di essi
LE LEGGI DI MENDEL
Mendel incrociò piante di linea pura per il carattere
“alto” e per il carattere “nano” (incrocio tra
monoibridi) e osservò la scomparsa del carattere nano
nella prima generazione.
Reincrociando tra loro piante di prima generazione, il
carattere nano ricompariva (fenotipicamente) nella
seconda generazione in proporzione di circa 1/4
(rapporto di 3:1 di piante alte su quelle nane)
LE LEGGI DI MENDEL
Prendiamo in considerazione il carattere alto (D) , nano
(d) per le piante di pisello. Con linguaggio moderno,
diciamo:
I genotipi possibili sono
DD, Dd, dd.
I genotipi DD, dd sono detti omozigoti
Il genotipo Dd è detto eterozigote
I fenotipi sono due: alto (DD, Dd), nano (dd)
LE LEGGI DI MENDEL
Scriviamo la tabella di tutti i possibili incroci :
DD
Dd
dd
DD
DD
1/2 DD
1/2 Dd
Dd
Dd
1/2 DD
1/2 Dd
1/2 Dd
1/2 dd
dd
Dd
1/4 DD
1/2Dd
1/4 dd
1/2 Dd
1/2 dd
dd
LE LEGGI DI MENDEL
Considerando due coppie di tratti contrastanti: Giallo,
Verde e Liscio e Rugoso, mediante il reincrocio
(diibridi), Mendel formulò il suo quarto postulato:
l’assortimento indipendente
4. Durante la formazione dei gameti, le coppie di
fattori segreganti si assortiscono indipendentemente
l’una dall’altra.
Indichiamo con G “giallo”, v “verde”, L “liscio”, r
“rugoso” , si ottiene:
LE LEGGI DI MENDEL
3/4
1/4
G
3/4
L
v
1/4
r
(G,L)
9/16
(G,r)
3/16
3/4
L
(v,L)
3/16
1/4
r
(v,r)
1/16
Distribuzione di probabilità dei fenotipi
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
IPOTESI (POPOLAZIONE IDEALE):
1.Tutti gli individui con qualsiasi genotipo hanno lo
stesso tasso di sopravvivenza e uguale successo
riproduttivo, cioè non c’è selezione.
2. Nessun nuovo allele viene creato o modificato nella
popolazione per mutazione.
3. Non c’è migrazione di individui verso l’estermo o
verso l’interno della popolazione.
4. La popolazione è infinitamente grande.
5. Gli accoppiamenti nella popolazione sono casuali.
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
In questa popolazione consideriamo un gene con due
possibili alleli A, a.
Vogliamo studiare come varia la distribuzione dei
genotipi da una generazione all’altra.
Indichiamo con pAA, pAa, paa le frequenze rispettive dei
genotipi AA, Aa, aa, nella generazione iniziale
(generazione 0), dove
pAA+pAa+ paa = 1
Basandoci sulle leggi di Mendel valutiamo la
distribuzione delle frequenze genotipiche nella
generazione dei figli (generazione 1)
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Tenendo conto della tabella degli
precedentemente vista, indichiamo con
incroci,
FAA, FAa, Faa gli eventi : il figlio ha genotipo,
rispettivamente, AA, Aa, aa
ed analogamente con PAA, PAa, Paa per il padre e con
MAA, MAa, Maa, per la madre
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Si può avere FAA dai seguenti incroci:
PAA e MAA, tutti i figli AA
PAA e MAa,
figli AA con probabilità
1/2 = P(FAA| PAA∩ MAa)
PAa e MAA, figli AA con probabilità
1/2 = P(FAA| PAa∩ MAA)
PAa e MAa, figli AA con probabilità
1/4 = P(FAA| PAa∩ MAa)
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Dunque la probabilità che un figlio sia AA è data, per la
legge della probabilità composta:
P(FAA) = P(PAA∩ MAA) + P(PAA∩ MAa)·(1/2) + P(PAA∩
Maa)·(1/2) + P(PAa∩ MAa)·(1/4)
Come calcoliamo P(PAA∩ MAA) , P(PAA∩ MAa),…?
Gli eventi “padre di un dato genotipo”, “madre di un
dato genotipo” sono indipendenti, quindi
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
P(PAA∩ MAA) = (pAA)2
P(PAA∩ MAa) = P(PAa∩ MAA) = pAA pAa
P(PAa∩ MAa) = (pAa)2
Dunque avremo:
P(FAA) = (pAA)2 +2·(1/2)· pAA pAa + (1/4)·(pAa)2 =
(pAA +(1/2) pAa )2
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Analogamente avremo FAa dai seguenti incroci:
PAA e MAa,
figli Aa con probabilità
1/2 = P(FAa| PAA∩ MAa)
PAa e MAA, figli Aa con probabilità
1/2 = P(FAa| PAa∩ MAA)
PAa e MAa, figli Aa con probabilità
1/2 = P(FAa| PAa∩ MAa)
E ancora…
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
PAA e Maa, tutti i figli Aa , idem per Paa e MAA,
PAa e Maa, figli Aa con probabilità
1/2 = P(FAa| PAa∩ Maa)
Idem per Paa e MAa
Abbiamo quindi:
P(FAa) = P(PAA∩ MAa)·(1/2) + P(PAa∩ MAA)·(1/2) +
P(PAa∩ MAa)·(1/2) + P(PAA∩ Maa) + P(Paa∩ MAA) +
P(PAa∩ Maa)·(1/2) + P(Paa∩ MAa)·(1/2)
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
P(FAa) = 2·(1/2)·pAA·pAa + (1/2)·(pAa)2 + 2·paa·pAA +
2·(1/2)·pAa·paa = 2· pAA ((1/2)· pAa + paa ) + pAa·((1/2)·
pAa + paa ) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )
Infine si avrà l’evento Faa analogamente al caso AA,
basterà scambiare A con a, otteniamo:
P(Faa) = (paa)2 +2·(1/2)· paa pAa + (1/4)·(pAa)2 =
(paa +(1/2) pAa )2
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Dunque, riassumendo:
P(FAA) = (pAA +(1/2) pAa )2
P(FAa) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )
P(Faa) = (paa +(1/2) pAa )2
Si osserva che pAA +(1/2) pAa = p(A) esprime cioè la
frequenza dell’allele A nella popolazione
analogamente paa +(1/2) pAa = p(a) è la frequenza
dell’allele a nella popolazione e si ha p(A) + p(a) =1
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Abbiamo quindi che:
P(FAA) = (pAA +(1/2) pAa )2 = (p(A))2
P(FAa) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )
=2p(A)p(a)
P(Faa) = (paa +(1/2) pAa )2= (p(a))2
Alla generazione successiva (generazione 2), avremo:
p’(A) = (p(A))2 + (1/2)· 2p(A)p(a) = p(A)·(p(A) + p(a))
= p(A) , essendo p(A) + p(a) = 1
La frequenza dell’allele A( e quindi anche di a) alla
generazione 2 resta la stessa della generazione 1
LEGGE DI HARDY-WEINBERG
Abbiamo dimostrato che, nelle ipotesi dette, le
frequenze degli alleli in un pool genetico non variano
nel tempo. Se si considerano due alleli A, a per un dato
locus, dopo una sola generazione di incroci casuali le
frequenze genotipiche di
AA, Aa, aa possono essere espresse come
p2, 2pq, q2, dove p=p(A), q= 1-p = p(a)
IL FATTORE Rh
L’assenza nel sangue del fattore Rh, indicata con Rh−, è
dovuta ad un allele recessivo, indichiamolo con a.
Risultano Rh− gli individui di genotipo aa. Mentre quelli
di genotipo AA, Aa risultano Rh+.
Vogliamo calcolare la probabilità che una madre Rh−
generi un figlio Rh+
Supponiamo inizialmente di non avere informazioni
circa il fattore Rh del padre.
IL FATTORE Rh
Il figlio riceverà sicuramente dalla madre l’allele a, per
risultare Rh+ dovrà ricevere dal padre un allele A, quindi
l’evento sarà possibile solo se il padre è:
AA ed allora il figlio sarà certamente Rh+
oppure
Aa ed allora il figlio potrà essere Rh+ solo se eredita
l’allele A e questo si ha con probabilità 1/2
IL FATTORE Rh
Se la frequenza dell’allele A è p, la distribuzione di
probabilità dei genotipi è
P(AA) = p2, P(Aa) = 2pq, P(aa) = q2, dove q=1-p è la
frequenza dell’allele a
Quindi indicando con F+, l’evento il figlio è Rh+ , si ha
P(F+) = p2 + (2pq)·1/2 = p(p+q) = p
Dunque, in assenza di informazioni sul fattore Rh del
padre, la probabilità di una donna Rh- di avere un figlio
Rh+ corrisponde alla frequenza dell’allele A nella
popolazione.
IL FATTORE Rh
Supponiamo ora di sapere che il padre è Rh+, e
vogliamo calcolare di nuovo la probabilità che il figlio
risulti Rh+, restando la madre Rh−, vale a dire:
vogliamo calcolare P(F+|P+), dove con P+ abbiamo
indicato l’evento “il padre è Rh+” , si ha
P(F+|P+) = P(F+∩P+)/ P(P+)
Abbiamo calcolato nel caso precedente
P(F+) = P(F+∩P+) = p, infatti se il padre fosse Rh- il
figlio non potrebbe essere Rh+
IL FATTORE Rh
Dobbiamo calcolare P(P+) , si ha
P(P+) = p2 + 2pq, dunque
P(F+|P+) = p/(p2 + 2pq) = 1/ (1+q)
Si osserva che 1/(1+q) > p (perché?), vale a dire
P(F+|P+) > P(F+) , l’evento P+ è correlato positivamente
con l’evento F+
IL FATTORE Rh
Supponiamo ora di sapere che è nato un figlio Rh+ da
madre Rh− , qual è la probabilità che il padre sia Rh+
omozigote?
Dobbiamo calcolare P(PAA|F+) , dove abbiamo indicato
con PAA l’evento padre Rh+ omozigote
P(PAA|F+) = P(PAA∩F+) / P(F+)
Abbiamo già calcolato la probabilità P(F+)= p, inoltre
P(PAA∩F+) = p2
IL FATTORE Rh
P(PAA|F+) = P(PAA∩F+) / P(F+) = p2 /p = p
Dunque P(PAA|F+) = p
Si osserva che p > p2 (perché?), quindi l’evento F+ è
correlato positivamente con l’evento PAA
Se P(PAA|F+) = p, qual è la probabilità di P(PAa|F+) ?
1-p = q
IL FATTORE Rh
Supponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh+
da madre Rh− , qual è la probabilità che il padre sia
Rh+ omozigote?
Indichiamo con FI+ ed FII+ rispettivamente gli eventi “il
primo figlio è risultato Rh+” , “il secondo figlio è
risultato Rh+” , vogliamo calcolare:
P(PAA| FI+ ∩ FII+ )=P(PAA∩( FI+ ∩ FII+ ))/P(FI+ ∩ FII+)
P(PAA∩( FI+ ∩ FII+ )) è, ovviamente, uguale a p2
Dobbiamo calcolare P(FI+ ∩ FII+)
IL FATTORE Rh
Per calcolare P(FI+ ∩ FII+), dobbiamo tenere conto che
questo evento può verificarsi nei seguenti due casi:
Il padre è AA e quindi i figli sono sicuramente entrambi
Rh+ oppure il padre è Aa ed i figli sono entrambi Rh+
solo se hanno ereditato entrambi, indipendentemente
l’uno dall’altro con probabilità 1/2 ciascuno, un allele A.
Si ha quindi:
P(FI+ ∩ FII+) = p2 + (1/2)·(1/2)·2·p·q = p2 + (p·q) /2
IL FATTORE Rh
La probabilità richiesta è quindi
P(PAA| FI+ ∩ FII+ )= p2/(p2 + (p·q) /2) = 2p/(p+1)
Si osserva che 2p/(p+1) > p (perché?), vale a dire che la
nascita di un secondo figlio Rh+ aumenta la probabilità
che il genotipo del padre sia AA.
IL FATTORE Rh
Supponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh+
da madre Rh− , qual è la probabilità che il padre sia
Rh+ omozigote?
ALTRO MODO DI PROCEDERE:
Potremmo partire dalle probabilità calcolate una volta
saputo che è nato un primo figlio Rh+ , per modificarle
in base alla nuova informazione che ci viene data dal
sapere che è nato un secondo figlio anch’esso Rh+ .
Assumiamo quindi come P(PAA) = P(PAA|FI+) = p ,
P(PAa) = P(PAa|FI+) = 1-p= q
Calcoliamo quindi P(PAA|FII+)
IL FATTORE Rh
Si ottiene
P(PAA|FII+) = P(PAA∩FII+)/ P(FII+)
P(PAA∩FII+) = p
P(FII+)= p + (1/2)·q
P(PAA|FII+) = p/(p + q/2) = 2p/(p+1)
L’informazione raccolta tutta insieme o un po’ per volta
porta ovviamente alle stesse conclusioni.