Politecnico di Torino
Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine
5.3
LE TURBINE RADIALI
5.3.1 INTRODUZIONE
Se la componente di portata della velocità del fluido, invece che parallela
all’asse di rotazione della macchina, è ad esso ortogonale, la turbina si dice
radiale, centrifuga o centripeta a seconda che il verso della componente di
portata sia positivo verso la periferia o verso l’asse della macchina.
In realtà, più di frequente, anziché turbine puramente radiali, sono realizzate ed
utilizzate turbine a flusso misto, nelle quali la direzione di ingresso del fluido è,
ad esempio, radiale e quella di uscita assiale (o viceversa).
Anche per una macchina di questo tipo vale la relazione
Lott = −Li = u1cu1 − u2cu 2 ,
in quanto per dedurla dal teorema del momento della quantità di moto non sono
state formulate ipotesi particolari sulla direzione della componente di portata.
La caduta isentropica di entalpia si ottiene, al solito, applicando il I Principio
della Termodinamica tra le sezioni di ingresso e di uscita del distributore e della
girante:
Q + Li = ∆i + ∆E c + ∆Ecf + ∆E g .
Se la turbina (come di solito si suppone) è adiabatica (Q=0) e percorsa da un
fluido aeriforme (∆Eg = 0), la caduta isentropica nel distributore (Li = 0), al quale
il fluido pervenga con velocità c0 e dal quale esca con velocità c1, in un sistema
di riferimento solidale alla palettatura (∆Ecf = 0) vale
− ∆i is ,distr = i 0 − i1,is = ∆Ec =
c12
c02
−
,
2ϕ 2 2
dove i simboli sono stati introdotti nei paragrafi precedenti.
Analogamente, la caduta isentropica nella girante, essendo le velocità relative
in ingresso ed uscita rispettivamente w1 e w2, in un riferimento solidale alla
palettatura (Li = 0; ∆Ecf ≠ 0) vale
− ∆i is ,gir = i1 − i 2,is = ∆Ec + ∆Ecf =
w 22 w12 u12 u22
−
+
−
,
2ψ 2
2
2
2
[1]
dove u1 ed u2 sono le velocità periferiche all’ingresso ed all’uscita della girante,
sicuramente diverse tra loro per l’organizzazione radiale della macchina.
Sommando le due precedenti relazioni si ottiene la caduta di entalpia
isentropica complessiva in uno stadio:
− ∆i is ,tot = ∆i is ,tot = i 0 − i 2,is
c12
c02 w 22 w12 u12 u22
=
−
+
−
+
−
.
2ϕ 2 2 2ψ 2
2
2
2
Il lavoro ottenuto dallo stadio è correlabile nel modo consueto alla caduta
entalpica reale, la cui espressione si ottiene dalla relazione precedente
ponendo ϕ =ψ =1.
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo)
5. TURBOMACCHINE - pag. 93
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Si nota, nel confronto con le turbine assiali, che la caduta elaborabile in uno
stadio, a parità di velocità del fluido e quindi di perdite per attrito fluidodinamico,
è maggiore per una turbina centripeta (u1>u2) che per una turbina centrifuga
(u1<u2).
Inoltre in un elemento ad azione non è più vero che la velocità isentropica di
uscita dalla girante è uguale a quella di ingresso: il valore di w2 si ottiene dalla
[1] ponendo ∆iis,gir=0.
5.3.2 SCHEMA DI UNO STADIO E TRIANGOLI DELLE VELOCITÀ
Le turbine radiali ad uno stadio vengono generalmente organizzate secondo
uno schema centripeto misto (figura 5.30) con elevato rapporto tra raggio di
ingresso (raggio esterno) e raggio di uscita (raggio interno), per sfruttare al
massimo, come visto, la caduta di entalpia. La direzione del flusso in ingresso è
radiale (centripeta), mentre in uscita il fluido ha direzione praticamente assiale
(subisce una deviazione di circa 90° all’interno della macchina).
(a)
(b)
Figura 5.30: Turbina radiale centripeta mista con voluta prima dell’ingresso nel
distributore (a) e senza voluta (b); sono rappresentate una sezione in corrispondenza
di un vano interpalare (a sinistra) ed una vista frontale (a destra).
E’ questo il caso delle piccole turbine a gas (utilizzate ad esempio per la
turbosovralimentazione di motori alternativi a combustione interna – figura 5.31)
e di molte turbine idrauliche (Francis).
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo)
5. TURBOMACCHINE - pag. 94
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Girante
turbina
Figura 5.31: Esempio di gruppo di sovralimentanzione per un motore alternativo a
combustione interna (compressore radiale centrifugo mosso da turbina a flusso
centripeto azionata dai gas di scarico del motore).
Nel caso delle turbine a vapore, invece, avendosi problemi di smaltimento di
portata in volume assai più gravosi (considerati i rapporti d’espansione ed il tipo
di fluido, la variazione di volume massico durante l’espansione del vapore è
superiore di due ordini di grandezza rispetto al gas), l’organizzazione centripeta
non è conveniente: riducendosi il raggio lungo il percorso del fluido, si
dovrebbero prevedere palette con dimensione trasversale crescente in maniera
troppo rapida. Si preferisce allora generalmente l’organizzazione centrifuga,
frazionando la caduta in molti stadi aventi rapporti tra raggio interno ed esterno
poco diversi dall’unità. E’ abbastanza comune la pratica, favorita
dall’organizzazione radiale, di realizzare giranti controrotanti (figura 5.32), nelle
cosiddette turbine birotative, per le quali non è più possibile parlare di palette
“fisse” distributrici e di palette “mobili” che raccolgono lavoro: ambedue i tipi di
palettatura ruotano, con velocità periferica l’una opposta all’altra, e raccolgono
lavoro. I due alberi controrotanti sono collegati in genere a due distinti
generatori elettrici.
Figura 5.32: Schema di turbina birotativa: il disco che porta le corone di distributori è
fatto ruotare in senso opposto ad un secondo disco con palettature mobili.
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Non mancano tuttavia esempi di turbine a vapore centripete (si veda il
paragrafo 5.3.3), laddove vi sia necessità di elaborare modesti salti entalpici.
Per una turbina radiale centripeta, i triangoli delle velocità assumono la forma
rappresentata in figura 5.33 (è immediato estendere la rappresentazione e le
considerazioni al caso centrifugo).
Figura 5.33: Triangoli delle velocità in una turbina radiale centripeta (i due triangoli
rappresentano grandezze relative a piani diversi, generalmente perpendicolari tra loro).
Nel caso generale di una turbina a flusso misto (radiale/assiale) il triangolo delle
velocità in ingresso alla girante deve essere pensato come contenuto in un
piano perpendicolare all’asse della macchina; viceversa, il triangolo in uscita è
contenuto in un piano parallelo all’asse.
Con riferimento alla situazione reale (tenendo dunque conto delle perdite
fluidodinamiche), il lavoro ottenuto
Lott = −Li = u1cu1 − u2cu 2
[2]
può essere riscritto osservando che valgono le seguenti relazioni:
w12 = c12 + u12 − 2u1cu1 ,
w 22 = c 22 + u22 − 2u2cu 2 .
Da esse, infatti, è possibile ricavare i prodotti u1cu1 e u2cu2 che, sostituiti nella
[2], conducono alla seguente espressione del lavoro ottenuto in un singolo
stadio (si veda l’espressione generale del lavoro interno per le turbomacchine
riportata a pagina 5-5):
Lott =
c12 − c 22 w 22 − w 12 u12 − u22
+
+
.
2
2
2
Si può immediatamente osservare come le espressioni ricavate per il lavoro
ottenuto e per il salto totale entalpico isentropico dello stadio coincidano nel
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo)
5. TURBOMACCHINE - pag. 96
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caso in cui le perdite siano nulle (ϕ =ψ =1) e c2=c0 (energia cinetica allo scarico
dello stadio recuperata dallo stadio successivo).
5.3.2 ESERCIZIO SVOLTO
Una turbina a vapore radiale centripeta a singolo stadio ha in uscita dal
distributore una pressione di 2 bar ed una temperatura di 300 °C; in ingresso
alla girante l’angolo della velocità assoluta (c1=300m/s) è α1 = 20°, mentre la
lunghezza assiale della paletta è di 10mm ed il diametro medio della macchina
è d1=200mm (ξ=0.95). La turbina funziona con u1/c1=cosα1, ψ=0.9 e c2 radiale.
Sapendo che il diametro medio d2 delle palette in uscita dalla girante è pari a
100mm e che la pressione di scarico è di 1.2 bar, determinare i triangoli delle
velocità e la potenza utile dello stadio (η0 = 0.95).
Soluzione
I triangoli delle velocità sono rappresentati in figura 5.34.
Figura 5.34: Triangoli delle velocità dello stadio di turbina centripeta oggetto
dell’esercizio.
Dalle indicazioni riportate nel testo dell’esercizio si deduce che la velocità w1 ha
direzione radiale, dovendo sussistere la relazione u1/c1=cosα1. Viene anche
specificato che la c2 è diretta radialmente: il funzionamento dello stadio in
questione, dunque, è puramente radiale.
Noti la velocità c1 e l’angolo costruttivo α1, è possibile determinare la velocità
periferica all’ingresso della girante:
u1 = c1 cosα1 = 282 m/s ⇒ n =
πnd 2
60u1
= 141m / s
= 26929rpm ⇒ u2 =
60
πd 1
E’ immediatamente calcolabile anche la corrispondente componente radiale
della velocità:
w1 = cr = c1 sinα1 = 102.5 m/s.
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo)
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Sul diagramma di Mollier è possibile leggere l’entalpia specifica ed il volume
specifico del punto 1:
p1 = 2bar
⇒ i1 = 3070kJ / kg , v1 = 1.32 m3/kg.
t1 = 300°C
Il punto 2is si trova alla pressione p2 = 1.2 bar ed alla stessa entropia del punto
1; sul diagramma di Mollier, pertanto, si legge:
i2,is = 2945 KJ/kg.
Applicando il I Principio della Termodinamica tra l’ingresso e l’uscita della
girante in un sistema di riferimento solidale con la stessa, si ottiene:
Q/ + L/ i = i 2,is − i1 +
e dunque
w 22 w12 u12 u22
−
+
−
,
2ψ 2
2
2
2
w 2 = ψ 2(i1 − i 2,is ) + w12 + u 22 − u12 = 403.5m / s .
Per completare la conoscenza dei triangoli delle velocità, è necessario ancora
determinare la velocità assoluta in uscita dalla girante:
c 2 = w 22 − u22 = 378m / s .
Per determinare la potenza utile dello stadio, si deve calcolare la portata in
massa da esso smaltita:
& = ξπl1d1w 1 1 = 0.464kg / s .
m
v1
Poiché il lavoro ottenuto vale
Lott = u1cu1 − u2cu 2
( cu 2 = 0 )
= u1cu1
( u1 = cu 1 = c1 cos α1 )
=
u12 ≅ 79.5kJ / kg ,
si ottiene il seguente valore per la potenza utile:
& Lottη0 ≅ 35kW .
Pu = m
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