Riduttori

Robotica industriale
Riduttori
Prof. Paolo Rocco ([email protected])
Funzione dell’organo di trasmissione
La funzione di un organo di trasmissione
(riduttore) è di rendere compatibili velocità e
coppie dei motori e dei carichi movimentati.
Si caratterizza per il rapporto di trasmissione:
q& l =
1
q& m
n
τ ll = nτ lm
La velocità del carico è molto
ridotta rispetto a quella del
motore
La coppia sull’asse del carico è
molto maggiore rispetto a quella
sull’asse motore
n >> 1
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Harmonic Drive
Gli harmonic drive sono
riduttori particolari,
molto usati per le doti di
compattezza e per il
gioco ridotto.
Sono composti da tre
parti:
solidale al carico
solidale al motore
(rotore)
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HD: principio di funzionamento
La corona flessibile ha due denti in meno della corona circolare. E’ tenuta in forma
ellittica dal generatore di deformazione.
Ruotando il generatore di deformazione, la zona d’ingranamento dei denti si muove
insieme all’asse maggiore dell'ellisse. Quando il generatore di deformazione avrà
compiuto 180°, la corona flessibile sarà rimasta indietro di un dente rispetto alla
corona circolare. Ogni giro completo del generatore di deformazione muove la
corona flessibile indietro di due denti rispetto alla corona circolare.
Se d è il numero totale di denti
della corona flessibile, il
rapporto di riduzione vale:
n=−
360°
d
=−
2
2
⋅ 360°
d
Si veda http://www.harmonicdrive.de/it/1_6_2.htm per un’animazione
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Ipotesi di rigidità
Se si suppone la trasmissione perfettamente rigida, il modello dell’accoppiamento
motore-carico è semplicemente il seguente:
motore
J m q&&m = τ m − τ lm
J l q&&l = nτ lm − τ l
carico
trasmissione q m = nql
qm
τm
Jm
Jl
ql
τl
τm: coppia erogata dal motore
τl: coppia esterna agente sul carico
Pertanto:
J 
τ

 J m + 2l q&&m = τ m − l
n
n 

Si ha di fatto un unico corpo in rotazione.
Si osservi che l’inerzia del carico si scala con il quadrato del rapporto di
trasmissione.
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L’elasticità torsionale
Un modello più accurato consiste nell’assumere l’insieme motore, riduttore e
carico come un accoppiamento elastico tra due corpi rigidi. In questo caso le
equazioni del sistema sono le seguenti:
motore
J m q&&m = τ m − τ lm
J l q&&l = nτ lm − τ l
qm , τ m
carico
trasmissione τ lm = K el (q m − nql ) + Del (q& m − nq& l )
Jm
Del
J l ql ,τ l
K el
Kel: coefficiente di elasticità torsionale (Nm/rad)
Del: coefficiente di smorzamento (Nms/rad)
In realtà la deformabilità è non lineare e presenta
isteresi:
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L’attrito
L’attrito si manifesta alla superficie di contatto tra due corpi, opponendosi al
moto relativo:
fn
corpo A
corpo B
area di contatto macroscopica
Per studi in cui non è rilevante il comportamento a velocità nulla, si può adottare
un modello in cui la forza (o coppia) d’attrito è proporzionale alla velocità.
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Il modello classico discontinuo
Il modello classico discontinuo distingue tra le situazioni di velocità nulla (quiete)
e velocità diversa da zero:
τa
τs
τc
τS: coppia di primo distacco
τC: coppia di Coulomb
α
.
q
− τc
− τs
Per q& ≠ 0 :
Dm = tan (α )
τ a = Dm q& + τ c sign(q& )
Per q& = 0 :
.
τa (q = 0)
+ τs
− τs
+ τs
− τs
τ': coppia attiva
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τ'
Il modello continuo
fn
Lo sforzo medio cui è sottoposto il
materiale è proporzionale alla
pressione fra le superfici a contatto.
corpo A
corpo B
area di contatto macroscopica
Le giunzioni realizzano il
contatto.
All’aumentare del carico
aumenta la superficie di
contatto delle asperità ed
aumenta la resistenza di
taglio.
area di contatto reale
corpo A
corpo B
asperità
film solido di confine
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L’effetto Dahl
v
f
Le giunzioni si deformano
elasticamente dando luogo a
deformazioni dell’ordine del µm:
presliding displacements
Quando la forza esterna supera la
massima forza di attrito le
giunzioni si rompono: breakaway
Quando il moto si arresta le
giunzioni si riformano.
A livello macroscopico si ha
l’attrito statico (brusche transizioni
quiete/moto e viceversa).
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La lubrificazione idrodinamica
Effetto Stribeck
Pendenza negativa.
• Attrito statico e pre-sliding
displacements (I).
fa
• Lubrificazione di confine (II).
II
• Lubrificazione parziale (III).
IV
I
• Lubrificazione totale (IV).
III
fc
v
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Il gioco
Se si inverte il senso di rotazione del
motore, per un angolo di rotazione
corrispondente al gioco, l’angolo del
carico non cambia.
Il gioco nasce da imprecisioni di
accoppiamento tra gli ingranaggi:
può essere ridotto precaricandoli.
nql
qm
1
In un Harmonic Drive il gioco è
di 0.15° lato carico ed è dovuto
principalmente al cuscinetto.
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Dimensionamento elettrico
Come scegliere motore e riduttore, date le caratteristiche del carico?
Consideriamo due relazioni che coinvolgono il dimensionamento elettrico:
1) La velocità del motore è limitata dalla tensione di alimentazione VCC.
Infatti dalle relazioni (valide per velocità costante del motore ωm e in
assenza di coppia esterna sul carico):
 V = RI + K e ωm

 K t I = Dm ω m + τ c
max
⇒ ωm
=
VCC − Rτ c K t
RDm K t + K e
2) La coppia erogata dal motore e l’accelerazione allo spunto (ωm=0)
sono limitate dalla corrente massima del motore Imax. Infatti:
τ m = K t I

& m + τc
τ m = Jω
max
 τ max
=
K
I
t
 m
⇒  max K t I max − τ c
&m =
ω
J

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Rapporto di trasmissione
Caratterizziamo ora il motore con i seguenti dati:
Jm
momento d' inerzia
velocità massima
ωmax
m
coppia motrice massima τ max
m
ed il carico con i seguenti dati:
momento d' inerzia
Jl
velocità massima
ωlmax
& lmax
ω
accelerazione massima
coppia esterna massima τ lmax
Devono essere soddisfatte le seguenti relazioni:
max
 ωm
≥ nωlmax
 max
& lmax
nτ m ≥ τ lmax + J l ω
⇒
& lmax
τ lmax + J l ω
τ max
m
≤n≤
ωmax
m
ωlmax
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“Inertia matching”
Trascurando gli attriti e la coppia esterna sul carico, si ha:
& m + Jl
τm = J mω
&l
&l
ω
ω
&
= nJ m ωl + J l
n
n
Il rapporto tra accelerazione del carico e coppia motrice è quindi:
&l
ω
=
τm
1
nJ m +
Jl
n
Questo rapporto assume valore massimo quando:
n=
Jl
Jm
⇒
Jm =
Jl
n
2
condizione di “inertia matching”
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