L’ELETTROMAGNETISMO (parte prima)
a cura di SANDRA DORIA
Un atomo, a meno che non perda o acquisti elettroni,
è elettricamente neutro.
Forza elettrica tra protoni ed elettroni: analogia con la forza di gravitazione universale (che in
questo caso è molto piccola da poter essere approssimata a zero perché le masse sono minuscole)
Attrazione / repulsione
↑
Legge di Coulomb: F = ± k* q1*q2 / r² (vale solo per due cariche puntiformi)
↓
↓
dimostrata dalla bilancia di Cavendish
No costante universale: dipende dal mezzo.
Ko (k massima nel vuoto) = 9 * 109
↓
Unità di misura: N*m²
K = 1/ 4π * ε 0
/ C²
due cariche di 1coulomb alla distanza di 1
metro si attraggono con una forza di 9 * 109 N, equivalente al peso di
una massa di ;
9 * 108 Kg ( m = F/ g).
(apparentemente è solo un cambio di variabile)
↓
costante di elettrica
Nel vuoto k
= 1/ 4π * ε 0
costante di elettrica assoluta
↑
In un mezzo materiale k
= 1/ 4π*ε 0*ε r = 1/ 4π * ε
↓
costante dielettrica relativa
→ ε r = F0 (nel vuoto) / F (in un mezzo)
Elettrizzazione: CONDUTTORI (metalli): una volta caricati la carica si distribuisce sul tutto il
corpo; NON conduttori: la carica rimane localizzata lí dove si è caricato il corpo.
Elettroscopio.
Costituito da: pomello, ….., foglioline di…, involucro di vetro
(isolante), bacchetta carica. Avvicinando la bacchetta, notiamo
che le foglioline si separano, in quanto si caricano della stessa
carica. Non ho però modo di scoprire di che segno è la carica
della bacchetta finchè non ne avvicino un’altra di cui conosco la
carica: se è opposta a quella precedente, le foglioline si
scaricano e ricadono giù, se è dello stesso segno rimangono
cariche e separate.
Se la bacchetta non tocca il pomello, le foglioline si caricano
della carica opposta, perché essa si concentra nella parte
superiore, attratta dalla bacchetta (?).
Se noi (che siamo conduttori) tocchiamo il pomello, ci
carichiamo: sentiamo la scossa quando non siamo isolati, e la
scarichiamo per terra.
Il Vetro è isolante; si carica positivamente per strofinio. L’Ebanite è isolante; si carica
negativamente per strofinio.
Il Campo Elettrico
Un corpo carico acquista la capacità di interagire con altri corpi elettrizzati. Lo spazio intorno viene
modificato e si crea un campo: ogni oggetto postovi dentro è soggetto ad una forza.
→
E : intensità del campo elettrico
Carica esploratrice
Carica generatrice
→
Se F = k q*Q / r²
↓
→
→ F/q (modulo kQ /r²)= E
No indice di intensità del campo
↓
sono vettori
Direzione congiungente i baricentri
Verso: dipende dal segno della carica
generatrice (convenzione: positiva: F e E
stesso verso – non dipende da quella
esploratrice)
perchè cambiando q cambia F
la legge di Coulomb vale solo se le cariche sono
puntiformi, quindi anche questa; altrimenti la precedente.
Campo generato da due cariche
→
→
E = F(risultante delle due forze) / q
→
→
= E1 + E2
(somma vettoriale)
Dipolo Elettrico
Y
→
E
-Q
q0
+Q
X
I due campi si sommano, non si annullano: non esiste
un punto in cui si annullano (l’unico possibile è
l’origine, ma ciò non avviene)
→ →
(Se q0 = 1μc → E = F )
Linee di forza
Definizione: curva tangente in ogni punto al campo elettrico (diventa una retta se la carica
generatrice è puntiforme).
Linee di forza in un campo generato da due forze:
Maggiore è l’intensità del campo, più si disegnano linee di forza (proporzionali) in un’unità di
superficie; in realtà esse sono infinite.
Come si caricano gli oggetti neutri?
NON metallici (non conduttori): al loro interno possono avere legami ionici o molecole polari. In
questi casi, quando si avvicina un oggetto carico, a contatto con esso le molecole disposte
esternamente si dispongono in modo da avere il polo opposto alla carica rivolto verso l’esterno,
diventando dipoli (fenomeno della Polarizzazione: effetto apparentemente analogo a quello
dell’induzione per i conduttori). Queste molecole vengono attratte dalla carica, ma le forze che si
istaurano sono molto deboli (ad esempio il legame dipolo-dipolo).
Il corpo si carica in questo modo:
Le particelle si dispongono in questo modo lungo la
linea di forza (ognuna si mette tangente al campo,
come fosse il vettore campo in ogni punto):
Sperimentalmente, le linee di forza del campo elettrico
possono essere messe in evidenza immergendo le sorgenti
del campo in un bagno d’olio che contiene in sospensione
pezzetti filiformi di isolante che, in presenza del campo, si
allineano secondo la sua direzione formando delle catene
FLUSSO del Vettore Campo Elettrico
Definizione: numero di linee di forza in un’unità di superficie.
Operazione: flusso di un vettore attraverso una superficie piana:
Φ = (per definizione di prodotto scalare) E * ΔS * cos ά
→
(ma il prodotto scalare è tra due vettori, e ΔS non è un vettore)
Φ = E * ΔS * n
↓
versore di ΔS (posso mettere un vettore in
qualunque retta orientata); la normale è
sempre uscente e perpendicolare al piano.
(Portata di un fiume: il vettore è la velocità
del flusso dell’acqua; ΔS è la sezione)
Massimo flusso quando il vettore è perpendicolare alla superficie (cos ά = 1)
Minimo flusso quando il vettore è parallelo alla superficie (cos ά = 0)
Flusso uscente positivo (il coseno è positivo, l’angolo con la normale acuto)
Flusso entrante negativo ( il coseno è negativo, l’angolo con la normale ottuso
Bisogna sempre considerare la faccia della superficie che ci interessa
Il flusso in una superficie chiusa
In ogni spazio piccolo bisogna misurare il ΔS
Generalizzazione: SUPERFICIE SFERICA
n
q
La superficie si divide in piccole superfici piane.
Il vettore Campo è perpendicolare al piano e ha quindi la stessa direzione della normale.
Il Campo in un punto è: Φ
= E * ΔS * cos ά = 1/4π ε0 * q/r² * ΔS * 1
(S = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 + ΔS4…..)
Φtotale = 1/4π ε0 * q/r² * S = 1/4π ε0 * q/r² * 4πr² = Q / ε0
In una superficie sferica il flusso non dipende dalla superficie ma dalla carica interna e dalla
costante dielettrica : cambiando circonferenza il numero di raggi non cambia (conservazione
dell’Energia). Il campo che diminuisce in una superficie più ampia è compensato proprio
dalla superficie maggiore.
Tutto questo si ha grazie alla semplificazione dei due r²: è stato un caso fortunato che il campo
dipenda proprio da 1 / r². La definizione del Campo ribadisce la legge di Coulomb: sperimentando
alcune conseguenze della legge di Gauss viene dimostrata la legge dell’inverso del quadrato della
distanza, che è resa necessaria proprio da Gauss, in quanto in flusso non cambia (dimostrato
sperimentalmente e geometricamente).
Se si mette una carica fuori dalla sfera non cambia nulla, perchè il flusso esce dalla stessa faccia
(superficie).
Legge di Gauss: Φ = somma delle cariche interne /
ε
0
Campo generato da una carica non puntiforme sferica
E
S2
E
S1
Q
E
E
Teorema di Gauss
Definizione di Flusso
Φ = Q / ε0
Φ = E * 4πr²
→
Eguaglio: Q / ε0 = E * 4πr²
E = Q / ε0*4πr² = k * Q / r²
Il campo rimane come se la carica fosse puntiforme; all’interno le cose cambiano a seconda che
la carica sia uniforme.
Il campo è uniforme perché considero una regione in cui lo è approssimativamente (vicino alla
superficie).
Campo generato da una lastra
Lastra infinitamente grande e carica.
++
+++
++++
+++++
++++++
+++++++
++++++
+++++
++++
+++
Teorema di Gauss
Definizione di Flusso
Φ = Q / ε0 = δ*ΔS / ε0
Φ = E * 4πr²
↓
densità di carica
↓
Prendo una superficie comoda per il flusso, in
modo che quello orizzontale si annulli: il Cilindro
→
Eguaglio: δ*ΔS / ε0 = E * 4πr²
E = δ / 2 ε0
Il campo è uniforme perché considero una regione (la superficie) in cui lo è
approssimativamente (sono vicina e osservo solo la parte davanti a me); se mi allontanassi la
lastra si potrebbe considerare puntiforme ).
Il LAVORO della FORZA ELETTRICA
In presenza di una forza conservativa (gravità): il lavoro non dipende dalla traiettoria ma dai punti
di partenza e di arrivo → il lavoro totale in una traiettoria chiusa è zero → Ad ogni posizione si può
associare un UA, Energia Potenziale (solo in forza conservativa): Lavoro che compie la forza di
gravità per spostare un corpo da un punto A all’infinito.
I°) Punto di riferimento ad Energia Potenziale 0: l’infinito
U = - G Mm/r (distanza da terra al punto di partenza)
-
↓
segno meno perché la forza di gravità fa lavoro resistente allo spostamento (alla nostra forza
esterna), si oppone.
Per calcolare l”Energia potenziale in ogni punto: InTeGrAlE.
Si divide l’area sottesa (il lavoro) in
piccolissimi intervalli, in modo che le aree di
due intervalli continui possano essere
considerate uguali.
↓
U = - G Mm * (1/ra – 1/rb)
↓
↓
distanze di partenza e di arrivo con
l’origine della forza.
Se il punto di arrivo si avvicina all’infinito, il
suo inverso tende a 0 e rimane solo RA
II°) Punto di riferimento ad Energia Potenziale 0: Terra
Se bisogna spostare un corpo da un H piccolo a un H = 0 la gravità può essere considerata costante:
(gravità dipendente dall’inverso
del quadrato della distanza)
(gravità costante)
Campo localmente uniforme:
U=m*g*h
→ Il lavoro della forza di gravità non dipende
dalla traiettoria ma dalla quota iniziale e finale
Vale sempre
la relazione (sia forza elettrica che gravitazionale):
L = ΔEc =
(se forza
conservativa) –ΔU: Se il lavoro è positivo l’Energia cinetica aumenta a scapito della potenziale.
Analogia con il CAMPO ELETTRICO : lo consideriamo generato da una forza conservativa (perché per
spostare un carica conta solo la posizione iniziale e finale e non la traiettoria) che deve essere anche
costante.
Esempio di forza costante (all’interno delle lastre):
All’interno delle lastre consideriamo la forza
costante e pari a f = δ*q / ε0.
Energia potenziale elettrostatica:
U = L = forza * spostamento = E*q*x =
All’esterno le forze si sottraggono, e se le lastre
sono molto vicine il campo è trascurabile.
(rb –ra)
kQq / ra *rb
↓
Forza media
↓
spostamento
Mentre la forza gravitazionale tra due masse è sempre attrattiva, la forza elettrica puó essere
attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche (se le cariche sono opposte si ha l’analogo
del campo gravitazionale). Quindi il segno dell’Energia potenziale non è sempre negativo.
Energia Potenziale negativa se le cariche sono di segno opposto: valore minimo (valore
assoluto massimo) quando lo spostamento è quasi nullo (le due cariche sono molto vicine e
Rb è poco più piccolo di Ra); valore massimo (valore assoluto vicino a 0) quando le cariche
sono molto distanti (il denominatore è grande e la frazione è piccola).
Energia Potenziale positiva se le cariche hanno lo stesso segno: valore massimo quando le
cariche sono vicine e valore minimo quando sono lontane.
Tendenza a raggiungere la minima energia potenziale: i corpi soggetti solo a forze conservative si
muovono e acquistano energia cinetica a spese della potenziale.
Il POTENZIALE elettrico
Definizione: Energia potenziale che possiede una carica unitaria in un determinato punto del campo
(può essere calcolato in qualsiasi punto del campo).
OPPURE: Lavoro per spostare (di R) una carica unitaria.
V = U / q = kQ / r
→ Unità di misura: J / c = volt = tensione
U=qEx→V=Ex
L = UA – UB (= - ΔU) = q (VA – VB) = q * (- ΔU)
Il Potenziale è uno scalare: somma algebrica.
Il Potenziale non dipende dalla carica esploratrice, al contrario dell’Energia Potenziale (lavoro per
espellere una carica): è quindi una grandezza riferita al campo in modo più corretto dell’Energia
Potenziale:
E = ΔV / r
(E = F/q = U/x /q…)
→ il Campo Elettrico si può anche misurare in V/m
Se il campo non è uniforme questa formula può fornire un valore medio.
Così come il Campo era definito da linee di forza, così il Potenziale è definito da Superfici
Equipotenziali, insiemi di punti del campo che hanno lo stesso Potenziale: esse sono infinite.
e
(per una carica puntiforme le superfici
equipotenziali sono sferiche
Le Superfici Equipotenziali sono sempre perpendicolari al vettore campo: perchè? Queste superfici
hanno lo stesso potenziale e anche la stessa energia potenziale, in quanto lungo di esse il lavoro è
sempre 0 (L = q (VA – VB)); ma il lavoro può essere 0 se la forza è perpendicolare allo
spostamento, e quindi alla superficie.
Il Campo punta sempre verso il Potenziale più basso: se la carica generatrice è positiva il campo
punta verso l’esterno, dove il Potenziale è minore e viceversa.
Comportamento dei CONDUTTORI ESTESI
1) In un corpo esteso carico, le cariche tendono a respingersi, allontanandosi le une dalle altre e
raggiungendo la superficie esterna:
Il POZZO di FARADAY: all’interno di un conduttore cavo, caricato dall’interno, le cariche
elettriche si annullano: infatti la carica iniziale all’interno attira le cariche opposte del corpi,
che si dispongono all’interno, mentre quelle uguali vanno all’esterno (se il corpo è isolato
rimangono lì, sennò si scaricano a terra).
2) In un corpo non puntiforme le linee di forza partono dall’esterno: all’interno il campo è
nullo (le cariche si distribuiscono simmetricamente). La GABBIA di FARADAY: una carica
all’interno di un conduttore chiuso non risente della presenza di eventuali cariche all’esterno
o sulla superficie.
3) Il Potenziale si distribuisce uniformemente quando il corpo conduttore ha raggiunto
l’equilibrio.
la Carica non si distribuisce uniformemente: zone in cui la densità di carica è diversa
Campo di un corpo non regolare
Considero una zona approssimativamente piana: linee di forza parallele.
Teorema di Gauss
Definizione di Flusso
Φ = Q / ε0 = δ*ΔS / ε0
Φ = E * ΔS
Eguaglio: δ*ΔS
/ ε0 = E * ΔS
→
E = δ / ε0
↓
: Formula Generale (vale per tutti i corpi
carichi)
localmente
Vale anche per la sfera: E = 1/4πε0 * Q/r² = Q/
ε0S = δ / ε0
(4πr² = S)
Effetto Punta
Dove la densità di carica è maggiore, il campo è più forte. La densità di carica è maggiore dove la
superficie è più piccola: quindi dove è maggiore il raggio di curvatura del conduttore.
Nei corpi appuntiti la carica si addensa sulla punte.
DIMOSTRAZIONE:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Due sfere conduttrici di raggio diverso a
contatto: formano un conduttore unico.
La zona a maggiore curvatura (la sfera più
piccola) funge da punta.
+
+
+
+
+
+
Data una carica posso prevedere il potenziale: V = K * Q / r.
+
+
Analogia
con la termodinamica: Q = C * ΔT
+
+
+
Q=C*V
↓
Capacità elettrostatica: rapporto carica – potenziale
↓
dipende da r
A contatto le due sfere raggiungono lo stesso potenziale: ad una maggiore capacità (quindi
ad un maggior raggio) corrisponde una carica maggiore. Ma la superficie non dipende dal
raggio, bensí dal raggio al quadrato.
Quindi sulle punte, anche se carica minore rispetto alla superficie con minore curvatura (che
ne ha sicuramente di più), vi è una densità di carica maggiore.
Forma regolare → densità di carica uniforme; forma irregolare → densità di carica non uniforme.
Il vento elettrico: un conduttore a punta carico può creare un intenso campo elettrico in prossimità
della punta, dove si addensa molta carica. Questo campo può ionizzare l’aria circostante, attraverso
cui passa un “vento elettrico”: le cariche si disperdono dalle punte e, scaricando il conduttore,
attraverso l’aria (divenuta conduttrice) si trasferiscono ad altri conduttori nelle vicinanze.
Questo fenomeno dipende dalla forma del conduttore ma anche dal mezzo circostante: se questo è
completamente isolante il conduttore non si scarica.
A volte, anche se il mezzo è isolante, se la carica elettrica è forte lo può perforare (rigidità elettrica:
massimo campo elettrico che un materiale isolante può sopportare senza venire perforato).
