Università degli Studi di Cagliari
Corsi di Studio in Ingegneria Chimica ed Elettrica
Richiami di Termodinamica Applicata
Il Primo Principio della Termodinamica, o Principio di Conservazione dell’Energia, in termini
differenziali e con riferimento all’unità di massa di fluido è espresso dalla seguente equazione:
cdc + gdz + dh = δq − δl
dove c è la velocità (espressa in m/s), g è l’accelerazione di gravità (assunta pari a 9,81 m/s2), z è la
quota (misurata rispetto ad un piano di riferimento ed espressa in m), h è l’entalpia specifica (che
dipende dal tipo di fluido e dalle sue condizioni termodinamiche, ed è espressa in J/kg), q è il calore
(energia termica) scambiato con l’esterno dall’unità di massa di fluido (è positivo nel caso in cui esso
sia entrante nel sistema ed è espresso in J/kg) ed l è il lavoro (energia meccanica) scambiato con
l’esterno dall’unità di massa di fluido (è positivo nel caso in cui esso sia uscente dal sistema ed è
espresso in J/kg). Tale forma dell’equazione di conservazione dell’energia è valida per i Sistemi Aperti
(ovvero i sistemi nei quali vi è scambio di materia con l’ambiente esterno, contrapposti ai Sistemi Chiusi,
nei quali invece non si hanno scambi di materia con l’esterno), è espressa in forma termica (ovvero riporta
esplicitamente gli scambi di calore con l’esterno) e si riferisce a condizioni stazionarie (ovvero ad una
situazione nella quale punto per punto le diverse grandezze non variano al trascorrere del tempo).
L’equazione precedente applicata ad un sistema
aperto con un unico ingresso, nel quale vigono le
Calore
condizioni 1, e un’unica uscita nella quale vigono le
condizioni 2 (cosicché necessariamente il principio
di conservazione della massa comporta che la
1
2
massa di fluido nelle due sezioni è la stessa)
Sistema
Massa
Massa
fornisce:
entrante
c −c
+ g (z2 − z1 ) + (h2 − h1 ) = q − l
2
2
2
2
1
uscente
Lavoro
Con riferimento pertanto all’unità di massa di fluido, il primo termine di tale equazione rappresenta la
variazione di energia cinetica, il secondo termine rappresenta la variazione di energia potenziale
geodetica, il terzo termine rappresenta la variazione di entalpia (legata pertanto ad una variazione
della composizione del fluido e/o del suo stato termodinamico), il quarto termine rappresenta lo
scambio netto di calore con l’esterno (ovvero la somma algebrica delle quantità di calore in ingresso e
in uscita dal sistema, prese con il segno positivo se entranti e con il segno negativo se uscenti), infine il
quinto termine rappresenta lo scambio netto di lavoro con l’esterno (ovvero la somma algebrica dei
lavori in ingresso e in uscita, presi con il segno negativo se entranti e il segno positivo se uscenti).
I primi tre termini, ovvero quelli a primo membro dell’equazione di conservazione dell’energia,
rappresentano le variazioni di energia legata allo stato del fluido (posizione, velocità, composizione e
proprietà termodinamiche), mentre i due termini a secondo membro rappresentano le forme di energia
in transito fra il sistema e l’ambiente circostante. Il calore e il lavoro, pertanto, esistono solo durante la
trasformazione che conduce dallo stato 1 allo stato 2, cosicché mentre si può misurare la posizione, la
velocità e l’entalpia di un fluido in una determinata condizione, non si può misurare il lavoro o il calore
di un fluido, ma solo il lavoro o il calore scambiati dal fluido a seguito di una variazione di posizione, di
velocità, del suo stato termodinamico o della sua composizione.
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Come detto, l’entalpia dipende sia dallo stato termodinamico del fluido sia dalla sua composizione,
cosicché, oltre alle variazioni di entalpia legate ad una modifica del suo stato termodinamico, deve
essere considerata anche l’entalpia di formazione degli elementi chimici che costituiscono il fluido.
Ovviamente, nel caso in cui non vi siano variazioni di composizione, l’unico termine entalpico che
compare nell’equazione di conservazione dell’energia è l’entalpia h (l’entalpia di formazione è invariata
fra la condizione 1 e la condizione 2, cosicché i due contributi si elidono a vicenda). Nelle applicazioni
dell’equazione di conservazione dell’energia che coinvolgono sistemi nei quali avvengono reazioni
chimiche di combustione (caldaie, bruciatori, motori, etc.) è conveniente ed opportuno introdurre
direttamente la variazione dell’entalpia di formazione che, in un processo di combustione è per
definizione rappresentata dal potere calorifico inferiore Hi del combustibile1. Nel caso in cui si voglia
computare il potere calorifico del fluido, l’equazione del principio di conservazione dell’energia si può
riscrivere nella seguente forma:
c22 − c12
+ g (z2 − z1 ) + ((h + Hi )2 − (h + Hi )1 ) = q − l
2
Ovviamente tutti i termini che compaiono nell’equazione di conservazione dell’energia sono termini
specifici e sono omogenei tra loro (e sono espressi pertanto in J/kg, o più frequentemente in kJ/kg o
MJ/kg). Nel caso in cui sia data la massa m del sistema (espressa in kg), l’equazione precedente
diventa:
c2 − c2
m ⋅ 2 1 + g (z2 − z1 ) + ((h + Hi )2 − (h + Hi )1 ) = Q − L
2
essendo Q e L rispettivamente il calore e il lavoro complessivamente scambiati con l’esterno. Ancora
una volta tutti i termini dell’equazione sono omogenei tra loro e rappresentano delle energie (e in
quanto tali sono espresse in J, o più frequentemente in kJ o MJ). Nel caso inoltre in cui sia data la
portata massica m& , ovvero la massa elaborata nell’unità di tempo, l’equazione precedente diventa:
c2 − c2
m& ⋅ 2 1 + g (z2 − z1 ) + ((h + Hi )2 − (h + Hi )1 ) = Q& − L&
2
essendo Q& e L& rispettivamente la potenza termica e la potenza meccanica complessivamente
scambiate con l’esterno. Ancora una volta tutti i termini dell’equazione sono omogenei tra loro e
rappresentano delle potenze (e in quanto tali sono espresse in W, o più frequentemente in kW o MW).
In termini ancora più generali, l’equazione di conservazione dell’energia può essere, ovviamente,
integrata con riferimento ad un sistema caratterizzato da un numero qualunque di ingressi e di uscite,
1
Come noto il potere calorifico è rappresentato dall’energia termica liberata dalla combustione completa dell’unità di massa
di combustibile, considerando i prodotti della combustione alla temperatura di riferimento di 25 °C. In particolare, si
distingue poi tra potere calorifico inferiore, Hi (o PCI), e potere calorifico superiore Hs (o PCS), a seconda del fatto che
l’acqua presente nel prodotti della combustione (derivante sia dall’ossidazione dell’idrogeno, sia dall’umidità eventualmente
presente nel combustibile) sia allo stato di vapore oppure allo stato liquido. La differenza fra i due valori del potere calorifico
è pertanto rappresentata dal calore di condensazione dell’acqua. Di fatto il calore di condensazione non viene praticamente
quasi mai sfruttato (i prodotti della combustione quasi mai vengono scaricati in atmosfera a temperature tali da dar luogo
alla condensazione del vapore acqueo), cosicché in Europa si preferisce utilizzare direttamente Hi, mentre negli Stati Uniti si
utilizza prevalentemente Hs.
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nelle quali si hanno fluidi con diversa composizione, diversa velocità e quota e con diverse condizioni
termodinamiche (pressione, temperatura, volume specifico). Analogamente, il sistema in esame può
scambiare calore e lavoro in corrispondenza di diverse sezioni. In generale risulterà pertanto:
c2
c2
&
m
gz
h
Hi
−
⋅
+
+
+
∑ 2
∑ m& ⋅ 2 + gz + h + Hi = ∑ Q& in −∑ Q& out − (∑ L&out − ∑ L&in )
in
out
nella quale le sommatorie vanno estese a tutte le sezioni nelle quali si hanno, rispettivamente, flussi
uscenti e flussi entranti, potenze termiche entranti e uscenti e potenze meccaniche uscenti ed entranti.
Tale equazione può anche essere riordinata raggruppando a primo membro tutti i termini che si
riferiscono a potenze entranti nel sistema e, conseguentemente, raggruppando a secondo membro tutti i
termini che si riferiscono a potenze uscenti dal sistema:
2
c2
& + L& = m& ⋅ c + gz + h + Hi
&
&
&
m
gz
h
Hi
Q
+
⋅
+
+
+
∑ 2
∑ in ∑ in ∑ 2
∑ Qout + ∑ Lout
out
in
Scritta in tale forma l’equazione del primo principio della termodinamica esprime nella maniera più
esplicita il principio di conservazione dell’energia, ovvero il bilancio fra l’energia (potenza)
complessivamente entrante nel sistema e l’energia (potenza) complessivamente uscente dal sistema.
Avendosi inoltre in questo caso più sezioni di ingresso e di uscita, l’equazione di bilancio energetico
deve essere necessariamente accompagnata dall’equazione di bilancio di massa:
∑ m&
in
= ∑ m& out
Al fine di poter applicare l’equazione di bilancio energetico ad un qualunque sistema termodinamico
risulta necessario sapere valutare i diversi termini che compaiono in tale equazione. In tal senso risulta
particolarmente importante sapere valutare l’entalpia specifica h dei fluidi. I fluidi dei quali si ha più
frequentemente la necessità di valutare l’entalpia, limitatamente al settore dei sistemi di conversione
dell’energia, sono fondamentalmente dei gas come l’aria o i prodotti della combustione, e l’acqua. L’aria
(composta essenzialmente da azoto e da ossigeno) e i prodotti che derivano dai processi di
combustione (in gran parte composti dall’azoto originariamente presente nell’aria comburente, oltre che
da anidride carbonica, acqua e ossigeno residuo), nel campo di temperature di interesse per le
applicazioni in esame, presentano un comportamento assimilabile a quello dei gas perfetti. L’acqua,
ancora nel campo di temperature di interesse, ha un comportamento che invece non è assimilabile a
quello dei gas perfetti. In tal senso, tutte le proprietà termodinamiche dell’acqua (o del vapore, a
seconda dei casi) andranno dedotte a partire da raccolte di dati opportunamente graficati (diagramma T-S
o diagramma h-S, quest’ultimo detto anche diagramma di Mollier) o tabellati (tabelle del vapore).
Viceversa, le proprietà termodinamiche di miscele gassose come l’aria o i prodotti della
combustione possono essere valutate con ottima approssimazione facendo ricorso al modello dei gas
perfetti, in relazione al quale la pressione p, la temperatura T e il volume specifico v (o il suo
reciproco che è la densità ρ) sono legati tra loro dalla ben nota equazione di stato dei gas perfetti:
p⋅v =
1
ρ
=
R
⋅ T = Rmix ⋅ T
MM mix
essendo R la costante universale dei gas (8314,33 J/(kmol K) ed Rmix e MMmix la massa molare e la
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costante particolare della miscela gassosa.
La massa molare della miscela si valuta a partire dalla sua composizione, che può essere fornita in
termini di frazione molare (il rapporto x fra il numero di moli di ciascuna specie chimica e il numero
di moli totali) oppure di frazione massica (il rapporto y fra la massa di ciascuna specie chimica e la
massa totale). Ovviamente, per una data miscela gassosa, la sommatoria delle frazioni molari e delle
frazioni massiche è pari ad 1. Più in particolare, la massa molare di una miscela gassosa è pari alla media
pesata delle masse molari dei singoli componenti, essendo pesi le rispettive frazioni molari:
MM mix =
mtot
ntot
=
∑ x ⋅ MM
i
i
essendo infatti:
mtot = ∑ mi = ∑ ni ⋅ MM i = ∑ xi ⋅ MM i ⋅ ntot
Peraltro, la massa molare media è anche direttamente calcolabile a partire dalla frazione massica
MM mix =
mtot
ntot
=
mtot
yi
∑ MM
i
=
⋅ mtot
1
yi
∑ MM
i
essendo:
ntot = ∑ ni = ∑
mi
y
= ∑ i ⋅ mtot
MM i
MM i
Per quanto concerne il calcolo dell’entalpia h, nel caso dei gas perfetti essa è funzione solo della
temperatura attraverso il calore specifico a pressione costante Cp (espresso in J/kg K):
T
h = ∫ C p ⋅ dT
T0
nella quale il valore dell’entalpia di riferimento (ovvero il suo valore alla temperatura di riferimento T0,
posta pari a 25 °C) è assunto pari a zero. Analogamente, nel caso dei gas perfetti l’energia interna u
(che compare in sostituzione dell’entalpia nell’equazione di conservazione dell’energia scritta nella
forma valida per i sistemi chiusi) è funzione della sola temperatura attraverso il calore specifico a
volume costante Cv (anch’esso espresso in J/kg K):
T
u = ∫ Cv ⋅ dT
T0
I calori specifici a pressione e a volume costante dipendono, oltre che dalla temperatura, anche dalla
composizione del fluido e possono essere valutati attraverso grafici o correlazioni. Una delle
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correlazioni più semplici utilizzabili per calcolare il calore specifico di un gas è rappresentata dalle
formule lineari di Langen:
Cp = a + b ⋅T
Cv = a ' + b ⋅ T
dove i coefficienti a, a’ e b di alcune specie chimiche sono riportati nella tabella seguente.
Gas
a
MM
kg/kmol kcal/kmol K
28.84
6.570
2
6.604
32
6.600
28
6.610
40
5.456
28
6.610
44
8.750
18
6.690
34
6.937
16
6.590
Aria
Idrogeno (H2)
Ossigeno (O2)
Azoto (N2)
Argon (Ar)
Ossido di carbonio (CO)
Anidride carbonica (CO2)
Vapor d'acqua (H2O)
Idrogeno solforato (H2S)
Metano (CH4)
a'
b
kcal/kg K
kcal/kmol K
kcal/kg K
kcal/kmol K2
kcal/kg K2
0.228
3.302
0.206
0.236
0.124
0.236
0.199
0.372
0.204
0.410
4.580
4.624
4.610
4.620
3.476
4.620
6.770
4.720
4.951
4.620
0.159
2.312
0.144
0.165
0.079
0.165
0.154
0.262
0.146
0.289
10.38⋅10-4
10.60⋅10-4
10.55⋅10-4
10.65⋅10-4
0
10.65⋅10-4
37.83⋅10-4
42.80⋅10-4
40.05⋅10-4
10.58⋅10-4
3.60⋅10-5
53.00⋅10-5
3.30⋅10-5
3.80⋅10-5
0
3.80⋅10-5
8.60⋅10-5
23.80⋅10-5
11.78⋅10-5
6.60⋅10-5
Ovviamente, nel caso delle miscele gassose, l’entalpia (così come d’altra parte l’energia interna)
risulta data dalla somma dei contributi apportati dalle diverse specie chimiche, e in quanto tale essa è
pari alla media pesata delle entalpie di ogni singola sostanza essendo pesi le rispettive frazioni massiche.
Viste le relazioni che intercorrono fra le diverse grandezze, anche il calore specifico di una miscela
gassosa risulta pari alla media pesata dei calori specifici dei singoli componenti, essendo pesi le
rispettive frazioni massiche. Allo stesso modo, si calcolano come medie pesate i coefficienti a, a’ e b che
compaiono nelle formule di Langen.
T
T
T
T0
T0
T0
hmix = ∑ yi ⋅ hi = ∑ yi ⋅ ∫ C p ,i ⋅ dT = ∑ ∫ yi ⋅ C p ,i ⋅ dT = ∫ C p ,mix ⋅ dT
C p ,mix = ∑ yi ⋅ C p ,i = amix + bmix ⋅ T
amix = ∑ yi ⋅ ai
bmix = ∑ yi ⋅ bi
ESEMPIO
A fini ingegneristici, l’aria viene considerata composta per il 79% (in volume) da azoto e per il 21% da
ossigeno. A partire dalle masse molari dell’azoto e dell’ossigeno (28 kg/kmol e 32 kg/kmol,
rispettivamente) si può immediatamente calcolare la massa molare media della miscela:
MM aria = ∑ xi ⋅ MM i = 0,21 ⋅ 32 + 0,79 ⋅ 28 = 28,84
kg
kmol
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La costante particolare dell’aria vale pertanto:
Raria =
ℜ
8314,33
J
=
= 288,3
MM aria
28,84
kg ⋅ K
Una volta calcolata la costante del gas, è possibile utilizzare l’equazione di stato dei gas perfetti per
calcolare una qualunque fra le tre proprietà coinvolte (pressione, temperatura e volume specifico)
essendo note le altre due. Per esempio, alla pressione di 3 bar ad alla temperatura di 25 °C, il volume
specifico dell’aria vale:
v = Rmix ⋅
298,15
T
m3
= 288,3 ⋅
=
0
,
2865
3 ⋅ 105
p
kg
ρ=
1
kg
= 3,5 3
v
m
La composizione dell’aria espressa in termini di frazione massica vale poi:
yO2 =
y N2 =
mO2
mtot
mN2
mtot
=
0,21 ⋅ 32
= 0,233
0,21 ⋅ 32 + 0,79 ⋅ 28
=
0,79 ⋅ 28
= 0,767
0,21 ⋅ 32 + 0,79 ⋅ 28
I coefficienti dell’espressione di Langen per i calori specifici a pressione e a volume costante sono
dati dalle seguenti medie pesate:
aaria = ∑ yi ⋅ ai = 0,233 ⋅ 0,206 + 0,767 ⋅ 0,236 = 0,229
'
aaria
= ∑ yi ⋅ ai' = 0,233 ⋅ 0,144 + 0,767 ⋅ 0,165 = 0,160
kcal
kJ
= 0,959
kg ⋅ K
kg ⋅ K
kcal
kJ
= 0,670
kg ⋅ K
kg ⋅ K
baria = ∑ yi ⋅ bi = 0,233 ⋅ 3,3 ⋅10 −5 + 0,767 ⋅ 3,8 ⋅ 10−5 = 3,68 ⋅ 10−5
kcal
kJ
= 15,42 ⋅10 −5
2
kg ⋅ K
kg ⋅ K 2
Pertanto, i calori specifici a pressione e a volume costante dell’aria alla temperatura di 25 °C
risultano rispettivamente pari a:
J
kg ⋅ K
J
'
= aaria
+ baria ⋅ T = 0,670 + 15,42 ⋅ 10-5 ⋅ 298,15 = 717
kg ⋅ K
C p ,aria = aaria + baria ⋅ T = 0,959 + 15,42 ⋅ 10-5 ⋅ 298,15 = 1005
Cv ,aria
Da cui risulta anche che, conseguentemente alla relazione di Mayer:
'
C p ,aria − Cv ,aria = aaria − aaria
= Raria = 289
J
kg ⋅ K
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e inoltre:
k=
C p ,aria
Cv ,aria
=
1005
= 1,401
717
come atteso, trattandosi di un gas biatomico.
Il calore specifico dell’aria (e più in generale delle miscele gassose composte in gran parte da azoto,
come i gas combusti) subisce variazioni dell’ordine del 4-5% in corrispondenza di variazioni di
temperatura dell’ordine di 200-300 °C. Per esempio, il Cp dell’aria a 250 °C risulta pari a:
C p ,aria = aaria + baria ⋅ T = 0,959 + 15,42 ⋅ 10-5 ⋅ 523,15 = 1040
J
kg ⋅ K
il quale risulta maggiore di circa il 3,5% rispetto al valore del Cp calcolato a 25 °C. Per variazioni di
temperatura di alcune centinaia di °C non si commettono pertanto grandi errori se per il calcolo delle
variazioni di entalpia si utilizzano i calori specifici medi fra le temperature di inizio e fine
trasformazione. Per esempio, la variazione di entalpia dell’aria fra 25 °C e 250 °C può essere calcolata,
senza commettere apprezzabili errori, utilizzando il calore specifico medio fra tali temperature (ovvero
anche se si utilizza il calore specifico calcolato alla temperatura media):
250
h2 − h1 =
∫C
p ,aria
⋅ dT = C p ,aria ⋅ (T2 − T1 ) = 1022,5 ⋅ ( 250 − 25) = 230062,5
25
J
kJ
= 230,06
kg
kg
Il Primo Principio della Termodinamica può anche essere espresso in forma meccanica, mettendo in evidenza le
variazioni di pressione e le dissipazioni meccaniche. Infatti, ricordando che la variazione di entropia
specifica s (espressa in J/kg K) è legata sia agli scambi di calore con l’esterno sia alle irreversibilità:
Tds = δq + δqirr
Nel caso in cui non siano presenti reazioni chimiche, le irreversibilità sono fondamentalmente
dovute alle dissipazioni di energia meccanica per attrito:
Tds = δq + δldiss
D’altra parte, le variazioni di entropia sono anche legate alle variazioni di entalpia e di pressione
dalla nota relazione:
Tds = δh − vδp
Dall’uguaglianza fra i primi membri delle due precedenti relazioni risulta anche:
δq = δh − vδp − δldiss
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che sostituita nell’equazione di conservazione dell’energia scritta in forma termica fornisce:
cdc + gdz + vδp + δl + δldiss = 0
Questa equazione rappresenta il Principio di Conservazione dell’Energia, in termini differenziali, con
riferimento all’unità di massa di fluido e in forma meccanica. Tale equazione può essere integrata fra le
condizioni 1 e 2 di inizio e fine trasformazione:
2
c22 − c12
+ g (z2 − z1 ) + ∫ vδp + l + ldiss = 0
2
1
La risoluzione di tale equazione presuppone la conoscenza del legame tra il volume specifico e la
pressione (equazione della trasformazione) oppure l’impiego di fluidi incomprimibili (volume specifico
costante). L’equazione dell’energia in forma meccanica trova il suo più utile impiego proprio nel caso
dello studio del moto dei fluidi incomprimibili come l’acqua (oppure nel caso dei gas purché in
presenza di piccole variazioni di pressione). Tale equazione, nell’ulteriore ipotesi di considerare nulle le
dissipazioni di energia fornisce la ben nota equazione di Bernoulli:
c12
p
c2
p
+ gz1 + 1 = 2 + gz2 + 2
2
ρ
2
ρ
ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
a)
Tubazione percorsa da un fluido caldo
Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L e diametro D percorso da una data portata massica di
aria. Siano T1 e T2 le temperature dell’aria misurate all’ingresso e all’uscita della tubazione, mentre la
pressione sia costante (invariata a meno delle perdite di carico). L’equazione di conservazione
dell’energia applicata al sistema in esame (ovvero il fluido contenuto nel tratto di tubazione considerata)
fornisce, in termini del tutto generali:
c2 − c2
m& ⋅ 2 1 + g (z2 − z1 ) + ((h + Hi )2 − (h + Hi )1 ) = Q& − L&
2
In tale equazione, tuttavia figurano diversi
termini che sono rigorosamente pari a zero ed altri
che possono a tutti gli effetti essere trascurati. Infatti,
il fluido non è sede di reazioni chimiche, per cui la
variazione di energia chimica è nulla, non è presente
alcun organo in grado di scambiare lavoro con
l’esterno, per cui la potenza meccanica scambiata con
l’esterno è nulla e inoltre, nell’ipotesi di tubazione
sviluppata sul piano orizzontale, anche la variazione
Calore
1
D
Ingresso
2
Uscita
L
Tubazione
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di quota è pari a zero. Dal bilancio energetico risulta pertanto:
c2 − c2
c2 − c2
Q& = m& ⋅ 2 1 + (h2 − h1 ) = m& ⋅ 2 1 + (h2 − h1 )
2
2
Dall’equazione di continuità si ha inoltre:
m& 1 = m& 2 = ρ1 ⋅ c1 ⋅ π
D2
D2
= ρ 2 ⋅ c2 ⋅ π
4
4
ovvero anche:
c2 = c1 ⋅
ρ1
ρ2
La variazione di entalpia può inoltre essere espressa come prodotto della variazione di temperatura
e del calore specifico medio fra tali temperature. Nel caso in cui la temperatura all’uscita sia inferiore
alla temperatura all’ingresso, la variazione di entalpia è negativa. Al diminuire della temperatura aumenta
la densità dell’aria, cosicché anche la velocità all’uscita della tubazione è tendenzialmente minore di
quella all’ingresso. Nel complesso, tuttavia, le variazioni di velocità sono molto modeste in confronto
alle variazioni di entalpia (dell’ordine al massimo dell’1%), cosicché nella maggior parte dei casi la
variazione di energia cinetica può essere trascurata. In ogni caso, l’equazione di bilancio energetico
consente di valutare la potenza termica scambiata con l’esterno che, in corrispondenza di una
diminuzione di temperatura dell’aria, assume segno negativo, ovvero risulta uscente dal sistema.
b)
Miscelamento fra due fluidi a diversa temperatura
Si consideri il processo di miscelamento di due fluidi a diversa temperatura. Siano 1 e 2 le condizioni
relative alle sezioni di ingresso e 3 le condizioni nella
1
sezione di uscita. Nell’equazione di bilancio
energetico applicata al sistema in esame si possono
ancora una volta eliminare i termini relativi alla quota
3
(tubazioni orizzontali), allo scambio di lavoro
(assenza di organi preposti) ed alla variazione di
2
composizione (assenza di reazioni chimiche).
Nell’ulteriore ipotesi che le velocità nelle sezioni di
Miscelatore
interesse siano simili (le sezioni vengono infatti
solitamente dimensionate in maniera tale da avere
velocità sostanzialmente costanti) e che il sistema possa essere ritenuto adiabatico (sistema con piccole
superfici di scambio o adeguatamente coibentato), l’equazione di bilancio energetico si riduce al solo
bilancio entalpico:
m& 3 ⋅ h3 − (m& 1 ⋅ h1 + m& 2 ⋅ h2 ) = 0
ovvero la somma delle entalpie dei flussi entranti è pari alla somma delle entalpie dei flussi uscenti.
Oltre all’equazione di bilancio energetico è necessario scrivere l’equazione di conservazione della massa:
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m& 1 + m& 2 = m& 3
L’insieme delle due equazioni precedenti consente di risolvere, per esempio, il problema di
determinare la portata di fluido caldo (sezione 1) da miscelare ad una data portata di fluido freddo
(sezione 2) in maniera tale da ottenere una prefissata temperatura all’uscita (sezione 3). Con le dovute
sostituzioni si ha infatti:
m& 1 ⋅ (h1 − h3 ) = m& 2 ⋅ (h3 − h2 )
Le entalpie si calcolano facilmente note le caratteristiche del fluido. Per esempio, nel caso di acqua
(così come nel caso di gas in corrispondenza di modeste variazioni di temperatura) si può assumere
costante il calore specifico Cp, cosicché si ha:
m& 1 = m& 2 ⋅
c)
(h3 − h2 ) = m& ⋅ C p ,2−3 ⋅ (T3 − T2 ) = m& ⋅ (T3 − T2 )
(h1 − h3 ) 2 C p,1−3 ⋅ (T1 − T3 ) 2 (T1 − T3 )
Macchine motrici e macchine operatrici
Si consideri il processo di espansione di un gas (o del vapore) in
una turbina (macchina motrice). Siano 1 e 2 le condizioni relative
alle sezioni di ingresso e di uscita. Nell’equazione di bilancio
energetico applicata al sistema in esame si possono trascurare i
contributi relativi alle variazioni di energia potenziale geodetica (le
variazioni di quota sono molto piccole) e di energia cinetica (le
velocità del fluido nelle due sezioni di ingresso e di uscita sono
molto simili). Inoltre non sono presenti variazioni di
composizione. Il bilancio energetico di una turbina fornisce allora
la seguente equazione:
m& ⋅ (h2 − h1 ) = Q& P − L&M
Calore
1
Lavoro
2
Macchina Motrice
attraverso la quale è possibile ricavare la potenza meccanica prodotta dalla turbina:
L& M = m& ⋅ (h1 − h2 ) + Q& P
La potenza meccanica prodotta è pari al prodotto della portata massica per la variazione di entalpia
(variazione positiva, in quanto in si tratta di un processo di espansione), cui si somma la potenza
termica scambiata con l’esterno. Quest’ultimo fattore viene solitamente trascurato nello studio in
quanto molto inferiore rispetto al termine entalpico. Nel caso in cui lo si voglia considerare, è
opportuno osservare che, poiché le temperature medie del fluido risultano generalmente più elevate
della temperatura ambiente, il calore viene scambiato dal sistema verso l’esterno, per cui il segno della
potenza termica è negativo, e in quanto tale contribuisce a ridurre la potenza meccanica prodotta.
Attraverso la relazione di bilancio energetico, note per esempio le pressioni e le temperature del
fluido all’ingresso e all’uscita si possono calcolare i relativi valori dell’entalpia (utilizzando i calori
specifici per i gas o le apposite tabelle per il vapore) cosicché, per una prefissata portata di fluido, è
possibile calcolare la potenza prodotta (oppure il lavoro specifico, considerando l’unità di massa di
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fluido). A seguito della diminuzione di entalpia fra ingresso e uscita, la potenza di una macchina motrice
assume segno positivo (ovvero risulta uscente dal sistema).
L&M = m& ⋅ (h1 − h2 )
In maniera del tutto simile è possibile scrivere il bilancio
energetico di una macchina operatrice (un compressore, un
ventilatore, una pompa). In presenza delle stesse ipotesi, il
bilancio energetico risulta formalmente simile a quello già scritto
per le macchine motrici. In questo caso però, l’entalpia all’uscita
della macchina è maggiore dell’entalpia all’ingresso, cosicché la
potenza meccanica assume segno negativo (ovvero risulta
entrante nel sistema) e quindi si può anche scrivere:
− L&O = m& ⋅ (h2 − h1 )
d)
1
Calore
Lavoro
2
Macchina Operatrice
Scambiatore di calore a superficie
Si consideri il processo di scambio termico che avviene
all’interno di uno scambiatore di calore nel quale il
1
raffreddamento del fluido “caldo” dalle condizioni 1 alle
condizioni 2 produce un flusso di calore che si trasferisce
Calore
(attraverso la superficie delle tubazioni) al fluido “freddo”
3
4
che si riscalda dalle condizioni 3 alle condizioni 4.
Nell’equazione di bilancio energetico applicata al sistema
in esame si possono trascurare i contributi relativi alle
variazioni di energia potenziale geodetica (le variazioni di
2
quota sono molto piccole) e di energia cinetica (le velocità
del fluido nelle sezioni di ingresso e di uscita sono molto
Scambiatore di calore
simili). Ancora una volta non sono inoltre presenti
variazioni di composizione e organi in grado di scambiare
lavoro con l’esterno. Poiché i due fluidi non si miscelano fra loro, le portate massiche nelle sezioni 1 e 2
sono costanti, così come quelle nelle sezioni 3 e 4. Il bilancio energetico di uno scambiatore di calore
fornisce allora la seguente equazione:
m& 1 ⋅ (h2 − h1 ) + m& 3 ⋅ (h4 − h3 ) = Q& P
La potenza termica scambiata con l’esterno assume segno negativo in quanto solitamente la
temperatura media dei fluidi all’interno dello scambiatore di calore è maggiore della temperatura
ambiente (il contrario avviene ovviamente se si considerano fluidi operanti in campo criogenico).
L’equazione di bilancio energetico evidenzia come, in termini di grandezze positive, la potenza termica
ceduta dal fluido “caldo” uguagli la somma della potenza termica ricevuta dal fluido “freddo” e della
potenza termica trasferita all’esterno:
m& 1 ⋅ (h1 − h2 ) = m& 3 ⋅ (h4 − h3 ) + Q& P
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Ovviamente, nel caso in cui lo scambio di calore con l’esterno possa essere trascurato, l’equazione di
bilancio energetico di uno scambiatore di calore si riduce ad un semplice bilancio entalpico.
e)
Caldaia
Si consideri il processo di combustione di un
combustibile (metano, GPL, gasolio, carbone, legna,
ecc.) all’interno di una caldaia, nella quale l’energia
termica liberata dal processo di combustione venga
utilizzata per produrre acqua calda (o vapore). In
questo caso si individuano due circuiti separati, quello
dei gas combusti (uscenti dalla sezione F), prodotti
della combustione del combustibile (entrante nella
sezione C) con l’aria comburente (entrante nella
sezione A) e, e quello dell’acqua (entrante nella sezione
1 e uscente dalla sezione 2). L’equazione di bilancio di
massa fornisce pertanto:
m& A + m& C = m& F
m& 1 = m& 2
Fumi
F
1
Calore
Acqua
2
C
Combustibile
Aria
A
Caldaia
Nell’equazione di bilancio energetico applicata al sistema in esame si possono ancora una volta
trascurare i contributi relativi alle variazioni di energia potenziale geodetica e di energia cinetica, così
come lo scambio di lavoro con l’esterno. La presenza del processo di combustione rende invece
necessario considerare il contributo chimico, ovvero il potere calorifico del combustibile (ovviamente il
potere calorifico dell’aria e dei gas combusti è nullo). Il bilancio energetico della caldaia fornisce allora la
seguente equazione:
m& F ⋅ hF + m& 2 ⋅ h2 − m& A ⋅ hA − m& C ⋅ (hC + Hi ) − m& 1 ⋅ h1 = Q& P
Tuttavia, l’entalpia dell’aria e del combustibile risulta pari a zero (o comunque ampiamente trascurabile
rispetto agli altri termini) in quanto tali fluidi entrano nel sistema a temperatura ambiente. La potenza
termica scambiata con l’esterno assume ancora una volta il segno negativo. Pertanto l’equazione di
bilancio energetico può essere così riscritta:
m& C ⋅ Hi = m& 1 ⋅ (h2 − h1 ) + m& F ⋅ hF + Q& P
dall’esame di tale bilancio emerge come l’energia liberata dal processo di combustione risulti pari alla
somma dell’energia trasferita all’acqua, dell’energia posseduta dai fumi allo scarico e delle perdite di
calore verso l’esterno. Il primo dei tre termini a secondo membro rappresenta l’energia utile prodotta,
mentre gli altri due termini rappresentano le perdite complessive del sistema, che vengono spesso
raggruppate attraverso la definizione del rendimento della caldaia:
η=
m& F ⋅ hF + Q& P
m& 1 ⋅ (h2 − h1 )
= 1−
m& C ⋅ Hi
m& C ⋅ Hi
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