UNITÀ 4
L’EQUILIBRIO DEI SOLIDI.
1. La forza elastica di una molla.
2. La costante elastica e la legge di Hooke.
3. La forza peso.
4. La forza di attrito statico.
5. La forza di attrito dinamico.
6. La forza di reazione di un vincolo.
7. La forza di tensione di un filo.
8. Il punto materiale.
9. L’effetto di una forza sul punto materiale.
10. La condizione di equilibrio di un punto materiale.
11. Il corpo rigido.
12. Gli effetti di una forza su un corpo rigido.
13. Il momento torcente di una forza e di una coppia di forze.
14. Il momento torcente di un sistema di forze.
15. Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido.
16. La forza equilibrante di due forze concorrenti.
17. La forza equilibrante di due forze parallele e concordi.
18. La forza equilibrante di due forze parallele e discordi.
19. Il baricentro di un corpo rigido.
20. Calcolo del baricentro per diversi tipi di corpi.
21. I diversi tipi di equilibrio.
22. Esercizi e problemi di applicazione.
Per determinare le condizioni di equilibrio di un solido bisogna vedere quali sono le forze che
agiscono su di esso e verificare che la somma vettoriale di tutte queste forze sia nulla.
Generalmente le forze da considerare sono le seguenti:
1. La forza elastica di una molla.
Si indica con Fe ed è la forza che una molla esercita quando, sottoposta ad una forza applicata
F , viene allungata o compressa di un tratto s rispetto alla sua posizione di equilibrio.
La forza elastica Fe ha modulo uguale a quello della forza F applicata alla molla, stessa
direzione ma verso opposto.
Quindi la relazione tra i moduli è: Fe F
mentre la relazione vettoriale è:
Fe F
2. La costante elastica e la legge di Hooke.
La forza elastica è direttamente proporzionale all’allungamento o compressione s della molla;
la costante di proporzionalità si chiama costante elastica della molla.
Risulta quindi la relazione tra i moduli: Fe k s
F
e la relazione tra i vettori: e k s questa formula si chiama legge di Hooke.
Esempio. Ad una molla viene applicata una forza di 8,5 N e si allunga di 3,1 cm.
Rappresentare la situazione con un disegno e calcolare la forza elastica e la costante elastica.
3. La forza peso.
È la forza con cui la terra attira tutti gli oggetti che si trovano sulla superficie terrestre. È
sempre verticale, diretta verso il centro della terra. Il suo modulo è direttamente proporzionale
alla massa dell’oggetto. P m g
La costante di proporzionalità si chiama accelerazione di gravità e vale: g 9,8 m / s 2
Esempio. Calcolare il peso di un oggetto di 3,6 Kg.
Le forze di attrito.
Le forze di attrito sono le forze che si oppongono al movimento di un oggetto. Sono di tre tipi:
forza di attrito radente: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che striscia su un piano;
forza di attrito volvente: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che rotola su un piano;
forza di attrito viscoso: è la forza che si oppone al movimento di un oggetto che si muove attraverso un fluido (liquido o gas).
Per il momento studieremo la forza di attrito radente, che può essere di due tipi: statico o dinamico.
4. La forza di attrito statico.
E’ la forza che si oppone al moto di strisciamento di un oggetto fermo.
Si indica con FS ed ha direzione uguale a quella della forza applicata all’oggetto, ma verso
opposto.
Il suo modulo è uguale alla forza F applicata all’oggetto, finché l’oggetto rimane fermo.
Quando l’oggetto comincia a muoversi il modulo della forza di attrito diventa: FS k S P
dove k S si chiama coefficiente di attrito statico e P è la forza perpendicolare che preme
l’oggetto contro il piano di appoggio.
Esempio 1. Un oggetto di 1,2 Kg è fermo su un piano orizzontale con attrito. All’oggetto si
applica una forza orizzontale di 4,2 N e non si muove. Rappresentare con un disegno e
calcolare la forza di attrito statico.
Successivamente si applica una forza orizzontale di 6,4 N e l’oggetto inizia a muoversi.
Calcolare la forza di attrito statico e il coefficiente di attrito statico.
Esempio 2. Un oggetto di 1,2 Kg si trova su un piano inclinato di 20° e non si muove.
Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito statico.
Successivamente il piano si inclina di 28° e l’oggetto inizia a muoversi. Calcolare la forza di
attrito statico e il coefficiente di attrito statico.
5. La forza di attrito dinamico.
E’ la forza che si oppone al moto di strisciamento di un oggetto in movimento.
Si indica con Fd ed ha direzione uguale a quella del movimento, ma verso opposto.
Il suo modulo risulta: Fd k d P dove k d si chiama coefficiente di attrito dinamico e P è la
forza perpendicolare che preme l’oggetto contro il piano di appoggio.
Esempio 1. Un oggetto di 1,2 Kg si muove su un piano orizzontale con k d =0,4. Rappresentare
con un disegno e calcolare la forza di attrito dinamico.
Esempio 2. Un oggetto di 1,2 Kg si muove su un piano inclinato con k d =0,4 e inclinato di 32°.
Rappresentare con un disegno e calcolare la forza di attrito dinamico.
6. La forza di reazione di un vincolo.
È la forza che un vincolo deve sostenere per sopportare il peso dell’oggetto che vi è
appoggiato.
Questa forza si indica con N ed è sempre normale, cioè perpendicolare al vincolo.
È orientata verso l’esterno del vincolo.
Il suo modulo è uguale alla forza perpendicolare P che preme l’oggetto contro il vincolo.
Esempio 1. Un oggetto di 2,4 Kg si trova su un piano orizzontale. Rappresentare con un
disegno e calcolare la reazione del vincolo.
Esempio 2. Lo stesso oggetto si trova su un piano inclinato di 20 °. Rappresentare con un
disegno e calcolare la reazione del vincolo.
7. La forza di tensione di un filo.
È la forza che un filo deve sopportare quando viene sottoposto ad una forza applicata.
La forza di tensione di un filo si indica con T ed ha la stessa direzione del filo, verso opposto a
quello della forza applicata e modulo uguale a quello della forza applicata.
Quindi la relazione tra i moduli è T F mentre la relazione vettoriale è T F
Esempio. Un oggetto di 1,7 Kg è appeso ad un filo. Rappresentare con un disegno e calcolare
la tensione del filo. Se il filo può sopportare una tensione massima di 35 N qual è il massimo
valore della massa che si può appendere senza romperlo?
8. Il punto materiale.
9. L’effetto di una forza sul punto materiale.
10. La condizione di equilibrio di un punto materiale.
11. Il corpo rigido.
12. Gli effetti di una forza su un corpo rigido.
13. Il momento torcente di una forza e di una coppia di forze.
14. Il momento torcente di un sistema di forze.
15. Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido.
Se un corpo rigido deve essere in equilibrio, non deve traslare e non deve ruotare.
Affinché non trasli la somma di tutte le forze applicate deve essere nulla.
Affinché non ruoti la somma di tutti i momenti torcenti deve essere nulla.
Quando un corpo rigido è sottoposto a più forze la cui somma non è nulla e il cui momento
torcente non è nullo, se si vuole che il corpo resti in equilibrio bisogna applicare una forza
equilibrante F eq che deve avere queste caratteristiche:
1. deve essere uguale e opposta alla forza totale F T ;
2. deve essere applicata in un punto P opportuno rispetto al quale il momento torcente totale
deve essere nullo.
16. La forza equilibrante di due forze concorrenti.
Due forze applicate ad un corpo rigido si dicono concorrenti se le loro rette di azione si
intersecano in un punto O, come in figura.
In tal caso per trovare la forza equilibrante si
esegue questa procedura:
1. si traslano le due forze lungo le loro rette di
azione fino al punto O;
2. si calcola la forza totale col metodo del
parallelogramma e con i teoremi sui triangoli
rettangoli;
3. la forza equilibrante sarà opposta alla forza
totale ottenuta.
17. La forza equilibrante di due forze parallele e concordi.
Se due forze parallele e concordi sono applicate ad un corpo rigido nei punti P1 e P2 ,
per trovare la forza equilibrante bisogna prima calcolare la forza totale e il suo punto di
applicazione.
La forza totale ha stessa direzione e verso delle due forze e come modulo la somma dei
moduli. Il suo punto di applicazione P è compreso tra P1 e P2 , ma più vicino alla forza
maggiore in modo tale che rispetto al punto P si abbia l’uguaglianza dei due momenti torcenti,
cioè: F1 b1 F2 b2
La forza equilibrante sarà opposta alla forza totale che è stata calcolata.
18. La forza equilibrante di due forze parallele e discordi.
Se due forze parallele e discordi sono applicate ad un corpo rigido nei punti P1 e P2 ,
per trovare la forza equilibrante bisogna prima calcolare la forza totale e il suo punto di
applicazione.
La forza totale ha stessa direzione delle due forze, il verso della forza maggiore e come
modulo la differenza dei moduli. Il suo punto di applicazione P è esterno alle due forze, dalla
parte della forza maggiore, in modo tale che rispetto al punto P si abbia l’uguaglianza dei due
momenti torcenti, cioè: F1 b1 F2 b2
La forza equilibrante sarà opposta alla forza totale che è stata calcolata.
19. Il baricentro di un corpo rigido.
Quando bisogna studiare l’equilibrio di un corpo rigido che ha una certa massa, e quindi un
certo peso, bisogna conoscere il punto di applicazione della forza peso, chiamato baricentro.
Il baricentro, che si indica con G (centro di Gravità), è il punto in cui è concentrato tutto il
peso del corpo rigido.
20. Calcolo del baricentro per diversi tipi di corpi.
Se un corpo è formato da un insieme di singoli punti materiali, per esempio tre particelle di
masse m1 m2 m3 che si trovano in un piano cartesiano rispettivamente nei punti
P1 ( x1; y1 ) P2 ( x2 ; y2 ) P3 ( x3 ; y3 ) , il baricentro si trova nel punto G( xG ; yG ) le cui
coordinate si calcolano così:
m1 x1 m2 x2 m3 x3
m1 m2 m3
xG
yG
m1 y1 m2 y2 m3 y3
m1 m2 m3
Se l’oggetto è formato da un insieme continuo di particelle ed ha una forma geometrica
regolare, per esempio un quadrato, un rettangolo o una circonferenza, il suo baricentro
coincide col centro geometrico della figura.
Se l’oggetto è formato da un insieme continuo di particelle ma non ha una forma geometrica
regolare, per trovare il baricentro bisogna scomporre l’oggetto in varie parti aventi forma
regolare, trovare il baricentro di ciascuna di esse dove è concentrato tutto il suo peso e poi
trovare il baricentro complessivo dell’intero oggetto.
Esercizio. Trovare il baricentro di una piastra metallica formata da una parte quadrata di
massa 3,2 Kg con il lato di 4 dm saldata con una parte rettangolare di massa 2,4 Kg con base
12 dm e altezza 2 dm.
Si pone la piastra in un sistema di assi cartesiani xy. Per simmetria la parte quadrata ha il
baricentro nel punto G1 (2;2) e la parte rettangolare ha il baricentro nel punto G2 (10;2) .
Nel baricentro G1 è concentrata tutta la massa di 3,2 Kg e nel baricentro G2 è concentrata tutta
la massa di 2,4 Kg. Perciò il baricentro dell’intera piastra si trova nel punto G( xG ; yG ) le cui
coordinate si calcolano così:
m1 x1 m2 x2 3,2 Kg 2dm 2,4 Kg 10dm
m1 m2
3,2 Kg 2,4 Kg
xG
yG
6,4 Kg dm 24 Kg dm 30,4 Kg dm
5,4dm
5,6 Kg
5,6 Kg
m1 y1 m2 y2 3,2 Kg 2dm 2,4 Kg 2dm
m1 m2
3,2 Kg 2,4 Kg
6,4 Kg dm 4,8Kg dm 11,2 Kg dm
2dm
5,6 Kg
5,6 Kg
Perciò il baricentro complessivo si trova nel punto G(5,4; 2)
21. I diversi tipi di equilibrio.
