2-Gli strumenti_3

Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (1)
•
Ipotesi statistica:
• È una assunzione formulata su un particolare
aspetto della popolazione
– considerazioni teoriche
– Informazioni relative a popolazioni analoghe
– Informazioni relative a popolazioni collegate a quella
indagata
Politecnico di Milano – Dipartimento di Elettrotecnica
1
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (2)
•
Ipotesi statistica non parametrica:
• L’ipotesi riguarda la forma della distribuzione di
un carattere della distribuzione
Politecnico di Milano – Dipartimento di Elettrotecnica
2
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (3)
•
Ipotesi statistica parametrica:
• È una ipotesi legata ai valori dei parametri di
una distribuzione di probabilità (es.: media,
varianza, frequenza) .
Tipo di ipotesi:
Semplice { H0:
H1:
Composta H1:
H1:
{
θ = θ0 (Ipotesi nulla)
θ ≥ θ0 (Ipotesi alternativa bilaterale)
θ ≤ θ0
θ ≠ θ0 (Ipotesi alternativa unidirezionale)
}
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3
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (4)
•
Verifica d’Ipotesi statistica:
• Osservazione di un campione casuale della
popolazione
• Calcolo della statistica (Funzione Test)
• Definizione della regola di decisione:
– l’insieme dei valori della funzione test che porta al
rifiuto dell’ipotesi nulla è detta regione critica o
regione di rifiuto
¾ Regione di accettazione
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4
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (5)
•
Individuazione della regione critica:
• La distribuzione del carattere nella popolazione
• il parametro
• Il sistema di ipotesi a confronto
• La funzione Test
• La probabilità di commettere gli errori di prima
e seconda specie
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5
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (6)
•
Tipi di errori:
• Errore di I specie:
– Ipotesi nulla rifiutata quando è vera
• Errore di II specie:
– Ipotesi nulla non rifiutata quando non è vera
– α= P{errore di I specie}= P{rifiutare H0H0 è vera}
– β= P{errore di II specie}= P{accettare H0H0 è falsa}
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6
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Test d’Ipotesi (7)
• Le procedure di verifica d’ipotesi richiedono di
specificare il valore della probabilità assegnata
all’errore di I specie α (rischio)
• α = livello di significatività del test; consente di
individuare il punto di confine tra la regione critica e
quella di accettazione
• La probabilità di commettere un errore di I specie è
legata alla dimensione della regione critica e quindi
alla soglia di significatività individuata da α
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7
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Verifica d’ipotesi sul valore medio
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8
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)
• La possibilità di accettare l’ipotesi nulla quando
è falsa determina l’errore di II specie. E’
possibile determinarne il valore calcolando la
probabilità:
P (H 0 / H 1 ) = β
H 0 :θ = θ0
H1 : θ = θ1
• Indica la possibilità di accettare l’ipotesi H0
quando invece risulta vera l’ipotesi H1
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9
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (2)
• Nel caso di test unilaterale destro
P(H 0 / H1 ) = P(θ ≤ θ c / H1 ) = β
• Nel caso di test unilaterale sinistro
P(H 0 / H1 ) = P(θ ≥ θ c / H1 ) = β
• Nel caso di test bilaterale
(
)
P(H 0 / H1 ) = P θ c' ≤ θ ≤ θ c'' / H1 = β
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10
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (3)
•
Nel caso di test unilaterale destro sulla media con
varianza nota:
xc − µi


/ H1 
β (θ i ) = P(H 0 / H1 ) = P (X ≤ xc / H1 ) = P Z ≤
σ/ n


• La probabilità β, assegnati α ed n, è funzione del
parametro θ.
• E’ possibile, assegnato α, tracciare una famiglia di
curve al variare di n.
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11
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (4)
Probabilità di errore di I specie:
• Concludere che il processo è fuori controllo
quando non lo è
• Probabilità di errore di II specie:
• Concludere che il processo è sotto controllo
quando non lo è
•
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12
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (5)
•
Esempio:
• Fasce elastiche per pistoni di automobili:
– µ = 74 mm
σ = 0,01 mm
n=5
Scelto α si ha che 100(1-α)% dei campioni cadono
tra: 74+Z α /2(σ’) e 74- Z α /2(σ’) con
σ '=
σ
n
Per Z α /2 = 3
Limiti di controllo a 3 σ
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13
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (6)
H0: µ=74
H1: µ≠74
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14
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (7)
µ−3σ µ−2σ
µ−σ
µ
µ +σ
µ+2 σ µ +3σ
68.26%
95.46%
99.73%
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15
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Implicazioni del Test d’Ipotesi (8)
100(1-α)% = 99,73%
Errore di I specie: 0,0027
µ−3σ µ−2σ
µ−σ
µ
µ +σ
µ+2 σ µ +3σ
27 volte ogni 10000 campioni
68.26%
95.46%
99.73%
La probabilità che un punto
superi uno dei limiti a 3-sigma
è 0,00135
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16
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Lunghezza media delle sequenze
Lunghezza media delle sequenze (ARL, Average Run Lenght):
1
ARL =
p
Tempo medio al segnale (ATS, Average Time to Signal):
ATS = ARL ⋅ h
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17
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Lunghezza media delle sequenze : esempio
La probabilità che un punto
cada fuori dai limiti di
controllo a 3σ è: 0,0027
µ−3σ µ−2σ
µ−σ
µ
µ +σ
68.26%
95.46%
µ+2 σ µ +3σ
1
1
ARL = =
= 370
p 0,0027
99.73%
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18
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
Fondamenti statistici :
Dimensione minima del campione
 z1−α 2 ⋅ σ
n ≥ 
 ε




2
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19
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
Fondamenti statistici :
Definizioni
¾
¾
¾
Inferenza statistica: insieme di metodi statistici, basati
sul calcolo della probabilità, tendenti a valutare i
risultati di una indagine campionaria
Il collettivo statistico oggetto di inferenza prende il
nome di popolazione (N)
La parte di collettivo sottoposta all’osservazione
prende il nome di campione (n)
¾ Rappresentatività
¾ Correttezza
¾
Campione casuale
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20
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (1)
‰Tutte
quelle attività che hanno lo
scopo di verificare la
rispondenza dei “materiali “
grezzi, semilavorati o finiti che
provengono dall’esterno o
dall’interno dell’azienda
¾Accettazione di componenti / parti
di fornitura esterna
¾Controllo di lotti di fornitura (da
parte del fornitore o da parte del
cliente)
¾Controllo di processi
¾Controllo di prodotti
¾Controllo di dati
¾………
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21
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (2)
•
In uno scambio commerciale vengono stabilite le
regole per verificare:
• L’aderenza alle specifiche
• La frazione massima di elementi difettosi
ammessi dal fornitore
• La frazione massima di elementi difettosi
ammessi dal produttore
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22
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (3)
• Effettuati dal fornitore
– Evitare il rifiuto del prodotto da parte del
committente
• Effettuati dal produttore
– Evitare di accettare materiale non conforme
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23
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)
‰
Il piano di campionamento è l’insieme delle
regole che definiscono:
• La partita o il lotto di elementi (grezzi, semi
–finiti, finiti) da considerare
• Dimensione del campione da estrarre
• Condizioni di accettazione o di rifiuto
• Caratteristica di qualità richiesta dalla
specifica tecnica:
– LQA: livello di qualità accettabile
– LQT: livello di qualità tollerabile
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24
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (2)
Distribuzione gaussiana
f (x ) =
1
*e
σ 2π
1 x− µ  2
− 
2  σ 
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25
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (3)
‰
La conformità del lotto è valutata in base al
numero di unità conformi che costituiscono il
campione
• Rifiutare il lotto che dovrebbe essere
accettato
• Accettare il lotto che dovrebbe essere
rifiutato
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26
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (4)
Rischio del fornitore: Rf
• Rifiuto del lotto che dovrebbe essere
accettato essendo di qualità uguale o
migliore di quella specificata dal LQA
‰ Rischio del committente: Rc
• Accoglimento del lotto che dovrebbe essere
rifiutato essendo di qualità peggiore di
quella specificata negli accordi dal LQT
‰
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27
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:
I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)
• Dimensione del lotto: N
• Dimensione del campione: n
• numero di accettazione : na
– Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel
campione
• numero di rifiuto : nr
– Numero massimo di elementi difettosi nel campione che
determinano il rifiuto
•
•
•
•
LQA= na /n
LQT= nr /n
Percentuale di pezzi difettosi: p
Probabilità d accettare il lotto: P(A)
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28
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:
I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)
‰
‰
‰
‰
Semplice: l’accettazione dipende dal controllo di un
solo campione
Doppi: l’accettazione dipende dal controllo di due
campioni
Multipli: l’accettazione dipende dal controllo di più
campioni
Sequenziali: l’accettazione del lotto dipende dal
risultato ottenuto dopo ogni elemento collaudato
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29
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (7)
‰
La probabilità d accettare o rifiutare un lotto,
per uno stesso piano di campionamento,
viene descritta mediante la “curva
caratteristica operativa”
• Distribuzione binomiale
• Distribuzione di Poisson
– n elevato e p piccolo
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30
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (8)
Distribuzione Binomiale:
n k
n−k


(
)
P ( A) = ∑   p 1 − p
k =0  k 
nA
Possiamo pensare di costruire la Curva Caratteristica Operativa
a partire dalla tabella:
p1
p2
p3
…
pm
P(A)
P(A1)
P(A2)
…
P(Am)
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31
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (8)
Distribuzione di Poisson:
nA
P( A) = ∑
k =0
(np )
k
k!
e np
Da utilizzare per valori elevati di n e p piccolo
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32
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (9)
‰
Accettazione o rifiuto dei lotti
• La curva operativa illustra i comportamento
di un qualsiasi piano di campionamento
• Fissato Rf (α) e Rc (β) si possono
determinare LQA e LQT
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33
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (10)
P0 = limite superiore per la frazione
difettosa del lotto ritenuta accettabile
P1 = limite inferiore per la frazione
difettosa del lotto ritenuta da rifiutare
CURVA CARATTERISTICA OPERATIVA
È un diagramma che indica la probabilità di accettazione di lotti
in funzione della difettosa presente negli stessi
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α = rischio del produttore
o fornitore
β = rischio del cliente
34
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:
Esempio
IL CONTROLLO PER
CAMPIONAMENTO
Considerazioni e risultati relativi
a campioni con diversa numerosità:
La scelta della dimensione del
campione deve essere un giusto
compromesso tra sicurezza del
risultato e tempi / costi di esecuzione.
Si consideri il seguente esempio.
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35
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:
Esempio (2)
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36
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (11)
TABELLA PER IL CONTROLLO
ORDINARIO PER CAMPIONAMENTO
SEMPLICE PER ATTRIBUTI
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37
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)
LIVELLO DI COLLAUDO
Il livello di collaudo scelto
determina il potere
discriminante della prova.
Il livello S1 è quello con minor
potere discriminante, il livello
III è quello con maggior potere
discriminante.
Salvo diversa indicazione e
per normali necessità si usa
Il livello II. I livelli speciali S1,
S2, S3, S4 sono usati quando
sono necessarie numerosità di
campione piccole, e possono
o devono essere tollerati i
rischi determinati dal minor
potere discriminante (ad es.
controlli su materiali ricavati
da un processo continuo).
La scelta di collaudo ordinario,
rinforzato o ridotto (vedi oltre)
è completamente indipendente
dal livello di collaudo scelto.
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38
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)
Piano di Campionamento Ordinario
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39
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)
Piano di Campionamento Ridotto
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40
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)
Piano di Campionamento Rinforzato
Politecnico di Milano – Dipartimento di Elettrotecnica
41
Affidabilità e Controllo Qualità
2 – Gli Strumenti
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (16)
Regole di commutazione tra i piani di campionamento
Politecnico di Milano – Dipartimento di Elettrotecnica
42
2 – Gli Strumenti
Affidabilità e Controllo Qualità
IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:
SINTESI
QUANDO È NECESSARIO
ƒ Prove distruttive
ƒ Grandi quantitativi
ƒ Controlli molto onerosi
QUANDO È OPPORTUNO
ƒ Per ridurre i costi di controllo
ƒ Per stimolare il fornitore
all’autocontrollo e al
miglioramento
ƒ Quando il livello di qualità ha
raggiunto valori elevati che non
giustificano un controllo al 100%
FASI PRINCIPALI DEL
CONTROLLO
PER CAMPIONAMENTO
ƒ Stabilire in anticipo la frazione
difettosa accettabile
ƒ Definire la numerosità del
campione, sulla base della
confidenza statistica richiesta e
della complessità / costo della
prova
ƒ Effettuare materialmente il
controllo
Nota: è sbagliato considerare
aprioristicamente che un controllo
al 100% dia più garanzie di un
controllo statistico!
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43