Misura di resistenza con il metodo volt- amperometrico.

Misura di resistenza con il metodo voltamperometrico.
Esperimentatori:
Marco Erculiani (n° matricola 454922 v.o.)
Noro Ivan (n° matricola 458656 v.o.)
Durata dell’esperimento:
3 ore (dalle ore 9:00 alle ore 12:00)
Data di effettuazione:
Venerdi’ 5 marzo 2004
Materiale a disposizione:
La cassetta polifunzionale descritta di seguito:
In Fig. 1 è mostrato lo schema della cassetta utilizzata in laboratorio. Nella cassetta troviamo i
seguenti elementi:
1) Tester (ICE 680R): È uno strumento universale (analogico a bobina mobile) che può essere
utilizzato come amperometro, voltmetro o ohmetro. Il tester (di classe 1) viene inserito nei
circuiti tramite le boccole B28 e B29 e ha una batteria interna.
2) Milliamperometro (ICE 840, corrente di fondo scala If.s.= 50 mA, classe 1.5). Viene inserito
nei circuiti tramite le boccole B20 e B21.
3) Resistori: R1, R2 e R3.
4) Condensatore: C1.
5) Induttanza: L1.
6) Diodo: D1.
7) Reostati Helipot: R4 e R5. Il valore della resistenza di ciascun reostato può essere variato
tramite la rotazione del cursore, collegato rispettivamente alle boccole B18 e B31. I valori
della resistenza variano da 0 . al valore massimo di 500 . ± 4% in 10 giri di 50 divisioni
ciascuno (1./divisione). La linearità della scala è data al 0.25%.
8) Pila: U1. Viene inserita nel circuito tramite le boccole B26(-) e B27(+). Premendo il tasto S1 si
inserisce la pila nel circuito.
9) Connettori: J1 e J2. Servono per la realizzazione di circuiti che richiedono l’oscilloscopio.
Figura 1: Schema della cassetta utilizzata in laboratorio.
Numero del banco: 13
SCHEMI DEI CIRCUITI A) e B).
Iv
CIRCUITO a
P
RV
RA
+
U1
A
IX= IA
V
RX
CIRCUITO b
P
IA= IX +IV
RA
A
+
Iv
U1
RV
IX
RX
V
Figura 2 : schemi dei due circuiti utilizzati per la misura.
Scopo dell’esperienza:
Tale esperienza ha la finalità di ricavare il valore della resistenza R1 (con valore di catalogo
R1=20.8 ohm) tramite una serie di misure di tensione e corrente. Il supertester viene utilizzato come
voltmetro per le misure di tensione(indicato con la lettera V nei due circuiti di Fig 2 ) e
contemporaneamente si usufruisce di un amperometro per le misure di corrente(indicato con una
lettera A nei due circuiti di Fig 2 ). Si effettuano dunque le misurazioni in due circuiti distinti , si
veda Fig 2 : circuito a) e circuito b). Cio’ viene fatto al fine di confrontare il risultato (valore di
R1) con quello di catalogo e verificare con quale dei due circuiti si ottiene l’errore più piccolo. A
livello teorico tale questione è risolta verificando che se R x ≥ R A RV , dove RA (6 ohm di Fig 2 ) è
la resistenza interna dell’amperometro , RV (40 Kohm di Fig 2) è quella interna al supertester nella
modalità voltmetro e Rx è quella da trovare , il circuito più adeguato nella misura, cioè quello che
commette un errore più piccolo, è il circuito a) ( si veda Fig 2); se invece R x ≤ R A RV allora è il
circuito b) (di Fig 2) ad essere più opportuno. L’esperimento, quindi , ha anche lo scopo di
verificare tali relazioni. Si precisa inoltre che per ricavare, in entrambi i circuiti, più valori di
tensione e corrente a parità di forza elettromotrice della batteria (E ≅ 3 60,1 V valore misurato ; per
brevi periodi di misura la forza elettromotrice della batteria si può considerare costante, la scarica
della batteria è trascurabile) si è inserito in serie alla batteria e al resto del circuito un reostato ℜ
(resistenza variabile con range 0-500 ohm) regolabile con una manopola a scala circolare da 0 a 10.
In questo modo si possono realizzare 10 misure di tensione e corrente per ogni circuito a) e b)
corrispondenti a 10 posizioni del reostato. Infine si traccia un diagramma V-I (tensione-corrente)
per le 10 misure raccolte di V e I per entrambi i circuiti (a e b) e la retta che interpola tali punti
dovrebbe sovrapporsi teoricamente una retta passante per l’origine e con pendenza pari a R1(il cui
valore di catalogo e’ pari a 20.8 ohm) . Questo ovviamente è improbabile a causa degli errori di
misura e quindi vengono tracciate due rette: una passante il più vicino possibile a tutti i punti trovati
e un’altra retta con pendenza pari al valore vero di R1 . Si confrontano poi le rette ottenute e gli
errori calcolati sui valori di misura .
Per allestire i due circuiti a) e b) di Fig 2 basta collegare con i cavetti in dotazione i morsetti dei
rispettivi componenti seguendo gli schemi dei circuiti . Osservando la cassetta di Fig 1 . si
identificano i morsetti di tutti i componenti :
La batteria U1 più il pulsante rosso P già collegato in serie hanno i morsetti B26-B27,
l’amperometro puro ha i morsetti B20-B21, il supertester usato come voltmetro ha i morsetti B28B29, la resistenza R1 ha i morsetti B1-B2 e il reostato ha i morsetti B18-B19 o B17 . E’ da precisare
che le resistenze RA e RV , che compaiono negli schemi dei due circuiti ( si veda Fig 2 ), sono
interne agli strumenti di misura .
Svolgimento :
Come prima operazione è stata misurata la resistenza del reostato ℜ, per tutte le dieci posizioni
(tacche), tramite il supertester inserito nella modalità ohmetro , regolato ad una opportuna scala ,
ottenendo i seguenti valori e i relativi errori di misura:
Posizine
reostato
Scala ohmetro R (ohm) tacche(Ia) ∆R (ohm)
10
x1
500
28
20,2922
9
x10
450
45
50
8
x10
400
41
27,1
7
x10
350
37,5
18,667
6
x10
300
34,5
14,025
5
x10
250
32
10,85
4
x10
200
30
8,334
3
x10
150
28
6,087
2
x10
100
26,5
4,014
1
x10
50
25
2
0,5
x10
35
23,5
1,405
Tabella 1: valori di resistenza del reostato misurati con l’ohmetro. Sono visualizzati anche gli
errori sulla misura e le scale dell’ohmetro usate.
E` da notificare che per ogni misura di resistenza , il supertester ( ohmetro ) e` stato regolato allo
zero della scala con il regolatore opportuno , cortocircuitando le boccole di uscita con un cavetto.
Gli errori sui valori di resistenza sono stati calcolati per mezzo della relazione:
∆Ri =
Ri
∆I A
⋅
IA 
1 − I A
 I
f .s





;
dove Rx è il valore di resistenza che si misura , IA è il valore di corrente che si legge nella scala
delle correnti , mentre si esegue una misura di resistenza ; I f.s è il valore di fondo scala relativo
sempre alla scala delle correnti e ∆IA è l’errore associato a IA relativo alla classe di precisione
dello strumento e che è stato colcolato tramite la relazione:
∆I A = δ cl ⋅ I f .s ⋅ 10 −2 ;
dove δcl è la classe di precisione del supertester nella modalità ohmetro , che vale 1 .
Misurati tutti i valori di resistenza del reostato si è allestito il circuito a) di Fig 2, collegando con i
cavetti in dotazione tutti i componenti figuranti nello schema.
Inizialmente si è posto il reostato nella posizione 10 ( resistenza più alta , pari a 500 ohm ± 20,3
ohm ) , la portata del supertester, nella modalità voltmetro, è stata selezionata opportunamente ed
stata verificata quella dall’amperometro ( portata fissa a 50mA), al fine di avere l’errore di
sensibilità più piccolo possibile e a maggior ragione di evitare di danneggiare gli strumenti. Questo
rischio infatti si può presentare solo se il valore della grandezza elettrica che si vuol misurare è
maggiore della portata dello strumento. Per ovviare a ciò si calcola a grandi linee, precedentemente
alla misura , il valore che si dovrebbe misurare della grandezza elettrica, e in seguito si seleziona la
portata dello strumento affinchè si ha -Valore portata (VP) > Valore calcolato(VC) - ma non
troppo, in modo da avere il minimo errore di sensibilità . Rispettando tale procedura sono stati
calcolati i valori di tensione e corrente per ogni misura e per entrambi i circuiti tramite le relazioni :
ICi =
E
;
(Rr i + R1 + R A )
VC i =
E
⋅ (R + R ) ; per il circuito a)
(Rr i + R1 + R A ) 1 A
per entrambi i circuiti ( Fig 2),
VC i =
E
⋅ R ; per il circuito b)
(Rr i + R1 + R A ) 1
Essendo la portata dell’amperometro non regolabile e fissa a 50 mA l’errore di sensibilita’ dello
strumento e’ sempre lo stesso, quindi la relazione precedente ( formula di I Ci ) serve solamente per
verificare di rientrare nella portata con il valore piu` alto di corrente . Il valore massimo di corrente
si ottiene con la resistenza minima del reostato, cioe’ con la posizione 1 della manopola (valore
misurato di 50 ohm). Il supertester invece, nella modalita` voltmetro, ha le seguenti portate :
200V- 50V- 10V-2V-100 mV , tutte in corrente continua.
Calcolato il valore di VC per ogni valore di resistenza del reostato si seleziona , nelle misure, la
portata di valore piu` alto ma piu` vicino a quello calcolato. In questo modo si ottiene l’errore di
sensibilita` piu` piccolo possibile .
Quindi conoscendo tutti i valori di Rr , misurati precedentemente, poi i valori di R1= 20,8 ohm e
RA= 6 ohm sono stati calcolati le VCi per ogni posizione del reostato e la IC solo per la posizione 1,
ottenendo:
Tabella 1: Valori di tensione
posizio
ne
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Vc(a)
Vc(b)
153 mV
169 mV
188 mV
215 mV
247 mV
290 mV
354 mV
456 mV
635 mV
1045
mV
119
131
146
166
191
225
275
354
493
812
mV
mV
mV
mV
mV
mV
mV
mV
mV
mV
con Imax = 39
mA
TABELLA 2 : valori di tensione calcolati prima della misura . Da questi valori si ricavano le
portate del supertester (voltmetro) per ogni posizione del reostato. Il valore massimo di corrente
Imax serve per essere sicuri di rientrare, con il valore, sulla portata dell’amperometro.
Per la prime tre misure del circuito a) e` stata selezionata una portata di 0,2 V ( ottenuta
raddoppiando la portata di 0,1 V premendo il pulsante (x2) del supertester di Fig 1 ), le rimanenti
con una portata di 2 V. Per il circuito b) le prime cinque misure sono state fatte con una portata di
0,2 V e le rimanenti con 2 V. Per quanto riguarda la corrente, dal calcolo iniziale si e` visto subito
che la portata dell’amperometro (fissa a 50 mA) e` ben superiore al valore massimo di corrente
nelle misure ( pari a 39 mA ).
Fatto ciò per far passare corrente nel circuito si è premuto il pulsante rosso P di Fig 2 . A questo
punto si sono letti i valori negli strumenti. Preso il primo valore di corrente e tensione si è riaperto il
circuito rilasciando il pulsante P e si è passati alla sucessiva posizione del reostato ℜ , e cosi via ,
fino ad arrivare alla posizione 1 . Alla fine si sono trovati i seguenti dati :
Tabella 3 : dati circuito A
posizione reostato I (mA)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,5
V f.s. (V)
I f.s. (mA)
6
6
7
8
9
11
13
16
22
35
50
delta V (V)
0,2
0,2
0,2
2
2
2
2
2
2
2
2
R reostato (OHM)
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
R (OHM)
0,002
0,002
0,002
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
R medio
500
450dR/R
delta I (mA) V (V)
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
18
20,66666667
19,71428571
19
20,66666667
19,45454545
20,15384615
21,5
21,27272727
21,42857143
21,2
delta R (OHM)
0,125769238
0,125623445
0,107717448
0,137073201
0,11785113
0,098746145
0,082393021
0,065294573
0,047679148
0,029886643
0,02100626
errore R
21,09361494
0,014667746
errore %
0,144
0,16
0,18
0,2
0,24
0,28
0,34
0,44
0,6
0,96
1,36
400
350
300
250
200
150
100
50
35
0,000695364
0,069536425
Tabella 3 : dati ottenuti per il circuito a) di Fig 2 . Si possono vedere i valori di corrente e tensione
con i relativi errori , i valori di fondo scala , i valori di resistenza ottenuta e quelli del reostato con i
relativi errori, la resistenza media e il relativo errore.
Allo stesso modo sono state ricavate le misure per il circuito b) , di Fig 2 , riassumendo i dati nella
seguente tabella:
Tabella 4 : dati circuito B
posizione reostato I (mA)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,5
V f.s. (V)
I f.s. (mA)
6
6
7
8
9
11
13
16
22
35
50
delta V (V)
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
2
2
2
2
2
2
R reostato (OHM)
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
R (OHM)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
R medio
500
450dR/R
400
350
300
250
200
delta I (mA) V (V)
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
19,33334268
20,66667734
20,00001
20,00001
20,44445489
20,00001
21,53847314
21,25001129
21,81819372
20,57143915
20,80001082
delta R (OHM)
0,126183458
0,126036287
0,108091043
0,094579662
0,084039228
0,113636364
0,091817445
0,075216177
0,053835873
0,035082597
0,024388983
errore R
20,78967954
0,016492954
errore %
0,000793324
0,116
0,124
0,14
0,16
0,184
0,22
0,28
0,34
0,48
0,72
1,04
0,079332409
150
100
50
35
Tabella 4 : dati ottenuti per il circuito b) di Fig 2 . Si possono vedere i valori di corrente e tensione
con i relativi errori , i valori di fondo scala , i valori di resistenza ottenuta e quelli del reostato con i
relativi errori, la resistenza media e il relativo errore.
Bisogna dire che se la portata (del voltmetro o dell’amperometro) non coincide con il valore di
fondo scala dello strumento allora la misura che viene visualizzata vale:
VM = ( VP! n°tot). n°lette ; dove VP è il valore della portata, n°tot è il numero di tacche totali della
scala, n°lette è il numero di tacche lette e VM è il valore effettivo della misura.
Oltra alle misure che sono state fatte, per una ulteriore applicazione, e` stato misurato il valore di
resistenza del reostato che corrispondeva ad una corrente, letta nell’amperometro, pari a 50 mA,
cioe` al valore di fondo scala (che in questo caso coincide con la portata). Per far cio` la manopola
del reostato e`stata regolata alla posizione da leggere nell’amporemotro una corrente di 50 mA.
Successivamente il reostato e` stato scollegato dal resto del circuito, e con il supertester, nella
modalita` ohmetro , e`stata misurata direttamente il valore della sua resistenza per quella posizione.
E`stato trovato il valore di 35 ohm corrispondente alla tacca 0,5 della scala circolare. Questa
posizione e` stata inserita nella tabella seguente come undicesima misura.
Gli errori relativi alle misure ottenute sono stati calcolati tramite la classe di precisione degli
strumenti :
∆I = δ cl . A ⋅ I f . s ⋅ 10 −2 e ∆Vi = δ cl .V ⋅ V f . s.i ⋅ 10 −2
dove δcl.A e If.s sono la classe di precisione dell’amperometro e il suo valore di fondo scala ( fisso
a 50 mA) , mentre δcl.V e Vf.s.i sono la classe di precisione del supertester ( in voltmetro ) e il valore
di fondo scala utilizzato nelle singole misure. L’errore che e` stato attribuito ai singoli valori di
V
resistenza , ottenuti tramite la relazione ( legge di ohm ) : R x .i = i ; vale
Ii
2
2
 ∆V   ∆I 
∆Ri =  i  +   ;
 Vi   I i 
Successivamente, a tutti i valori di resistenza ricavati e` stata attribuita la media ( pesata ) :

R 
∑ i 2 
 ∆R 
1
i
i 
; e il relativo errore sulla media pari a : ∆R =
;
R=

1
1 
∑

∑i ∆R 2
 ∆R 2 
i
i 
 i
Fatto cio` si sono costruiti due diagrammi tensione-corrente (V-I), relativi ai due circuiti a) e b),
dove sono stati riportati i dati con i relativi errori . In seguito tutti i punti ottenuti sono stati fittati
con una retta interpolatrice . Inoltre , e` stato inserito nei diagrammi il valore teorico della resistenza
R1 ( pari a 20.8 ohm) rappresentato da un retta (linea rossa) di equazione :
y = mx
⇒ V = R1 ⋅ I
; (legge di ohm)
Per il circuito a) si ottiene :
Diagramma 1: grafico V-I
y 2= 0.0208x
y1 = 0.0208x
V (V)
1,12
1,04
0,96
0,88
0,8
0,72
0,64
0,56
0,48
0,4
0,32
0,24
0,16
0,08
0
circuito A V-i
i (mA)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Diagramma 1 : andamento V-I (tensione-corrente) per il circuito a). La linea nera è la retta
interpolatrice, mentre la retta rossa è il valore teorico (cioè di catalogo) di R1.
Per il circuito b) si ottiene:
Diagramma 2: grafico V-I
circuito B V-i
y 1= 0.0208x
V (V)
y = 0,0271x
1,44
1,36
1,28
1,2
1,12
1,04
0,96
0,88
0,8
0,72
0,64
0,56
0,48
0,4
0,32
0,24
0,16
0,08
0
i (mA)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Diagramma 2: andamento V-I (tensione-corrente) per il circuito b). La linea viola è la retta
interpolatrice, mentre la retta rossa è il valore teorico (cioè di catalogo) di R1.
Conclusioni : Si nota dai diagrammi e dai risultati ottenuti che il valore di resistenza più vicino a
quello teorico è stato ricavato con il circuito a). Questo risultato però va in contraddizzione con
quanto è stato detto all’inizio, cioè che se R x ≥ R A RV , dove RA (6 ohm di Fig 2 ) è la resistenza
interna dell’amperometro , RV (40 Kohm di Fig 2) è quella interna al supertester nella modalità
voltmetro e Rx è quella da trovare , il circuito più adeguato nella misura, cioè quello che commette
un errore più piccolo, è il circuito a) ( si veda Fig 2); se invece R x ≤ R A RV allora è il circuito b)
(di Fig 2) ad essere più opportuno. Si deve tener conto però anche dell’errore sull’errore della
misura , che potrebbe scombussolare i risultati previsti. Calcolando tale errore, infatti, si riscontra
subito la validità dell’affermazione teorica appena enunciata . L’entità dell’errore risulta tale da
approssimare entrambi gli errori ottenuti ( si vedano le tabelle 3-4 ) alla seconda cifra decimale.
Per il circuito A : R = 21,09361494 ohm
errore su R vale 0,014667746 ≈ 0,01 ( valore approssimato );
Per il circuito B : R = 20,78967954 ohm
errore su R vale 0,016492954 ≈ 0,01 ( valore approssimato );
A questo punto, dato il valore di catalogo di R ( 20,8 ohm ), si confrontano i risultati.
Si nota immediatamente che, a parità di errore, il valore di R che più si avvicina a quello di catalogo
è quello ottenuto con il circuito B ( R = 20,78967954 ohm ). Si è riscontrato, pertanto, quanto
detto in precedenza .