LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 2
Unità 4
Esercizi per il recupero
ARGOMENTO: L’omotetia e la similitudine
CONTENUTI:
Triangoli omotetici
Triangoli simili
Applicazioni della similitudine
INDICAZIONI DI LAVORO
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Utilizzando lo schema riassuntivo rivedi con cura gli enunciati dei teoremi studiati
→
Controlla se conosci i termini inseriti nel glossario
→
Rifai gli esercizi svolti del libro di testo, controllando se fai errori
→
Svolgi i seguenti esercizi
→
Correggili, utilizzando la correzione
ESERCIZIO 1
Sia ABC un triangolo acutangolo (con AC<CB) inscritto in una circonferenza γ di centro O, sia CH l’altezza
relativa al lato AB, sia E il punto di intersezione fra la retta rCH e la circonferenza, e sia CF un diametro.
Dimostra che
1. i triangoli AHC e CFB sono simili
2. l’arco AF è congruente all’arco EB.
3. i triangoli APH, CPK e CHB sono simili (essendo AK l’altezza relativa a BC e P l’ortocentro del
triangolo ABC)
4. il triangolo APE è isoscele sulla base PE.
ESERCIZIO 2
Sia F un punto della circonferenza di centro O e diametro BC tale che CF<BF. Sia P un punto appartenente
al raggio FO, siano A e D i punti in cui una retta p perpendicolare in P a FO interseca le rette b e c parallele a
FO e passanti rispettivamente per B e per C.
Siano E e G i punti di intersezione di BF e CF con AD.
Dimostra che
1. il quadrilatero ABCD è un trapezio rettangolo
2. P è il punto medio di AD
3. i triangoli ABE e EPF sono omotetici, come pure FPG e GDC
4. i triangoli ABE e CDG sono simili
5. AE ⋅ PG = AB ⋅ PF .
Sapendo che la misura del diametro è 26(cm), della base minore di ABCD è 6(cm), della distanza di D da G
è 8(cm) e che AE è triplo di EG, calcola:
1.1
la misura del perimetro e dell’area del triangolo EFG
1.2
la misura dell’area del trapezio ABCD.
Verifica che BCGE è circoscrittibile ad una circonferenza.
ESERCIZIO 3
Nel triangolo ABC, rettangolo in B, la bisettrice dell’angolo C interseca AB in M ed H è la proiezione
ortogonale di B sull’ipotenusa. La circonferenza passante per B, M, H interseca BC in N.
Dimostra che
1. NH ⊥ HM
2. i triangoli AMH e BNH sono simili.
3. BC : CA = MM' : MA (con M’ proiezione ortogonale di M su AC)
4. BC ⋅ M' A = HM' ⋅ CA
© editrice san marco
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 2
ESERCIZIO 4
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e sia CH l’altezza relativa ad AB. Detta γ la circonferenza di
centro H e raggio HM, dove M è la proiezione ortogonale di H su AC, sia DE la corda del triangolo (con D
punto di AC) tangente alla circonferenza in P.
Dimostra che:
1. i triangoli AMH e CDP, AMH e AHC sono simili;
2. i triangoli MHD e DHP sono congruenti;
3. CM è medio proporzionale tra CP e CQ, dove Q è il punto di γ diametralmente opposto a P.
Sapendo che l’area del triangolo ABC misura 192(cm2) e che la base AB supera di 8(cm) l’altezza ad essa
relativa calcola
1.1 la misura del perimetro di ABC;
1.2 la misura del perimetro e dell’area del triangolo CDE;
1.3 la misura dei due raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta al triangolo CDE;
Verifica se il quadrilatero ABED è inscrittibile o circoscrittibile ad una circonferenza.
ESERCIZIO 5
Il trapezio isoscele ABCD ha come base minore DC e le diagonali che si intersecano nel punto O.
Dimostra che
1. i triangoli AOB e DOC si corrispondono in una omotetia ΟK
2. i triangoli DCP e ABP si corrispondono in una omotetia Ο1K1 (detto P il punto di intersezione
dei lati obliqui)
3. il quadrilatero PCDO è circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro Z appartiene a PO
Sapendo che la misura della base minore è 4a e che il punto O dista da C a 5 , determina
2
1.1 la misura del perimetro del trapezio ABCD sapendo che l’area è 32a .
1.2 la misura del perimetro e dell’area di DCP
1.3 il rapporto di omotetia di Ο e di Ο1
1.4 la distanza di Z da P.
ESERCIZIO 6
Due circonferenze γ e γ’ di centri rispettivamente O e O’, sono tangenti esternamente in T e intersecano una
tangente comune s in R e U .
Dimostra che
1. i triangoli RUT ed OSO’ (S punto di intersezione fra s e la tangente ad entrambe le circonferenze in T)
sono simili
2. il punto V, ottenuto intersecando γ’ col prolungamento di RT, è diametralmente opposto a U
3. il punto Z, ottenuto intersecando γ col prolungamento di UT, è diametralmente opposto a R
4. i triangoli RTU ed ZTV sono equivalenti
Sapendo che i due centri distano fra loro di 17(cm) e che R dista 15(cm) da U, determina:
1.1 la misura dei raggi delle due circonferenze
1.2 la misura del perimetro e dell’area di RUVZ
1.3 il rapporto di ciascuna delle due omotetie che trasformano γ in γ’
1.4 a quale distanza da O si trovano i centri delle due omotetie che trasformano γ in γ’
ESERCIZIO 7
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza γ di centro O e diametro BD e ha il lato AB congruente
alla diagonale AC. Dimostra che
1.
i triangoli APO e DPC sono omotetici, dove P è il punto di intersezione delle diagonali di ABCD
2.
i triangoli APD e OPC sono equivalenti
3.
AP è medio proporzionale fra BP ed OP
4.
i triangoli ABC e BEF sono simili, essendo E e F i punti di intersezione delle rette dei lati BA e BC con
la retta t tangente la circonferenza in D.
Sapendo che il punto F dista da D 40 2 (cm) e che il rapporto fra FC e BC è 16 , determina
9
1.1
1.2
1.3
la misura del perimetro e dell’area di ABCD
il rapporto dell’omotetia che trasforma AOP in DPC
il rapporto della similitudine che trasforma ABC in BEF.
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