L’evoluzione stellare
L’evoluzione stellare
Fino ad ora abbiamo considerato le stelle in equilibrio stazionario sulla
sequenza principale (bruciamento di H) ed abbiamo visto che una stella di
massa M e composizione Z data ha una struttura pienamente determinata.
E’ chiaro che le reazioni nucleari al centro delle stelle prima o poi
esauriranno l’idrogeno; in quel momento verrà a mancare la produzione di energia che tiene in
equilibrio la struttura stellare;
pertanto è inevitabile che le stelle evolvano nel tempo.
L’evoluzione stellare, in contrasto con l’equilibrio stellare, può essere
determinata risolvendo una serie di modelli di equilibrio in cui si tiene conto,
al variare del tempo, della variazione della composizione chimica in funzione
del raggio (dovuta a trasformazione di H in He ed altre reazioni nucleari).
Questa serie di modelli definisce una “traccia evolutiva” (stellar evolution
track).
Da queste tracce evolutive si deduce che, durante la fase di bruciamento
dell’H le proprietà osservative delle stelle (e quindi la loro posizione nel
diagramma HR) cambiano poco: questa è la fase di Sequenza Principale.
A. Marconi
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2
Durata della fase di Seq. Principale
La durata della fase di sequenza principale varia con la massa
L ⇠ M ↵ ( = 3 per M > M )
detta TMS la durata della fase di MS, l’energia totale irraggiata è
E ⇠ L tM S ⇠ M c2
poiché l’energia irraggiata è una frazione della massa bruciata, a sua volta
frazione della massa totale.
tM S
M
⇠
⇠ M1
L
tM S ⇠ M
2
maggiore è la massa, minore è la fase di durata della sequenza principale.
A. Marconi
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3
Durata della fase di Seq. Principale
Da calcoli precisi di evoluzione stellare, risulta
!
!
!
!
M = 0.5 M ! tM S ⇠ 5 ⇥ 1010 yr
M = 1.0 M ! tM S ⇠ 1010 yr
M = 10 M ! tM S ⇠ 2 ⇥ 107 yr
M > 30 M ! tM S ⇠ 3 ⇥ 106 yr
TMS (~90% della vita totale della stella) per le stelle massicce è ~106-107 yr
ed è piccolo rispetto a stelle tipo Sole (~1010 yr) o all’età dell’universo (~1.4×1010 yr);
vedere queste stelle significa che deve esserci formazione stellare in corso.
Stelle di piccola massa hanno TMS > età dell’universo;
nessuna di queste stelle ha ancora abbandonato la sequenza principale, ne’
lo faranno per alcune decine di Gyr → possiamo dimenticarci della loro
evoluzione.
A. Marconi
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4
Tracce evolutive
(Zero age) Main Sequence: H brucia nel nucleo (tMS)
La fase di gigante rossa
Appena gran parte di H nel nucleo è stato consumato, la stella si contrae e T
aumenta.
Come conseguenza comincia a bruciare H in una
shell esterna al nucleo arricchito di He.
Quello che succede non si può ricavare con
H burning
semplici argomentazioni fisiche ma i modelli
He
stellari predicono consistentemente che ci sia
una grossa espansione degli strati esterni della
stella.
Contemporaneamente la contrazione
gravitazionale del nucleo ed il bruciamento di
H nella shell esterna determinano un grosso
aumento di L.
L’effetto combinato è quello di un movimento verso l’alto nel diagrama HR
(aumento L) e verso destra cioè verso Te più basse (aumento R con L = 4πR2 σTe4 ).
Questa è la cosiddetta fase di gigante rossa; nel diagramma HR le stelle
vanno a popolare il ramo delle giganti rosse (red giant branch, RGB).
A. Marconi
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Tracce evolutive
Evoluzione verso gigante rossa (red giant branch, RGB):
H brucia in shell (~ 0.1 tMS)
La fase di gigante rossa
La fase di gigante rossa è breve, ~0.1 TMS ovvero ~ 1 Gyr per M=M⊙, ~106 yr
per M~10 M⊙ ed alcuni 105 yr per stelle più massicce.
Ad esempio per il Sole, TMS ~ 1010 yr con una età stimata di ~4.5×109 yr; tra
5.5×109 yr diventerà una gigante rossa con
R ⇠100R
L ⇠1000L
Attualmente
L = 4 R2 ⇥Te4
Quando diventerà gigante rossa si avrà
ovvero, dividendo membro a membro
con Te
' 5700 K
1000L = 4 (100 R )
✓
◆4
Te
3
4
10 = 10
Te
2
4
⇥Te
Te ⇠ 0.6 Te ⇠ 3200 K
cioè una stella rossa con tipo spettrale ~M5.
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Sole: da G5V a M5III
T=4
000
0
T=1
K
5400
T=82
K
00 K
T=645
0K
G5V
T=5800 K
T=4350 K
T=3550 K
M2V
Il bruciamento dell’ He
Durante l’evoluzione della fase di gigante rossa il core di He si contrae e si
riscalda, mentre ulteriore He viene aggiunto dal bruciamento nella shell
esterna.
Ad un certo punto nel core si raggiungono temperatura e densità di
T ⇠108 K
⇠1014 g cm
3
in queste condizioni si innesca il bruciamento dell’ He secondo la reazione
3α (triplo-alpha)
4
He +4 He +4 He !
12
C + (7.275 MeV)
(reazione complessiva)
Questa è l’unica reazione che può produrre elementi più pesanti dell’ He in
presenza di soli H e He perchè non esistono nuclei stabili con Z = 5 oppure
Z = 8.
Insieme a 12C si possono produrre anche O e Ne attraverso le reazioni
4
4
He +12 C !
He +16 O !
A. Marconi
16
O+
20
Ne +
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Il bruciamento dell’ He
Contemporaneamente al bruciamento di He nel nucleo, H continua a
bruciare nella shell.
All’inizio del bruciamento di He la stella si muove rapidamente verso sinistra
nel diagramma HR e poi ritorna più lentamente indietro definendo il ramo
orizzontale (Horizontal branch).
La fase di Horizontal branch (bruciamento He nel nucleo, H in shell) dura
circa ~ 0.01 TMS.
Quando si esaurisce nel core, He si accende in una shell esterna, mentre H
comincia a bruciare in una shell ancora più esterna.
In questa breve (~107 yr) fase di bruciamento in doppia shell, la stella risale il
ramo asintotico delle giganti (asymptotic giant branch, AGB); sostanzialmente è una ripetizione del red giant branch (ramo delle giganti)
ma con shell He, H attorno ad un core inerte di C+O invece che una shell di
H attorno ad un core inerte di He.
A. Marconi
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Tracce evolutive
Horizontal giant branch: He in nucleo, H in shell (~ 0.01tMS)
Tracce evolutive
Asymptotic giant branch: He in shell, H in shell (~ 107 yr)
Le perdite di massa
Le stelle evolute vanno incontro a grosse perdite di massa, specialmente
nella fase RGB e AGB.
Consideriamo una shell esterna nell’atmosfera della stella con superficie ΔS,
spessore ΔR e densità ρ; le forze radiative e gravitazionali sulla shell sono
Frad = Prad
1 4
S = aTe S
3
Fgrav
GM
= 2
R
S R
nelle fasi di sequenza principale e gigante rossa si ha
✓
◆
2
Frad
1 4
RRG
Frad
1 4
R
= aTeRG
= aTe
Fgrav RG
3
GM R
Fgrav
3
GM R
✓
◆
✓
◆ ✓
◆4 ✓
◆2 ✓
◆
Frad
LRG
Frad
TeRG
RRG
=
/
⇠
Fgrav RG
Fgrav
Te
R
L
2
nella fase di gigante rossa, gli strati esterni dell’atmosfera stellare sono
molto meno legati che nella fase di MS; si assiste a perdite di massa o venti
stellari con tassi ~10-4 M⊙ yr -1
In questo modo la stella riesce a perdere gran parte della sua massa iniziale.
A. Marconi
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Fasi post AGB
Le giganti sono stelle fortemente convettive su tutto il loro volume, questo
porta al cosiddetto dredge-up ovvero all’affioramento negli strati esterni di
elementi appena sintetizzati, che sono poi espulsi con i venti.
In questo modo (processi nucleari all’interno delle stelle ed altri che vedremo
più avanti) si sono formati tutti gli elementi a partire da un universo
primordiale fatto quasi esclusivamente di H ed He.
Siamo adesso arrivati alla fase di bruciamento di H e He in shell esterne al
nucleo, con un core di C+O inerte (fase di AGB).
A questo punto l’evoluzione si differenzia stelle con M > 8M⊙ sono in grado di proseguire nella catena di reazioni
nucleari e bruciare gli elementi via via più pesanti stelle con M < 8M⊙, si ritrovano con un core inerte di C+O che non sono
in grado di bruciare.
A. Marconi
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Fasi post AGB
Nelle stelle con M < 8M⊙ la densità del nucleo raggiunge valori tali da
innescare la “degenerazione” degli elettroni, un fenomeno quantistico che si
verifica per opportune combinazioni di (alta) densità e temperatura; la pressione degli elettroni degeneri dipende esclusivamente dalla
densità ed è in grado di supportare la struttura stellare;
il collasso del nucleo inerte di C+O si arresta, bloccando l’aumento di T e
quindi l’innesco delle reazioni nucleari di bruciamento di C e O.
I venti riescono a portar via completamente gli strati esterni esponendo il
core caldo degenere;
in questa fase (~104 yr) la stella è una nebulosa planetaria in cui i fotoni
ionizzanti H emessi dal core caldo ionizzano il gas circostante e costituito
dagli strati esterni appena espulsi.
Alla fine, resta soltanto il core caldo degenere di He+C+O che costituisce
una nana bianca.
La nane bianche si collocano a basse L ed alte T nel diagramma HR.
Nel nucleo delle stelle con M > 8M⊙ continua il bruciamento degli elementi
più pesanti di He, fino ad arrivare alla formazione di un nucleo di 56Fe ed al
collasso completo della struttura con l’esplosione di una supernova.
A. Marconi
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Da giganti rosse a nane bianche
Fase di Nebulosa Planetaria (~104 yr)
Helix
Helix
Helix
Cat’s Eye
Galleria di Nebulose Planetarie
Galleria di Nebulose Planetarie
Galleria di Nebulose Planetarie
Evoluzione stellare in ammassi
Gli ammassi stellari sono composti da stelle con stessa età e composizione
chimica perché si sono formati all’interno della stessa nube di gas.
Il diagramma HR in figura è quello di un ammasso globulare (ammasso di
stelle legate gravitazionalmente con forma sferoidale) con età di ~13 Gyr.
Le stelle più massicce di 1 M⊙ sono già esplose come supernovae o
sono già state trasformate in nane bianche.
Per le altre stelle, si noti il turnoff ovvero il punto al disopra della quale le
stelle hanno lasciato la sequenza principale;
il turnoff identifica la massa M delle stelle che stanno per lasciare la MS,
ed è indicativo dell’età dell’ammasso;
il turnoff si trova anche ad una L ben precisa ed è pertanto un indicatore
della distanza dell’ammasso (da F del turnoff, nota L, si ricava d).
Si notino poi il ramo delle giganti (RGB e lo si confronti con la traccia
evolutiva delle stelle con ~0.8 M⊙); l’horizontal branch (HB) e l’asymptotic
giant branch (AGB).
Il numero delle stelle nelle varie fasi è indicativo della durata relativa delle
stesse rispetto all’età dell’ammasso.
A. Marconi
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24
Diagramma HR di ammasso (~13 Gyr)
Confrontare con
traccia evolutiva
stella di 0.8 M
Diagramma HR di ammasso (~13 Gyr)
Confrontare con
traccia evolutiva
stella di 0.8 M
La degenerazione degli elettroni
A distanze medie tra le particelle uguali a mezza lunghezza d’onda di de
Broglie, il gas non può più essere considerato perfetto e intervengono effetti
quantistici. Questo avviene a densità dell’ordine di
h
h
h
= =
⇡
p
(2mE)1/2
(3mkT )1/2
mp
8mp (3me kT )
⇢q ⇡
=
3
( /2)
h3
3/2
= 340 g cm
3
✓
T
107 K
◆3/2
la densità in massa è determinata dai protoni ma la λ più grande è quella
degli elettroni: l’approssimazione di gas perfetto classico non è più valida e
gli elettroni diventano “degeneri”.
3
Nel caso del Sole si avrebbe ⇢q ⇡ 640 g cm
contro una densità del core di ⇢c ⇡ 150 g cm
3
ovvero il gas nel nucleo del Sole non è degenere. Si noti che qualsiasi gas a qualsiasi densità può rimanere “classico” a patto
che T sia sufficientemente alta. Il gas “degenere” è “freddo”.
A. Marconi
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26
La degenerazione degli elettroni
Cosa significa che gli elettroni diventano “degeneri”?
Lo stato di una particella è determinato da posizione e impulso
[ x, p ]
per il principio di indeterminazione di Heisenberg
x
px > h
x
y
z
px
py
pz > h3
dV d3 p > h3
h3 definisce il più piccolo volumetto che ha senso considerare nello spazio
delle fasi;
due particelle che si trovano nella stessa celletta di volume h3 sono
indistinguibili quantisticamente ovvero hanno lo stesso stato.
Gli elettroni sono particelle con spin non nullo e quindi seguono il principio
di esclusione di Pauli: in uno stesso stato quantico non ci possono stare più
di 2 particelle con spin opposti.
Gli elettroni degeneri hanno una distribuzione in energia che segue la
distribuzione di Fermi-Dirac (che ne determina l’equazione di stato così
come le particelle del gas perfetto seguono la distribuzione di Boltzmann).
A. Marconi
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27
La degenerazione degli elettroni
Quindi, quando aumentano le densità |p|
degli elettroni e diminuiscono le
temperature (in modo che ρ > ρq)
vengono occupati tutti gli stati quantici
fino ad una determinata energia (o |p|) e
necessariamente devo occupare stati
con |p| più grandi.
|p|
ρ < ρq
ρ > ρq
Spin opposti
I |p| sono maggiori di quelli che avrei nel
gas perfetto con quella ρ e T;
questo è il principio fisico della pressione
di degenerazione degli elettroni.
Gli elettroni degeneri hanno una
distribuzione in energia che segue la
distribuzione di Fermi-Dirac (che ne
determina l’equazione di stato così come
le particelle del gas perfetto seguono la
distribuzione di Boltzmann).
A. Marconi
Gas a bassa densità
(non degenere)
Gas ad alta densità
(degenere)
Elettroni liberi di
passare da stato
all’altro →
pressione termica
Elettroni “compressi”
nei livelli di energia
più bassi → pressione di
degenerazione degli
elettroni che si
oppone alla gravità.
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28
La degenerazione degli elettroni
Si può dimostrare che, per ρ>ρq, in un gas di ioni con numero atomico Z e
peso atomico A, la pressione di degenerazione degli elettroni vale
✓ ◆2/3
3
✓ ◆5/3
h
Z
5/3
Pe =
⇥
5/3
A
20me mp
✓ ◆5/3 ✓
◆5/3
Z
⇥
6
= Pd
P
=
9.9
⇥
10
atm
d
3
A
1 g cm
2
Sappiamo che dalla posizione nel diagramma HR e dalla misura della massa
una nana bianca ha tipicamente
R ⇠ 0.01R
M ⇠M
⇠106
= 1.4 ⇥ 106 g cm
3
questa densità è >> ρq anche per T~107-9 K, quindi nelle nane bianche gli
elettroni devono essere degeneri.
A. Marconi
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29
La Nane Bianche
Vediamo se l’equilibrio idrostatico combinato con la pressione di
degenerazione degli elettroni è in grado di spiegare le piccole dimensioni
delle nane bianche. Dall’applicazione del teorema del viriale (equilibrio idrostatico) e
dall’equazione di stato degli elettroni degeneri sappiamo che
GM
P ⇠
R4
2
✓ ◆5/3
Z
P ⇠ Pd
A
5/3
ovvero, uguagliando le due relazioni,
✓ ◆5/3
Pd Z
R⇠
M
G A
1/3
R diminuisce all’aumentare della massa. Il raggio di una nana bianca (white dwarf) è quindi
RW D ⇠ 3700 km
✓
Z/A
6/12
◆5/3 ✓
perfettamente consistente con le osservazioni.
A. Marconi
✓ ◆5/3 5/3
Z
M
⇠ Pd
A
R5
M
M
◆
1/3
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
30
La Nane Bianche
Il raggio decresce al crescere di M. Si trova che, aumentando la densità
della struttura, ad un certo punto gli elettroni diventano relativistici per cui
v~c; aumentando ulteriormente la massa, non si riesce ad ottenere un
aumento di pressione tale da bilanciare la forza di gravità (in ogni caso v<c).
Questo determina un limite superiore alla massa di una nana bianca (ovvero
una struttura retta dalla degenerazione degli elettroni) che è detta massa
limite di Chandrasekhar e vale
MCh = 1.4 M
in effetti, non esistono nane bianche con masse superiori al limite di
Chandrasekhar.
Per quanto riguarda le temperature sappiamo dal teorema del viriale
Eth
1 GM 2
⇠
2 R
Eth
poiché per nucleo di solo
A. Marconi
12C
3
3M
M
= N kT =
kT ⇠
kT
2
2 m̄
mp
6me + 12mp
12
m̄(C) =
'
mp
7
7
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31
La Nane Bianche
ovvero
1 GM mp
kT ⇠
2 R
sostituendo M = M⊙ e RW D ⇠ 3700 km
✓
Z/A
6/12
◆5/3 ✓
M
M
◆
1/3
si ottiene infine
kT ⇠ 3 ⇥ 10
7
erg = 187 keV
9
T ⇠ 2 ⇥ 10 K
struttura estremamente calda!
Questa stella irraggia calore fino a rimanere una palla fredda di elettroni
degeneri (nana nera).
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
32
