LA FORZA ED I PRINCIPI DELLA
DINAMICA
Concetto di forza
Principi della Dinamica:
1) Principio d’inerzia
2) F=ma
3) Principio di azione e reazione
Forza gravitazionale e forza peso
Accelerazione di gravità
Massa, peso, densità
IL MOVIMENTO: DAL COME AL PERCHE’
Per mettere in moto un corpo fermo
Per fermare un corpo in moto
Per variare un moto
bisogna intervenire dall’esterno
Variazione di moto
Causa esterna
Solo l’intervento di una causa esterna può
far iniziare un moto
far cessare un moto
far variare un moto (variando la velocità)
Una causa esterna non può essere altro che
una interazione con un “altro corpo”
es. interaz. a contatto Æ sforzo muscolare, attrito, ecc.
interaz. a distanza Æ gravità, attraz.magnetica, ecc.
FORZA
Forza = qualunque causa esterna che produce una
variazione dello stato di moto o di quiete di un corpo
Alcuni fatti sperimentali dall’esperienza quotidiana:
Con una forza muscolare si riesce a spostare un corpo
“leggero” ma non un corpo troppo “pesante”.
Per rallentare un corpo in moto bisogna trattenerlo a forza
o farlo muovere su una superficie ruvida.
Una superficie riesce a sostenere un corpo “pesante”
se è molto solida e se il peso è ben distribuito su di essa.
Se un corpo viene tirato o spinto da parti opposte
può deformarsi, rompersi o muoversi in una delle due direzioni
a seconda del materiale di cui è composto e della forza trainante.
3 principi della
Dinamica
Es.
PRINCIPIO D’INERZIA (1°)
In assenza di forze esterne,
un corpo mantiene il suo stato
di quiete o di moto rettilineo uniforme
Un corpo “naturalmente” è fermo
o si sta muovendo di moto rettilineo uniforme ( v = costante)
Questo non è intuitivo!
Esperienza: un corpo in moto dopo un po’ si ferma.
Ma sulla Terra nessun corpo è isolato: c’è sempre attrito.
Riducendo l’attrito si prolunga il moto.
Se non ci fosse attrito il moto continuerebbe all’infinito.
No forza Æ No variazione stato di moto
Æ No variazione di velocità Æ No accelerazione
Æ Quiete o moto rettilineo uniforme
Es.
2° PRINCIPIO DELLA DINAMICA
Forza e accelerazione
sono grandezze vettoriali
direttamente proporzionali.
Il loro rapporto è la massa,
costante dipendente dal corpo in esame.
F = ma
equazione fondamentale della Dinamica
F/a = costante
MASSA
dipendente dal tipo (natura, forma, dimensioni) di corpo
PROPRIETA’ INTRINSECA DEL CORPO
GRANDEZZA SCALARE FONDAMENTALE
Kg
(SI),
g
(cgs)
PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE (3°)
Se un corpo A esercita una forza su un corpo
B, a sua volta B esercita su A una forza uguale
e contraria.
FAB = - FBA
Es.
Esempi quotidiani:
- sostegno pavimento/sedia
- spinta “all’indietro”
- rinculo
- camminare, correre
- mezzi di trasporto
UNITÀ DI MISURA DELLE FORZE
forza = massa • accelerazione
SI:
Newton
Æ 1 N
dina
N
= 1 kg • 1 m/s2
100000
cgs:
F= ma
1000
100
Æ 1 dina = 1 g • 1 cm/s2
1 N
= forza che, applicata a un corpo di massa 1 kg,
produce un’accelerazione di 1 m/s2
1 dina = forza che, applicata a un corpo di massa 1 g,
produce un’accelerazione di 1 cm/s2
1 N = 1 kg • 1 m/s2 = 103 g • 102 cm/s2 = 105 dine
1 dina = 1 g • 1 cm/s2 = 10-3 kg • 10-2 m/s2 = 10-5 N
Es.
TIPI DI FORZE
Forze gravitazionali
Forze di attrito
Forze esercitate da vincoli
Forze di inerzia
Forze di contatto
Forze elettromagnetiche
...
FORZA GRAVITAZIONALE
Tra due corpi di massa m1 e m2,
posti a distanza r,
si esercita sempre
non solo sulla Terra!
una forza di attrazione
m1
→
r
-diretta lungo la congiungente tra i due corpi
-proporzionale alle due masse
-inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
m2
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
F = - G m 1 m2 r
2
r
r
attrazione
G = 6.67•10–11 N•m2/kg2
costante
di gravitazione universale
... troppo piccola per essere osservata tra corpi “normali” ...
ACCELERAZIONE DI GRAVITA’
Quanto vale la forza gravitazionale tra la Terra e un corpo
di massa m= 1 kg posto alla superficie della Terra? m
Es.
F R
Dati Terra: M = 5.98 •1024 kg, R = 6.38 •106 m
mM
F=G 2
r
M
2
2
24
− 11
−24
(6 .67 • 10 Nm kg )• (1 kg ) • (5 .98 • 10 kg )
=
(6 .38 • 10 6 m )2
Risultato: 9.8 N
= 9 . 799 N
M m
F=G 2
r
g = 9.8 m/s2
nelle vicinanze
della superficie della Terra
F = mg
forza peso
g è un’accelerazione!
FORZA PESO
L’atmosfera terrestre Æ regione di spazio vicina alla superficie della Terra
è sede di un campo di forza gravitazionale:
ogni corpo di massa m che si trova in quella regione risente di una
forza peso diretta verticalmente verso il basso.
F = mg = p
modulo
|p| = m g
direzione verticale
verso
basso
MOTO DI CADUTA
sempre uniformemente accelerato
con accelerazione g = 9.8 m/s2
v = g t
h = ½ g t2
forza peso
linee di forza
h
→
p
Tempo di arrivo al suolo: t = √ 2h/g
Velocità di arrivo al suolo: v = √ 2gh
90°
suolo
MASSA, PESO, DENSITA’
MASSA
m
grandezza fondamentale
proprietà intrinseca dei corpi
kg
PESO p = mg
N
forza con cui
ogni corpo dotato di massa
viene attirato dalla Terra
Unità di misura pratica: kgpeso = kgmassa•9.8 m/s2 = 9.8 N
DENSITA’
relazione tra massa e dimensioni dei corpi
utile soprattutto per liquidi e gas
massa
densità =
volume
d= m/V
kg/m3
Def. simile: concentrazione Æ v. Chimica
MISURE DI DENSITA’
d= m/V
kg/m3 g/cm3
kg/l
g/l
Es.
Densità dell’acqua:
1 g/cm3 = (10-3 kg)/(10-6 m3) = 103 kg/m3
= (10-3 kg)/(10-3 dm3) = (10-3 kg)/(10-3 l) = 1 kg/l
= (1 g)/(10-3 dm3) = (1 g)/(10-3 l) = 103 g/l
... e altri multipli e sottomultipli...
Equivalenze con densità (di uso comune in Medicina):
1 mg/dl = (10-3 g)/(10-1 dm3) = (10-3 g)/(102 cm3) = 10-5 g/cm3
1 µg/mm3 = (10-6 g)/(10-3 cm3) = 10-3 g/cm3
Es.
ecc... (fantasia!)
MISURA DELLE FORZE
Misura delle forze con metodo diretto e
metodo indiretto
bilancia
dinamometro
FORZE DI ATTRITO (1)
La forza di attrito si sviluppa quando due
superfici ruvide slittano l’una sull’altra. È
parallela alle superfici a contatto e si oppone al
loro movimento relativo. Essa dipende dallo stato
di rugosità delle superfici a contatto.
Dal punto di vista microscopico l’attrito è causato
da tanti piccoli legami temporanei fra i punti di
contatto fra le due superfici.
Per ridurre l’attrito: rotolamento o interposizione
di liquidi
FORZE DI ATTRITO (2)
L’attrito è un fenomeno non completamente
compreso e quindi non compiutamente descritto.
FORZE DI ATTRITO (3)
Alcune osservazioni empiriche:
r
N
r
T
r
P
2) FS_max=µ
µSN
adimensionale
r
Fs _ max
1) FS_max è indipendente dall’area di
contatto
µS coefficiente di attrito statico
0.5
- 1.0 metallo/metallo;
0.04 teflon/metallo; >1 adesione
3) La forza per mantenere in moto un oggetto a velocità
costante Fd<FS_max
Fd = µ d N
⇒ µd < µS
LE FORZE
forza gravitazionale:
ha la propria sorgente
nella massa
forza vincolare:
ha la propria sorgente
nelle interazioni fra gli
atomi che compongono
il vincolo
forza d’attrito:
ha la propria sorgente
nelle interazioni fra
due superfici
forza costante:
non cambia nel tempo e
nello spazio modulo,
direzione e verso
forza centripeta:
permette ai corpi di
compiere moti circolari
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Ricordando il moto circolare uniforme, supponiamo di avere
un corpo che si muova su di una circonferenza di raggio R
con modulo della velocità costante
R
accelerazione
centripeta
2
v
aR =
R
La velocità (come vettore v) non è costante
FORZA CENTRIPETA
L’accelerazione centripeta aR ha la direzione ed il verso
di ∆v, cioè è diretta verso il centro della circonferenza.
Dal IIo Principio della Dinamica possiamo quindi dedurre
che affinchè un corpo si muova di moto circolare
uniforme deve esistere una forza centripeta diretta
verso il centro della circonferenza e il cui modulo vale
2
r
v
F =m
R
FORZA CENTRIPETA: esempi
Supponiamo di avere una astronave che ruota lungo una
orbita stazionaria circolare di raggio R: quanto vale il
modulo della sua velocità di rotazione?
R
Terra
L’unica forza agente sull’astronave è la
forza di attrazione gravitazionale fra le
mM T
terra e l’astronave stessa
F =G
R2
Poiché l’astronave descrive un moto circolare uniforme la
forza F deve essere centripeta e quindi
2
mM T
v
F = G 2 = ma = m
R
R
⇒
MT
v= G
R
FORZA CENTRIPETA: esempi
Supponiamo di avere un’auto che percorre una curva piana circolare
di raggio R: quanto vale il modulo della velocità massima con la quale
può percorrere la curva senza slittare?
R
L’unica forza capace di produrre una accelerazione
Y
centripeta è la forza d’attrito
r
fra le ruote e la strada. Quindi
F
la massima forza d’attrito
X
producibile pone un limite alla velocità con cui
l’auto può percorrere la curva senza slittare.
A
L’attrito in questione è quello statico (µ
µS) perché, nel punto di contatto, il
pneumatico è momentaneamente fermo, lungo il raggio della curva, rispetto
alla strada. Se si supera vmax l’auto inizia a slittare e la forza d’attrito
µS) e quindi la macchina non si controlla.
diminuisce (µ
µd<µ
r
r
FA = Fcentripeta
r
FA (µ S mg ;0 )
v2
FA = µ S mg = ma = m
R
r
Fcentripeta (Fcentripeta ;0 ) Senza attrito
non si può fare
⇒ vmax = Rµ S g
la curva
FORZA CENTRIPETA: esempi
Supponiamo di avere un’auto che percorre una curva rialzata circolare
di raggio R: quanto vale il modulo della velocità massima con la quale
può percorrere la curva senza slittare?
r
N
r
P
La somma delle forze agenti deve produrre una
r
r r r
forza centripeta
Y
r
FA
θ
X
µ S N + mg sin θ + 0 = Fcentripeta
0 − mg cosθ + N = 0
r
FA (µ S N ;0 )
r
N (0; N )
FA + P + N = Fcentripeta
r
P (mg sin θ ;− mg cosθ )
r
Fcentripeta (Fcentripeta ;0 )
N = mg cosθ
Fcentripeta = mg (µ S cosθ + sin θ )
µ S = 0 ⇒ Fcentripeta = mg sin θ
θ = 0 o ⇒ Fcentripeta = µ S mg
Senza attrito si può fare
la curva
Curva piana
FORZE ELASTICHE: LE MOLLE
Consideriamo una molla ideale di costante elastica k.
Queste molle esercitano forze elastiche del tipo
r
r
F = − kx
{[k ] = Nm }
−1
dove x è l’elongazione della molla ed il segno meno indica
che la forza si oppone allo spostamento.
dinamometro
Poiché il dinamometro è in equilibrio deve
valere, per il Io Principio della Dinamica
r r
P+F =0
mg − kx = 0
⇒
mg
x=
k
FORZE DI REAZIONE VINCOLARE
Sono le forze esercitate dai vincoli cui è soggetto il
corpo. L’azione del vincolo è rappresentata da una
forza detta reazione vincolare.
Il corpo è in equilibrio
sotto l’azione della forza
peso w e della reazione
vincolare N (normale alla
superficie di contatto).
TENSIONE DEI FILI
Un filo inestensibile in tensione sviluppa forze uguali
ed opposte ai suoi capi. La forza T si chiama
tensione del filo.
La tensione del filo è
sempre parallela al filo
e può cambiare
direzione mediante
l’uso di carrucole.
TIPI DI EQUILIBRIO
1)stabile , se il corpo, allontanato
dalla posizione di equilibrio, vi torna;
2) instabile, se si allontana
ulteriormente
3)Indifferente, se resta nella nuova
posizione
stabile
indifferente
Attenzione, in più
dimensioni,: ex ai
punti di sella!
instabile
LA STATICA
Momento di una forza (M): Il momento rispetto al punto
arbitrario O di una forza F che agisce in un punto P di un
corpo rigido (cioe’ indeformabile) e’ data dal prodotto
vettoriale fra r (distanza di P da O) ed F.
M=rxF
LA STATICA
Momento di una
coppia di forze
F2
F1
F2
F1
d
d
CM
Le due forze agenti sul corpo
sono uguali in modulo ma di
verso opposto, ciononostante
il corpo non è in equilibrio
In questo caso il corpo ruota
in senso antiorario (verso del
momento verso dentro piano).
Il modulo del momento
risultante delle forze
rispetto al centro di massa è
|M|=2 Fd
Il centro di massa CM di un corpo omogeneo e simmetrico si
deve trovare su un asse di simmetria
LA STATICA
Condizione di equilibrio:
nel caso di un sistema rigido
devono essere nulle:
•la somma vettoriale di tutte
le forze ad esso applicate
(equilibrio traslazionale)
•la somma vettoriale dei
momenti di tali forze
(equilibrio rotazionale)
LE LEVE
Leva: asta rigida che puo’ ruotare attorno ad un
asse ad essa perpendicolare detto fulcro
sottoposta a 2 forze di cui una e’ detta potenza e
l’altra resistenza. La condizione di equilibrio e’:
1)
r r r
P+R+N =0
2)
Pa = Rb
=
b
a
Guadagno
G
r
N
:
R
P
=
a
b
F
r
P
r
R
TIPI DI LEVE
Leva di 1o genere: Fulcro intermedio fra potenza e resistenza.
Puo’ avere guadagno maggiore, minore o uguale ad 1.
Esempio: pinza
Leva di 2o genere: Resistenza intermedia fra fulcro e potenza.
Ha sempre guadagno maggiore di 1 (vantaggiosa).
Esempio: schiaccianoci
Leva di 3o genere: Potenza intermedia fra fulcro e resistenza.
Ha sempre guadagno minore di 1 (svantaggiosa).
Esempio: pinzette
ESEMPI DI LEVE DI 1o GENERE
Asse per sollevare
oggetti pesanti
Barca a remi
P
Bilancia
F
R
Altalena a bilico
F
LEVE DEL CORPO UMANO
Leva 1o genere
Leva di 2o genere
Leva di 3o genere
LEVE DEL CORPO UMANO
Articolazione di appoggio della testa:
Leva di 1o genere, in questo caso svantaggiosa.
Fulcro = articolazione
Resistenza = peso (applicato nel baricentro)
Potenza = muscoli splenici
Massa della testa = 8 kg. Forza peso della testa: circa 80 N
Distanza fra il fulcro ed i muscoli splenici: 2 cm
Distanza fra il fulcro e il baricentro della testa: 8 cm
E’ una leva svantaggiosa
La forza che deve essere esercitata dai muscoli splenici per
tenere la testa in posizione eretta si ricava da:
Fsplenici x 2cm = 80 N x 8 cm
Fsplenici = 320 N, corrispondente a una massa di circa 32 kg
LEVE DEL CORPO UMANO
Articolazione del piede in
elevazione sulle punte:
Leva di 2o genere, quindi
vantaggiosa.
Fulcro = dita.
Resistenza = peso che grava sulla
caviglia.
Potenza: muscoli del polpaccio, che
esercitano una trazione sul tendine
d’Achille.
LEVE DEL CORPO UMANO
Articolazione del gomito:
Leva di 3o genere, quindi
svantaggiosa.
Fulcro = articolazione.
Resistenza = forza peso
dell’avambraccio e
dell’eventuale massa sostenuta
dalla mano.
Potenza: Forza esercitata dal
bicipite brachiale
LEVE DEL CORPO UMANO
L’articolazione del gomito
col braccio disteso e’ piu’
svantaggiosa
dell’articolazione del
gomito col braccio
raccolto vicino al tronco
poiche’ in questo caso si
puo’ aumentare il braccio
della potenza (bm) e
diminuire quello della
resistenza.
LEVE DEL CORPO UMANO
Mandibola: Leva di 3o genere, quindi svantaggiosa.
Fulcro = articolazione.
Resistenza = forza esercitata dal cibo sui denti.
Potenza: forza esercitata dalle masse muscolari.
Il guadagno e’ maggiore in corrispondenza dei
denti posteriori.
La forza necessaria a
canini e incisivi per
afferrare e lacerare e’
inferiore a quella
richiesta ai molari per
rompere o triturare.
Evoluzione della mandibola
Rettile
Mammifero
Nell’evoluzione della
mandibola da rettili a
mammiferi le
dimensioni dei muscoli
sono aumentate mentre
quelle delle ossa sono
diminuite.
Nel caso dei rettili la forza di reazione vincolare che agisce
sull’articolazione per garantire l’equilibrio traslazionale
costituisce un limite alla forza del morso (e quindi all’entita’
della muscolatura) prima che l’articolazione si spezzi.
Nel caso dei mammiferi sono presenti 2 masse muscolari che
agiscono lungo direzioni diverse in modo tale che la somma
vettoriale fra loro e la resistenza del cibo sia nulla, quindi la
forza di reazione vincolare e’ nulla o comunque molto piccola.
Mandibola di carnivori ed erbivori
Carnivoro
La forza esercitata dai muscoli e’
proporzionale alla loro massa.
Carnivori: parte temporale (Fm1) =
2/3 del totale.
Erbivori: parte temporale (Fm1) =
1/10 del totale.
Erbivoro
Facendo i calcoli dell’equilibrio
rotazionale si ottiene che per i
carnivori la forza agente e’
diretta anteriormente (cattura
della preda), mentre per gli
erbivori e’ diretta posteriormente
(triturazione).
LEVE DEL CORPO UMANO
Statica di un soggetto in posizione eretta
Schematizzabile con una leva di 1o genere
Fulcro = settima vertebra dorsale
Resistenza = peso (applicato nel baricentro)
Potenza = muscoli dorsali
E’ praticamente sempre svantaggiosa. Nei
soggetti obesi, in cui il baricentro e’ spostato
in avanti, e’ piu’ svantaggiosa.
Dovendo portare uno zaino, l’equilibrio e’
migliore portandolo uno zaino sulle spalle.
Condizioni di equilibrio
R = Fm + Fp e Fm a = Fp b
Per una massa di 60kg si ottiene
Fm = 1200 N, R = 1800 N
ARTICOLAZIONE DELL’ANCA
Soggetto in piedi su un
piede solo
F=forza di trazione dei
muscoli abduttori
Pg=forza peso della gamba
(1/7 di P)
N=reazione vincolare del
pavimemto
R=forza che agisce sulla
testa del femore (dovuta
all’effetto del peso del
corpo che si scarica
sull’articolazione)
ARTICOLAZIONE DELL’ANCA
Calcoliamo R e il modulo di F supponendo che tutte le forze
agiscano sul piano x y.
Fx + Pgx + Nx + Rx = 0
Fy + Pgy + Ny + Ry = 0
M(F)z+M(Pg)z+M(N)z+M(R)z=0
F*cos700 - Rx = 0
F*sen700 - Ry - (P/7) + P = 0
F*sen700*7cm+(P/7)*3cm+P*11cm = 0
ARTICOLAZIONE DELL’ANCA
Svolgendo i calcoli si ottiene:
F = 1.61 P
Rx = 0.55 P
R = 2.43 P
Ry = 2.37 P
θ = 76.90
R = 2.43 P: lo sforzo sulle cartilagini di questa
articolazione e’ notevole (usura nel tempo,
necessita’ di protesi).
θ = 76.90: deviazione della testa del femore
poiche’ il tessuto osseo tende a crescere nella
direzione dello sforzo.
ARTICOLAZIONE DELL’ANCA
Se, ad esempio a causa della frattura del femore, il
soggetto e’ costretto ad un riposo prolungato, la forza dei
muscoli abduttori F si indebolisce.
Come conseguenza, l’equilibrio nella deambulazione viene
garantito da una forza R diretta piu’ verticalmente.
La testa del femore tende allora a crescere con un angolo
piu’ grande del normale. Ne risulta un allungamento
dell’arto il quale produce una rotazione della cintura pelvica
e quindi una curvatura della colonna vertebrale (scoliosi).
Per ovviare a cio’ e’ necessario usare un bastone che
consenta di scaricare una parte del peso del corpo, per cui
l’equilibrio viene garantito con un valore di F inferiore al
normale senza alterare la corretta direzione di R.
