Statica
Equilibrio dei corpi
Corpo rigido
Momento di una forza
Condizione di equilbrio
Leve
Statica
La statica è la parte della meccanica che
studia l’equilibrio di un corpo materiale,
ovvero le condizioni necessarie affinché un
corpo, inizialmente in quiete, resti in quiete
anche dopo l’intervento di forze esterne.
Consideriamo ad esempio un corpo
appoggiato su un piano orizzontale.
Forza d’attrito
Risultante macroscopica delle azioni tra
molecole che si oppongono allo
scorrimento.
Quando proviamo a far scivolare un
oggetto su un altro queste
microscopiche protuberanze si
oppongono al moto. Questo tipo di
attrito viene chiamato "attrito dinamico".
Quando un corpo è in moto lungo una
superficie rugosa, la forza di attrito
dinamico agisce in direzione opposta alla
velocità del corpo.
Il modulo della forza di attrito dinamico
Fad = fd N
dipende dalla natura delle due superfici
che scivolano l’una sull’altra, ed è
proporzionale al modulo della forza
fd coeff. attrito
normale al piano di scorrimento.
dinamico
Forza d’attrito
Fas = fs N
fs coeff. attrito
statico
Esiste anche un attrito statico, forza
parallela alle due superfici, che è
presente in assenza di moto relativo.
Supponiamo di esercitare una forza
orizzontale su un banco, ma questo
non si muove (la risultante delle forze
è zero).
Deve quindi esistere una forza, detta
di attrito statico, che agisce sul banco
che gli impedisce di muoversi.
Anche l’attrito statico è proporzionale
al modulo della forza normale al
piano di scorrimento.
Forza d’attrito
Si noti che è spesso più facile
mantenere un oggetto pesante in
movimento, rispetto a muoverlo dalla
sua posizione iniziale:
Fas ≥ Fad
Questo si traduce nella relazione:
fs ≥ fd
L’attrito fa venir meno la
conservazione dell’energia
meccanica, che invece degrada in
forme diverse di energia (calore).
Se si tiene conto di tutte le forme di
energia, questa si conserva!!!
Esempi
Lezione I 6 Momento di una forza
Il momento di una forza rispetto ad un punto O
ne misura la capacità di mettere in rotazione il
punto o oggetto a cui è applicata rispetto ad O.
Il momento di una forza
rispetto ad un punto è
definito come il prodotto
vettoriale tra il vettore
posizione e la forza:
M = r x F Momento di una forza
Il modulo di M è r F sen θ = F b.
La grandezza r sen θ, distanza
dell'asse di rotazione dalla retta
su cui giace F, è detta braccio
della forza F.
Se F ed r sono perpendicolari, il
braccio si identifica con r, ed il
momento è massimo.
M può essere nullo se F o b sono
nulli, oppure se F ed r sono
paralleli.
Esempi
Coppia di forze: 2 forze uguali in
modulo e direzione ma verso
opposto, applicate in punti diversi di
un corpo rigido che può ruotare
attorno ad un asse.
Equilibrio di un corpo rigido
Un corpo rigido è per
definizione indeformabile.
Esso è in equilibrio se le
risultanti delle forze e dei
momenti sono
identicamente nulle:
Σ iF i = 0
ΣiMi = 0
• Le forze rendono conto
dei moti di traslazione
• I momenti dei moti di
rotazione.
Centro di massa o baricentro
Rappresenta il punto in cui si
può immaginare concentrata la
massa di un corpo esteso,
quando se ne vogliono
determinare le condizioni di
equilibrio o si vuole studiare il
suo comportamento dinamico.
xCM = (m1/M)r1+(m2/M)r2
M = m1+m2
La bilancia
Le leve
Una leva è una macchina semplice che trasforma il
movimento.
È composta da due bracci solidali fra loro (che
ruotano cioè dello stesso angolo e con la stessa
velocità angolare) incernierati per un'estremità ad un
fulcro, attorno al quale sono liberi di ruotare.
Condizione di equilibrio di una leva
La condizione di equilibrio di una leva è che la somma
dei momenti delle forze ad essa applicate sia nulla:
F1b1=F2b2
Da cui b1/b2=F2/F1 ovvero il braccio e la forza su di
esso applicata sono inversamente proporzionali.
Condizione di equilibrio di una leva
Perché sia garantito l’equilibrio, il braccio della forza
peso della palla di 5kg dev’essere 20 volte maggiore
di quello della forza peso della palla da 100kg.
Guadagno di una leva
Il rapporto tra forza resistente Fr e forza motore
(o potenza) Fp,
uguale al rapporto fra bp e br,
viene chiamato guadagno meccanico G.
G = Fr/Fp = bp/br
È una proprietà geometrica della leva!
Tipi di leve
Le leve si distinguono in:
• svantaggiose: se la forza applicata richiesta è maggiore della
forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più lungo del
braccio-potenza
(bp / br < 1)
• indifferenti: se la forza applicata richiesta è uguale alla forza
resistente, ovvero se il braccio-resistenza è uguale al bracciopotenza
(bp / br = 1)
• vantaggiose: se la forza applicata richiesta è minore della
forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più corto del
braccio-potenza
(bp / br > 1)
Esercizio
Esercizio
Leve e conservazione energia meccanica
Leve e conservazione energia meccanica
Tipi di leve
In base alla posizione reciproca del fulcro e
delle forze si ha un’ulteriore distinzione:
• I genere: il fulcro si trova tra
le due forze (vantaggiose,
svantaggiose o indifferenti)
• II genere: la forza resistente
si trova fra il fulcro e la forza
applicata (sempre vantaggiose)
• III genere: la forza applicata
si trova fra il fulcro e la forza
resistente (sempre svantaggiose)
Leve del corpo umano
Nel nostro corpo:
i muscoli scheletrici (elemento attivo) inserendosi
sulle ossa (elemento passivo)
per mezzo della contrazione muscolare
determinano il movimento.
Questo è possibile grazie anche alle articolazioni,
le regioni di “snodo” tra le parti fisse.
Tutto l'apparato locomotore è basato su un
sistema di leve che possono essere di primo,
secondo o terzo tipo.
Leve del corpo umano
Nelle leve del corpo umano:
• Il fulcro è dato dall'asse di rotazione (di solito
l'articolazione, ma può anche essere un punto
di appoggio – piede – o di presa – mani);
• la potenza è data dal punto in cui viene
applicata la forza (di solito l'origine o
l'inserzione muscolare);
• la resistenza è data dal punto in cui viene
generata la resistenza stessa (un peso, la
gravità, ecc.).
Esempi di sistemi di forze
agenti sul corpo umano
Equilibrio tronco-vertebrale
Leva del I genere:
• FP = Forza peso (60 kg*g) che
agisce sul baricentro del corpo,
all’altezza del ventre e anteriore
alla spina dorsale
• FM = Forza Motrice, forza
esercitata dai muscoli dorsali
• R = Reazione vincolare sul
fulcro (la spina dorsale)
all’altezza della settima
vertebra Equilibrio traslazionale: R= FM+FP
Equilibrio rotazionale: a*FM=b*FP
FM= b/a * FP = 2 FP = 120 kg*g=1200 N
R= 2 FP + FP = 3 FP = 180 kg*g=1800 N
Equilibrio tronco-vertebrale
Nel caso di obesità non solo
cambia
il peso ma anche la sua
distribuzione, se il baricentro si
sposta in avanti di soli 2 cm
abbiamo (a parità di peso) un
aumento della forza sulla
vertebra-fulcro pari a circa il
peso di una massa di 30 Kg! Equilibrio traslazionale: R= FM+FP
Equilibrio rotazionale: a*FM=b*FP
FM= b/a * FP = 5/2 FP = 150 kg*g=1500 N
R= 5/2 FP + FP = 7/2 FP = 210 kg*g=2100 N
Innalzamento sulle dita del piede
Esempio di leva del II genere
FT = Forza Motrice, forza
muscolare (polpaccio)
applicata dal tendine sul
calcagno.
FO = Forza Resistente, forza
esercitata dalle forze della
gamba (tibia e fibula) sul
piede.
10 cm
FP = reazione vincolare del
suolo sulla pianta del piede,
causata dalla forza peso del
corpo che agisce sul fulcro
(punto fermo).
Innalzamento sulle dita del piede
Equilibri traslazionali
• Verticale:
FT cos(7o) + FP = FO cos(θ)
• Orizzontale:
FT sin(7o)= FO sin(θ)
Equilibrio rotazionale rispetto al punto centrale:
5.6 * FT cos(7o) = 10 * FP
da cui si ricava
FT=10*FP/(5.6*0.992)=1.8*FP
Sostituendo nelle precedenti equazioni si ha:
10 cm
1.8* FP *0.992+ FP= FO cos(θ)
1.8* FP *0.122= FO sin(θ)
tg(θ)=0.2196/2.7856 FP= 0.079
da cui
θ=4.5ο FO = 2.8 FP
Abduzione del braccio
Esempio di leva del III genere
la potenza (esercitata dal
bicipite) è molto vicina al
fulcro (gomito), mentre la
resistenza (data dal peso
del braccio, più un
eventuale peso sostenuto
dalla mano) è più distante.
Articolazione di appoggio della testa
Per bilanciare il peso del capo ed evitare che la
testa ciondoli in avanti, viene esercitata una
potenza da parte dei muscoli della nuca. L'intensità di Fm è tale da
produrre un momento uguale
a quello prodotto da Fr.
Si noti che l'insieme delle due
forze tenderebbe a causare un
abbassamento del sistema: il
fulcro esercita anche una
reazione vincolare che si
oppone alla traslazione. Per
questo dopo un certo tempo
l'articolazione è affaticata.
