lezione5_statica - I blog di Unica
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Statica Equilibrio dei corpi Corpo rigido Momento di una forza Condizione di equilbrio Leve Statica La statica è la parte della meccanica che studia l’equilibrio di un corpo materiale, ovvero le condizioni necessarie affinché un corpo, inizialmente in quiete, resti in quiete anche dopo l’intervento di forze esterne. Nel corpo umano la conoscenza delle forze agenti nei muscoli e nelle giunture è di grande importanza per la medicina e la fisioterapia Forza d’attrito Risultante macroscopica delle azioni tra molecole che si oppongono allo scorrimento. Quando proviamo a far scivolare un oggetto su un altro microscopiche protuberanze si oppongono al moto. Questo tipo di attrito viene chiamato "attrito dinamico". Quando un corpo è in moto lungo una superficie rugosa, la forza di attrito dinamico agisce in direzione opposta alla velocità del corpo. Fad = fd N fd coeff. attrito dinamico Il modulo della forza di attrito dinamico dipende dalla natura delle due superfici che scivolano l’una sull’altra, ed è proporzionale al modulo della forza normale al piano di scorrimento. Forza d’attrito Esiste anche un attrito statico, forza parallela alle due superfici, che è presente in assenza di moto relativo. Supponiamo di esercitare una forza orizzontale su un banco, ma questo non si muove (la risultante delle forze è zero). Deve quindi esistere una forza, detta di attrito statico, che agisce sul banco che gli impedisce di muoversi. Fas = fs N fs coeff. attrito statico Anche l’attrito statico è proporzionale al modulo della forza normale al piano di scorrimento. Forza d’attrito Si noti che è spesso più facile mantenere un oggetto pesante in movimento, rispetto a muoverlo dalla sua posizione iniziale: Fas ≥ Fad Questo si traduce nella relazione: fs ≥ fd L’attrito fa venir meno la conservazione dell’energia meccanica, che invece degrada in forme diverse di energia (calore). Se si tiene conto di tutte le forme di energia, questa si conserva!!! Esempi Lezione I 6 Momento di una forza Il momento di una forza rispetto ad un punto O ne misura la capacità di mettere in rotazione il punto o oggetto a cui è applicata rispetto ad O. Il momento di una forza rispetto ad un punto è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza: M = r x F Momento di una forza Il modulo di M è r F sen α = F b La grandezza r sen α, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace F, è detta braccio della forza F. Se F ed r sono perpendicolari, il braccio si identifica con r, ed il momento è massimo. M può essere nullo se F o b sono nulli, oppure se F ed r sono paralleli. Esempi Coppia di forze: 2 forze uguali in modulo e direzione ma verso opposto, applicate in punti diversi di un corpo rigido che può ruotare attorno ad un asse. Equilibrio di un corpo rigido Un corpo rigido è per definizione indeformabile. Esso è in equilibrio se le risultanti delle forze e dei momenti sono identicamente nulle: Σ iF i = 0 ΣiMi = 0 • Le forze rendono conto dei moti di traslazione • I momenti dei moti di rotazione. Centro di massa o baricentro Rappresenta il punto in cui si può immaginare concentrata la massa di un corpo esteso, quando se ne vogliono determinare le condizioni di equilibrio o si vuole studiare il suo comportamento dinamico. xCM = (m1/M)r1+(m2/M)r2 M = m1+m2 Equilibrio nel corpo umano Le condizioni di equilibrio sono identificate, in tre dimensioni, da tre equazioni per l’equilibrio traslazionale e tre per l’eq. rotazionale: ! 1 2 N F + F +... + F x x =0 ## x " Fy1 + Fy2 +... + FyN = 0 # 1 2 N F + F +... + F #$ z z z =0 Tuttavia, se si sceglie opportunamente il piano punto di applicazione delle forze O, si possono approssimare tutte le forze come giacenti sullo stesso piano, e le 3 condizioni rimanenti sono quelle per le forze in x e y e per il momento in z. ! 1 2 N M + M +... + M x x x =0 ## " M 1y + M y2 +... + M yN = 0 # 1 2 N M + M +... + M #$ z z z =0 Esempio: articolazione dell’anca Equilibrio su un solo piede Approx: forze giacenti nel piano verticale passante per l’articolazione • Fforza trazione glutei • Pgforza peso gamba (~1/7 P corpo) • Nreazione vincolare suolo = -P • Rscarico peso corpo su articolazione = ? Esempio: articolazione dell’anca " Rx = 0.55P $$ Ry = 2.37 P # $ $% F = 1.61P → sost. 1 e 2 eq. "$ R = 2.43P # θ = arccos R R = 76.9 $% x • Equilibrio su un solo piede normale durante deambulazione. • Forza R circa due volte e mezzo P! • Testa del femore cresce maggiormente in direzione della forza R (ossa crescono dove sollecitate). Le leve Una leva è una macchina semplice che trasforma il movimento. È composta da due bracci solidali fra loro (che ruotano cioè dello stesso angolo e con la stessa velocità angolare) incernierati per un'estremità ad un fulcro, attorno al quale sono liberi di ruotare. Condizione di equilibrio di una leva La condizione di equilibrio di una leva è che la somma dei momenti delle forze ad essa applicate sia nulla: F1b1=F2b2 Da cui b1/b2=F2/F1 ovvero il braccio e la forza su di esso applicata sono inversamente proporzionali. La bilancia Condizione di equilibrio di una leva Perché sia garantito l’equilibrio, il braccio della forza peso della palla di 5kg dev’essere 20 volte maggiore di quello della forza peso della palla da 100kg. Guadagno di una leva Il rapporto tra forza resistente Fr e forza motore (o potenza) Fp, uguale al rapporto fra bp e br, viene chiamato guadagno meccanico G. G = Fr/Fp = bp/br È una proprietà geometrica della leva! Tipi di leve Le leve si distinguono in: • svantaggiose: se la forza applicata richiesta è maggiore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più lungo del braccio-potenza (bp / br < 1) • indifferenti: se la forza applicata richiesta è uguale alla forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è uguale al bracciopotenza (bp / br = 1) • vantaggiose: se la forza applicata richiesta è minore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più corto del braccio-potenza (bp / br > 1) Esercizio A che distanza deve mettersi la bambina (peso minore) per bilanciare il peso del bambino. Esercizio Leve e conservazione energia meccanica Leve e conservazione energia meccanica Tipi di leve In base alla posizione reciproca del fulcro e delle forze si ha un’ulteriore distinzione: • I genere: il fulcro si trova tra le due forze (vantaggiose, svantaggiose o indifferenti) • II genere: la forza resistente si trova fra il fulcro e la forza applicata (sempre vantaggiose) • III genere: la forza applicata si trova fra il fulcro e la forza resistente (sempre svantaggiose) Leve del corpo umano Nel nostro corpo: i muscoli scheletrici (elemento attivo) inserendosi sulle ossa (elemento passivo) per mezzo della contrazione muscolare determinano il movimento. Questo è possibile grazie anche alle articolazioni, le regioni di “snodo” tra le parti fisse. Tutto l'apparato locomotore è basato su un sistema di leve che possono essere di primo, secondo o terzo tipo. Leve del corpo umano Nelle leve del corpo umano: • Il fulcro è dato dall'asse di rotazione (di solito l'articolazione, ma può anche essere un punto di appoggio – piede – o di presa – mani); • la potenza è data dal punto in cui viene applicata la forza (di solito l'origine o l'inserzione muscolare); • la resistenza è data dal punto in cui viene generata la stessa forza resistente (un peso, la forza gravità della parte del corpo interessata, ecc.). Articolazione di appoggio della testa Esempio di leva del I genere e svantaggiosa. Per bilanciare il peso del capo ed evitare che la testa ciondoli in avanti, viene esercitata una potenza da parte dei muscoli della nuca. L'intensità di Fm è tale da produrre un momento uguale a quello prodotto da Fr: Se il peso Fr della testa è di 8 Kg ~ 80N, si avrebbe: Fm = Fr 8/2 = 320 N (~ peso 32Kg) 8 cm 2 cm Si noti che l'insieme delle due forze tenderebbe a causare un abbassamento del sistema: il fulcro esercita anche una reazione vincolare che si oppone alla traslazione. Per questo dopo un certo tempo l'articolazione è affaticata. Innalzamento sulle dita del piede Esempio di leva del II genere FT = Forza Motrice, forza muscolare (polpaccio) applicata dal tendine sul calcagno. FO = Forza Resistente, forza esercitata dalle forze della gamba (tibia e fibula) sul piede. 10 cm FP = reazione vincolare del suolo sulla pianta del piede, causata dalla forza peso del corpo che agisce sul fulcro (punto fermo). Innalzamento sulle dita del piede Equilibri traslazionali • Verticale: FT cos(7o) + FP = FO cos(θ) • Orizzontale: FT sin(7o)= FO sin(θ) Equilibrio rotazionale rispetto al punto centrale: 5.6 * FT cos(7o) = 10 * FP da cui si ricava FT=10*FP/(5.6*0.992)=1.8*FP Sostituendo nelle precedenti equazioni si ha: 10 cm 1.8* FP *0.992+ FP= FO cos(θ) 1.8* FP *0.122= FO sin(θ) tg(θ)=0.2196/2.7856 FP= 0.079 da cui θ=4.5ο, FO = 2.8 FP Abduzione del braccio Esempio di leva del III genere In quale condizione è più faticoso tenere il libro? Esempio di leva: l’apparecchio dentale L’apparecchio dentale consiste in un filo metallico sottoposto a una tensione di 2N. Esso quindi esercita una forza di 2N sul dente nelle due direzioni come indicato in figura. Calcolare la forza risultante sul dente dovuta all’apparecchio Esempio di leva: l’apparecchio dentale Esempio: tensione nella corda del lampadario Esempio: tensione nella corda del lampadario
