induzione magnetica

INDUZIONE MAGNETICA
1) Un’asta metallica di lunghezza 35 cm
scorre con velocità di 8 m/s lungo due guide
metalliche collegate attraverso una resistenza
di 4,0 Ω. Tutto il circuito è immerso in un
campo magnetico di 0,6 T ad esso ortogonale,
con verso uscente dal piano del circuito, come
mostrato in figura. Determinare la f.e.m.
indotta nel circuito, l’intensità e il verso della
corrente
Come sappiamo, agli estremi dell’asta metallica che si muove verso destra perpendicolarmente al
campo magnetico, compare una f.e.m. che è dovuta all’effetto della forza di Lorentz sulle cariche
che si trovano nell’asta stessa. Si ha quindi:
f .e.m. = l ⋅ v ⋅ B = 0,35 × 8 × 0,6 = 1,68 V
L’intensità della corrente si ricava dalla legge di Ohm, poiché è noto il valore della resistenza R.
I=
V 1,68
=
= 0,42 A
R
4
Per quanto riguarda il verso della corrente, dobbiamo osservare che l’asta si muove verso destra,
quindi l’area che intercetta il campo magnetico sta diminuendo e con essa il flusso del campo
magnetico. Per la legge di Lenz quindi il verso della corrente indotta deve essere tale da
“rinforzare” il campo magnetico. Pertanto il verso è quello antiorario.
1) Un avvolgimento ha un’induttanza di 0,6 H e una resistenza di 30 Ω. All’istante t = 0
viene collegato, chiudendo un interruttore, ad un generatore di tensione continua da 5 V.
Calcolare qual è la corrente a regime e dopo quanto tempo la corrente raggiunge un
valore pari a metà di quello di regime.
Ricordiamo che quando viene chiuso il circuito, l’andamento della corrente in funzione del tempo è
espresso dalla legge:
− t ⎞
V⎛
⎜1 − e L ⎟
⎟
R ⎜⎝
⎠
R
i (t ) =
La corrente a regime, cioè per t tendente a infinito, si ottiene subito osservando che il termine
esponenziale si riduce a zero. Ciò che rimane è solo il termine V/R, per cui si ha:
i∞ =
V
5
=
= 0,17 A
R 30
La seconda parte del quesito chiede di calcolare l’istante in cui la corrente ha raggiunto metà del
valore a regime, cioè:
1 V
i (t ) = ⋅
2 R
→e
R
− t
L
=
− t ⎞
V⎛
V
⎜1 − e L ⎟ =
→
⎜
⎟
R⎝
⎠ 2R
1
2
R
→ −
R
t = − ln 2
L
→ 1− e
→ t=
R
− t
L
=
1
2
L
ln 2
R
sostituendo con i dati del problema si ottiene:
t=
0,6
ln 2 = 0,014 s
30
3) A solenoid is 18.0 cm long, has 200 turns and produces a magnetic field of 6.0 × 10-3 T.
Find the intensity of the current flowing in it.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un solenoide è lungo 18,0 cm, ha 200 spiri e produce un campo magnetico di 6,0×10-3 T. Trova
l’intensità della corrente che fluisce in esso”
Dalla reazione:
B = μ0
N ⋅I
L
→ I=
L⋅B
μ0 N
si ottiene subito:
0,18 × 6 × 10 −3
I=
= 4,3 A
4π × 10 −7 × 200
1) La corrente in un circuito RL aumenta fino al 95% del suo valore finale dopo 2,00 s dalla
chiusura dell’interruttore.
a) trova la costante di tempo per questo circuito
b) se l’induttanza nel circuito è 0,275 H, trova la resistenza
Ricordiamo che in un circuito RL, nel quale inizialmente non fluisce corrente, quando viene chiuso
l’interruttore e la corrente inizia a circolare, l’andamento in funzione del tempo è dato dalla
relazione:
R
⎛
−
I (t ) = I F ⎜1 − e L
⎜
⎝
t
⎞
⎟
⎟
⎠
dove IF indica il valore finale della corrente.
Dal testo sappiamo che la corrente raggiunge il 95% del valore finale dopo 2 s; ciò significa che:
I (t )
= 0,95
IF
La costante di tempo di un circuito RL è definita come:
τ=
L
R
quindi possiamo ricavare questo quoziente dalla relazione precedente:
R
− t
I (t )
= 1− e L
IF
→ e
R
− t
L
= 1−
I (t )
IF
→ −
⎛ I (t ) ⎞
R
⎟
t = ln⎜⎜1 −
L
I F ⎟⎠
⎝
→
L
=−
R
t
⎛ I (t ) ⎞
⎟
ln⎜⎜1 −
I F ⎟⎠
⎝
sostituendo i valori numerici si ottiene:
τ=
L
2
=−
= 0,667
R
ln 0,05
A questo punto possiamo facilmente calcolare la resistenza, come richiesto al punto b:
R=
L
τ
=
0,275
= 0,41 Ω
0,667
1) The area of a 100-turn coil oriented with its plane perpendicular to a 0,20 T magnetic field
is 0,050 m2. Find the average induced e.m.f. in this coil if the magnetic field reverses its
direction in 0,40 s.
Iniziamo con la traduzione del testo: “L’area di un solenoide da 100 spire orientato con il suo
piano perpendicolarmente a un campo magnetico di 0,20 T è di 0,050 m2.Trova la f.e.m. media
indotta in questo solenoide se il campo magnetico inverte la propria direzione in 0,40 s.”
Partiamo dalla legge di Faraday:
f em = −
ΔΦ ( B)
Δt
Nel calcolo del flusso del campo magnetico, dobbiamo tenere conto del fatto che il campo
magnetico stesso si inverte in 0,40 s. Ciò vuol dire che la variazione di B è:
ΔB = B f − Bi = −0,20 − 0,20 = 0,40 T
si ha quindi:
f em = −
N ⋅ A ⋅ ΔB
100 ⋅ 0,05 ⋅ (−0,4)
ΔΦ ( B)
= 5,0 V
=−
=−
0,4
Δt
Δt
2) Un solenoide, utilizzato in medicina per la risonanza magnetica, produce un campo
magnetico di 1,4 T. Il solenoide è lungo 2,3 m, misura 1,0 m di diametro ed è realizzato con
fili isolati di 2,2 mm di diametro. Trova la corrente che fluisce nel solenoide. (Il valore
risulta molto elevato, ma c’è da considerare che i fili vengono mantenuti a bassissima
temperatura, dove la lega di cui sono composti risulta superconduttrice)
Il campo magnetico prodotto da un solenoide è dato dalla relazione:
B=
μ0 ⋅ N ⋅ I
L
dove N è il numero di spire del solenoide. Tale numero non è indicato direttamente, ma sappiamo
che la lunghezza del solenoide è 2,3 m e il diametro di ciascun filo dell’avvolgimento è 2,2 mm.
Possiamo quindi dedurre che ogni spira del solenoide ha uno spessore di 2,2 mm e quindi possiamo
calcolare quante spire sono comprese in una lunghezza di 2,3 m:
N=
2,3
= 1045
0,0022
A questo punto possiamo ricavare la corrente:
B=
μ0 ⋅ N ⋅ I
L
→ I=
1,4 × 2,3
B⋅L
=
= 2452 A
μ 0 ⋅ N 4π × 10 −7 × 1045
2) Una bobina di 600 spire, ognuna avente raggio r = 3,5 cm, ha una resistenza totale pari a
16 Ω. Un campo magnetico, disposto perpendicolarmente a essa, ha intensità variabile nel
tempo. Calcola quale deve essere la variazione dell’intensità del campo magnetico in un
secondo per ottenere una corrente di 0,30 A nella bobina.
Per la legge di Faraday-Neumann la f.e.m. indotta è data dalla relazione:
f .e.m. = −
ΔΦ( B)
Δt
Questa f.e.m. determina una corrente nella bobina; si ha quindi:
i=
f .e.m.
R
→ i=−
1 ΔΦ( B)
⋅
R
Δt
prescindendo dal segno, si può scrivere:
SN Δ( B )
iRΔt
0,3 × 16 × 1
⋅
→ ΔB =
→ ΔB =
= 2,1 T
Δt
SN
R
π × 0,035 2 × 600
1) A solenoid with cross section 2,5 dm2 is 22 cm long an has 1200 turns. Find the induced
emf in this solenoid if the current in it is increased from 0 to 2,00 A in 45 ms
i=
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un solenoide, con una sezione di 2,5 dm2 è lungo 22cm ed ha 1200 spire. Trova la fem indotta in
questo solenoide se la corrente in esso aumenta da 0 a 2,00 A in 45 ms.”
Ricordiamo che la fem indotta in un solenoide è data dalla relazione:
fem = L ⋅
ΔI
Δt
dove L è l’autoinduttanza del solenoide, che è dato dalla formula:
L=
μ0 N 2 A
l
pertanto si ha:
fem =
μ 0 N 2 A ΔI
l
⋅
Δt
=
12,56 × 10 −7 × 1200 2 × 0,025 × 2
= 9,13 V
0,22 × 45 × 10 −3
2) Una bobina è formata da 100 spire circolari di raggio 4,5 cm. Trova la massima fem della
bobina quando viene ruotata a 90 giri/min in un campo magnetico di 0,060T.
La fem massima prodotta da un avvolgimento di N spire di sezione A che ruota con velocità
angolare costante ω in presenza di un campo magnetico costante B è data dalla relazione:
fem = ω ⋅ N ⋅ A ⋅ B
osserviamo che nel nostro caso la velocità angolare è:
ω = 90 giri / min =
90 × 2π
= 9,42 rad / s
60
si ha quindi:
fem = 9,42 × 100 × 6,36 × 10 −3 × 0,06 = 0,36 V
quesiti
3) Un anellino viene lasciato cadere tra i poli di un magnete come rappresentato in figura.
Descrivere l’andamento della corrente che circola nell’anello durante la caduta in
funzione della posizione.
Mentre l’anellino, cadendo, si avvicina ai poli del magnete, il flusso del campo magnetico che lo
attraversa aumenta. Pertanto, per la legge di Lenz, la corrente indotta deve avere un verso tale
da creare un campo magnetico che si opponga al campo magnetico esterno. Si vede quindi che
la corrente deve ruotare in senso orario. Appena l’anellino nella sua caduta ha superato i poli del
magnete, il flusso del campo magnetico inizia a diminuire. Il verso della corrente indotta deve
essere allora tale da creare un campo magnetico che si somma a quello esterno. Pertanto il verso
della corrente è antiorario.
1)
Una piccola sbarretta magnetica viene lasciata cadere
attraverso un lungo solenoide collegato ad un circuito
come indicato nella figura. Descrivi, in funzione del
tempo, l’andamento dell’intensità della corrente,
specificandone il verso (eventualmente aiutandoti con
un disegno)
Sappiamo dalla legge di Faraday che quando la sbarretta si avvicina cadendo, nel solenoide viene
indotta una corrente, dal momento che il flusso del campo magnetico aumenta. Tale corrente, per la
legge di Lenz, deve avere un verso tale da creare un campo magnetico che si opponga alla
variazione. Poiché la barretta si avvicina con il polo nord in avanti, il campo generato dovrà avere il
nord in alto, quindi la corrente dovrà ruotare in senso antiorario (per chi guarda dall’alto). Quando il
magnete esce dalla spira il flusso di B diminuisce progressivamente, quindi si crea una corrente
indotta, che avrà questa volta verso di circolazione opposto al precedente, creando un campo che
tenderà a trattenere la barretta magnetica
4) La figura mostra un anello conduttore che
si trova in una regione in cui è presente un
campo magnetico uniforme. L’anello nel caso
1 oscilla come un pendolo; nel caso 2 ruota su
sé stesso attorno ad un asse verticale e nel
caso 3 oscilla su è giù. Stabilire, in ciascuno
dei casi, se si manifestano correnti indotte.
Nei casi 1 e 3, sebbene l’anello sia in movimento, il flusso del campo magnetico non cambia,
perché il campo stesso è uniforme; quindi la corrente indotta è nulla. Nel caso 2 l’anello ruota
attorno ad un asse verticale, quindi il flusso del campo magnetico attraverso di esso cambia
continuamente, pertanto, per la legge di Faraday-Neumann, si manifesta una f.e.m. indotta e quindi
una corrente indotta.
CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
3) Nel circuito raffigurato di seguito, un generatore produce una f.e.m alternata di 25 V
efficaci alla frequenza di 15 KHz. Calcolare la corrente efficace, sapendo che R = 25 Ω;
L = 10 mH e C = 20 nF
Per prima cosa consideriamo l’impedenza equivalente del circuito:
Z E = Z R + Z C // Z L
Per semplificare i calcoli conviene ricavare subito i valori numerici:
ω = 2π ⋅ f = 9,4 × 10 4 rad / s
Z R = R = 25 Ω
ZC = −
j
j
=−
= −532 j Ω
4
ωC
9,4 × 10 × 20 × 10 −9
Z L = jωL = 9,4 × 10 4 × 10 × 10 −3 j = 940 jΩ
calcoliamo ora il valore del parallelo ZC//ZL
Z C // Z L =
ZC ⋅ Z L
(940 j )(− 532 j ) = 500080 = −1226 j
=
ZC + Z L
940 j − 532 j
408 j
in definitiva si ha:
Z E = (25 − 1226 j )Ω
per ottenere la corrente efficace dobbiamo calcolare il modulo dell’impedenza complessa:
Z E = 25 2 + 1226 2 = 1226 Ω
quindi:
i eff =
Veff
ZE
=
25
= 0,020 A
1226