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FISICA
A.A. 2013-2014
Ingegneria Gestionale
4° prova del 28 Marzo 2014
Lo studente descriva il procedimento e la soluzione degli esercizi proposti. Gli elaborati verranno ritirati Lunedì
31 Marzo e saranno valutati ai fini del superamento dell’esame finale.
1. Un automezzo di massa pari ad una tonnellata, viene messo in moto con un motore che trasmette alle
ruote una forza motrice costante Fo=1500 N. Assumendo che gli attriti esercitino una forza frenante


descritta dalla legge R  bv , con b=40 kg/s, si determinino le espressioni, in funzione del tempo,
della velocità, della accelerazione calcolandone i valori numerici per alcuni intervalli di tempo
dall’avviamento (10s, 30s, 60s).
2. Una molla di costante elastica k=4 N/m è vincolata al soffitto per un suo estremo, mentre l’altro è
collegato ad una massa m=2 kg libera di oscillare in verticale. Sapendo che il sistema è inizialmente in
equilibrio determinare l’ampiezza ed il periodo di oscillazione quando viene impresso un impulso
verticale verso l’alto di valore I=0.2 kg m/s. Ripetere l’esercizio applicando invece una termine
2
forzante armonico diretto verso l’alto di intensità Fz t   Fmax cos t  ove Fmax=1N ed il periodo T
T 
assume diversi valori nelle varie prove (2s, 4s, 4.5s, 5s, 10s). Assumendo in questo caso la presenza di
una minima resistenza passiva Rv=bv con b=0.01 kg/s determinare l’ampiezza delle oscillazioni che si
instaurano permanentemente.
3. Una molla di costante elastica k=100N/m ha un estremo fisso ad una
m
parete mentre l’altro è vincolato ad un blocco di massa M=4kg libero di
k
muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Sul blocco M poggia un
secondo blocco di massa m e, inizialmente questo sistema è mantenuto in
M
quiete con la molla compressa di l=5cm rispetto alla lunghezza di riposo.
Noto il valore del coefficiente di attrito statico s=0.08 fra i due blocchi, si determini il minimo valore
che deve assumere la massa m affinché il sistema oscilli con il blocco m aderente al blocco M.
Determinare in questo caso anche il periodo delle oscillazioni.
4. Un auto viaggia alla velocità di 120 km/h ed affronta una curva di raggio di curvatura R=100 m ed
inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo =10°. Determinare quale debba essere il valore minimo
del coefficiente di attrito statico fra piano stradale e pneumatici affinché l’auto non sbandi.
5. Un treno corre in curva a 130 km/h ed un pendolo semplice, che a terra oscillerebbe con un periodo
To=1s, finisce per oscillare dentro il treno 121 volte in 2 minuti. Calcolare il raggio di curvatura della
traiettoria circolare descritta dal treno. (si trascurari la forza di Coriolis)
6.Se il giorno sulla terra durasse solo 1 ora quale sarebbe il valore dell’accelerazione di gravità
all’equatore? [Dati: massa della Terra MT=5.97 1024 kg, raggio terrestre RT=6300 km, G=6.67 10-11
Nm2kg-2 ]
7. Un dispositivo “rotor” di un luna park è costituito da un cilindro cavo di raggio R=4 m. Un uomo
viene appoggiato alla parete laterale del cilindro che viene successivamente posto in rotazione intorno
al proprio asse con velocità angolare . Conoscendo il coefficiente di attrito statico fra l’uomo e la
parete (=0.4), determinare la minima velocità angolare da imprimere al rotor in grado di garantire
l’equilibrio ossia la perfetta adesione dell’uomo alla parete anche quando viene tolta la piattaforma
sulla quale l’uomo poggiava inizialmente i piedi.
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Ingegneria Gestionale
Soluzioni della 4° prova
1. Studio delle forze agenti sull’automezzo
Rn
lungo asse x
lungo asse y
dv
F  bv  ma  m
dt
Rn  P  Mg
Rv
F
P
Equazione differenziale per la velocità
dv  b 
F
 b  F
  v 
che ha soluzione vt   vomo  v part  A exp  t  
dt  m 
m
 m  b
Imponendo la velocità inizialmente nulla si ottengono in sequenza le espressioni della
F
 b 
velocità: vt   1  exp  t  ; per cui v(10s)=12.4 m/s ; v(30s)=26.2 m/s ; v(60s)=34.1 m/s
b
 m 
accelerazione: at  
dv F
 b 
 exp  t  ; a(10s)=1m/s2 ; a(30s)=0.45 m/s2 ; a(60s)=0.14 m/s2
dt m
 m 
2. L’asse x è orientato lungo la verticale facendo coincidere x=0 con la posizione a riposo dell’estremo
libero della molla (a). Quando viene applicata la massa m il sistema subisce un allungamento statico
raggiungendo una nuova posizione di equilibrio xeq=L=mg/k. Quando si applica un impulso verso l’alto
(negativo) questo porta ad oscillazioni del tipo
b)
a)




sin

x
t

x

A
t

eq
dove si è scelto la funzione seno perché nulla al

 vt    A cost 
k
tempo t=0, con verso negativo perché la velocità iniziale data dall’impulso
sarà contraria all’asse x. Infatti l’impulso produrrà una variazione di quantità
0
di moto I x  mvx 0   mA
da cui si ricava A 
I
I
m

 7.1 cm, mentre il periodo T  2
=4.44 s
m
k
mk
xeq
I
x
In regime di oscillazioni forzate, esaurito il transitorio la molla oscillerà con una ampiezza
F
A  
.
2
2
2 2
2 2
m o    b 
Il valore dell’ampiezza varia con il periodo forzante: A(2s) =6.4 cm , A(4s) =107 cm, A(4.5 s) =982
cm, A(5s) =118cm, A(10s) =31 cm. Si noti come nelle vicinanze della frequenza di risonanza le
oscillazioni si rafforzano incredibilmente al punto da prevedere teoricamente oscillazioni irrealistiche
dell’ordine del metro!


3. Lo studio dinamico verrà inizialmente applicato al sistema formato dalle
y
due masse, la n.1 in basso e la n.2 in alto. Elenchiamo ora le forze esterne al
P2
sistema: le forze peso P1=Mg e P2=mg di entrambe le masse (applicate nei
rispettivi baricentri), la forza elastica Fel=kl fornita dalla molla alla massa
A
Rn2
n.1, la reazione normale Rn1 che sostiene la massa n.1. Tutte le altre forze di
A Rn2
attrito A e di reazione normale Rn2 fra le due masse, sono forze interne del
k
el
F
sistema. La loro peculiarità è che agiscono in un verso sulla massa n.1 e nel
P1 Rn1
verso opposto sulla n.2. La somma vettoriale per il principio di azione e
reazione è quindi nulla e non influisce sul moto del
centro di massa che dipende dalle sole forze esterne P1 , P2 , Fel ed Rn1.
L’accelerazione del sistema vale ac  kl M  m 
(come si può ricavare dalla prima equazione cardinale proiettata lungo x Fel  kl  ( M  m)ac )
Proiettando le forze agenti sul corpo n.2 lungo x si ottiene A  ma 2  Amax   s Rn 2   s mg
Da cui l’accelerazione del corpo n.2 vale al massimo a 2   s g
Imponendo che le accelerazioni siano uguali per
kl
a c  a 2  kl M  m    s g da cui m 
 M  2.38 kg
s g
Il periodo delle oscillazioni libere è T  2
m  M  k
impedire
movimenti
relativi
 1.59 s
4. Nel sistema di riferimento non inerziale solidale al guidatore, la macchina è
soggetta a 4 forze: la forza peso P=mg diretta lungo la verticale, la reazione
normale Rn lungo la normale n, la forza centrifuga Fc=mv2/R lungo la radiale, la
forza di attrito statico As lungo l’asse tangenziale t. Nel sistema solidale al

  
guidatore l’auto è ferma e le 4 forze si equilibrano P  Fc  Rn  As  0 .
Proiettando l’equazione lungo gli assi n,t otteniamo: imponendo l’equilibrio lungo
n si ottiene il valore di Rn  P cos  Fc sin  , mentre lungo t si ottiene l’attrito
v
C R
Rn
n
t
FC
richiesto As  Fc cos  P sin  . A posteriori imponiamo che l’attrito richiesto sia
R As
inferiore a quello massimo As  Amax   s R n da cui
C

2
2
 s  As Rn  Fc cos  P sin   Fc sin   P cos   v R  gtg v tg R  g ossia   0.8

x

P

valore molto elevato! Se la curva fosse stata inclinata di 30° il valore sarebbe stato s  0.336
v
5. Nel sistema di riferimento non inerziale solidale al treno, il pendolo è
soggetto a 3 forze: la forza peso P=mg diretta lungo la verticale, la tensione del
filo T lungo la normale n, la forza centrifuga Fc=mv2/R lungo l’orizzontale.
  
Queste forze si equilibrano P  Fc  T  0 per un determinato angolo eq. Il
C R
valore di eq si ricava proiettando le forze lungo l’asse tangenziale t
( Fc cos  P sin   mat ) ed imponendo per la statica at=0
da cui
tg eq  Fc P  v 2 gR . Nel caso dinamico invece at  l  d 2 dt 2 e l’equazione
per la dinamica può scriversi come segue
 sin  eq

mg
F

cos  sin    
sin    eq   ml d 2 dt 2
P c cos  sin    P


cos eq
P

 cos eq

l
 T
n
t
P
F
~
~
Introducendo l’angolo differenza      eq , per cui d 2 dt 2  d 2 dt 2 ,
~
~ ~
possiamo ritrovare l’equazione differenziale del pendolo in  che per piccole oscillazioni sin    ,
si
 g ~
~

d 2 dt 2  
 l cos 
eq


riscrive
~
T  2 l cos eq g  To cos eq  To
,
4
che
dà
luogo
ad
oscillazioni
con
periodo
~
1  tg 2 eq dove sono dati To=1s e T =0.992s ossia i periodi
rispettivamente senza e con forza centrifuga. Invertendo l’ultima relazione si
~4
~4

2
2 
tg eq  T T  1 da cui si ottiene R  v g  tg eq  v  g  T T  1   724 m.







ottiene

6. All’equatore la forza di attrazione gravitazionale FG  GM T m RT2 viene contrastata dalla forza
centrifuga Fc=m2RT. La risultante FG-Fc dà luogo all’accelerazione di gravità avvertita all’equatore
g '  GM T RT2   2 RT  9.78 m/s2 diretta verso il centro della Terra (essendo   2 86400 rad/s, ed
RT=6370 km). Se il giorno durasse solo 1 ora la velocità angolare avrebbe un valore molto più alto
  2 3600 rad/s ed il conseguente valore dell’accelerazione di gravità sarebbe g’= 9.59 m/s2 ma
diretta verso l’esterno!!!
7. Quando il dispositivo Rotor è posto in rotazione a velocità angolare , il

sistema solidale all’uomo appoggiato alla parete è non inerziale. Le forze che
agiscono sull’uomo sono le seguenti: lungo l’asse radiale r la forza centrifuga
Fc=m2R che tende a schiacciare l’uomo sulla parete e la reazione della parete
Rn a controbilanciare; lungo la verticale v la forza peso P diretta verso il basso,
l’attrito statico As fornito dalla parete a contrastare il peso e la reazione del
R
pavimento che però viene tolta dopo breve tempo.
rˆ  F  Rn  0
da cui si ricava il valore Rn=Fc= m2R.
L’uomo si trova in equilibrio se  c
vˆ  P  As  0
r
As
Rn
v
Fc
P
Dalla seconda si ricava invece l’attrito richiesto per impedire il moto As  P  mg che deve essere
inferiore o al limite uguale a quello massimo consentito As  P  mg  Amax   s Rn   s m 2 R . Da
questa disequazione si ricava facilmente  
g  s R =2.47 rad/s.