Lezioni Lincee Meccanica Quantistica : l`invisibile per poter capire il

Lezioni Lincee
Meccanica Quantistica :
l’invisibile per poter capire il visibile
Sergio Doplicher
ORIGINI, NECESSITA’ E
PROSPETTIVE
Accademia dei Lincei, 8 Ottobre 2013
Origini e necessità
I moti dei corpi che possiamo vedere e toccare, dei
pianeti nel cielo (in tutte le situazioni in cui le forze
gravitazionali non siano eccezionalmente intense) sono
descritti, praticamente alla perfezione, dalla Meccanica Classica (Galileo, Newton, Lagrange, Hamilton, .
. .).
Allo stesso modo i fenomeni luminosi sono descritti
dalla teoria classica dell’ Elettromagnetismo (Maxwell,
Faraday, . . .).
La Meccanica Quantistica è essenziale per capire i fenomeni
atomici e subatomici (dove le teorie classiche FALLISCONO, come ora ricorderemo).
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Ma anche, per capire quel che vediamo alla scala ordinaria, e che dipende da come vanno le cose alla scala
atomica e subatomica:
- perché vediamo dei colori;
- perché splende il sole; . . .
A temperature bassissime, anche oggetti macroscopici
possono essere sistemi QUANTISTICI:
- Magneti superconduttori (LHC);
- Calore specifico dei solidi;
ma anche a temperatura ambiente:
- calore specifico dei metalli conduttori; Laser; . . .
Quindi non solo in situazioni estreme, e non solo a
scale microscopiche; anzi, il SISTEMA PIU’ ESTESO
CHE POSSIAMO IMMAGINARE, LA RADIAZIONE
DI FONDO COSMICO, E’ UN ”SISTEMA QUANTISTICO”.
Residuo della radiazione in equilibrio con la materia 13
miliardi di anni fa.
Perché è ”un sistema quantistico”? Occorre fare un
passo indietro, alla fine del XIX secolo: ”problema del
corpo nero”.
Com’è fatta la radiazione elettromagnetica (onde radio,
microonde, infrarossi, luce visibile, ultravioletti, raggi X,
raggi γ, in ordine di frequenza crescente) in equilibrio
termico con la materia?
Leggi (che seguono dai principi della Termodinamica e
dell’elettromagnetismo):
- Kirchhoff (1860): la densità di energia della radiazione, per unità di volume e di intervallo di frequenza
ν, in equilibrio alla temperatura assoluta T , è una FUNZIONE UNIVERSALE u(ν, T );
- Wien (1893): u(ν, T ) = ν 3f (ν/T );
Segue che il valore massimo di u(ν, T ) si trova a una
frequenza νm =Costante x T , dove la ”Costante” è
universale .
Se p.es. la frequenza massima cade nel visibile, il
colore della radiazione ci dirà la temperatura. Esempio:
stelle rosse = ”fredde”;
stelle azzurre = ”calde”.
L’esperienza conferma queste leggi. Ecco la forma
sperimentale di u(ν, T ):
(Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addison - Wesley, 1994).
Problema del corpo nero = Calcolo teorico di u(ν, T ).
”Paradosso del corpo nero”
l’equilibrio è IMPOSSIBILE!
= nelle teorie classiche,
Soluzione del paradosso: prima irruzione di aspetti quantistici nelle Teorie Fisiche.
Ma prima di parlare di ciò, due parole sull’esempio più
notevole di radiazione del corpo nero: un Sistema Quantistico esteso quanto l’Universo conosciuto.
È il CMB, ”fondo cosmico di microonde”, radiazione
onnipresente, con distribuzione pari alla radiazione del
corpo nero a T = 2, 725 gradi Kelvin (circa 270 gradi
sotto zero).
Radiazione in equilibrio termico con la materia circa
300.000 anni dopo la nascita dell’universo, e raffreddatasi per l’espansione dell’Universo nei circa 13 miliardi
di anni successivi.
Coincidenza impressionante con la curva teorica, prevista dalla Meccanica Quantistica.
(Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Mechanics, Prentice - Hall, 1957).
Il fatto stesso che la temperatura di equilibrio della
CMB sia con ottima approssimazione la stessa in tutte
le direzioni, pone un serio problema: come poteva stabilirsi l’equilibrio in un universo in rapida espansione,
senza che le interazioni si propagassero con velocità
maggiore di quella della luce?
”INFLAZIONE”.
Ma anche altre spiegazioni, p.es. SPAZIOTEMPO QUANTISTICO (commenti alla fine).
Sono state misurate (Boomerang, COBE, WMAP, PLANCK)
le fluttuazioni attorno alla temperatura di equilibrio (dell’ordine
di una parte su centomila) fino a minime frazioni di
grado.
Le fluttuazioni si estendono in macchie con estensione
angolare apparente pari circa a quella della luna. Perfettamente in accordo con calcoli teorici.
Questo accordo prova che nel viaggiare sino a noi la
radiazione si è propagata in linea retta.
Se l’Universo fosse curvo come una sfera, l’angolo apparente sarebbe maggiore; se fosse curvo come una
sella, sarebbe minore.
Questi dati ci dicono che: l’universo è in una fase
di espansione accelerata; forniscono l’età dell’universo,
13,81 miliardi di anni, MA ANCHE una indicazione
sconvolgente:
energia/materia/radiazione che possiamo osservare =
= solo 4 per cento circa dell’energia totale;
” materia oscura” = circa 23 per cento dell’energia
totale;
” energia oscura” = circa 73 per cento dell’energia
totale.
La materia oscura indirettamente ”si vede”; un esempio, gli effetti di un suo accumulo (Abell 1689) a 2, 3
miliardi di anni luce da noi:
Quindi la curva dell’energia del corpo nero, che ci ha
introdotto ai primi enigmi della Meccanica Quantistica
con la Teoria di Planck dell’anno 1900 di cui ora parleremo, ci porta ancora adesso sulla soglia dei più ardui
enigmi della Fisica d’oggi.
Come si spiega questa curva? Poiché è universale, per
calcolarla basta fare riferimento al modello più semplice
di ”materia”:
” oscillatore armonico unidimensionale” (come un pendolo per piccole oscillazioni, o un punto materiale lungo
una guida rettilinea, legato da una molla perfettamente
elastica)
in numero enorme di copie (in equilibrio termodinamico
a temperatura assoluta T ), ciascuna dotata della carica
elettrica elementare e, quindi in interazione con i campi
elettrici e magnetici della radiazione.
Interazione implica cessione di energia agli oscillatori (i
campi della radiazione forzano le oscillazioni) e viceversa emissione da parte loro di energia come radiazione
elettromagnetica, come accade alle cariche accelerate.
Devono bilanciarsi all’equilibrio; ne segue la formula:
u(ν, T ) = (8πν 2/c3)E
dove E indica l’energia media di un oscillatore armonico unidimensionale in una assemblea in equilibrio
termodinamico a temperatura assoluta T .
E qui arrivano i guai. Secondo la Meccanica Classica
E = kT .
Segue la formula di Raleigh - Jeans:
u(ν, T ) = (8πν 2/c3)kT
dove k è una costante universale (costante di Boltzmann = costante dei gas / Numero di Avogadro).
PARADOSSO . Via d’uscita (Planck, 1900):
energia di oscillatore di frequenza ν può assumere solo
i valori:
0, hν, 2hν, 3hν, . . .
Il calcolo dell’energia media E cambia, e fornisce una
nuova forma per la funzione di Kirchhoff:
8πν 2
hν
u(ν, T ) =
c3 ehν/kT − 1
la DISTRIBUZIONE DI PLANCK , in accordo perfetto
con l’esperienza, e con la legge di Wien.
(Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Mechanics, Prentice - Hall, 1957).
Planck calcolò, dai dati sperimentali sul corpo nero, il
valore della nuova costante universale , la COSTANTE
DI PLANCK :
h ha ”dimensioni”: massa x velocità x lunghezza =
azione;
h è pari a circa 6 miliardesimi di miliardesimo di miliardesimo di grammo x (centimetro / secondo) x centimetro.
Perché l’energia di oscillatore armonico dovrebbe avere
solo valori discreti ? Sono occorsi circa 25 anni per
sciogliere l’enigma , dopo averne incontrati molti altri:
- EFFETTO FOTOELETTRICO (Einstein, 1905);
- ESPERIENZA DI RUTHERFORD (Bohr 1913);
- CALORI SPECIFICI DEI SOLIDI; etc.
Effetto fotoelettrico: estrazione da un metallo di elettroni di conduzione causata da luce incidente.
Si osserva: se la frequenza della radiazione è inferiore a
una certa soglia (che dipende dal metallo) nessun elettrone viene estratto, indipendentemente dalla intensità
della radiazione. Questo sarebbe incomprensibile
senza una idea rivoluzionaria (Einstein, 1905):
- l’energia della radiazione di frequenza ν è portata
da unità indivisibili (fotoni), ciascuno con energia
hν .
EFFETTO COMPTON (diffusione di raggi X, γ da
elettroni) conferma.
Radiazione del corpo nero: equilibrio tra emissione e
assorbimento di fotoni; gas di fotoni (indistinguibili!)
in equilibrio termico: distribuzione di Planck (Albert
Einstein 1917; Satyendra Nath Bose 1924).
Dunque il fotone si comporta come una particella, ma
la luce è
un fenomeno ondulatorio (diffrazione, interferenza, . . . ottica e equazioni di Maxwell).
Sembrava un’incongruenza da superare; invece, come
ora vedremo, era la prima spia d’un fatto generale, e
una finestra su un mondo nuovo.
Per accorgersene è stato necessario imbattersi in altre
difficoltà; forse la maggiore emergeva dall’esperienza
di Rutherford (1911): prova del modello planetario
degli atomi.
PARADOSSI:
Gli elettroni orbitanti avrebbero dovuto emettere radiazione cedendo tutta la loro energia e precipitando
sul nucleo. Si avrebbe INSTABILITA’ della materia,
SPETTRO CONTINUO di emissione. In realtà la
materia è stabile e con uno spettro discreto, lo spettro di righe (e per questo vediamo dei colori; righe
nello spettro solare, scomposta nelle frequenze da un
prisma).
(Figura in Alain Connes: Noncommutative Geometry,
Academic Press)
Come uscirne?
PRIME RISPOSTE:
(I) Come per l’ oscillatore armonico, i valori possibili
per l’energia dei sistemi atomici , e di ogni sistema
legato, . . ., sono una serie discreta.
(II) negli scambi con la radiazione, il ”salto” da un
livello all’altro, di energia E, E 0, può avvenire solo per
EMISSIONE O ASSORBIMENTO DI UN SINGOLO
FOTONE, in modo che l’energia si conservi:
E − E 0 = hν.
Spettro di righe. Il livello per cui il valore dell’energia è
il più piccolo di tutti, è stabile .
ESPERIENZA DI FRANCK E HERTZ: livelli discreti si
manifestano anche nelle collisioni.
MA: perchè i valori dell’energia formano una serie discreta? Come si calcola?
Alba della soluzione: come la luce è un fenomeno
ondulatorio governato da un’ Equazione delle onde
(equazioni di Maxwell), eppure composta da particelle (fotoni), cosı̀ il moto di ogni particella è UN
FENOMENO ONDULATORIO , governato da un’
EQUAZIONE DELLE ONDE (Louis De Broglie, 1924;
Erwin Schroedinger, 1926).
Perché sarebbe un passo verso la soluzione? Analogia:
una corda vibrante emette frequenze che sono multipli
di una frequenza fondamentale.
Ma:
particelle che vediamo: attraversano feritoia indisturbate;
onde del mare: attraversano pertugio in una diga subendo
DIFFRAZIONE; SOVRAPPOSIZIONE, INTERFERENZA.
Diffrazione: Esperienza di Davisson e Germer. Microscopio elettronico.
Sovrapposizione e interferenza: Esperienza di Young,
doppia fenditura.
Funzione d’onda: il suo modulo quadro fornisce la DENSITA’ DI PROBABILITA’ .
(Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addison - Wesley, 1994).
Heisenberg (1925): dobbiamo formulare la dinamica dei
sistemi atomici SOLO IN TERMINI DI GRANDEZZE
ACCESSIBILI ALL’ ESPERIENZA (LEZIONE DI
EINSTEIN (1905)).
Questo porta a CONDIZIONI DI QUANTIZZAZIONE
in termini di ”ampiezze”.
Heisenberg (1927): se cerchiamo di misurare simultaneamente posizione e velocità di un elettrone (p.es.
orbitante attorno al nucleo in un atomo), è impossibile
farlo con accuratezza arbitraria:
più precisamente, se consideriamo l’impulso p = mv,
massa x velocità; le INDETERMINAZIONI nella
misura della stessa componente (p.es. verticale) della
posizione q e dell’impulso p sono legate da REGOLE
DI INDETERMINAZIONE :
∆q∆p & h
dove h è la costante di Planck.
ESATTAMENTE quanto descritto dalla DIFFRAZIONE
delle onde attraverso pertugio di ampiezza ∆q.
”Probabilità, indeterminazioni”, . . . ; tutto diventa
vago e impreciso? NO!
La più profonda connessione tra tutto ciò (chiave della
Meccanica Quantistica) scoperta da Max Born, (Born
e Jordan, 1925):
Se associamo a posizione e impulso le ”matrici di
ampiezze”, munite del prodotto righe per colonne, le
condizioni di quantizzazione di Heisenberg diventano:
pq − qp = h/2πi.
Implica relazioni di indeterminazione (Pauli).
La NON COMMUTATIVITÀ caratterizza la MQ.
AB = BA solo se A e B si possono misurare simultaneamente (osservabili compatibili).
Osservabili: ”operatori lineari autoaggiunti su uno spazio
di Hilbert”; spettro:
numeri λ per cui Ax = λx ha soluzioni in quello spazio;
tipicamente ha due componenti: spettro discreto (insieme dei numeri λ per i quali esistono soluzioni esatte
nel medesimo spazio ) + spettro continuo (vi esistono
solo soluzioni approssimate, accuratezza arbitraria).
Operatore energia. Spettro discreto: Stati legati; Spettro continuo: stati di diffusione.
Esempio raro di fatti fondamentali (altrimenti incomprensibili) che diventano d’una chiarezza luminosa con
una limpida spiegazione matematica.
Esistenza di osservabili non compatibili = Non Commutatività = ragione perchè, sui valori di molti osservabili,
sono possibili solo previsioni probabilistiche (anche in
stati ”puri”).
Non Commutatività: estranea alla intuizione alla quale
l’evoluzione ci ha portato, quanto l’idea stessa della
evoluzione, in contrasto con l’idea che la Natura proceda verso una finalità.
Lezione ”filosofica”: la NATURA ci ha imposto un
modo di pensare ed uno schema matematico che ci
siamo ostinati a lungo a non vedere, anche se i tre
famosi lavori di Einstein (venticinquenne) del 1905 ne
contenevano tutte le radici. Bisognava scontrarsi con
paradossi e fatti sperimentali inspiegabili.
Le ”Leggi di Natura” esistono nella Natura, noi le vediamo in forma sfuocata, e in versioni via via più precise
con l’avvento di nuove teorie. Ma ogni nuova versione
non cancella la precedente, piuttosto precisa i limiti
della sua validitá approssimata. In questo senso, le leggi
della Natura, anche quelle della FISICA CLASSICA,
sono verità definitive, come in pochi altri domini del
sapere.
Oggi, la MQ è uno schema irrinunciabile che spiega
quello che vediamo, dalla forma della distribuzione del
CMB a perché vedete il colore degli occhi della ragazza
o del ragazzo di cui siete innamorati o innamorate.
Prospettive
L’idea rivoluzionaria e fondamentale di James Clerk
Maxwell era stata che i campi Elettrico e Magnetico
sono osservabili associati ai punti dello spazio ed ad un
istante del tempo, e che le forze elettriche e magnetiche
non sono ”azioni a distanza”, ma l’effetto dei campi in
un punto sulle cariche in quel punto (ed a quell’istante).
Per la Meccanica Quantistica quegli osservabili devono
essere operatori.
TEORIA DEI CAMPI (Dirac, Fermi, Wigner, Jordan) (anni 30). Risultati numerici paradossali. Rinormalizzazione (Hans Bethe,1948; Feynman, Tomonaga,
2
Schwinger, Dyson, Bogoliubov, Zimmermann, Hepp, .
. . sino ad oggi).
Modello Standard: teoria dei campi ”rinormalizzabile”
che descrive le forze conosciute (deboli ed elettromagnetiche; nucleari) ad esclusione delle (debolissime!) forze
gravitazionali tra particelle elementari.
Successo enorme:
Calcoli approssimati (terribilmente complessi) con il Modello Standard sono in accordo con le esperienze; previsione dell’esistenza del Bosone di Higgs confermata al
LHC (CERN, Ginevra, 2012). Progresso verso la comprensione perché l’Universo è quel che ci appare.
Trionfo della Teoria dei Campi: fonde la Meccanica
Quantistica e la Relatività speciale. Si incontrano
nel Principio di Località:
Se A e B sono osservabili che si misurano in regioni
dello spazio e intervalli di tempo tali che nessun segnale
che viaggi con velocità non superiore a quella della luce
possa viaggiare dall’una all’altre regione nei tempi in cui
le misure avvengono, allora A e B sono compatibili:
AB = BA.
Tuttavia non sono conosciute soluzioni esatte, né si
può essere certi che ne esistano.
Premio Clay: 1 Milione di Dollari US.
E LE FORZE GRAVITAZIONALI ? In grande (scala
astrofisica o cosmologica) descritte, praticamente alla
perfezione, dalla Relatività Generale di Einstein (1917).
(Nata da esigenza estetica e concettuale, ha poi ricevuto conferme sperimentali sorprendenti: dalle ”Pulsars
binarie” ai navigatori satellitari.)
Per campi deboli, si riduce alla Legge di Newton: forza
attrattiva F = GmM/R2.
Verificata in laboratorio per R non inferiore a circa un
centimetro.
E’ naturale supporre che valga anche a distanze piccolissime. Ma:
NON ESISTE UNA TEORIA QUANTISTICA DEI
CAMPI CHE INCLUDA ANCHE LE FORZE GRAVITAZIONALI tra particelle elementari.
La MQ e la RG sono compatibili? (Teoria delle Stringhe?)
Spia delle difficoltà fondamentali: il concetto di spaziotempo va ripensato.
Per dire che un evento accade in un punto dello spazio
a un dato istante dobbiamo misurare la posizione.
Misura con incertezza ∆q richiede momento incontrollabile pari almeno a h/∆q. Quindi energia almeno pari
a hc/∆q.
Relatività Generale: energia e massa sono la stessa cosa
e generano un campo gravitazionale. Anche i fotoni
”pesano” e ”attraggono”.
Se una massa M è distribuita con simmetria sferica
all’interno di una sfera di raggio R molto piccolo,
l’attrazione gravitazionale esercitata p.es. su un fotone può essere cosı̀ intensa da impedirgli di sfuggire e
raggiungere un osservatore lontano. Più esattamente,
se R è minore del
RAGGIO DI SCHWARZSHILD = 2GM/c2,
NESSUN SEGNALE PUO’ SCAPPARE (Buco nero).
Segue che se la localizzazione del nostro evento è a
simmetria sferica, l’incertezza ∆q non può essere piú
piccola del Raggio di Schwarzchild associato all’energia
trasmessa secondo il principio di Heisenberg, altrimenti
L’EVENTO CHE VOLEVAMO LOCALIZZARE SAREBBE
CELATO IN UN BUCO NERO.
Quindi c’è un minimo
certezze
per il valore comune delle in∆q & λP ,
Gh 1/2
λP =
2πc3
Questa lunghezza, la LUNGHEZZA DI PLANCK, è
abissalmente piccola: circa 1.6 milionesimi di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di centimetro!
(Se volete confrontare le dimensioni dell’Universo conosciuto con quelle d’un fiore, dovreste dilatare quel fiore di
un fattore 10 per 28 volte ; per portare quel fiore alla
lunghezza di Planck, dovreste invece rimpicciolirlo di un
fattore 10 per 33 volte !).
E se localizziamo un evento con incertezze nelle coordinate (latitudine, longitudine, quota, tempo) diverse
tra loro?
RELAZIONI DI INDETERMINAZIONE tra le coordinate.
Come le relazioni di indeterminazione di Heisenberg tra
posizione e impulso, anche queste sono la spia di una
struttura rigida e non commutativa.
SPAZIOTEMPO QUANTISTICO.
Propagazione istantanea di effetti fisici per distanze
dell’ordine della lunghezza di Planck (acausalità).
Modelli di Spaziotempo quantistico prevedono che il
raggio di propagazione acausale può essere maggiore, e
crescere con la densità di energia. Questo spiegherebbe
l’equilibrio quasi esatto del CMB, senza ricorrere all’ipotesi
della Inflazione.
La località è fatalmente perduta alla scala di Planck.
Sostituita da un Principio esatto oggi sconosciuto. Nuova
Fisica. Oggi nessun accesso sperimentale (energie irraggiungibili con acceleratori).
Torniamo all’inizio. CMB: ”termalizzata” quando l’universo
aveva circa 300.000 anni. E prima? Possiamo avere informazioni precise?
Altri tipi di radiazione di fondo (neutrini, Onde Gravitazionali? - per le quali c’è solo evidenza indiretta:
mai osservate finora) potrebbero dare informazioni sui
primissimi istanti, che dovrebbero rivelare gli ASPETTI
QUANTISTICI DELLA GRAVITAZIONE.
Tre massimi problemi per questo secolo (o per i prossimi
secoli . . .):
I. TEORIA QUANTISTICA DELLA GRAVITAZIONE
E DI TUTTE LE FORZE FONDAMENTALI.
II: QUALE MECCANISMO HA PORTATO ALLA
FORMAZIONE DEL DNA, RNA a partire dagli
dagli amminoacidi.
III: SPIEGAZIONE DELLA COSCIENZA COME
UN PROCESSO NEURALE.
Alcuni testi divulgativi:
Heinz R. Pagels Il codice cosmico Bollati Boringhieri
Heinz R. Pagels The Cosmic Code: Quantum Physics
As the Language of Nature Dover Books on Physics
Steven Weinberg I primi tre minuti Mondadori
Richard P. Feynman La legge fisica Bollati Boringhieri
Richard P. Feynman QED. La strana teoria della luce
e della materia Adelphi
Harald Fritzsch Galassie e particelle Bollati Boringhieri
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