Limiti e continuita` per funzioni di piu` variabili

Funzioni di più variabli: dominio, limiti,
continuità
Riccarda Rossi
Università di Brescia
Analisi Matematica B
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Funzioni di più variabli
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Domini
1. Funzioni (scalari) di due variabili
Consideriamo le seguenti funzioni di due variabili:
f1 (x, y ) = 3x 2 + 2xy + 5
f2 (x, y ) =
p
4 − x2 − y2
f3 (x, y ) = log(y − x 2 )
Vogliamo determinare il dominio di queste funzioni, cioè il più grande
insieme in cui le variabili x, y possono variare in modo tale che le
espressioni analitiche per le funzioni f1 , f2 e f3 siano ben definite.
Quando considereremo le funzioni di due variabili, scriveremo, con un
lieve abuso della notazione, (x, y ) invece di (x1 , x2 ).
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La funzione f1 (x, y ) = 3x 2 + 2xy + 5 è ben definita per tutti
(x, y ) ∈ R2 , per cui
Dom(f1 ) = R2 .
La radice quadrata nella definizione della funzione
p
f2 (x, y ) = 4 − x 2 − y 2
può essere calcolata solo quando 4 − x 2 − y 2 ≥ 0, per cui si ha
Dom(f2 ) = {x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4}.
Quindi Dom(f2 ) è un insieme chiuso.
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Per quanto riguarda la funzione f3 (x, y ) = log(y − x 2 ), notiamo che il
logaritmo può essere calcolato solo se y − x 2 > 0. Quindi
Dom(f3 ) = {(x, y) ∈ R2 : y > x2 },
ed è un insieme aperto
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Se la funzione f è data nella forma della somma f = g + h, allora vale
Dom(f) = Dom(g) ∩ Dom(h)
Esempio
Consideriamo la funzione f (x, y ) = g (x, y ) + h(x, y ), dove
p
h(x, y ) = log(x 2 − y 2 ).
g (x, y ) = x 2 + y 2 − 1,
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2. Domini di funzioni (scalari) di tre variabili
Esempio
z
f (x, y , z) = sin(x − y ) + arctan
y
2
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Grafici
Sia f : Dom(f) → R, Dom(f) ⊂ R2 . Il grafico di f
Graf(f ) := {(x, y , z) ∈ R3 : z = f (x, y ), (x, y ) ∈ Dom(f)}
è una superficie in R3 .
Per funzioni di tre variabili, il grafico è un sottoinsieme di R4 .....
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Campi scalari e campi vettoriali
Noi ci occuperemo di funzioni di tipo f : Dom(f) → Rm con Dom(f) ⊂ Rn
che spesso denoteremo con Ω.
Nel caso m = 1, in cui f : Dom(f) → R, diciamo che f è un campo
scalare
Nel caso m > 1 chiamiamo f campo vettoriale. Esempi......
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Definizione (Insiemi di livello)
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → Rm una funzione. Sia c ∈ Rm . Chiamiamo
l’insieme di livello della funzione f l’insieme
Ωc = {x ∈ Ω : f (x) = c}.
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Interpretazione geometrica delle curve di livello
Sia f : Ω → R , Ω ⊂ R2 e quindi f = f (x, y ). Quindi
Ωc = {(x, y ) ∈ Ω : f (x, y ) = c}.
Consideriamo l’insieme
Ωc × {c} = {(x, y , c) ∈ R3 : f (x, y ) = c}.
L’unione degli insiemi Ωc × {c} al variare di c ∈ R descrive Graf(f ).
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Esempio
Sia f (x, y ) = x 2 − y . Allora Dom(f) = R2 e gli insiemi di livello sono le
parabole date dall’equazione
y = x 2 − c.
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Esempio
Sia f (x, y ) = xy . Allora Dom(f) = R2 e gli insiemi di livello sono le
iperboli date dall’equazione
c
y=
x
per c 6= 0, e dall’equazione
xy = 0,
cioè
x =0 o y =0
per c = 0.
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Funzioni continue
Definizione
Siano Ω ⊆ Rn , x ∈ Ω e sia f : Ω → Rm una funzione. Diciamo che f è
continua in x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che
∀y ∈ Bδ (x) ∩ Ω : kf (y ) − f (x)k < ε.
Diciamo che f è continua su Ω se f è continua in ogni x ∈ Ω.
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Proprietà delle funzioni continue
Teorema (Teorema di Weierstrass)
Sia Ω ⊆ Rn un insieme chiuso e limitato e sia f : Ω → R. Se f è continua
in Ω, allora assume massimo e minimo in Ω.
In particolare, ogni funzione continua su un insieme chiuso e limitato è
limitata.
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Proprietà delle funzioni continue
Teorema (Continuità di somme e prodotti)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano f , g : Ω → Rm . Se le funzioni f e g sono
continue in Ω, allora vi sono continue anche la funzione somma
f + g : Ω → Rm ,
x 7→ f (x) + g (x)
e la funzione prodotto scalare
f · g : Ω → R,
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x 7→ f (x) · g (x).
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Dimostrazione
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Teorema (Continuità della composizione)
Siano Ω ⊆ Rn , E ⊆ Rm e siano f : Ω → Rm e g : E → Rk due funzioni
tali che f (Ω) ⊆ E . Sia inoltre x ∈ Ω tale che f è continua in x e g è
continua in f (x). Allora la funzione composta
g ◦ f : Ω → Rk ,
x 7→ g (f (x))
è continua in x.
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La condizione che entrambe le funzioni f e g siano continue è sufficiente
ma NON necessaria. Infatti, la composizione g ◦ f può essere continua
anche se una delle funzioni f , g non lo è : consideriamo le funzioni
f , g : R → R definite da

 x +1 x ≤0
g (y ) = y 2 ,
f (x) =

x −1 x >0
In questo caso la funzione composta g ◦ f : R → R data da

 (x + 1)2 x ≤ 0
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) =

(x − 1)2 x > 0
è continua su tutto R nonostante la funzione f abbia una discontinuità di
tipo salto nel punto x = 0.
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Limiti
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → Rm una funzione. Sia in oltre x0 ∈ Rn un punto
di accumulazione per Ω. Diciamo che L ∈ Rm è il limite di f per x
tendente a x0 e scriviamo
lim f (x) = L,
x→x0
se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che
∀ x ∈ Bδ (x0 ) ∩ (Ω \ {x0 }) : kf (x) − Lk < ε.
A differenza della continuità, il limite può essere definito anche nei punti
in cui la funzione non è definita, ad esempio:
lim
x→0
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sin x
= 1.
x
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Teorema (Unicità del limite)
Siano Ω ⊆ Rn , f : Ω → Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto di
accumulazione per Ω. Se esistono L1 , L2 ∈ Rm tali che
lim f (x) = L1
x→x0
e
lim f (x) = L2 ,
x→x0
allora L1 = L2 .
Dimostrazione
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Direttamente dalla definizione della continuità e del limite discende il
seguente teorema:
Teorema (Limiti e continuità)
Siano Ω ⊆ Rn , f : Ω → Rm una funzione e x0 ∈ Ω. Se x0 è un punto di
accumulazione per Ω, allora f è continua in x0 se e solo se
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
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Teorema (Teorema della limitatezza locale)
Siano Ω ⊆ Rn , f : Ω → Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto di
accumulazione per Ω. Se esiste finito
lim f (x) = L,
x→x0
allora esiste un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta a U ∩ Ω è limitata.
Dimostrazione:
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Algebra dei limiti
Teorema (Limiti di somme e prodotti)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω → Rm due funzioni. Sia inoltre x0 ∈ Rn un
punto di accumulazione per Ω. Se f e g ammettono limite finito in x0 ,
allora anche le funzioni somma f + g e la funzione prodotto scalare f · g
ammettono limite in x0 e vale
lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) · g (x) = lim f (x) · lim g (x)
x→x0
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x→x0
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x→x0
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(1)
(2)
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Nella definizione di limite viene chiesto che la distanza tra f (x) tenda a
L quando x tende a x0 indipendentemente da come x si avvicina a x0 .
Questo rende il calcolo dei limiti di funzioni di più variabili in generale più
complicato rispetto al caso n = m = 1.
D’altra parte, per dimostrare che una funzione non ammette limite in un
punto assegnato, basta trovare due curve lungo le quali la funzione f
tende a due valori diversi:
Esempio
Consideriamo la funzione
f (x, y ) =
x2
,
x2 + y2
Dom(f) = R2 \ {(0, 0)}.
Vediamo che f NON AMMETTE limite per (x, y ) → (0, 0).
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Teorema (Teorema della permanenza del segno)
Siano Ω ⊆ Rn , f : Ω → R un campo scalare e sia x0 ∈ Rn un punto di
accumulazione per Ω. Se esiste limx→x0 f (x) = L ∈ R, L 6= 0, allora esiste
un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta a U ∩ (Ω \ {x0 }) ha lo stesso
segno di L.
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Teorema (Confronto dei limiti)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω → R due campi scalari. Sia inoltre x0 ∈ Rn un
punto di accumulazione per Ω. Se f , g ammettono limite per x → x0 e se
f (x) ≤ g (x) vale per ogni x ∈ Ω, allora si ha
lim f (x) ≤ lim g (x).
x→x0
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Teorema (Teorema dei due carabinieri)
Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g , h : Ω → R tre campi scalari. Sia x0 ∈ Rn un
punto di accumulazione per Ω. Supponiamo che per ogni x ∈ Ω
h(x) ≤ f (x) ≤ g (x).
(3)
Se
lim h(x) = lim g (x) = L
x→x0
x→x0
allora f ammette limite per x → x0 e vale
lim f (x) = L.
x→x0
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Esempio
Consideriamo la funzione
|x y |
f (x, y ) = p
x2 + y2
Dom(f) = R2 \ {(0, 0)}.
Dimostriamo che
lim
f (x, y ) = 0
(4)
(x,y )→(0,0)
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Campi scalari in R2 : coordinate polari
Qualunque punto (x, y ) ∈ R2 può essere rappresentato nel modo seguente:
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ,
dove ρ ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π). I numeri (ρ, θ) si dicono coordinate polari del
punto (x, y ). Geometricamente ρ rappresenta la distanza tra (x, y ) e
l’origine:
p
ρ = x 2 + y 2,
e θ è l’angolo fra i vettori (1, 0) e (x, y ).
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Esempio
Calcoliamo il limite
lim
f (x, y ),
f (x, y ) =
(x,y )→(0,0)
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x2 y
x2 + y2
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Esempio
Consideriamo il limite
lim
f (x, y ),
f (x, y ) =
(x,y )→(0,0)
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xy
x2 + y2
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