Un gioco con tre dadi

COPERTINA
Titolo: Un gioco con tre dadi
Tematica affrontata: Dati e Previsioni
Ordine di scuola: secondo ciclo - I biennio
Obiettivi specifici di apprendimento dell'attività:

probabilità e frequenza (Dati e previsioni)

significato della probabilità e sulle sue valutazioni (Dati e previsioni)

costruire lo spazio degli eventi in casi semplici (Dati e previsioni)

utilizzare i principali pacchetti software applicativi (Word processor, Foglio
elettronico, presentazioni, ecc) anche in vista del conseguimento della patente
informatica secondo la normativa comunitaria (Elementi di Informatica)
Tempo medio per svolgere l'attività in classe: 2-3 ore
INTRODUZIONE
L’attività si inserisce in ambito statistico e probabilistico.
L’insegnamento della probabilità, oltre ad avere una forte valenza formativa, risulta
particolarmente motivante per gli studenti perchè offre l’opportunità di presentare
esempi che riguardano i giochi.
L’attività ha lo scopo di indurre ad una individuazione corretta dello spazio degli
eventi, in modo che gli studenti sappiano distinguere tra evento (inteso generalmente
come evento composto; ad es. qui l’uscita di un certo risultato nel lancio di più dadi)
ed evento elementare (ovvero un evento non più ulteriormente suddivisibile in altri
eventi). L’obiettivo è condurre gli studenti alla scoperta che non tutti gli eventi hanno
la stessa probabilità e che la probabilità dipende dal modo in cui l’esperimento è
definito.
.
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’
Situazione problematica: Un gioco con tre dadi
L’insegnante propone il seguente problema:
lancia tre dadi e, ad ogni lancio, elimina il dado col punteggio maggiore annotando la
somma dei due dadi rimasti (se quelli col punteggio maggiore sono due, eliminane
uno qualsiasi). I risultati sono gli stessi che nel lancio di due dadi?
Per una migliore comprensione del problema l’insegnante suggerisce una lettura
attenta del testo e chiede agli studenti di esemplificare qualche situazione che si può
verificare.
Prima fase: Il lancio di due dadi:approccio sperimentale
Per affrontare il problema è opportuno trattare preliminarmente il lancio di due dadi.
L’insegnante guida gli studenti a costruire il grafico di frequenze per il lancio di due
dadi dopo aver effettuato l’esperimento manualmente o tramite la *simulazione*
[lancio di due dadi.xls] al computer ed aver calcolato la somma dei punteggi
ottenuti.
Nel caso si sia effettuata la simulazione al computer l’insegnante invita ad osservare le
colonne in cui sono riportati i risultati relativi al primo ed al secondo dado e chiede se
ritengono che i dadi siano equi. Per ogni punteggio qual è il numero delle volte
(frequenza assoluta) con cui si è presentato nell’esperimento? E la frequenza relativa?
Come sono avvenuti i lanci?
Dall’esame del grafico di frequenze della somma dei punteggi gli studenti possono
dedurre che i punteggi “centrali” sono i più frequenti. Da cosa dipende?
Seconda fase: Il lancio di due dadi: spazio degli eventi e distribuzione di probabilità
Si invitano gli studenti ad individuare tutti i modi possibili in cui si possono presentare
le facce di due dadi equi quando vengono lanciati (spazio degli eventi).
.
I casi possibili nel lancio di due dadi sono tutte le coppie che si possono ottenere
associando una faccia del primo dado con una qualunque del secondo dado, ovvero
6 ∙ 6 = 36.
Non tutti i risultati possibili per la somma di due dadi, hanno però la stessa
valutazione di probabilità: infatti, ad esempio, la somma 6 si può ottenere in più modi
che non la somma 3.
Gli studenti saranno guidati a compilare una *tabella* [
EVENTO
uscita del 2
uscita del 3
uscita del 4
uscita del 5
uscita del 6
uscita del 7
uscita del 8
uscita del 9
uscita del 10
uscita del 11
uscita del 12
Totale
Modalità di presentazione
1+1
1+2 2+1
1+3 2+2 3+1
1+4 2+3 3+2 4+1
1+5 2+4 3+3 4+2 5+1
1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1
2+6 3+5 4+4 5+3 6+2
3+6 4+5 5+4 6+3
4+6 5+5 6+4
5+6 6+5
6+6
Numero casi possibili
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
36
Probabilità
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1
] che raccoglie tutti i risultati possibili (si tratta degli interi da 2 a 12 compresi), i
diversi modi di ottenerli e di conseguenza il numero dei casi favorevoli ad ogni evento
e la corrispondente probabilità secondo l’impostazione classica.
Si pongono agli studenti le seguenti domande:
perché il grafico sperimentale non risulta perfettamente simmetrico come ci si
aspetterebbe dopo aver effettuato la valutazione di probabilità?
Il grafico avrebbe avuto un andamento più vicino alle previsioni se il numero di lanci
fosse stato maggiore?
Si può anche ripetere la simulazione con un numero maggiore di lanci.
L’insegnante guida gli studenti ad osservare che il grafico può mutare anche se il
numero di lanci rimane identico. Perché?
Quante sono le simulazioni di lanci che si possono fare, fissato il numero di lanci?
E’ pensabile che l’insieme di n lanci studiato ed osservato sia un “campione casuale”
rispetto all’insieme di tutti i lanci che si possono effettuare in identiche condizioni?
All’aumentare del numero dei lanci la frequenza relativa si avvicina alla valutazione
teorica di probabilità ? Oppure no ?
Si può concludere che su un gran numero di prove ci si può attendere di avere
frequenze relative di uscita “sempre più vicine” alla valutazione di probabilità?
Terza fase: Un gioco con tre dadi: approccio sperimentale
Nella fase successiva si affronta il problema dei tre dadi .
Si invitano gli studenti ad eseguire, lavorando in gruppo, l’esperimento lanciando i
dadi ed effettuando un numero alto di prove (ad esempio 30 lanci per ogni gruppo di 2
o 3 studenti). Si raccolgono in una tabella i risultati seguendo le consegne del
problema e si costruisce poi il grafico delle frequenze relative.
E’ opportuno comunque far ripetere l’esperimento con una simulazione con *il foglio
elettronico* [lancio di tre dadi.xls].
Dall’esame del grafico di frequenze gli allievi possono notare il diverso andamento
ottenuto in questo esperimento rispetto a quello relativo al lancio di due dadi.
Quarta fase Un gioco con tre dadi: lo spazio degli eventi e la distribuzione campionaria
Dalla discussione collettiva si arriva alla soluzione del quesito se il lancio di due dadi e
il gioco con tre dadi proposto danno risultati uguali o diversi.
Si faranno riflettere gli allievi sul fatto che, anche se gli eventi sono sempre l’uscita dei
numeri da 2 a 12, il fatto di aver eliminato il terzo dado, quello col punteggio
maggiore, non può essere ignorato. Si invitano, poi, gli allievi a contare i diversi modi
in cui ogni evento si può presentare.
Per esempio l’evento E1 : “uscita del 2” e l’evento E2 “uscita del 12” non hanno in
questo caso la stessa probabilità .
Infatti, l’ evento E1 si realizza in 16 modi:
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
6
in un modo
in tre modi
in tre modi
in tre modi
in tre modi
in tre modi
mentre l’evento E2 si realizza in un sol modo:
6
6
6
In questo problema i casi possibili sono 63 = 216 .
A questo punto si invitano gli studenti a calcolare la probabilità dei diversi eventi,
dividendoli in gruppi perché l’individuazione di ogni uscita seppure semplice è un po’
laboriosa, e si ottiene:
P(uscita
P(uscita
P(uscita
P(uscita
del
del
del
del
2) = 16/
5) = 36/
8) = 19/
11) = 3/
63
63
63
63
P(uscita
P(uscita
P(uscita
P(uscita
del
del
del
del
3) = 27/
6) = 34/
9) = 12/
12) = 1/
63
63
63
63
P(uscita del 4) = 34/ 63
P(uscita del 7) = 27/ 63
P(uscita del 10) = 7/ 63
Le valutazioni teoriche si accordano con i risultati ottenuti sperimentalmente?
Quanto fa la somma di tutte le assegnazioni di probabilita’ che abbiamo ottenuto?
INDICAZIONI METODOLOGICHE
Questa attività può essere introdotta anche al primo anno di biennio dopo aver
trattato le distribuzioni di frequenze e aver introdotto le varie assegnazioni di
probabilità. Non occorrono né i teoremi sulle probabilità né altri concetti.
Gli studenti possono lavorare in gruppi, costruire i grafici di frequenze e confrontare i
diversi risultati.
Dalla discussione collettiva, opportunamente guidata dall’insegnante, gli studenti
arrivano alla comprensione di un problema che non era facile intuire a priori.
L’uso del foglio elettronico, peraltro consigliato anche negli Osa, risulta in questa
attività particolarmente efficace, in quanto la simulazione permette sia di ripetere più
volte l’esperimento con lo stesso numero di lanci ( basta premere un tasto per vedere
simultaneamente come si modifica il grafico) sia di variare il numero di lanci.
Per la simulazione al computer sono necessari alcuni prerequisiti di conoscenza del
foglio elettronico: come si inseriscono i dati, come si inserisce una formula, come si
copia una formula, come si usano i riferimenti relativi e assoluti alle celle, come si
crea un grafico. Le funzioni “Casuale( )” e “Conta.Se( )” possono essere introdotte
anche in questo contesto.
[per indire eventuale link ad un manuale di Excel]
Qualora non sia possibile utilizzare il foglio elettronico, l’attività può essere svolta
anche facendo eseguire effettivamente l’esperimento del lancio dei dadi agli allievi
divisi in gruppi.
E’ in ogni caso opportuno che l’esperimento venga effettuato anche manualmente
dagli studenti in quanto l’operare inizialmente in modo sperimentale aumenta
l’attenzione e motiva all’uso della simulazione una volta che il processo di
apprendimento è avviato.
SPUNTI PER UN APPROFONDIMENTO DISCIPLINARE
L’insieme dei possibili risultati di un esperimento costituisce lo spazio degli eventi. In
analogia con la rappresentazione insiemistica lo spazio degli eventi è l’insieme
universo Un evento è visto allora come un sottoinsieme di tale insieme universo. Un
evento elementare è un sottoinsieme costituito da un solo elemento.
Per esempio nel lancio di due dadi “ottenere somma 4” è un evento che si realizza
attraverso i tre eventi elementari: “esce 1 sul primo dado e 3 sul secondo”, “esce 3
sul primo dado e 1 sul secondo”, “esce 2 su entrambi i dadi”.
L’attività proposta permette anche di riflettere e di confrontare la valutazione di
probabilità di un certo evento secondo la “cosiddetta” definizione classica (rapporto tra
il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché tutti ugualmente
possibili) e la frequenza dello stesso evento. Bisogna distinguere tra frequenza
assoluta (numero di volte in cui si è verificato un certo evento, o, come si dice,
numero di successi ottenuti in una serie di prove ripetute) e frequenza relativa
(rapporto tra il numero dei successi e il numero delle prove).
La *valutazione di probabilità* [assegnazioni.pdf] come limite della frequenza
relativa di un evento quando il numero delle prove è abbastanza alto comporta in sé
alcuni problemi: il concetto di limite e la comprensione di cosa si intenda per numero
di prove abbastanza alto.
La simulazione al computer può fornire un valido aiuto alla comprensione di come
effettuare una valutazione di probabilita’.
Un ulteriore approfondimento è costituito dal calcolo combinatorio. E’ opportuno
introdurre il calcolo combinatorio a partire da situazioni problematiche in cui si
evidenzi la necessità di possedere formule che aiutino a contare il numero dei risultati
possibili di un esperimento. In quest’ottica la trattazione del calcolo combinatorio non
presenta particolari difficoltà, anzi l’argomento risulta stimolante in quanto permette
di risolvere questioni di probabilità più complesse.
Un percorso possibile è quello di introdurre dapprima le Dn,k , ovvero le disposizioni di
n elementi a k a k, poi le permutazioni come le disposizioni nel caso in cui k=n e infine
le combinazioni Cn,k utili in tutti quei casi in cui non interessa l’ordine dei risultati di un
esperimento: e’ noto che si ha la formula
Cn,k = Dn,k/k!
Le altre formule (combinazioni con ripetizione, disposizioni con ripetizione…) possono
essere introdotte laddove se ne ravvisi la necessità.
[per indire link alla bibliografia: Maraschini, Palma, Format,CLP, 2000, Paravia,
pp.583-591.]
ELEMENTI PER PROVE DI VERIFICA
1. Da una indagine su una popolazione risulta che una persona su 20 è mancina.
Qual è la probabilità che una persona, presa a caso in quella popolazione, non
sia mancina?
2. Un professore di matematica, in una classe composta da 25 alunni, per
interrogare decide di lasciarsi guidare dal caso. Ha a disposizione un sacchetto
che contiene 30 palline numerate da 1 a 30. Decide di usarlo così come è ed
estrae una pallina; se il numero non supera 25, interroga l’alunno che ha quel
numero nell’elenco; altrimenti fa il prodotto delle cifre e interroga l’alunno che
ha nell’elenco il numero corrispondente. Tutti gli alunni hanno la stessa
probabilità di essere interrogati? Il professore interroga in ogni caso qualcuno?
Qual è la probabilità che non interroghi nessuno?
3. Lancia 100 volte un dado a sei facce (puoi effettuare l’esperimento oppure fare
una simulazione al computer).
Qual è la frequenza relativa dell’evento uscita del 6? Qual è la probabilità
dell’evento uscita del 6 nel lancio di un dado? (Spiega le eventuali discordanze
tra i due valori ottenuti).
4. Tre signori lasciano il loro cappello al guardaroba di un ristorante. Se, all’uscita,
riprendono i loro cappelli a caso qual è la probabilità che nessuno riprenda il suo
cappello?
(Per rispondere considera che tale evento è quello contrario all’evento unione
dei tre eventi: il primo o il secondo o il terzo signore riprende il suo cappello).
Se i signori sono quattro la probabilità che nessuno riprenda il suo cappello
aumenta o diminuisce? E se sono cinque ?
5. In una confezione sono contenute 50 lampadine di cui 5 difettose. Se ne prende
una a caso: qual è la probabilità che sia difettosa? E se se ne prendono due,
contemporaneamente, qual è la probabilità che siano entrambe difettose?
Griglia di correzione
1. 19/20
2. 1/30
4.
1/3 ; 3/8; 11/30 ;
5. 1/10; 4/490
*commento all’esercizio 4* [cappelli.pdf]
SPUNTI PER ALTRE ATTIVITÀ CON GLI STUDENTI
E’ immediato proporre una situazione problematica analoga alla precedente:
lancia tre dadi e, ad ogni lancio, elimina il dado col punteggio minore annotando la
somma dei due dadi rimasti (se quelli col punteggio minore sono due, eliminarne uno
qualsiasi).
Se l’attività precedente ha realizzato gli obiettivi, sarà immediata la risposta degli
studenti.
E’ anche immediato modificare l’implementazione del foglio elettronico per adattarlo a
questo secondo problema.
Spunti storici: il gioco dei dadi nella storia dell’uomo.
L’argomento offre la possibilità di ricordare quello che in quasi tutti i libri è descritto
come l’inizio del calcolo delle Probabilità, ovvero lo scambio epistolare (1654) tra
Pascal e Fermat relativamente al *quesito* [quesito.doc] del “Cavalier de Méré”.
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI
(file Excel, ricerca su internet, materiale di lavoro autonomo per gli studenti)
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola elementare e scuola media).
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm
AAVV, Matematica 2003. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola elementare e scuola media).
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm
Anichini G., Calcolo 4-Elementi di Calcolo delle Probabilità e di Inferenza Statistica,
Pitagora, Bologna, 1996.
Barra M., Probabilità e gioco d’azzardo, Le Scienze, 5-6, 2000, Le Monnier.
Bottazzini U.-Freguglia P. - Toti Rigatelli L. , Fonti per la Storia della matematica
Biblioteca Universale Sansoni, 1992, pag 341 – 390.
Brusati, Come si fanno i sondaggi, Induzioni, 26, 2003, pp.5-37.
Dall’Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli, Bologna, 1987.
De Finetti B., Filosofia della probabilità, Il Saggiatore, Collana Teoria, 1995.
Maraschini, Palma, Il nuovo Format, A2, Paravia, 2001,pp.339-364.
Maraschini, Palma, Format,CLP, Paravia, 2000, pp.583-591.
Ottaviani M. G., Rossi C., Scalia Tomba G., Lezioni sulla
statistica, sulla probabilità e sui problemi di stima con proposte
didattiche, L'insegnamento di Probabilità e Statistica nella scuola
liceale, MPI Quaderni Formazione Docenti, (8), 1995.
PISA 2003 Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Armando Armando, Roma,
2004.
Prodi G., Metodi matematici e statistici, McGraw-Hill, 1992.
Proia D., Legge dei grandi numeri e foglio elettronico, Progetto Alice, 2004-I, vol.V,
n°13,pp.175-192, Pagine.
Rhényi A., Pascal.Lettere sulla probabilità a cura di E. Lombardo, Induzioni, 30, 2005,
pp.11-57.
Rossi, C., La matematica dell'incertezza. Didattica della probabilità e della statistica,
Zanichelli, Bologna, 1999.
Rossi C. Statistica e Probabilità nella serie: Matematica per capire: moduli di
matematica per il biennio, La Nuova Italia, RCS scuola, Milano, 2002.
Scozzafava R., Incertezza e probabilità. Significato, valutazione, applicazioni della
probabilità soggettiva, Zanichelli, Bologna, 2002.
Spirito G., Matematica dell’incertezza, Tascabili Economici Newton, 1995.
Villani V., Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill, 1991.
SITOGRAFIA
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
http://it.wikipedia.org/wiki
PROPOSTA DI ATTIVITÀ PER IL CORSISTA
(da condividere e discutere in rete)
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
 fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
 esplicitare gli adattamenti necessari;
 formulare il progetto didattico relativo;
 preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative
alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e
INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe): l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.