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Scheda 5 Scheda per il recupero 5 A Ripasso Monomi Terminologia sui monomi DOMANDE RISPOSTE ESEMPI Che cos’è un monomio? Un’espressione algebrica che si può scrivere come prodotto di numeri e lettere, queste ultime elevate a esponenti non negativi. Sono monomi: Quando un monomio si dice in forma normale? Quando compare un solo fattore numerico e ogni lettera compare una sola volta. Il monomio 2a3 b è in forma normale. Il monomio 6aab non è in forma normale perché la lettera a compare due volte. Che cosa sono il coefficiente e la parte letterale di un monomio? Dato un monomio in forma normale, il fattore numerico è il coefficiente del monomio; il complesso dei fattori letterali è la parte letterale. 2a3 b 4abc 3 2 x yz 2 3 2 a b 2 coefficiente parte letterale Che cos’è il grado di un monomio? È la somma degli esponenti delle lettere che compaiono nel monomio. Il monomio 4xy 2 z 3 , equivalente a 4x 1 y 2 z 3 , ha grado 1 þ 2 þ 3 ¼ 6 Quando due monomi (non nulli) si dicono simili? Quando, ridotti in forma normale, hanno la stessa parte letterale. Sono simili: 3x 3 y 2 2x 3 y 2 Operazioni tra monomi OPERAZIONE TRA MONOMI PROCEDIMENTO PER ESEGUIRLA ESEMPI Addizione e sottrazione Si possono semplificare solo somme algebriche in cui gli addendi sono monomi simili. 3a þ 2b non si può ulteriormente semplificare perché 3a e 2b non sono simili La somma (differenza) di due monomi simili è un monomio simile, avente come coefficiente la somma (differenza) dei coefficienti. Divisione Potenza 3a 5a ¼ ð3 5Þa ¼ 2a Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali. ð2a2 b3 Þð3a2 b2 Þ ¼ ð2Þð3Þa2 þ 2 b3 þ 2 ¼ Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti delle lettere uguali. La divisione dà luogo a un monomio solo se tutte le lettere che compaiono nel divisore compaiono anche nel dividendo, con esponente maggiore o uguale. ð6a2 b5 Þ : ð3a2 b2 Þ ¼ ½ð6Þ : ð3Þa22 b52 ¼ Per elevare un monomio a n si eleva il coefficiente a n e si moltiplicano gli esponenti delle lettere per n. ð3a2 bc 3 Þ3 ¼ ð3Þ3 a2 3 b1 3 c 3 3 ¼ ¼ þ 6a4 b5 ¼ þ2a0 b3 ¼ þ2b3 ¼ 27a6 b3 c 9 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Le regole per il calcolo del M.C.D. e del m.c.m. fra monomi sono del tutto analoghe a quelle utilizzate fra numeri. Conveniamo di scegliere come coefficiente del massimo comune divisore (minimo comune multiplo) il massimo comune divisore (minimo comune multiplo) fra i valori assoluti dei coefficienti se questi ultimi sono numeri interi e di scegliere come coefficiente 1 in caso contrario. La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara Moltiplicazione 3x þ 2x ¼ ð3 þ 2Þx ¼ 5x 1/6 Scheda 5 Scheda per il recupero 5 B Verifica delle conoscenze Monomi Completa. 1 L’espressione 3a þ 2b non è un monomio perché ::::::::::::::::::::::::: 2 L’espressione a2 b1 non è un monomio perché ::::::::::::::::::::::::: 3 Il monomio xy2 ha coefficiente uguale a ::::::::::::::::::::::::: 4 Il monomio xyz ha coefficiente uguale a ::::::::::::::::::::::::: 5 Il grado del monomio xyz2 rispetto alla lettera x è :::::, rispetto alla lettera y è :::::, rispetto alla lettera z è ::::: 6 Il monomio xyz2 ha grado uguale a ::::: Test Una sola delle seguenti espressioni rappresenta un monomio di terzo grado, quale? 7 A a3 þ b3 B 100x3 C 7xyz D 8x2 yz C 9a9 b4 D 9a6 b4 D divisi D 3r 3 s2 Il quadrato del monomio ð3a3 b2 Þ2 è: 8 A 9a6 b4 B 9a3 b2 Per determinare il prodotto di due monomi gli esponenti delle lettere uguali vanno: 9 A addizionati B sottratti C moltiplicati 10 Il monomio 6r 2 s4 è divisibile per uno solo dei seguenti monomi, quale? A 2r 2 s6 B 3rs5 C 9rs2 11 Per determinare il quoziente di due monomi, di cui il primo divisibile per il secondo, i coefficienti dei due monomi vanno: A addizionati C moltiplicati B sottratti D divisi 12 Per determinare il cubo di un monomio, gli esponenti delle lettere vanno: aumentati di 3 C moltiplicati per 3 B diminuiti di 3 D divisi per 3 Vero o falso? 13 il coefficiente del monomio x2 y è nullo V F 14 il monomio 3x4 y2 ha grado 4 V F 15 l’espressione algebrica ab þ cd non è un monomio V F 16 l’espressione a3 b2 è un monomio V F 17 i due monomi 4a2 bc e 3bca2 sono simili V F 18 l’espressione 21 x2 y2 non è un monomio V F 19 il prodotto di due monomi è sempre un monomio V F 20 il quoziente di due monomi è sempre un monomio V F 21 il quadrato di un monomio di quarto grado è un monomio di grado 16 V F 22 il massimo comune divisore tra due monomi simili è simile a essi V F 23 se un monomio A è divisibile per un monomio B, il coefficiente di A è divisibile per B V F 24 il prodotto di due monomi simili è un monomio simile ai due monomi dati V F La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara A 2/6 Scheda 5 C Esercizi guidati Scheda per il recupero 5 Monomi Completa le seguenti uguaglianze. 1 2ax2 5ax2 ¼ ð2 5Þax2 ¼ ::::: 2 ð2ax2 Þ ð7a2 x3 Þ ¼ ð2Þð:::::Þa1þ:::: x2þ:::: ¼ ::::: 3 ð12x9 y 4 Þ : ðþ4x6 y4 Þ ¼ ½ð12Þ : ðþ4Þx9:::: y 4:::: ¼ ::::: 4 ð3t 5 Þ3 ¼ ð3Þ3 t 5:::: ¼ ::::: 5 7 xy 2xy ¼ 2 6 5 21 2 3 4 5 21 a b c ¼ a2 b7þ:::: c1þ:::: ¼ ::::: b7 c 7 10 7 10 7 1 6 9 2 1 2 6:::: 9:::: x y ¼ x y ¼ ::::: 5 5 8 2 3 2 3 2 3 8 a5 b7 : a b ¼ : a5:::: b7:::: ¼ :::: 3 4 3 4 7 2 xy ¼ ::::: 2 ::::: Completa le seguenti tabelle seguendo i passi e l’esempio indicati nelle prime due colonne. 9 Passi Calcolo del massimo comune divisore fra: 6x 4 y 3 w 2 , 15x 2 y 4 zw 3 , 9x 3 yz 2 w 5 Individua il coefficiente del M.C.D. secondo le convenzioni stabilite. In questo caso tutti i coefficienti dei monomi sono numeri naturali, quindi prendiamo come coefficiente del M.C.D. fra i monomi: Calcolo del massimo comune divisore fra: 2x 2 y 3 , 6xy 4 , 9x 3 y 2 M.C.D. (2, 6, 9) ¼ .......... M.C.D. (6, 15, 9) ¼ 3 I fattori comuni sono: x che compare con esponente minimo uguale a 2 y che compare con esponente minimo uguale a 1 w che compare con esponente minimo uguale a 2 La parte letterale del M.C.D. è perciò: I fattori comuni sono: .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. La parte letterale del M.C.D. è perciò: .............................................................................................. x2 y 1 w 2 Il M.C.D. è il prodotto del coefficiente e della parte letterale individuati. M.C.D. ¼ 3 x2 y 1 w2 ¼ 3x2 yw2 M.C.D. ¼ ...................................................................... 10 Passi Calcolo del minimo comune multiplo fra: 6x 4 y 3 w 2 , 15x 2 y 4 zw 3 , 9x 3 yz 2 w 5 Individua il coefficiente del m.c.m. secondo le convenzioni stabilite. In questo caso tutti i coefficienti dei monomi sono numeri naturali, quindi prendiamo come coefficiente del m.c.m. fra i monomi: Calcolo del minimo comune multiplo fra: 2x 2 y 3 , 6xy 4 , 9x 3 y 2 m.c.m. (2, 6, 9) ¼ .......... m.c.m. (6, 15, 9) ¼ 90 , La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara Individua la parte letterale del M.C.D., che è il prodotto dei fattori comuni a tutti i monomi, ciascuno preso con l’esponente minimo con cui compare in essi. 3/6 5 Scheda Scheda per il recupero 5 C Esercizi guidati Monomi , Individua la parte letterale del m.c.m. che è il prodotto dei fattori comuni e non comuni ai monomi, ciascuno preso con l’esponente massimo con cui compare in essi. I fattori comuni e non comuni sono: x che compare con esponente massimo uguale a 4 y che compare con esponente massimo uguale a 4 z che compare con esponente massimo uguale a 2 w che compare con esponente massimo uguale a 5 I fattori comuni e non comuni sono: .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. La parte letterale del m.c.m. è perciò: .............................................................................................. La parte letterale del m.c.m. è perciò: x4 y 4 z 2 w 5 Il m.c.m. è il prodotto del coefficiente e della parte letterale individuati. m.c.m. ¼ 90 x4 y 4 z 2 w 5 m.c.m. ¼ ....................................................................... 11 Considera il seguente problema: «Le misure dei lati di un rettangolo sono 2a e b. Le misure dei due lati vengono aumentate rispettivamente di a e di 3b. Di quanto aumenta l’area del rettangolo originario?» Risolvilo seguendo i passi qui indicati. a. Esprimi in funzione di a e b le misure di lati del rettangolo di lati aumentati. b. Esprimi in funzione di a e b le misure delle aree del rettangolo originario e del nuovo rettangolo. c. Calcola la differenza tra l’area del nuovo rettangolo e l’area di quello originario. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, stabilisci se è corretta; in caso contrario, correggi gli errori. 12 1 4 2 x y 20 1 1 xy ¼ x3 y : 4 5 È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... 2 3 2 4 6 13 ð4a b Þ ¼ 16a b È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... 14 8 7 35t r 8 6 : ð7t r Þ ¼ 5r È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... 15 pq þ 3pq ¼ 4p q 16 1 3 6 x y 2 1 2 5 x y ¼ 2x5 y 11 4 È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... 2 2 2 17 p q 2p q ¼ p q È esatta? 18 ð11u6 v5 Þð2u2 v 7 Þ ¼ 22u12 v35 È esatta? SÌ NO Eventuale correzione NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... SÌ ....................................................... ......................................................................................................... 19 M.C.D.ð8a2 , 4a3 Þ ¼ 4a3 È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... 20 m.c.m.ð11xy, 3xy, 4xyÞ ¼ xy È esatta? SÌ NO Eventuale correzione ....................................................... ......................................................................................................... La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara ......................................................................................................... 2 2 4/6 Scheda 1 5 Scheda per il recupero 5 Monomi D Esercizi da svolgere Scrivi: a. due monomi simili di grado 5 nelle lettere x, y, z e w; b. un monomio di grado 10 nelle lettere x, y e z, avente coefficiente uguale al grado rispetto alla lettera x. 2 Completa la seguente tabella. Monomio Forma normale 1 2 a bab3 2 1 ð3x2 yÞ xyz3 3 3 2 u vuv 4 2 Grado Monomio opposto Monomio simile con coefficiente reciproco del monomio dato ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: Esegui, se possibile, le seguenti operazioni. 3 3a 2a 2x þ 3y 8x 6x 4 3 a 2a 2 1 2 x x 2 3 5 ðþ2xyÞð3xy2 Þ ð4abÞðþ3aÞ 6 ðþ6x4 y 2 Þ : ð2xyÞ ð10xyz3 Þ : ð2xzÞ 7 ð2a2 bÞ2 ð3ab3 c4 Þ3 8 Completa la seguente tabella. Monomio 1 3 xy þ xy 5 10 ð3xyz2 Þð3x2 y 5 zÞ 3 9 xy8 z4 : xy 5 z 2 4 3 1 abc2 2 Doppio del monomio Quadrato del monomio Triplo del monomio Cubo del monomio 4x2 y 3 ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: 2ab ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: 4x4 y 2 ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: r 4 s5 ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::: 27u6 v 9 Semplifica le seguenti espressioni. 9 10 11 12 13 2 1 xy2 ½20y ð8yÞ 2 3 3 4 5 9 2 4 1 2 : u v z : uv z u v ð3v 2 z2 Þ2 : ðvzÞ3 2 4 6 1 3 3 2 4 2 4 a ð4a Þ þ ð2aÞ3 : ðaÞ2 ð6a Þ : ð2a Þ þ ð2a Þ : 2 2 10 5 2 3 3 3 1 2 3 1 5 2 x : x x : þ x x 2x 7x þ : 3 3 2 4 2 32 " 2 # 2 3 1 3 1 1 : þ abc2 þ abc2 ac abc2 a2 bc3 2 2 2 2 2 ½ð3y 5yÞ2 ð2x2 y 3 Þ : 3 2 3 2 14 ½ðx2 Þ þ 2ðx3 Þ ð4x11 Þ : ð4x4 Þ [4y] [13vz] [3a] [5x2 6x] 1 2 3 a bc 4 [5x18 ] La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara Opposto del monomio 5/6 Scheda 5 Scheda per il recupero 5 D Esercizi da svolgere 1 3 3 5 7 3 3 3 15 ð3xyÞ xy þ x y : þ x y ð2xy 2 Þ2 2 2 4 16 17 18 19 20 21 Monomi 1 ½2a ð3aÞ2 ½2a þ ð3aÞ3 þ ð2a2 Þ : ð4Þ þ ðþ6a5 Þ : ð3a3 Þ 2 2 2 2 3 0,4y þ y þ y þ ð26y7 Þ : ð13y 5 Þ 5 5 ( 3 2 ) 2 1 1 2 3 ð4tÞ ð2tÞ : 6t 2 2 4 1 3 ð6a3 Þ : ð2a2 Þ þ ð2a4 Þ2 : a ð4a4 Þ þ ð2aÞ3 : ðaÞ2 2 2 10 5 2 3 3 3 1 2 3 1 5 2 x : x x : þ x x 2x 7x þ : 3 3 2 4 2 32 " 2 # 2 3 1 2 3 3 1 1 2 2 2 : þ abc ac abc a bc þ abc 2 2 2 2 2 15 2 4 x y 2 [125a3 þ 11a2 ] [y 2 ] 43 2 t 3 [3a] [5x2 6x] 1 a2 bc3 4 22 È dato un numero a. Esprimi tramite un’espressione algebrica la frase «il quadrato della differenza tra il quadrato del cubo di a e il cubo dell’opposto del doppio del quadrato di a» e semplifica l’espressione algebrica ottenuta. [81a12 ] 23 È dato un numero a. Esprimi tramite un’espressione algebrica la frase «il cubo della differenza tra il cubo del quadrato di a e il quadrato dell’opposto del doppio del cubo di a» e semplifica l’espressione algebrica ottenuta. [27a18 ] Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi. 24 10a4 b3 5a6 b2 c3 25b4 c5 25 12a3 b2 24a5 bc8 48b9 c15 26 4a2 b3 5b4 c7 15a6 b9 c15 27 1 5 3 x yz 2 28 6a4 b3 2ab4 c2 4 5 yz 5 xy2 z3 3a2 b5 c 12abc4 30 Al 15 settembre i funghi porcini hanno un prezzo sul mercato di p euro al kg. Dopo due settimane questo prezzo subisce un aumento del 15%; a metà ottobre si registra un altro rincaro del 10%. Poi, grazie a un periodo particolarmente piovoso, a fine ottobre il prezzo cala del 20%. Scrivi l’espressione algebrica che esprime, in funzione di p, il prezzo a fine ottobre e semplificala. Qual è la variazione percentuale di prezzo nel periodo che va da metà settembre a fine ottobre? [þ1,2%] La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara 29 In un trapezio, la base maggiore e la base minore misurano rispettivamente 5a e 4a, mentre l’altezza misura 2b. Aumentando di a la misura di ciascuna delle due basi e di b la misura dell’altezza, di quanto aumenta l’area del trapezio? 15 ab 2 6/6
