0.1
Moto circolare uniforme
Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio
R = 50 cm con accelerazione normale aN = 1.5 metri
sec2 costante in modulo. Si chiede il periodo del moto e la legge oraria della proiezione
del moto su un diametro del cerchio.
....................................
Ricordiamo dalla teoria che qualunque sia la traiettoria seguita da un punto
materiale, prendendo un riferimento sulla traiettoria e quindi descrivendo il
moto con l’ascissa curvilinea s (t) allora la velocità può essere espressa come
v (t) = ṡ (t) T̂
(1)
dove ṡ (t) = ds
dt e T̂ è il versore tangente alla traiettoria stessa (anche questo
versore cambia nel tempo: non in modulo, essendo un versore e quindi di modulo
uno, ma in direzione, almeno se la traiettoria non è una retta: quindi, a rigore,
andrebbe indicato con T̂ (t)).
L’accelerazione può essere espressa come la sovrapposizione di una parte
tangente e di una parte normale alla traiettoria
a (t) = s̈ (t) T̂ +
ṡ2 (t)
N̂
ρ (t)
(2)
dove ρ è il raggio di curvatura, ovvero il raggio del cerchio osculatore cioè
del cerchio che approssima meglio il tratto di traiettoria ove siamo (vedi figura
Accelerazione T N ) mentre N̂ è il versore normale alla traiettoria e diretto verso
il centro del cerchio osculatore (per questo l’accelerazione normale è detta anche
centripeta); vedi figura Accelerazione T N :
Accelerazione T N
1
Ovviamente, per necessità grafica, abbiamo disegnato una traiettoria su un
piano: ma quanto detto varrebbe ugualmente se la traiettoria fosse una curva
nello spazio.
Ritorniamo al problema. Dato che l’accelerazione centripeta o normale è
costante in modulo e la traiettoria è circolare e quindi anche il raggio di curvatura
è costante
ρ (t) = R
(3)
allora dalla (2) ricaviamo che la velocità è pure costante e vale
v = ṡ = RaN
(4)
Abbiamo quindi un moto circolare uniforme:
s̈ = 0
(5)
s (t) = s (0) + v t
(6)
con legge oraria
Ponendo s (0) = 0 (scelta del riferimento: è nostra prerogativa)
s (t) = v t
(7)
Il moto si ripeterà dopo un giro (s (T ) = 2πR)(nota
dato da
2πR = vT
1)
cioè dopo un tempo T
(8)
Risolvendo e usando la (4) e i dati
2πR
2πR
= 2π
T =
=√
v
RaN
R
= 3.63 sec
aN
(9)
Resta da trovare la proiezione del moto su un diametro del cerchio.
Prendiamo un riferimento cartesiano appropriato: metteremo l’origine al
centro del cerchio, l’asse x punterà verso P0 (posizione del punto materiale
all’istante t = 0), l’asse y sarà determinato di conseguenza (essendo il moto su
un piano l’asse z non serve). Vedi figura Moto circolare:
2
Moto circolare
Ad un generico tempo t la posizione del punto materiale sulla traiettoria
sarà data dall’ascissa curvilinea
s(t) = v t
(10)
x (t) = R cos (φ (t))
(11)
y (t) = R sin (φ (t))
(12)
e/o dalle coordinate cartesiane
ma se l’angolo φ (t) è espresso in radianti abbiamo
φ (t) =
v
s(t)
= t
R
R
(13)
Notiamo che la (13) descrive altrettanto bene il moto della (??): potremmo
usare l’angolo φ (t) come coordinata e allora per definizione avremo una velocità
angolare φ̇ (t)(nota 2) che in questo caso sarà (13):
φ̇ (t) =
3
v
R
(14)
e una accelerazione angolare φ̈ (t) (nota 2) che nel nostro caso è nulla. Quindi in
questa coordinata angolare abbiamo un moto uniforme cioè con velocità costante
che abitualmente si denota con omega ed vale nel nostro caso (nota 3)
ω=
v
R
(15)
Utilizzando le formule sopra nelle (11,12) abbiamo
x (t) = R cos (ωt)
(16)
y (t) = R sin (ωt)
(17)
Possiamo derivare rispetto al tempo queste formule ottenendo
ẋ (t) = −ωR sin (ωt)
(18)
ẏ (t) = ωR cos (ωt)
(19)
ẍ (t) = −ω2 R cos (ωt)
(20)
ÿ (t) = −ω2 R sin (ωt)
(21)
e ancora
ovvero, riutilizzando le (16,17)
ẍ (t) = −ω2 x (t)
(22)
ÿ (t) = −ω2 y (t)
(23)
Lo studente avrà riconosciuto le equazioni del moto armonico. Dunque sia sul
diametro orizzontale P0 P3 che su quello verticale P1 P2 abbiamo moti armonici
v
con la stessa ’pulsazione’ ω = R
e quindi con lo stesso periodo T = 2π
ω =
2πR
(ma sfasati... di quanto?): su P0 P3 si parte da P0 con velocità nulla
v
e accelerazione massima diretta verso il centro, poi al tempo T4 si arriva in O
con velocità massima verso sinistra ed accelerazione nulla, dopo ancora T4 cioè
al tempo T2 siamo in P3 con velocità nulla ed accelerazione massima verso il
centro e quindi si ripassa in O al tempo 3T
4 con ancora la velocità massima ma
verso destra per ritornare al tempo T nella posizione iniziale con la velocità e
l’accelerazione iniziale.
Lo studente consideri e studi la proiezione del moto su un diametro generico.
Qualche studente potrebbe anche chiedersi: se il moto è adeguatamente
descritto da una sola coordinata (o l’ascissa curvilinea s o l’angolo φ), come mai
nel riferimento cartesiano abbiamo bisogno di due coordinate?
La risposta è banale, comunque come hint e facile esercizio si ricavi dalle
(16, 17 ) l’equazione cartesiana della traiettoria.
4
Nota 1
Si ricordi che affinchè un moto sia periodico non basta certo ritornare alla
posizione iniziale dopo un certo tempo... (altrimenti in una gara di corsa su un
circuito tutti i moti lo sarebbero, salvo incidenti!) e neanche è sufficiente fare
tutti i giri con lo stesso tempo: un moto è periodico se si ripete esattamente dopo
un tempo T . In alcuni testi liceali si trova(va) questa definizione: un moto è
periodico se si ritorna in una generica posizione della traiettoria con la stessa
velocità e la stessa accelerazione (del passaggio precedente). E’ una definizione
rigorosa?
Nota 2
Si noti che la variabile angolare è adimensionale e quindi la velocità angolare
ha dimensione t−1 mentre l’accelerazione angolare ha dimensione t−2
5
