Esercizi-equazioni di stato:
Esercizi 2, 1
Esercizi 2, 2
Hp. Modellistica a)
Trascuriamo la temperatura di parete
1. Determinare le equazioni di stato per il seguente
sistema termico:
:
Si scrive l’equazione di equilibrio termico.
No equilibrio di massa! Il sistema e’ chiuso.
capacita’ termica del fluido
coefficiente di scambio termico interno-esterno
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Esercizi 2, 3
Variabili di stato:
Ingressi:
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Hp. Modellistica b)
Consideriamo ora la temperatura di parete
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Esercizi 2, 4
:
Ora abbiamo due equazioni di equilibrio termico:
Uscite:
capacita’ termica del fluido
coefficiente di scambio termico interno-parete
capacita’ termica del fluido
coefficiente di scambio termico parete-esterno
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Esercizi 2, 5
Esercizi 2, 6
Costruiamo le equazioni di stato in forma matriciale
per il caso b)
Variabili di stato:
Uscite:
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•1
Esercizi 2, 7
2. Determinare delle equazioni di stato per il sistema
( piano inclinato senza attriti ) :
Esercizi 2, 8
Risultante su
:
Si considera come variabile da controllare l’altezza h della massa
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Esercizi 2, 9
In forma matriciale:
Esercizi 2, 10
Ma noi vogliamo osservare
s.d.r. del piano inclinato !
, non la posizione
nel
Ma poiche’:
Bastera’ effettuare una trasformazione del tipo :
Si potrebbe interpretare
come “disturbo
esterno”
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con :
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Esercizi 2, 11
Esercizi per casa...
Esercizi 2, 12
2. Mettere in equazioni di stato il seguente sistema:
1. Antitrasformare le funzioni:
•
•
•
•
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Suggerimenti:
Scrivere i principi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie.
Prendere come variabili di stato le grandezze associate a
condensatori (tensione) ed induttanze (correnti).
Ingresso: corrente entrante al nodo A
Uscita: tensione sul condensatore
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•2
Esercizi 2, 13
Esercizi - linearizzazione:
3. Mettere in equazioni di stato il seguente sistema:
Esercizi 2, 14
1. Determinare le equazioni di stato per il seguente
sistema e linearizzarlo intorno ad un punto di
equilibrio:
•
•
•
•
Suggerimenti:
Scrivere i principi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie.
Prendere come variabili di stato le grandezze associate a
condensatori (tensione) ed induttanze (correnti) Æ avremo tre
variabili di stato, sistema tre per tre!
Ingresso: tensione fra A e B
Uscita: tensione sulla resistenza
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Esercizi 2, 15
Dove si specificano il coefficiente di attrito radente
e la forza della molla, entrambi non lineari:
Esercizi 2, 16
Che si puo’ riscrivere cosi’:
Variabili di stato:
Risultante delle forze su
Ingresso:
:
Uscite:
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Esercizi 2, 17
Esercizi 2, 18
Da cui si ricavano le equazioni di stato linearizzate intorno al
punto trovato:
Dunque sostituendo ricaviamo le seguenti
equazioni:
Imponiamo un ingresso costante
e cerchiamo il punto di
equilibrio, in cui entrambe le derivate si annullano:
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•3
Esercizi 2, 19
Esercizi 2, 20
2. Mettere in equazioni di stato il seguente sistema, in cui
e’ presente un elemento non lineare:
Da cui si ricava, sostituendo, il seguente sistema matriciale:
Che vale per piccole perturbazioni intorno al punto di equilibrio
trovato.
Secondo principio di Kirchhoff:
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Esercizi 2, 21
Come al solito, prendiamo come variabili di stato le correnti nelle
induttanze e le tensioni sui condensatori:
Esercizi 2, 22
Percio’ le equazioni di stato del sistema sono:
E sono non lineari in
Ricaviamo dunque
stato:
e
. Ponendo per semplicita’ :
in funzione delle sole variabili di
Dunque linearizziamo il sistema intorno ad un punto di equilibrio,
scegliendo come ingresso un valore costante di tensione.
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Esercizi 2, 23
Prendiamo ad esempio
e calcoliamo i valori di
quando le derivate si annullano.
e
Dunque calcoliamo le matrici del sistema linearizzato intorno a questo
punto:
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Esercizi 2, 24
Da cui si ricava, sempre sostituendo, il seguente sistema
matriciale:
Che, ancora una volta, vale per piccole perturbazioni intorno al
punto di equilibrio trovato.
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•4
Esercizi 2, 25
Esercizio per casa...
Esercizi 2, 26
Linearizzare il sistema a partire dalle equazioni di stato che
verranno di seguito ricavate. NB: stavolta non serve
scrivere le equazioni ai nodi o alle maglie...
Possiamo ricavare immediatamente delle equazioni di stato in
funzione delle sole
e
. Infatti:
Elemento passivo
non lineare
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Esercizi 2, 27
Dunque sostituendo si ha:
Non lineare! Cosa resta da fare?
Cerchiamo una soluzione particolare, ad esempio
cortocircuitiamo l’ingresso:
In corrispondenza a questo ingresso azzeriamo le derivate
ed
e troviamo
ed
.
Si deve trovare
ed
... poi si calcolano le
matrici del sistema linearizzato come gia’ fatto!
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•5
