MATEMATICA DEL CONTINUO Corso di Laurea in Informatica Musicale, a.a. 2016/17 Crediti: 12 Docente: Stefania De Stefano Il corso si propone di fornire allo studente i concetti matematici e le tecniche di calcolo di più frequente utilizzo nelle applicazioni. Programma Linguaggio degli insiemi: appartenenza, inclusione, sottoinsieme, insieme delle parti di un insieme dato; operazioni sull’insieme delle parti e loro proprietà. Numeri: interi, razionali, reali; loro struttura algebrica e ordinamento; completezza dell’insieme ordinato dei numeri reali e teorema di esistenza dell’estremo superiore; radici n‐esime aritmetiche e potenze con esponente reale, logaritmi. Numeri complessi, loro rappresentazioni e calcolo delle n radici n‐esime di un numero complesso; teorema fondamentale dell’algebra. Funzioni: nozione generale di funzione, sottoinsiemi ad essa correlati; funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche), loro grafici e proprietà (in termini di limitatezza, segno, monotonia, periodicità, parità); composizione e inversione di funzioni (ove possibile). Risoluzione di equazioni e disequazioni relative a funzioni elementari. Successioni: successioni reali e loro limiti, teoremi del confronto e dell’esistenza del limite di successioni monotone; limiti elementari, regole di calcolo; limiti notevoli, nozione di o‐piccolo. Funzioni reali di una variabile reale: limiti, asintoti; continuità e teoremi degli zeri e di Weierstrass. Calcolo differenziale in una variabile: concetto di derivata, derivate elementari e regole di calcolo, derivate successive; loro applicazione in problemi di ottimizzazione (determinazione degli intervalli di monotonia, di massimi e minimi relativi) e di approssimazione (formula e polinomi di Taylor); studio di funzione. Primitive di funzioni continue (immediate, per scomposizione, sostituzione e per parti). Calcolo integrale in una variabile: integrale di Riemann e area di regioni piane limitate; funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo; applicazioni fisiche e geometriche; integrali generalizzati. Vettori e matrici, sistemi lineari: vettori, operazioni fra vettori, vettori linearmente indipendenti; spazi vettoriali; rette e piani nello spazio. Matrici e loro algebra, loro legame con i sistemi lineari e le applicazioni lineari; determinanti; risolubilità e risoluzione di sistemi lineari. Testo consigliato M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, (ISBN 978‐88‐08‐06485‐1), ed. Zanichelli. Per la parte di Algebra lineare E. Schlesinger: Algebra Lineare e Geometria (ISBN 978‐88‐08‐06401‐1), ed. Zanichelli. Eserciziario Esercizi di Matematica assistita: http://matematicaassistita.ariel.ctu.unimi.it Materiale di supporto Tutte le parti di teoria di Matematica assistita (materiale semplificato). Slides delle lezioni, materiali aggiuntivi e temi d’esame risolti nei Materiali del Corso in http://www.mat.unimi.it/users/destefan Prerequisiti Materiali e test online di Minimat: http://minimat.ariel.ctu.unimi.it ENGL Index of the topics of the course Set‐theoretic notations and terminology: members and subsets of a given set, operations on subsets and their properties. Numbers: integer, rational and real numbers; their algebraic structure and order relation; completeness of the real number system and greatest lower bound theorem; real n‐th roots and powers with real exponent; logarithms. Complex numbers, their representations; existence for each complex number of n complex n‐th roots; fundamental theorem of algebra. Functions: general definition of function and subsets to be related to; elementary functions (powers, exponential, logarithm, trigonometric functions) and their graphs and properties (are they bounded, positive, monotonic, periodical? have their graphs symmetries?); composed and inverse functions. Solving equations and inequalities involving elementary functions. Sequences: real sequences and their limits, comparison theorem, existence of the limit for monotonic sequences; basic limits, computing rules; key limits; meaning of the sentence: “a sequence is negligible with respect to another”. Real functions with real domain: limits, asymptotic lines; continuity; zeros theorem and Weierstrass theorem. Differentiation in one variable: derivatives, definition and geometrical meaning; derivatives of elementary functions and computing rules; higher order derivatives; their use in optimum problems (e.g. finding intervals where the function is monotonic, or local maximum and minimum) and in approximation problems (Taylor formula and polynomials); study of functions. Primitives of continuous functions (immediate or obtained by means of basic rules). Integration in one variable: Riemann integral and area of bounded plane regions; integral function and fundamental theorem of calculus; use in physics an geometry; generalized integrals. Vectors and matrices, linear systems: vectors, operations on vectors, set of linearly independent vectors; vector spaces; lines and planes in the ordinary 3D‐space. Matrices and their algebra, their links with linear systems and linear maps; determinants; solvability and solutions of linear systems.
