Consigli e formule utili per risolvere un problema.
SUL DISEGNO, TI CONVERRA’
SEGNARE IMMEDIATAMENTE
CIO’ CHE E’ NOTO PER IPOTESI
Lunghezza di un segmento:
AB = nu; (AB/u) = n con n>0; n= numero
(marcherai con simboli uguali i segmenti
e gli angoli che sai per ipotesi essere uguali,
indicherai con quadratini gli angoli che
sai per ipotesi essere retti, ecc. ecc.)
La tesi, invece, è meglio non segnarla:
essa è il tuo obiettivo ultimo,
esprime qualcosa che non “possiedi” ancora,
qualcosa che ti è richiesto di “conquistare”
con ragionamenti vari.
Soltanto al termine potrai finalmente dire:
La tesi è dimostrata!
E a questo punto, se lo desidero,
la rimarco vittoriosamente in figura.
2 poligoni sono isoperimetrici se hanno lo
stesso perimetro
2 poligoni sono equivalenti se hanno la stessa
area
Un’ultima raccomandazione:
evita accuratamente di tracciare una figura
che esprima un caso particolare.
Nel nostro esempio, sarebbe un caso particolare se il
triangolo ABC venisse disegnato equilatero, oppure se i
due
prolungamenti della base fossero presi uguali ai lati
obliqui, ecc.)
Beninteso: il teorema, essendo valido sempre,
mantiene la sua validità anche nei vari casi particolari,
ma utilizzando una figura che esprima un caso
particolare
c’è il pericolo di essere indotti a fare dei ragionamenti
che “funzionano”, appunto, solo in quel caso specifico,
ma non in generale.
SE VUOI LAVORARE BENE … RICAPITOLIAMO:
♪
Segna sempre sulla figura ciò che dice l’ipotesi
(marcando con simboli uguali i segmenti o gli angoli che si sa essere uguali,
indicando con un quadratino gli angoli che si sa essere retti, ecc. ecc.)
♫
… E quando riesci a dedurre qualche affermazione intermedia interessante,
ti conviene sempre segnare anche quella sul disegno prima di proseguire!
☼
Evita accuratamente di tracciare una figura che esprima un caso particolare
(ad es., se l’ipotesi parla di un triangolo isoscele, meglio non disegnarlo equilatero;
se parla di un angolo generico, meglio non farlo retto, ecc.)
Il simbolo più usato per indicare il perimetro è 2p;
p si riserva invece di norma al SEMIperimetro
( = metà del perimetro).
1
Applicazioni dell’algebra alla geometria
Un triangolo si chiama ERONIANO o PITAGORICO se i suoi lati e l’area sono numeri INTERI.
Un triangolo si chiama RAZIONALE se i suoi lati e l’area sono numeri RAZIONALI.
Il lato opposto al vertice A si indica con la lettera a; il lato opposto al vertice B si indica con la lettera b;
il lato opposto al vertice C si indica con la lettera c
hA è l’altezza che parte dal vertice A; mA è la mediana che parte dal vertice A; bA è la bisettrice che parte dal
vertice A;
hB è l’altezza che parte dal vertice B; mB è la mediana che parte dal vertice B; bB è la bisettrice che parte dal
vertice B;
hC è l’altezza che parte dal vertice C; mC è la mediana che parte dal vertice C; bC è la bisettrice che parte dal
vertice C;
Perimetro = 2p; semiperimetro = p
Quantificatori universali:
esiste; per ogni
Esistenza di un triangolo
Considerata la terna: a, b, c R0 per determinare se un triangolo esiste occorre verificare che: ogni lato del triangolo
sia minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza, cioè :
b c a b c vera
a c b a c vera
a b c a b vera
Natura di un triangolo
Per determinare la natura di un triangolo, dopo aver verificato la sua esistenza, occorre elevare il lato maggiore al
quadrato e confrontare il risultato ottenuto con il risultato che si ottiene sommando i quadrati degli altri due lati.
Il triangolo è:
Ottusangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è maggiore della somma dei quadrati
degli altri due lati
Acutangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è minore della somma dei quadrati
degli altri due lati
Rettangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati
degli altri due lati
esempio se il lato a è maggiore dei lati b e c si ha:
se a b c il triangolo è ottusangolo nell’angolo A
2
2
2
se a b c il triangolo è acutangolo nell’angolo A
2
2
2
se a b c il triangolo è rettangolo nell’angolo A (verifica il teorema di Pitagora)
2
2
2
in base alla natura si disegna il triangolo.
C
b
A
a
c
B
2
base h
; se non si conosce l’altezza, ma solo le misure dei tre lati si applica la formula di
2
ERONE A = p ( p a) ( p b) ( p c)
base h
Triangolo isoscele (base AB = c): 2p = 2 b + c ; A =
oppure A = 2 AAHC ;
2
base h
Triangolo equilatero: 2p =3a ; A =
oppure A = 2 AACH ;
2
2p = a + b + c; A =
Misura delle tre ALTEZZE di un triangolo
hA
2A
a
hB
nel triangolo scaleno:
2A
b
hC
2A
c
hA hB hC
hA hB hC
nel riangolo equilatero: hA hB hC
nel triangolo isoscele (base AB = c):
hA hB hC = ORTOCENTRO, l’ortocentro è interno nel triangolo acutangolo, coincide con il vertice dell’angolo
di 90° nel triangolo rettangolo ed è esterno (appartiene al semipiano che contiene il vertice dell’angolo ottuso) nel
triangolo ottusangolo.
misura delle MEDIANE di un triangolo
1
1
2b 2 2c 2 a 2 ;
2a 2 2c 2 b 2 ;
mB =
2
2
nel triangolo scaleno: mA mB mC
mA =
nel triangolo isoscele con base AB : mA
nel triangolo equilatero: mA
mA mB mC =
mC =
1
2a 2 2b 2 c 2 ;
2
mB mC
mB mC
BARICENTRO, il baricentro è sempre interno al triangolo acutangolo. Il baricentro ha la
caratteristica di dividere ogni mediana in due parti, il segmento che ha come estremi il vertice ed il baricentro è sempre
doppio del segmento che ha per estremi il baricentro e punto medio del lato es. la mediana AM con K baricentro è data
da: AM=AK+KM, poiché AK=2KM, si ha AM=3KM, quindi per calcolare la misura della mediana AM, basta
conoscere o AK oppure KM.
misura delle BISETTRICI degli angoli INTERNI di un triangolo
bA
2
b c p p a ;
bc
bB
2
a c p p b ;
ac
bC
2
a b p p c ;
ab
bA bB bC
nel triangolo isoscele con base AB: bA bB bC
nel triangolo equilatero: bA bB bC
nel triangolo scaleno:
bA bB bC = INCENTRO, sempre interno al triangolo.
3
C
M
N
A
Se AM = MC e CN = NB allora la corda MN =
c
B
AB
e la corda MN è parallela ad AB.
2
triangolo rettangolo
C
angolo A=90° ;
angolo B+C=90°(complementari)
2p = c1+c2+i ; A =
cc
A=
1
2
2
i
se si conoscono i 2 cateti oppure
hC= c1
M
mA
base h
se si conosce l’ipotenusa e l’altezza relativa ad essa.
2
La mediana relativa all’ipot. è uguale alla metà dell’ipot.. AM
Le altezze di un triangolo rettangolo : hC= c1 = AC;
BC
2
hB = c2 = AB;
A
hA =
cc
1
hB=c2
B
2
i
teorema di PITAGORA
BC AB AC
2
2
2
A
CH = proiezione ortogonale di AC su BC; BH = proiezione ortogonale di AB su BC
B
H
C
1° teorema di EUCLIDE
BC : AB AB : BH AB 2 BH BC
oppure
BC : AC AC : CH AC 2 HC BC
2° teorema di EUCLIDE
BH : AH AH : HC AH 2 BH HC
triangolo rettangolo con angoli di 60° e 30° ( metà di un triangolo equilatero)
BC = i
C
i
2
i 3
AC (lato opposto all’angolo di 60°) =
2
AB (lato opposto all’angolo di 30°) =
30°
h=
ABCD = 2AABC
ES. Se si pone: AC = 2x; AB = x e AC = x
D
i 3
2
i
60°
A
i
2
B
3
4
triangolo rettangolo isoscele con angolo di 45° (metà di un quadrato)
D
C
angolo A = 90°; angolo B=D=45°
AD=AB = c; BD = c
2 ; c
BD BD 2
2
2
c
misura delle tre altezze: hD= hB = c; AH = hA = mA = bA=
H
BD
2
A
c
B
triangoli con angoli di 120°, 150°oppure 135°
A
A
30°
A
60°
x 3
2x
45°
x
2x
60° 120°
H
x
x
x
30° 150°
B
C
H
x 3
B
2
45° 135°
C
H
x
B
C
Per verificare se un triangolo è rettangolo occorre che sia verificato o soddisfatto uno dei seguenti teoremi inversi dei
teoremi diretti seguenti:
1.
2.
3.
4.
teorema di Pitagora
1° teorema di Euclide
2° teorema di Euclide
un lato è doppio della mediana.
Naturalmente nel caso che il triangolo sia rettangolo il lato maggiore rappresenta l’ipotenusa e quindi l’angolo retto è
quello opposto all’ipotenusa.
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo occorre verificare
che i lati AB e AC,entrambi minori di BC, siano perpendicolari
e quindi che i lati verificano il teorema di Pitagora:
A
20
15
25 2 15 2 20 2 625 225 400 625 625
le misure dei lati verificano il teorema di Pitagora AB
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che l’altezza e le proiezioni ,
sul lato maggiore, di due lati verificano il 2°
teorema di Euclide: 12 16 9 144 144
2
AC .
B
25
A
20
12
B
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che 2 lati e la proiezione di
uno dei lati verificano il 1° teorema di Euclide:
15 2 9 25 225 225
C
16
15
H
9
25
C
A
20
B
16
15
H
25
9
C
5
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che la mediana mA relativa al
lato BC è la metà del lato 2AM=BC .
A
1
1
2
2
2
2b 2 2c 2 a 2 =
220 215 25 =
2
2
1
1
=
2 400 2 225 625 =
800 450 625 =
2
2
AM = mA =
m
A
20
B
15
M
C
25
=
1
1
25
25
verifico se è vera l’uguaglianza: 2AM=BC 2
625 =
25 2
25 ABC è un triangolo
2
2
2
2
rettangolo in A.
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo occorre verificare
che i lati AB e AC siano perpendicolari e quindi che i lati
verificano il teorema di Pitagora: 62 = 42 + 32 36=16+9 36=25
l’uguaglianza è falsa, quindi le misure dei lati non verificano il
teorema di Pitagora e quindi il triangolo ABC non è rettangolo.
A
4
3
B
6
C
teorema di PITAGORA generalizzato (o di Ippocrate)
In ogni triangolo il quadrato di un lato è equivalente alla somma dei quadrati degli altri due lati meno o più il doppio
rettangolo di uno di questi due lati e della proiezione su questo dell’altro lato, a seconda che l’angolo opposto al lato
considerato sia ACUTO oppure OTTUSO.
(quando il lato a è opposto all’angolo acuto)
B
angolo A minore di 90°
c
a
BC AC AB 2 AC AH a b c 2bc1
2
2
2
2
2
2
h
A
c1
b – c1
H
C
b
(quando il lato a è opposto all’angolo ottuso)
B
angolo A è maggiore di 90°
BC 2 AC 2 AB 2 2 AC AE a 2 b 2 c 2 2bc1
a
c
C
h
b
A
c1 E
QUADRILATERI
DELTOIDE
Perimetro ed area del deltoide:
2p = 2AB+2BC ;
A=
d1 d 2
oppure A = 2 AABC
2
Caratteristiche:
1) lati consecutivi uguali:
AB=AD e BC=DC
2) le diagonali sono
distinte e perpendicolari: AC>BD e
AC BD
6
Si può notare che il deltoide è equivalente alla metà del rettangolo tratteggiato, infatti è composto da quattro triangoli
uguali a due a due (1 = 2 e 3 = 4), mentre il rettangolo è formato da 8 triangoli uguali a quattro a quattro (1 = 2 = I = II
e 3 = 4 = III = IV). Gli angoli del deltoide sono: A-B-C-D. Possiamo notare che: B è opposto a D e sono angoli opposti;
A non è congruente a C ma sono angoli opposti.- Il segmento AO è diverso da OC e il segmento BO è uguale a OD.
TRAPEZIO
caratteristica: AB parallelo DC con AB>DC
angoli adiacenti base maggiore acuti
angoli adiacenti base minore ottusi
Perimetro ed area del trapezio:
2p = AD+AB+BC+DC ; A =
trapezio isoscele
( B b) h
2
b
D
C
AD =BC; angolo A = B e angolo D = C
AH
AB=2AH+HK;
BD = AC =
Bb
2
M
CK 2 AK 2
h
A
N
H
K
B
B
Bb
B b
2
l h2
; h l
2
2
2
2
Se AM = MD e BN = NC allora la corda MN =
AB DC
.
2
PARALLELOGRAMMO
caratteristica: AB parallelo DC con AB = DC
Area e perimetro del parallelogrammo: 2p = 2(AB+BC);
A bh
oppure A = 2 AADB ;
D
Se in un parallelogrammo non si conosce l’altezza,
ma si conosce la misura di una delle due diagonali per
calcolare l’area del parallelogrammo basta calcolare
l ‘area del triangolo ADB con la formula di Erone e
poi moltiplicare per due.
C
h
A
h
H
B
S
Poiché l’altezza del parallelogrammo è uguale all’altezza del triangolo ADB = DBC, per calcolare l’altezza del
parallelogrammo basta calcolare l’area del triangolo ADB con Erone e poi applicare la formula inversa:
DH h
2 AADB 2 AADB
b
AB
PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI
Rettangolo:
D
C
2p= 2 (a + b) ; p = a + b; a = p – b; b = p - a
A bh ;
oppure
d
A 2 AABC ;
misura delle diagonali BD = AC =
a
AB2 BC 2
A
b
B
7
rombo o losanga :
p
2p = 4 AB;
D
AB
d D
; A=
oppure A 4 ADOC
2
2
lato
A
0
C
1
l
d12 d 22
2
D
C
quadrato
45°
2
lato
2p =
4 lato ; p = 2 lato ; A lato2 ; l
AC = lato
d
2
45°
2 ; AABCD = 2 AABC
A
lato
90°
lato
B
Poligoni con numero di lati maggiori di 4
B
C
BC parallelo AD AD parallelo FE
2p= AB+BC+CD+DE+EF+FA
A esagono = AT1+AT2
T1
esagono:
A
D
T2
F
pentagono:
E
t = triangolo; T = trapezio
AC parallelo ED
2p=AB+BC+CD+DE+EA
B
t
A pentagono=At+AT
A
T
C
E
D
CIRCONFERENZA
C = 2 r;
A = r2 ;
=
C
2r
C
d
;
= 3,14... è un numero irrazionale; r
A
Settore circolare
= angolo al centro del settore; l = lunghezza dell’arco corrispondente
l
r
180
l r
A
;
2
r
;
A
r2
360
l 180
;
;
l 180
;
r
A 360
;
r2
r
A 360
;
Corona circolare
r = raggio del cerchio interno;
A R2 r 2
R = raggio del cerchio esterno; A = area
8
POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA (triangolo, rettangolo, quadrato, trapezio isoscele)
R = raggio della circonferenza circoscritta; 2R = diametro; centro della circonferenza = circocentro
triangolo
A
Se si conosce la misura di due lati es. b, c
e l’altezza ha relativa la terzo lato a, il raggio R è dato da:
R=
b
ha
bc
e quindi: 2R hA b c
2 ha
O
R
Se non si conosce l’altezza, ma solo la misura dei tre lati:
R=
a b c
;
4 A
c
H
a
B
C C
l’area del triangolo si calcola con la formula di Erone, oppure
con la formula:
A
a bc
4 R
quadrilatero
Angoli A+C=180° e angoli D+B=180° cioè: A+C=D+B
d
A
abcd
semiperimetro p =
2
a
Formula di BRAHMAGUPTA
O
c
C
A=
D
R
A
(serve a calcolare l’area di un quadrilatero inscritto in una
circonferenza se si conosce la misura dei quattro lati)
D
B
C
C
D
D
b
( p a)( p b)( p c)( p d )
Per calcolare il raggio della circonferenza si applica la formula: R =
(ab cd )ad bc (ac bd )
;
4A
(il prodotto delle misure dei lati si prendono in senso antiorario, poi orario e poi opposto).
rettangolo
D
R
AC
2
2
; AC a b
2
C
c
d
O
b
R
1 2
a b2 ;
R=
2
a
A
B
teorema di TOLOMEO (Prodotto delle misure delle diagonali)
A
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora
il prodotto delle misure delle diagonali è uguale
alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.
B
a
b
f
BD AC AB DC BC AD e f a c b d
B
e
d
c
9
teorema inverso di Tolomeo:
Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati
opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza.
Teorema: Un trapezio inscritto in una circonferenza o in una semicirconferenza è sempre isoscele.
POLIGONI IRREGOLARI CIRCOSCRITTI ALLA CIRCONFERENZA
triangolo, quadrato, rombo, trapezio isoscele con lato obliquo uguale alla semisomma delle basi
r = raggio circonferenza inscritta nel poligono; 2r = diametro; centro della circonferenza = incentro.
L’area di qualsiasi poligono irregolare circoscritto a una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro per il
raggio della circonferenza cui il poligono è circoscritto ( tanti triangoli di pari altezza che è uguale al raggio della
circonferenza, e la cui somma delle basi è il perimetro del poligono).
A A1 A2 A3 ...
b1 b2 b3 ... r p r
2
D
C
t4
E
t5
t3
0 t2
t1
O
O
t1
A
B
A
t2
B
O
O
t3
h=r
O
t4
C
D
t5
E
A
Tale formula vale Solo per i poligoni circoscritti ad una circonferenza, non vale per i poligoni circoscritti ad una
semicirconferenza. A p r questa formula vale per qualsiasi poligono.
triangolo rettangolo
A CT TB ; oppure A p r ; r =
C
A
p
o
c1+c2=i+2r per calcolare il raggio r si può anche utilizzare anche la formula:
r=
c1 c 2 i
;
2
2r c1 c2 i
r
A
B
Teorema: un triangolo circoscritto ad una circonferenza la somma dei cateti supera l’ipotenusa di un segmento
congruente al diametro. c1 c2 i d
D
b
H
C
trapezio rettangolo
A AB DC B b (per l’equivalenza delle figure piane)
oppure A p r
AD
2r = AD = h; r =
2
AD+BC=AB+DC
b
A
K
B
B
Teorema: Se un trapezio è circoscritto ad una semicirconferenza si ha: la base maggiore è uguale alla somma dei
due lati obliqui. AB=AD+BC
10
Corollario: se un trapezio isoscele è circoscritto ad una semicirconferenza allora la base maggiore è il doppio del
lato obliquo. AB= 2 AD
POLIGONI REGOLARI
(triangolo equilatero, quadrato, esagono)
I poligoni regolari sono inscrittibili e circoscrittibili alla circonferenza.
Il centro O della circonferenza inscritta e di quella circoscritta si chiama centro del poligono regolare.
l = lato del poligono, n = numero dei lati, R = raggio del poligono regolare = raggio del cerchio circoscritto, a =
apotema = raggio del cerchio inscritto, 2p = perimetro, p = semiperimetro,
A = area del poligono.
Le formule scritte relative al lato del poligono, al raggio della circonferenza inscritte e circoscritta e all’area del
poligono regolare si ottengono nel modo seguente:
triangolo equilatero
L R 3;
ra
L
3;
6
R
L
3;
3
A
L2
3
4
A
R
30°
L
3
2
L
baricentro=O
r
60°
B
H
L
2
C
AH è l’altezza relativa al lato BS, considero il triangolo rettangolo AHC con angolo HAC = 30° e HCA =60°, poiché il
triangolo è equilatero il centro coincide con il baricentro, quindi OH = r e AO = R = 2r, ciò implica che AH = 3r.
60°
L
L
3 e quindi r a
3 .
2
6
L
L
3 , quindi R
3.
Per ottenere R basta moltiplicare per due il primo e secondo membro: R 2 r 2
6
3
Per ottenere il lato L occorre ricavarlo mediante le formule inverse da R o da r e si ottiene: L R 3;
Per ottenere r si considera il lato adiacente all’angolo di 30° : AH = 3r =
Per calcolare l’area del triangolo basta applicare la formula e sostituire: A
b h L L 3 L2
3
2
22
4
11
quadrato
L R 2;
ra
L
;
2
R
L
2;
2
A
A L2
B
45°
R
r
L
O
2L
L
45°
D
C
Nel triangolo rettangolo isoscele ADB si ha: BD = 2R ;
Per ottenere r si dimezza il lato: r =
R
BD
;
2
L
2
Per ottenere R si dimezza la diagonale: R
L
2
2
Per ottenere il lato L occorre ricavarlo mediante le formule inverse da R o da r e si ottiene:
Per calcolare l’area del triangolo basta applicare la formula e sostituire:
L R 2
A L
2
pentagono
Lato del pentagono regolare l5 R
10 2 5
;
2
12
esagono
L R;
ra
L
3;
2
R L;
A
F
3
3 L2
2
E
A
D
O
A
D
B
30°
R
r
l
C
2
R=L
B
C
Per ottenere R si procede nel modo seguente: l’angolo BOC =
1
360 60 , poichè il triangolo BOC è un triangolo
6
isoscele su base BC gli angoli OBC = OCB = 60° ciò implica che il triangolo BOC avente i tre angoli uguali è un
triangolo equilatero e quindi L = R
Per ottenere r si considera l’altezza OH relativa al lato BC del triangolo equilatero BOC si viene a formare un triangolo
rettangolo OHC con gli angoli di 60° e 30° si ha r =
R 3 L
3
2
2
.
Per ottenere il lato L occorre ricavarlo mediante le formule inverse da R o da r e si ottiene: L R
Per calcolare l’area dell’esagono, basta calcolare l’area di un trapezio isoscele con il lato obliquo uguale alla base
minore e moltiplicare per due, visto che il diametro divide l’esagono regolare in due trapezi isosceli uguali:
A 2
B b h B b h 2L L L
2
2
3 3L
L
3
3
3 L2
2
2
decagono
Lato del decagono regolare l10 R
5 1
;
2
13
Numero fisso dei poligoni regolari
In un poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato è un valore costante detto numero fisso (f)
a f L;
f
a
;
L
Il numero fisso è caratteristico di ogni tipo di poligono regolare.
numero lati
nome poligono regolare
numero fisso = f
n f
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
triangolo equilatero
quadrato
pentagono
esagono
ettagono
ottagono
ennagono
decagono
endecagono
dodecagono
pentadecagono
0,289
0,5
0,6881
0,866
1,038
1,207
1,374
1,539
1,703
1,866
2,352
0,4330
1
1,72
2,598
3,634
4,828
6,182
7,694
9,366
11,962
17,642
Area dei poligoni regolari
L’area di un poligono regolare è data dalla formula A p a che è equivalente alla formula
infatti
A
nL
L f
2
p
a
A L2
n f
2
14
