CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prima prova in itinere di FISICA 28 Aprile 2009 1) Un calciatore lancia una palla dal suolo, con una angolo = 45° e velocità in modulo pari a v0= 15 m/s. Determinare: a) le componenti x e y della velocità all’istante iniziale del lancio ed in corrispondenza al punto di massima quota y raggiunto dalla palla; la massima quota y raggiunta dalla palla; b) il tempo impiegato dalla palla ad arrivare a terra e la massima distanza orizzontale x percorsa; c) Facoltativo: le componenti x e y della velocità della palla nell’istante in cui tocca il suolo. 2) Una particella di massa m = 100 g è trattenuta mediante una fune sulla sommità di un piano inclinato di 30° rispetto al piano orizzontale, in equilibrio. a) Si calcoli la tensione T della fune e la reazione normale al piano di appoggio, R, assumendo che il piano sia perfettamente liscio; b) Supponendo che la fune venga tagliata e che il piano inclinato sia scabro, si determini il valore del coefficiente di attrito in modo tale che la particella scenda con accelerazione a di modulo 2 m/s2 . c) Facoltativo: Calcolare, nelle ipotesi del punto b) il tempo che la particella impiega per raggiungere la base del piano inclinato, (punto A in figura), sapendo che si trova inizialmente ad un’altezza h di 1 m, rispetto alla base del piano inclinato. 1m A 3) Uno sciatore di massa m = 70 kg scende lungo una pista perfettamente priva di attrito, partendo da fermo a quota h = 30 m. Al termine della pista prosegue lungo un tratto rettilineo, orizzontale e scabro con coefficiente di attrito dinamico d = 0.5. Determinare: a) la velocità con cui giunge al termine del tratto privo di attrito; b) la distanza orizzontale d che deve percorrere prima di fermarsi completamente e l’energia dissipata. SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega ( AD); fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ) SOLUZIONE ESERCIZIO 1 Le equazioni generali del moto del proiettile sono: 1 2 x x0 vox t y y0 voyt gt 2 v x v0 x v y v0 y gt con v0 x v0 cos v0 y v0 sin a) Le componenti iniziali del vettore velocità sono: v0 x v0 cos 15m / s cos 45 10.6m / s v0 y v0 sin 15m / s sin 45 10.6m / s Alla quota massima raggiunta dal proiettile la componente y della velocità è nulla : vx = vx0 = 10.6 m/s vy = 0 La quota massima viene quindi raggiunta dopo un tempo t dato da: v0 y gt t v0 sin / g (10.6m / s) /(9.8m / s 2 ) 1.08 s ed è data da: y y 0 voy t 1 2 1 1 gt ( gt )t gt 2 gt 2 2 2 2 1 (9.8m / s 2 ) (1.08) 2 5.7 m 2 b) Il moto della palla è parabolico e quindi simmetrico. Il tempo tfinale impiegato per giungere a terra è quindi il doppio del tempo impiegato per raggiungere il punto di quota massima: tfinale = 2xt = 2.16 s a cui corrisponde una distanza orizzontale xfinale = vox tfinale = 10.6m/s x 2.16 s = 22.9 m c) Facoltativo: Essendo la traiettoria parabolica simmetrica, il vettore velocità in corrispondenza al punto di atterraggio ha la stessa intensità del vettore velocità all’istante del lancio ed inclinazione pari a -45° rispetto all’asse x orizzontale. Le sue componenti valgono quindi: (vx)finale = v0x = 10.6 m/s (vy)finale = -v0y = -10.6 m/s SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a) Scelto il semiasse positivo x parallelo al piano inclinato e diretto verso il basso, ed il semiasse positivo y perpendicolare al piano inclinato e diretto verso l’alto, le componenti della forza risultante F agente sulla particella sono: Fx = mg sen 30° - T ed Fy = N - mg cos 30° . Poichè la particella è in equilibrio, entrambe le componenti della forza sono nulle. Si ha quindi: mg sen 30° - T = 0 R - mg cos 30° = 0 Sostituendo i valori numerici si ricava T= 0.49 N (-i ) ed R= 0.85 N (j) b) La particella è soggetta all’azione della forza peso e della forza di attrito. Inoltre in questo caso Fx = ma dove Fx = mg sen 30° - mg cos 30° . Si ricava quindi : = ( mg sen 30° - ma ) / mg cos 30° Sostituendo i valori numerici si ha = 0.34 Facoltativo: c) La lunghezza del tratto che la particella percorre lungo il piano inclinato per raggiungere la base è x = h / sen 30° = 2 m. Il moto della particella lungo il piano inclinato è rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione a di modulo 2 m/s 2. Si ha quindi x = ½ at2 + vo t dove la velocità iniziale vo è nulla. Il tempo che il corpo impiega a raggiungere la base del piano inclinato è pertanto t = (2 x / a) ½. Sostituendo i valori numerici si ha quindi t = 1.4 s. SOLUZIONE ESERCIZIO 3 a) Durante la discesa lungo la pista priva di attrito vale il principio di conservazione dell’energia meccanica: Emecc,i = Emecc,f Ki +Ui = Kf + Uf mgh = ½ mv2 da cui si deduce che la velocità finale, alla base della pista, è pari a v 2 gh 2 x(9.8m / s 2 ) x30m 24.2 m / s b) Lungo il tratto orizzontale scabro, la forza di attrito dinamico compie lavoro dissipando energia fino ad arrestare completamente lo sciatore. L’energia dissipata finale è pari alla energia cinetica iniziale dello sciatore, ossia: Edissipata = ½ mv2 = mgh = 70 kg x 9.8 m/s2 x 30 m = 20580 J Dal il teorema lavoro-energia cinetica di ricava poi la distanza massima orizzontale d percorsa: Latt = -fdK = 0 – 1/2 m v2 d mg d = 1/2 mv2 d = (½ v2) /(d g) = 59.8 m