Grandezze Fisiche dirette
Una grandezza fisica ha significato se e solo se è
possibile misurarla.
Pertanto occorre definire:
un campione
un metodo di misura per confrontare la grandezza con
il campione.
Inoltre il campione deve essere:
Riproducibile ed invariabile
Nel 1960 fu istituito il Sistema Internazionale SI
1
Sistema Internazionale SI
7 grandezze fondamentali
Lunghezza [L]
Massa
[M]
Tempo [T],
Corrente elettrica
Temperatura
Intensità luminosa
Quantità di materia
Più due supplementari
Angolo
Angolo solido
metri (m)
kilogrammi (kg)
secondi (s)
ampere (A)
kelvin (K)
candele (cd)
moli (mol)
radianti (rad)
steradianti (sr)
2
SI multipli e sottomultipli
deca
hetto
kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Esa
10
100
103
106
109
1012
1015
1018
da
h
k
M
G
T
P
E
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
d
c
m
μ
n
p
f
a
3
Unità di misura della lunghezza
Il metro ha cambiato diverse volta definizione nel corso
della sua esistenza
Rivoluzione francese (nascita)
1889
1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio
1960
1 m = 1/40’000’000 parte del meridiano terrestre passante per Parigi
1 m =1’650’763.73 lunghezze d’onda della luce rossa arancione
emessa da una lampada di 86Kr
1983
1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di
tempo pari a 1/(299’792’458) secondi
4
Unità di misura della masse e del tempo
Tempo: il secondo Æ 1 s = 1/86400 del giorno solare medio
Prima del 1960 il campione tempo era definito in termini del giorno
solare medio in riferimento all’anno 1900.
1967 utilizzando un orologio atomico il secondo è ridefinito come il
tempo richiesto ad un atomo di cesio-133 per compiere:
9’192’631’770 oscillazioni
Massa: il chilogrammo
Il campione del kg è conservato all’International Bureau di Pesi e
Misure di Servres: costituito da un cilindro di platino iridio e
mantenuto ad una temperatura di 0 °C.
5
Grandezze Fisiche indirette
Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate
da quelle fondamentali attraverso “relazioni” che legano ciascuna
grandezza a quelle fondamentali.
Per esempio la relazione che lega la velocità allo spazio percorso
ed al tempo impiegato è data da
d
v=
Δt
¾
L’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s
La scelta tra grandezza fondamentale o derivata è ARBITRARIA
equazione dimensionale [v]=[d][Δt]-1 =[L][T]-1
È sempre utile effettuare l’analisi dimensionale dell’espressione
ottenuta!!!
6
Altre grandezze derivate
aree
Triangolo: 1/2 base x altezza
Parallelogramma: base x altezza
Cerchio: p x raggio al quadrato
Le dimensioni
[S] = [L2]
L’unità di misura il m2.
Il campione: un quadrato di lato 1 m.
Volumi
Parallelepipedo:Area di base x altezza
Sfera: 4/3 p x raggio al cubo
Le dimensioni
[V] = [L3]
L’unità di misura il m3.
Il campione: un cubo di spigolo 1 m.
7
Richiami di trigonometria
l
θ=
r
y
senθ =
r
x
cosθ =
r
y senθ
tan θ = =
x cosθ
y
r
θ
x
l
8
Relazioni trigonometriche
sen 2 θ + cos2 θ = 1
sen(α ± β ) = senα cosβ ± cosα senβ
cos(α ± β ) = cosα cosβ m senα senβ
Meno utilizzate:
α
2 α
−
sen
cos(2α ) = cos2 α − sen 2 α
2
2
⇒
α
α
sen(2α ) = 2senα cosα
senα = 2sen cos
2
2
α +β
α−β
senα + sen β = 2sen
cos
2
2
α−β
α+β
senα − sen β = 2sen
cos
2
2
cosα = cos
2
Formule di
bisezione
Formule di
prostaferesi
9
Sistema di Riferimento
Def. di Punto Materiale: punto geometrico dotato di massa
Per lo studio del moto di un punto materiale è necessario
poter localizzare il punto nello spazio e nel tempo, ossia misurare le
posizioni assunte in istanti successivi di tempo.
Occorre definire: una unità di misura per le lunghezze o distanze, un
istante, anch’esso convenzionale, rispetto al quale misurare i tempi e
l’unità di misura.
10
Sistema di Riferimento su una retta
Per individuare la posizione di un punto P su una retta occorre fissare:
Un punto di riferimento: l’origine O
Un verso di percorrenza: retta orientata
Unità di misura delle lunghezze
¾ La posizione x di P sarà data dalla distanza P dall’origine O con il
segno + se il verso di percorrenza del segmento OP è concorde al verso
fissato; con il segno – se il verso è opposto.
¾ Corrispondenza biunivoca e continua fra i punti della retta e l’insieme
dei numeri reali relativi
x= PO
x= - P’O
P’
O
P
11
Moto rettilineo del punto materiale
Descriviamo il moto di corpo lanciato verso l’alto con velocità iniziale v0 = 2 m/s da una
altezza di 1 m. :
fissiamo il sistema l’asse y) di riferimento: ossia l’origine, il verso e l’unità di
misura.
Utilizziamo un orologio ed una scala graduata per misurare la posizione occupata dal
corpo ad intervalli di tempo successivi
Y
1m
O
Ts
Posizione
m
21
21,39
1
2,95
23
21,08
3
6,56
25
20,38
5
9,78
27
19,28
7
12,60
29
17,79
9
15,03
31
15,91
11
17,07
33
13,64
13
18,72
35
10,98
15
19,98
37
7,92
17
20,84
39
4,47
19
21,31
41
0,63
12
Diagramma e legge orario
Diagramma orario:
Riportiamo i tempi sull’asse delle ascisse ed
i valori di y sull’asse delle ordinate
I punti rappresentano le misure
2000
y cm
Il grafico orario può essere rappresentato
mediante una espressione matematica
2500
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
y = a + bt + ct 2 = 1 + 2t −
1
9,8t 2
2
y in cm
t in s
La curva è solo un’interpolazione!!
13
Spostamento e percorso effettuato
Consideriamo l’istante t iniziale e t finale
Δy = y finale – y iniziale
¾ spostamento totale
¾ percorso effettuato è invece la lunghezza del tratto effettivamente percorso.
2500
2000
y finale
Δy
y iniziale
Δy < 0 Æ il moto
avviene nella direzione
negativa dell’asse y
y cm
Δy > 0 Æ il moto
avviene nella direzione
positiva dell’asse y
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
t iniziale
t finale
14
Velocità media
Definiamo velocità media: nell’intervallo Δt
vm =
spostamentoΔy y2 − y1
=
Δt
t 2 − t1
m/s
¾ Non dipende dal particolare percorso
seguito
2500
¾ può essere sia negativa che positiva a
seconda del segno dello spostamento
y finale
¾ è la pendenza della retta che congiunge
P inziale a Pfinale
y iniziale
¾ la
descrizione
del
moto
è
insoddisfacente Æ vedi la posizione
occupata in t intermedio!!
y cm
2000
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
t iniziale t intermedio
t finale
15
Velocità istantanea
2500
Vorremmo definire la velocità di un punto
materiale ad un certo istante t1 in P:
y cm
2000
1500
1000
P
¾ Riduciamo gli intervalli di tempo Δt scelti
per calcolare la velocità media.
¾ Quanto più si riduce l’ampiezza degli
intervalli di tempo tanto migliore è la
descrizione del moto!
9 Al limite per Δt Æ 0 la pendenza della retta
congiungente Pfinale-Piniziale approssima la
tangente la curva in P
Æ Si def. Velocità istantanea in P
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
Δt
t1
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 )
Δt
16
Velocità istantanea
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 )
Δt
Rapporto incrementale
Corrisponde al valore della derivata rispetto a t della funzione y(t) all’istante t1
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 ) dy
=
Δt
dt
t1
Ripetendo l’operazione per tutti gli istanti di tempo nell’intervallo considerato
v y (t ) =
dy( t )
dt
derivata rispetto al tempo della funzione y(t)
17
Velocità istantanea
250
Nel moto che stiamo trattando
¾ costruiamo il grafico della velocità
¾ decresce linearmente con il tempo
150
100
v cm/s
¾ la pendenza del grafico orario, e quindi la
velocità, non è costante;
200
50
0
-50 0
10
20
30
40
50
-100
-150
-200
-250
TEMPO s
¾ t = 0 v = v0
¾ v > 0 il punto si muove nella direzione y
positiva;
¾ v = 0 Æ y massima
¾ v < 0 si muove nella direzione y negativa
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Accelerazione media ed istantanea
Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia:
¾ accelerazione media nell’intervallo di tempo t finale – t iniziale:
a ym =
Δv y
Δt
=
v yfinale − v yiniziale
t finale − tiniziale
¾ l’accelerazione istantanea:
a y (t1 ) = lim Δt →0
¾ ricordando la definizione di derivata
[L][T] -2 m/s2
v y (t1 + Δt ) − v y (t1 )
Δv
= lim Δt →0
Δt
Δt
a y (t1 ) =
dv y (t )
dt
t =t1
19
Accelerazione istantanea
Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo si determina la funzione
accelerazione.
dv y (t )
dt
¾ costante negativa
0
10
20
30
40
50
-2
-4
a cm/s2
a y (t ) =
0
-6
-8
-10
-12
TEMPO s
In generale
¾ a > 0 Æ la velocità cresce nella direzione positiva delle y positive
¾ a = 0 quando la velocità è massima
¾ a < 0 quando la velocità nella direzione delle y positive decresce
20
Riassumendo…
Conoscendo la legge oraria:
x(t)
Possiamo calcolarci la velocità:
vx(t)
la posizione in funzione del tempo
la velocità in funzione del tempo
dx(t)
v x (t) =
dt
E quindi l’accelerazione:
ax(t)
l’accelerazione in funzione del tempo
dv x (t)
a x (t) =
dt
Combinando le due espressioni:
dv x (t) d ⎛ dx(t) ⎞ d 2x(t)
=
a x (t) =
=
⎝
⎠
dt dt
dt
dt 2
L’accelerazione è la derivata seconda
della funzione x(t) rispetto al tempo
21
Moto unidimensionale con a costante
a ym = a y =
Δv y
Δt
=
v yfinale − v yiniziale
Prendiamo: ti = 0 e tf = t
t finale − tiniziale
vi = v0 e vf = v
ay =
v − v0
t
v = v0 + a yt
Se v funzione lineare di t
vm =
vm =
y finale − yiniziale
vm =
t finale − tiniziale
y − y0 =
v0 + v
2
y − y0
t
1
(v 0 + v ) = v 0t + 1 at 2
2
2
22
Grandezze scalari e vettoriali
Massa
Tempo
Temperatura
Pressione
Posizione lungo un asse
(linea)
Volume
Lavoro
Energia
Posizione nel piano
Posizione nello spazio
Velocità
Accelerazione
Forza
Quantità di moto
Impulso
Momento della quantità di
moto
23
