Problemi di aerodinamica
applicati alle equazioni del moto
Avaria dei motori durante il volo
Si supponga che durante il volo di un aereo, una avaria porti allo spegnimento dei motori. Il pilota
riesce a mantenere il controllo del velivolo, facendolo planare con un angolo di discesa pari a
=5° . Si calcoli:
(1) i valori di portanza (L) e resistenza (D) supponendo che il velivolo scenda a velocità
costante e che le forze siano disposte come in figura;
(2) la distanza percorsa prima del punto di impatto al suolo;
(3) lo spazio di frenata, supponendo che l'avaria non consenta l'apertura del carrello, che la
velocità orizzontale dopo l'impatto sia l'80% di quella iniziale, che la zona di atterraggio sia
composta da asfalto asciutto con coefficiente d'attrito μ
(4) lo spazio di frenata nel caso in cui la zona di atterraggio sia composta per 300 m da asfalto
asciutto con coefficiente d'attrito μ e per il restante da asfalto bagnato con coefficiente
d'attrito ν.
(5) Scrivendo il bilancio dell'energia tra il punto in cui si spengono i motori e il punto
dell'impatto al suolo cosa si può osservare?
Dati:
massa dell'aereo m=9000 Kg
quota di volo q=5000m
velocità iniziale v volo=100 m/ s
coefficienti di attrito =0.5 , =0,4
Soluzione
(1)
Se il velivolo scende a velocità costante il bilancio delle forze agenti sul corpo deve essere uguale a
zero:
M g L D=0
Scomponendo lungo i due assi:
x') L= M g cos =87900 N
y') D=M g sin =7690 N
(2)
Nel momento in cui si spengono i motori l'aereo inizia la discesa a velocità costante. Seguirà quindi
una retta inclinata di =5° rispetto all'asse x.
La distanza percorsa può essere calcolata geometricamente:
X=
q
=57000 m
tan
(3)
Il problema si può semplificare come quello di un corpo che si muove orizzontalmente con velocità
iniziale vA (velocità di atterraggio).
Calcoliamo la velocità orizzontale:
v A=
10
v =80 m/ s
100 volo
Le forze agenti sul corpo sono tre: la forza peso, la reazione vincolare e la forza di attrito.
m g
R Fatt =m
a
Scomponendo lungo gli assi:
g=0
{R−m
F =m a
att
x
Risulta:
a x =− g
L'equazione che determina la velocità dell'aereo in funzione di t è quella del moto uniformemente
accelerato:
v x t =v 0a t=v A− g t
L'aereo si fermerà quando la sua velocità vX(t) sarà uguale a zero. Detto quindi tF il tempo di frenata,
risulta:
tF=
vA
=16 s
g
L'equazione dello spazio è data da:
1
1
s t=s t=0v 0 t a t 2=v 0 t− g t 2
2
2
Lo spazio di frenata sarà quindi uguale a:
2
2
2
v
v
v
1
1
s F =v A t F − g t 2F = A − g A = A =650 m
2
g 2
g
2 g
(4)
In questo caso bisogna tenere conto che l'aereo percorre prima 1 Km su un suolo con con
coefficiente d'attrito μ, poi su un suolo con coefficiente d'attrito ν. Chiamati A e B rispettivamente il
punto di atterraggio e il punto in cui inizia il secondo materiale, ci proponiamo come primo passo di
calcolare vB, ovvero la velocità dell'aereo in B.
L'equazione del moto si scrive come nel punto (3)
1
1
s t=s t=0v 0 t a t 2=v 0 t− g t 2
2
2
Si calcola quindi il tempo necessario per percorrere 300 m:
1
300 m=v A t B− g t 2B t B=4,5 s
2
Infine la velocità vB è data da:
v t=v 0a t v B =vt=t B =v A − g t B v B =58 m/ s
A questo punto l'esercizio si risolve come al punto (3):
tF=
vB
t =20 s
g B
v 2B
1
2
s F =300v B t F − g t F =300
=715 m
2
2g
(5)
Scrivendo il bilancio dell'energia si osserva che, essendo la velocità costante, tutta l'energia
potenziale posseduta alla quota q viene dispersa sotto forma di lavoro delle forze di attrito.
1
1
mgq m v 20= m v 20 L forze attrito
2
2
L'attrito in aerodinamica ha un ruolo essenziale. Infatti se non ci fossero le forze di attrito un aereo
non potrebbe volare.
Analizziamo brevemente come si crea la forza di portanza che permette ad un aereo di volare.
Il flusso d'aria che investe un profilo alare si divide: una parte passa sopra l'ala, l'altra sotto. Il
profilo è fatto in maniera tale che l'aria che passa sopra l'ala abbia una velocità maggiore rispetto
all'aria che passa sotto l'ala. Questo consente che si sviluppi una differenza di pressione tra ventre e
dorso dell'ala, e quindi una forza che spinge verso l'alto.
Curiosità - La soluzione da un punto di vista ingegneristico
Un problema pratico molto interessante dal punto di vista ingegneristico è quello di determinare la
massima distanza che può percorrere un aereo dal momento in cui un avaria causi lo spegnimento
dei motori. A questo quesito si risponde analizzando l'efficienza aerodinamica, ovvero il rapporto
tra la portanza L e la resistenza D che agiscono sul velivolo:
E=
L
D
L e D possono essere espressi in funzione della densità dell'aria ρ, del quadrato della velocità v,
della superficie alare S e dei coefficienti CL e CD:
2
CL
L v CLS CL
E= = 2
=
=
D v C D S C D C D0 k C 2L
CL e CD sono rispettivamente il coefficiente di portanza e il coefficiente di resistenza; il primo
fornisce una misura della forza che si sviluppa su un profilo alare; il secondo rappresenta la
resistenza aerodinamica di un corpo in moto dentro un fluido. Questi valori vengono calcolati
sperimentalmente nella galleria del vento; ogni profilo alare ha la sua curva caratteristica,
solitamente parabolica.
Calcolando la derivata dell'espressione precedente, si può valutare il valore per cui si ha l'efficienza
massima:
C D0−k C 2L
dE
2
=
=0 C D0=k C L
2 2
dt C D0k C L
Ovvero:
C L=
C D0
k
Sostituendo questo valore nell'espressione dell'efficienza, si ottiene l'efficienza massima:
E max =
1
2 C D0 k
All'efficienza massima corrisponde il minor angolo di discesa ammissibile:
min=
1
E max
La massima distanza percorribile si calcola geometricamente, come nel caso dell'esercizio
precedente:
X max=
h
=h E max
min
Come è stato detto precedentemente i coefficienti CD e CL dipendono dal tipo di profilo alare.
In questa figura si può osservare come un profilo maggiormente aerodinamico avrà un coefficiente
di resistenza minore, quindi a parità di CL svilupperà una portanza maggiore.
I coefficienti CD e CL non dipendono soltanto dal tipo di profilo, ma anche dalla superficie alare S e
dall'angolo di attacco α dell'ala. In particolare CD e CL sono direttamente proporzionali a α e S.
E' interessante fare un'ultima osservazione sulla superficie dell'ala. A bordo di un aereo si può
facilmente osservare che durante le fasi decollo e atterraggio le ali vengono modificate nella
geometria attraverso l'estensione di flap e ipersostentatori. Questo perché in queste due fasi l'aereo
ha necessità di una maggiore portanza; i flap e ipersostentatori aumentano la superficie alare e
determinano quindi una maggiore portanza.
Il BASE Jumping
Il Base Jumping è uno sport estremo che consiste nel lanciarsi da rilievi naturali, edifici, ponti,
elicotteri o aerei, planare mediante una tuta alare e infine atterrare mediante un paracadute. Il nome
Base Jumping è stato coniato da Carl Boenish nel 1978; è una sigla che rimanda ai luoghi dai quali
solitamente si effettua un lancio:
Buildings (edifici);
Antennas (torri abbandonate);
Span (ponti);
Earth (scogliere o altri tipi di formazioni naturali).
Una tuta alare è generalmente costituita da un doppio strato tessuto di poliammidi posto tra ciascun
braccio e il tronco del pilota ed un altro doppio strato posto tra le gambe. Il flusso d'aria che investe
il corpo gonfia le bocche poste sotto le ascelle e sotto l'inguine, in modo da far assumere alla tuta
uno o più profili alari, e sviluppa la portanza necessaria a consentire l'avanzamento.
L'angolo ottimale delle ali tra il busto e le braccia è il risultato di un compromesso. Infatti, maggiore
è l'apertura delle braccia, tanto più aumenta la superficie alare e quindi la portanza. Allo stesso
tempo però, più grande è l'ala maggiore sarà la forza necessaria per controllarla.
Gli studi hanno portato ad affermare che l'angolo ottimale è di circa 80° per le braccia e 40° per le
gambe.
Se il lancio avviene da un aereo, e si possiede quindi una velocità iniziale sufficientemente elevata,
la tuta alare è capace di sviluppare immediatamente portanza. Nel caso in cui invece il lancio
avvenga da postazione fissa, è necessaria una caduta verticale di almeno 200 metri prima che si
generi una portanza che consenta l'avanzamento orizzontale.
Oggi le migliori tute alari hanno un'efficienza aerodinamica di 3:1, ovvero per ogni metro di caduta
ve ne sono tre di avanzamento orizzontale. Il pilota modifica la posizione del corpo - inarcandosi o
piegando spalle, fianchi e ginocchia - e cambiando così l'angolo di attacco tra profilo alare e flusso
d'aria; questo consente una variazione di pressione tra ventre e dorso dell'ala, e quindi una
variazione di portanza.
Il 23 maggio 2012 lo stuntman inglese Gary Connery è diventato il primo uomo ad atterrare in tuta
alare senza paracadute. Dopo un salto dall'elicottero a 730 metri di quota nei pressi di Henley on
Thames e dopo aver raggiunto la velocità di 130 km/h è atterrato incolume su di una striscia di
18600 scatole di cartone lunga 100 metri, larga 15 e alta 3,6 metri.
Wingpack – Come aumentare l'efficienza aereodinamica
Le wingpack sono delle ali rigide munite di motore. Attualmente ancora in fase di sperimentazione,
si indossano come uno zaino. Possono arrivare ad ottenere un efficienza aerodinamica pari a 6:1, in
quanto la portanza che si sviluppa sulle ali ali delle wingpack è maggiore rispetto a quella che si
sviluppa sulle ali delle tute alari.
La portanza è infatti direttamente proporzionale alla superficie dell'ala S e al quadrato della velocità
v:
1
L= C L v 2 S
2
Nelle wingpack l'aumento della superficie alare è consentito dalla rigidezza delle ali, l'aumento
della velocità è dato dal motore.
Problema di Gary Connery: calcolo del punto di atterraggio
Gary Connery, dovendo atterrare senza paracadute su una striscia di scatole di cartone, si è trovato
di fronte al problema di calcolare il punto di atterraggio.
I dati di cui dobbiamo tenere conto sono:
•
al momento del lancio, si possiede una velocità orizzontale iniziale uguale a v 0x ;
•
la tuta alare viene dispiegata solo dopo aver percorso 160 metri in verticale;
•
dal momento in cui si dispiega la tuta alare, si viaggia ad una velocità approssimativamente
costante percorrendo 3 metri in orizzontale per ogni metro percorso in verticale.
Conoscendo il punto esatto in si lancia dall'elicottero, dove devono essere disposte le scatole di
cartone? Dopo quanti secondi e a che velocità verticale viene dispiegata la tuta alare?
Dati:
massa m=80 Kg
quota di lancio y 0=800 m
velocità iniziale v 0x =7 m/s
Soluzione
Il volo deve essere diviso in due momenti: la fase che precede l'apertura della tuta alare, in cui
l'uomo si muove di moto uniformemente accelerato, e la fase successiva in cui si muove a velocità
costante. Durante la prima fase si avrà quindi un moto parabolico, durante la seconda un moto
rettilineo.
Nella prima fase abbiamo due equazioni per la velocità:
v y t=−g t=−9.8t
v x t =v 0x =7
e due equazioni per lo spazio:
1
y t= y 0− g t 2 =800−4,9 t 2
2
x t=v 0x t=7t
Si ricava il tempo dalla seconda equazione e si sostituisce nella prima, ottenendo l'equazione del
moto in termini di x e y:
y= y 0−
g x2
1
=800− x 2
2
10
2 v 0x
Sappiamo che la tuta alare viene dispiegata dopo aver percorso 160 m in verticale, ovvero ad un
altezza di 640 m dal suolo. Chiamando D questo punto, le sue coordinate saranno:
y D =640
640=800−
1 2
x
10 D
x D=40
Allora a partire D 40, 640 il moto sarà a velocità costante, e seguirà una linea retta.
L'equazione della retta è determinata dal coefficiente angolare m=−1/3 (infatti l'efficienza
aerodinamica consente di percorrere 3 metri in orizzontale per ogni metro percorso in verticale), e
dalle coordinate del punto D in cui deve passare la retta.
1
y D =− x Dq
3
1
1
q= y D x D =640 40=653
3
3
La retta cercata è quindi:
1
y=− x653
3
Il punto di incontro della retta con l'asse x determina il punto di atterraggio xA:
1
− x653=0
3
x A=1960 m
Calcoliamo infine il tempo trascorso dal lancio all'apertura della tuta alare e la velocità nel
momento dell'apertura della tuta alare.
Basterà prendere l'equazione del moto lungo x (analogamente si potrebbe fare con l'equazione lungo
y) e trovare il tempo impiegato per arrivare nel punto D:
x D = xt=t D =v 0x t D
7t=40
t=5,7 s
Nel momento in cui viene dispiegata la tuta alare, la velocità verticale v D sarà pari a:
v y t=t D =v D =−g t D v D =−55 m/ s
