Lezione 1
Operazioni tra ideali. Radicale di un ideale.
Ricordiamo la seguente definizione:
Definizione 1.1 Si dice anello un insieme non vuoto A dotato di due operazioni, una somma + ed un
prodotto ·, tali che:
-
(A, +) sia un gruppo abeliano (detto gruppo additivo di A)
il prodotto · goda della proprietà associativa;
valga la proprietà distributiva del prodotto · rispetto alla somma +, ossia:
∀a , b, c ∈ A, a ⋅ (b + c ) = ab + ac
e
(b + c ) ⋅ a = ba + ca.
L’anello si dice commutativo se il prodotto · gode della proprietà commutativa; si dice unitario se esiste
l’elemento neutro del prodotto ·, che, solitamente, viene denotato con 1, (o, per maggiore precisione,
1A ) e chiamato unità.
Si dice sottoanello dell’anello A ogni sottoinsieme B che è sottogruppo del gruppo additivo di A ed è
chiuso rispetto al prodotto di A: in tal caso B è un anello.
Esempi 1.2 Sono anelli:
- l’insieme dei numeri interi (anello commutativo unitario)
- l’insieme n dei multipli del numero naturale n>1 (anello commutativo, non unitario)
- l’insieme K [ x ] dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K (anello commutativo
unitario)
- l’insieme M n ( K ) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K (anello unitario,
non commutativo se n>1.)
Tutti gli anelli del corso saranno anelli commutativi unitari.
Diamo ora una nozione che, come vedremo, svolge, nella teoria degli anelli, un ruolo analogo a quello
del sottogruppo normale nella teoria dei gruppi.
Definizione 1.3 Dato un anello A, si dice ideale di A ogni sottoinsieme I ⊂ A tale che:
I è un sottogruppo del gruppo additivo di A
∀a ∈ A, ∀x ∈ I , ax ∈ I .
-
Osservazioni 1.4
- Ogni anello è ideale di se stesso. Un ideale coincide con tutto l’anello se e solo se vi appartiene 1.
In ogni anello il sottoinsieme {0} è un ideale.
Ogni ideale è anche un sottoanello, ma non è vero il viceversa: Z è un sottoanello di Q , ma non è
1
un ideale. Infatti, ⋅1 ∉ Z.
2
Esempio 1.5 a) Per ogni n ∈ N, l’insieme nZ è un ideale di Z . Poiché i sottogruppi di Z sono tutti e
soli i sottogruppi ciclici nZ , segue che questi sono anche tutti i sottoanelli di Z e, quindi, tutti e soli
gli ideali di Z .
-
b) L’insieme
( a ) = {ax x ∈ A}
è un ideale di A. Lo si chiama ideale principale generato da a (in A), ed è il più piccolo ideale di A
contenente a.
La prossima proposizione illustra la profonda analogia tra sottogruppi normali ed ideali.
Proposizione 1.6 Sia I un ideale dell’anello A. Allora sul gruppo (additivo) quoziente A / I è definito,
oltre alla somma
( a + I ) + (b + I ) = ( a + b) + I
un prodotto
( a + I )(b + I ) = ab + I ,
e rispetto a tali operazioni A è un anello commutativo unitario, detto anello quoziente (dell’anello A
rispetto all’ideale I). L’unità moltiplicativa è 1 + I .
Esempio 1.7 Per ogni intero n ≥ 2 , l’anello Zn degli interi modulo n coincide con l’anello quoziente
Z / nZ .
È possibile definire operazioni tra ideali. La dimostrazione del seguente enunciato è un facile esercizio.
Proposizione 1.8 Siano I, J ideali di un anello A. Allora
a) I ∩ J è un ideale di A;
b) I + J = {x + y x ∈ I , y ∈ J } è un ideale di A contenente I e J;
n
c) IJ = ∑ xi yi xi ∈ I , yi ∈ J , n ∈ N è un ideale di A contenuto in I e in J.
i =1
Esercizio 1.9* Siano I, J, K ideali dell’anello A.
a) Provare che I ( J + K ) = IJ + IK .
b) Dire se, in generale, I ∩ ( J + K ) = I ∩ J + I ∩ K . In caso negativo, aggiungere opportune ipotesi.
c) Provare che se I = ( a ) e J = (b) , allora IJ = ( ab) .
Osservazione 1.10 Le operazioni definite nella Proposizione 1.8, naturalmente, si possono estendere ad
un qualunque insieme finito non vuoto di ideali, e godono della proprietà associativa. In particolare:
a) Dati a1 ,..., a r ∈ A , si dice ideale generato da a1 ,..., a r l’ideale somma
( a1 ) + + ( a r ) ,
che, per semplicità, viene anche indicato con ( a1 ,..., a r ) . Non è difficile dimostrare che è il più piccolo
ideale di A contenente a1 ,..., a r , e si ha
r
( a1 ,..., a r ) = ∑ ai xi xi ∈ A per ogni i = 1,..., r .
i =1
L’insieme dei generatori, naturalmente, non è univocamente determinato. Ad esempio, è possibile
sostituire ogni elemento con la somma dello stesso elemento e di una combinazione lineare degli altri
generatori a coefficienti in A. Ad esempio, nell’anello A = K [ x, y ] (dove K è un campo), si ha
( x, y ) = ( x + y , y ) = ( x + xy + y 2 , y )
che è l’ideale di A formato dai polinomi del tipo f ( x, y ) = xg ( x, y ) + yh ( x, y ) , ossia, dai polinomi che
hanno il termine noto nullo.
b) Ogni ideale I dell’anello A può essere sommato a se stesso, oppure moltiplicato con se stesso, un
numero n di volte, per ogni intero positivo n. Mentre, però,
I
+
+I = I
n volte
e quindi il “multiplo” di un ideale è un concetto poco significativo, diversa è la situazione della
potenza. Si ha, infatti,
n
I
I = I ⊂ I ,
n volte
e, in generale, l’inclusione è stretta. Più precisamente, si ha la seguente catena discendente di ideali:
I ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ I4 ⊃
Un esempio di catena strettamente discendente è la seguente catena di ideali di Z:
( 2) ⊃ (4) ⊃ (8) ⊃ (16) ⊃ Esempio 1.11 Sia A un PID, e siano a1 ,..., a r ∈ A non nulli. Allora, come noto,
r
∑ ( ai ) = ( MCD( a1 ,..., a r ))
i =1
r
r
∏ ( ai ) = ∏ a i
i =1
i =1
r
∩ ( ai ) = ( mcm( a1 ,..., a r ))
i =1
r
r
i =1
i =1
In particolare, si ha ∏ ( ai ) = ∩ (ai ) se e solo se gli elementi a1 ,..., a r sono a due a due coprimi. Ciò si
verifica se ( ai ) + ( a j ) = A per ogni coppia di indici distinti i, j. La prossima proposizione ci mostra che
ciò non è vero solo in un PID, bensì in un qualunque anello.
Proposizione 1.12 Siano I 1 ,..., I r ideali dell’anello A. Allora I 1 I r ⊂ I 1 ∩ ∩ I r , e vale
I 1 I r = I 1 ∩ ∩ I r se I i + I j = A , per ogni coppia di indici distinti i e j (in tal caso gli ideali si
dicono a due a due coprimi).
Dimostrazione: L’inclusione segue dalla Proposizione 1.8 c) per induzione. Per provare la seconda
parte dell’enunciato, procediamo per induzione su r ≥ 2 . Per la base dell’induzione, supponiamo che
I 1 + I 2 = A . Allora esistono a1 ∈ I 1 , a 2 ∈ I 2 tali che si abbia a1 + a 2 = 1 . Sia a ∈ I 1 ∩ I 2 . Allora
a = a (a1 + a 2 ) = aa1 + aa 2 ∈ I 2 I 1 + I 1 I 2 = I 1 I 2 , per cui I 1 ∩ I 2 ⊂ I 1 I 2 , come volevasi. Sia ora r > 2
e supponiamo la tesi vera per r–1. Allora per ogni coppia di indici i, j ∈ {1,..., r − 2} si ha che
I i + I j = A , e, inoltre, in virtù dell’Esercizio 1.9 a) e della Proposizione 1.8 c),
A = ( I i + I r −1 )( I i + I r ) = I i 2 + I r −1 I i + I i I r + I r −1 I r ⊂ I i + I r −1 I r ,
per cui
A = I i + I r −1 I r .
Dunque l’ipotesi induttiva si applica agli ideali I 1 ,… , I r − 2 , I r −1 I r , e pertanto, tenendo anche conto
della base dell’induzione, applicata a Ir-1, Ir,
I 1 ∩ ∩ I r − 2 ∩ I r −1 ∩ I r = I 1 ∩ ∩ I r − 2 ∩ I r −1 I r = I 1 I r − 2 I r −1 I r .
Osservazione 1.13 L’implicazione contenuta nella Proposizione 1.12 non può essere rovesciata, ossia
si può avere l’uguaglianza tra il prodotto e l’intersezione di ideali senza che gli ideali siano a due a due
coprimi. Ad esempio, nell’anello dei polinomi A = K [ x, y ] , ove K è un campo, si ha che
( x )( y ) = ( x ) ∩ ( y ) , mentre ( x ) + ( y ) ≠ A . In generale, se A è un UFD, e a1 ,..., a r ∈ A sono elementi a
r
due a due coprimi, allora si ha sempre che
r
∏ (ai ) = ∩ (ai ) (infatti, un elemento di A è multiplo di tutti
i =1
i =1
gli ai se e solo se è multiplo del prodotto di questi ultimi).
Prima di enunciare il prossimo risultato, ricordiamo che agli anelli (come ai gruppi) si applicano
nozioni come gli omomorfismi, costruzioni come il prodotto diretto e la somma diretta, e proprietà
come i teoremi di isomorfismo e di corrispondenza. Nel seguito le utilizzeremo senza richiamarle
preliminarmente.
Proposizione 1.14 Siano I 1 ,..., I r ideali dell’anello A. Allora l’applicazione
r
ϕ : A → A I1 × × A I r = × A I i
i =1
a ( a + I1 ,..., a + I r ) = ( a + I i ) i =1,...,r
r
è un omomorfismo di anelli tale che Kerϕ = ∩ I i . Inoltre ϕ è suriettivo se e solo se I1 ,..., I r sono a
i =1
due a due coprimi.
Dimostrazione: La prima affermazione è ovvia. Proviamo la seconda. Se ϕ è suriettivo, allora, in
particolare, esiste a ∈ A tale che ϕ ( a ) = ( a + I1 , a + I 2 ,..., a + I r ) = (1 + I1 , I 2 ,..., I r ) . Quindi
1 − a ∈ I1
e
a ∈ I i per ogni i = 2,..., r .
Segue che, per ogni i = 2,..., r , si ha 1 = (1 − a ) + a ∈ I1 + I i , e quindi A = I 1 + I i , ossia I1 e Ii sono
coprimi. Analogamente si prova che, per ogni coppia di indici distinti i e j, gli ideali Ii e Ij sono
coprimi. Viceversa, supponiamo che sia vera quest’ultima affermazione. Allora, per ogni i = 2,..., r ,
r
I1 + I i = A . Quindi per ogni i = 2,..., r esistono ai ∈ I 1 e bi ∈ I i tali che ai + bi = 1 . Sia b = ∏ bi .
i =2
Allora
r
b + I1 = ∏ [ (1 − ai ) + I1 ] = 1 + I1
e
b + I i = bi ∏ b j + I i = I i per ogni i = 2,..., r .
j ≠i
i =2
Quindi
ϕ (b) = (1 + I1 , I 2 ,..., I r ) .
Analogamente si prova che ( I 1 , ,...,1 + I i ,..., I r ) ∈ Im ϕ per ogni i = 2,..., r. Ciò basta per concludere
che ϕ è surgettivo.
Dalle Proposizioni 1.12 e 1.14 segue, in virtù del teorema fondamentale di omomorfismo per anelli:
Corollario 1.15 Siano I 1 ,..., I r ideali dell’anello A, a due a due coprimi. Allora
r
r
r
i =1
i =1
i =1
A ∏ Ii = A ∩ Ii ≅ × A Ii .
Osservazione 1.16 Il Teorema Cinese del Resto, noto dal corso di Algebra 1, è una conseguenza del
Corollario 1.15.
Il prossimo esercizio utilizza la nozione di A-modulo, che verrà introdotta nella Lezione 3.
Esercizio 1.17 Siano I, J ideali dell’anello A. Allora si ha una sequenza esatta corta di omomorfismi
di A-moduli:
f
g
0 → A I ∩ J →
A I × A J →
A I + J → 0,
ossia
esistono
omomorfismi
di
A-moduli
f
A I ∩ J →
A I×A J,
iniettivo
e
g
A I × A J →
A I + J , suriettivo, tali che Im f = Ker g .
ϕ
A I × A J induce, in
Svolgimento: Con la notazione della Proposizione 1.14, l’omomorfismo A →
virtù del teorema fondamentale di omomorfismo per anelli, un omomorfismo iniettivo
f =ϕ *
A I ∩ J
→ A I × A J
,
a + I ∩ J (a + I , a + J )
Definiamo l’applicazione
g
A I × A J →
A I+J
( a + I , b + J ) ( a − b) + I + J
Questo è un omomorfismo di A-moduli ben definito, ed è evidentemente suriettivo. Inoltre si ha che,
per ogni a ∈ A, g (( a + I , a + J )) = I + J , per cui Im f ⊂ Ker g . Per provare l’altra inclusione,
supponiamo che g (( a + I , b + J )) = I + J , cioè che a − b ∈ I + J . Esistono allora x ∈ I e y ∈ J tali
che a − b = x + y. Pertanto, a + I = a − x + I , e b + J = a − x − y + J = a − x + J . Quindi
( a + I , b + J ) = ( a − x + I , a − x + J ) = f ( a − x + I ∩ J ) . Ciò prova che Ker g ⊂ Im f .
Osservazione 1.18 Quando I e J sono coprimi, l’Esercizio 1.17 fornisce una sequenza esatta corta
f
0 → A I ∩ J →
A I×A J
→ 0 ,
e quindi un isomorfismo A I × A J ≅ A I ∩ J , in accordo con il Corollario 1.15. Osserviamo, inoltre,
che lo stesso esercizio non si estende banalmente al caso in cui gli ideali sono più di due.
Consideriamo, ad esempio, gli ideali I1 = 6Z, I 2 = 10Z, I 3 = 15Z dell’anello A = Z . Allora
A / I1 ∩ I 2 ∩ I 3 = Z / 30Z , A / I1 × A / I 2 × A / I 3 = Z / 6Z × Z / 10Z × Z / 15Z ,
A / I1 + I 2 + I 3 = Z / 6Z + 10Z + 15Z = Z/Z = {0}.
f
Z / 6Z × Z / 10Z × Z / 15Z → 0 , perché i due
Ma non esiste una sequenza esatta 0 → Z / 30Z →
anelli, avendo ordini finiti distinti (30 e 900 rispettivamente), non possono essere isomorfi.
Abbiamo definito sopra il prodotto e la potenza di ideali. È possibile, entro certi limiti, definire le
corrispondenti “operazioni inverse”, ossia il quoziente ed il radicale.
Definizione 1.19 Siano I, J ideali di un anello A. Si dice quoziente di I rispetto a J l’insieme
I : J = {a ∈ A ax ∈ I per ogni x ∈ J }
Se I è l’ideale nullo, l’insieme è
0 : J = {a ∈ A ax = 0 per ogni x ∈ J }
e lo si dice annullatore di J, denotato anche con Ann ( J ) . Se, inoltre J = (x ) , l’insieme è
0 : x = {a ∈ A ax = 0},
e si chiama annullatore di x, indicato dal simbolo Ann ( x ) .
È immediato verificare la seguente
Proposizione 1.20 Dati gli ideali I, J dell’anello A, I : J è un ideale di A contenente I.
Per altre proprietà del quoziente di ideali si rimanda a [AM], Esercizio 1.12.
Esempi 1.21
a) Sia A un UFD, e siano a, b ∈ A non nulli. Allora si ha:
a
( a ) : (b) =
.
MCD(a, b)
b) L’unione D = ∪ Ann ( x ) è l’insieme dei divisori dello zero dell’anello A (ossia degli elementi non
x∈A
x ≠0
nulli di A che violano la legge di annullamento del prodotto).
Definizione 1.22 Sia I un ideale dell’anello A. Si dice radicale di I l’insieme
{
}
{
}
I = a ∈ A a n ∈ I per qualche n ∈ N* .
Se I è l’ideale nullo, l’insieme è
0 = a ∈ A a n = 0 per qualche n ∈ N *
e viene detto nilradicale di A: è l’insieme degli elementi nilpotenti di A, e viene spesso indicato anche
con nil( A). Se I = I , l’ideale I si dice ideale radicale o anche ideale ridotto.
Proposizione 1.23 Sia I un ideale dell’anello A. Allora
I è un ideale di A contenente I.
Dimostrazione: La relazione di inclusione I ⊂ I è ovvia. Quindi I è non vuoto. Siano a, b ∈ I ,
con a n ∈ I , b m ∈ I per opportuni n, m ∈ N * . Allora, naturalmente, a r , b s ∈ I per ogni r ≥ n, s ≥ m .
Proviamo che a − b ∈ I . Sia N = n + m . Si ha:
N
N
( a − b) N = ∑ ( −1) N −i a i b N −i ,
i =0
i
dove, per ogni i = 0,..., N ,
se i < n, allora N − i > m, e quindi b N −i ∈ I
se i ≥ n, allora a i ∈ I
Quindi, in ogni caso, a i b N −i ∈ I . Segue che ( a − b) N ∈ I , per cui, come volevasi, a − b ∈ I . Ciò
prova che
I è un sottogruppo additivo di A. Inoltre, per ogni a ∈ A, x ∈ I , se x n ∈ I , allora
( ax ) n = a n x n ∈ I ,
e pertanto ax ∈ I .
Esempio 1.24 Sia A un UFD, e sia a ∈ A un elemento non nullo e non invertibile di fattorizzazione
s
a = ∏ pi
αi
,
i =1
ove i pi sono primi a due a due non associati (diremo: distinti) e gli esponenti α i sono tutti interi
positivi. Allora
s
( a ) = ( ∏ pi ) .
i =1
Indicheremo, nel seguito, con a rid il prodotto dei divisori primi (distinti) di a. Rispetto a questa
notazione, si ha dunque
(a ) = ( a rid ) .
Abbiamo così stabilito il
Corollario 1.25 Se A è un UFD, e a ∈ A è il prodotto di primi a due a due distinti, allora (a ) è un
ideale radicale. Ciò vale, in particolare, se a è irriducibile.
Esempio 1.26 Nell’anello di polinomi K [ x, y , z ] , il radicale dell’ideale I = ( x 2 y 3 z 5 ) è
I = (xyz ) .
Studiamo ora il comportamento del radicale rispetto alle operazioni di intersezione, prodotto e somma
di ideali:
Esercizio 1.27 Siano I, J ideali di un anello A. Provare che:
a) se I ⊂ J , allora I ⊂ J ;
b) IJ = I ∩ J = I ∩ J ;
c)
I+J =
I + J.
Svolgimento:
a) Questa affermazione è immediata conseguenza della Definizione 1.22.
b) Le inclusioni IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I ∩ J sono di immediata verifica: la prima segue da a) alla luce
della Proposizione 1.8 c), la seconda è diretta conseguenza della Definizione 1.22. Resta da provare
che I ∩ J ⊂ IJ . Sia a ∈ I ∩ J , con a n ∈ I , a m ∈ J . Allora a n +m ∈ IJ , e quindi a ∈ IJ .
c) L’inclusione
I+J ⊂
I + J
si deduce facilmente da a). Proviamo l'altra. Sia
a∈
I + J , con a n ∈ I + J , diciamo a n = x + y , ove x ∈ I , y ∈ J . Sia x r ∈ I , y s ∈ J .
Allora è facile vedere, come nella dimostrazione della Proposizione 1.23, che
(a )
n r+s
∈I + J .
Segue che a ∈ I + J , come volevasi.
Osservazione 1.28 L’uguaglianza b) dell’Esercizio 1.27 si rivelerà fondamentale ai fini delle
applicazioni dell’algebra commutativa alla geometria.
Intanto vale la pena di approfondire l’uguaglianza c). Ci potremmo chiedere perché, in generale, non
valga
I+J = I + J .
(1)
Escludendo i casi banali, ci limiteremo a considerare gli ideali diversi da (0) e A. Proviamo, anzitutto,
che la (1) è sempre vera in un PID. Infatti, se A è un PID, allora, per tutti gli a, b ∈ A non nulli e non
invertibili si ha, in base a quanto stabilito negli Esempi 1.11 e 1.24,
( a ) + (b) =
(*)
(MCD(a, b) ) = ( MCD(a, b) rid ) = ( MCD(a rid , b rid )) = (a rid ) + (b rid ) =
( a ) + ( b)
Si noti che l’uguaglianza (*) deriva da un semplice fatto aritmetico: gli ideali a destra e a sinistra sono
entrambi generati dal prodotto dei fattori primi distinti comuni ad a e b.
In particolare abbiamo stabilito che (a, b) = ( a rid , b rid ) . Con un facile ragionamento induttivo si
dimostra che, se A è un PID, dati a1 ,..., a r ∈ A , si ha:
(a1 ,..., ar ) = (a1rid ,..., ar rid )
(= (MCD(a1rid ,..., ar rid ))) .
Questa proprietà può sembrare un po’ ridondante in un anello in cui tutti gli ideali sono principali. In
effetti, la sua importanza si avverte non appena ci viene assegnato, in un PID, un ideale tramite un
insieme di più generatori. Dal punto di vista pratico, è più semplice prima ridurre i generatori, e poi
calcolare il massimo comune divisore degli elementi ridotti, piuttosto che calcolare prima il massimo
comune divisore dei generatori di partenza, e poi ridurlo.
La (1) non è però sempre vera in un anello che non è un PID, ad esempio in K [ x, y ] , dove K è un
campo. Infatti, si ha
( x 2 + y ) + ( y ) = ( x 2 + y , y ) = ( x 2 , y ) = ( x, y ),
dove l’ultima uguaglianza si prova facilmente: l’inclusione
( x 2 , y ) ⊃ ( x, y ) è ovvia, perché
x, y ∈ ( x 2 , y ) . Per provare l’altra, supponiamo che f ( x, y ) ∈ ( x 2 , y ) , diciamo f ( x, y ) n ∈ ( x 2 , y ) ,
f ( x, y ) n = x 2 g ( x, y ) + yh ( x, y ) . Allora il termine noto di f ( x, y ) è 0, quindi f ( x, y ) ∈ ( x, y ), per cui
( x 2 , y ) ⊂ ( x, y ) .
Invece, in virtù del Corollario 1.25,
( x 2 + y ) + ( y ) = ( x 2 + y ) + ( y ) = ( x 2 , y ) ≠ ( x, y ) .
Esercizio 1.29* Provare che, nell’anello K [ x, y , z ] ,
( xy , yz + xz ) = ( xy , yz , xz )
L’Esercizio 1.29 può essere svolto con calcoli diretti, che devono essere sviluppati ad hoc, e sono più
complessi di quelli visti sopra. Notiamo, in particolare, che l’identità c) dell’Esercizio 1.27 non ci è
affatto utile: applicata al primo membro, ci restituisce la stessa espressione di partenza. Più avanti
conosceremo metodi molto più rapidi basati sulla controparte geometrica degli anelli di polinomi, ossia
le cosiddette varietà algebriche, che sono sottoinsiemi dello spazio n-dimensionale Kn costituiti dai
punti le cui coordinate sono soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali. Il passaggio
fondamentale nella nuova tecnica risolutiva per l’Esercizio 1.29 sarà, infatti, considerare i valori in cui
si annullano determinati polinomi.
Osservazione 1.30 Occorre non cadere nella facile suggestione del simbolo I : esso non si
comporta, formalmente, come una radice quadrata: l’abbiamo visto, nell’Esercizio 1.27 c), per quanto
riguarda la somma. La parte b) dello stesso esercizio potrebbe, invece, far credere che siano rispettate
le regole per la radice del prodotto. La smentita viene dalla considerazione della potenza n-esima di un
ideale. Infatti si ha, per ogni ideale I di un anello A, ed ogni intero positivo n,
In = I
I = I
La facile verifica di queste identità è lasciata al lettore.
Esercizio 1.31* Siano I, J ideali dell’anello A. Provare che I + J = J se e solo se I ⊂ J .
Esercizio 1.32* Siano I , J ideali coprimi dell’anello A. Provare che allora, per tutti gli interi positivi n
e m, si ha I n + J m = A.
Esercizio 1.33 Provare, che, se I è un ideale di A il cui radicale è finitamente generato, allora esiste un
intero positivo n tale che
( I)
Svolgimento: L’ideale
I
n
⊂ I.
ammette un sistema di generatori finito a1 ,..., a r . Per ogni indice
r
i = 1,..., r esiste un intero positivo mi tale che ai mi ∈ I . Sia n = ∑ mi . L’ideale
i =1
prodotti formati da n elementi di
( I)
n
è generato dai
I , e ciascuno di essi è combinazione lineare a coefficienti in A di
r
prodotti a1u1 a r ur , ove ∑ ui = n . Per ognuno di questi esiste un indice i tale che ui ≥ mi , di modo
i =1
che a1u1 a r ur ∈ I . Ciò prova che
( I)
n
⊂I.
Osservazione 1.34 La stessa conclusione non vale se l’ideale
Nell’anello A = K [ x1 , x2 ,...., xn ,....] , si consideri il seguente ideale:
I non è finitamente generato.
I = ( x1 , x2 2 , x33 ,..., xn n ,...) .
Allora
( I)
n
I = ( x1 , x2 ,..., xn ,...) . Ma, per ogni intero positivo n, xn +1n ∈
( I ) , mentre x
n
n
n +1
∉ I e quindi
⊄ I.
Esercizio 1.35* Sia I un ideale di A. Provare che nil( A I ) = I I . Dedurne che l’anello A I è ridotto
(ossia privo di elementi nilpotenti non nulli) se e solo se l’ideale I è radicale.
Esercizio 1.36* Provare che un polinomio di A[ X ] è nilpotente se e solo se tali sono tutti i suoi
coefficienti. Dedurne che l’anello A[ X ] è ridotto se e solo se lo è l’anello A.
