Rappresentazione dei numeri

RAPPRESENTAZIONE DELL’INFORMAZIONE
 Internamente a un elaboratore, ogni
informazione è rappresentata tramite
sequenze di bit (cifre binarie)
 Una sequenza di bit non dice “che cosa”
essa rappresenta
Ad esempio, 01000001 può rappresentare:
 l’intero 65, il carattere ‘A’, il boolean ‘vero’, …
 … il valore di un segnale musicale,
 … il colore di un pixel sullo schermo...
1
INFORMAZIONI NUMERICHE
Originariamente la rappresentazione binaria è stata utilizzata per
la codifica dei numeri e dei caratteri
Oggi si digitalizzano comunemente anche suoni, immagini, video e
altre informazioni (informazioni multimediali)
La rappresentazione delle informazioni numeriche è ovviamente
di particolare rilevanza
A titolo di esempio, nel corso ci concentreremo sulla
rappresentazione dei numeri interi (senza o con segno)
Dominio:
N = {…,-2, -1, 0, 1, 2, …}
2
NUMERI NATURALI (interi senza segno)
Dominio: N = { 0,1,2,3, …}
Rappresentabili con diverse notazioni
non posizionali
 ad esempio la notazione romana:
I, II, III, IV, V, .... IX, X, XI…
 Risulta difficile l’utilizzo di regole
generali per il calcolo
posizionale
 1, 2, .. 10, 11, ... 200, ...
 Risulta semplice l’individuazione di
regole generali per il calcolo
3
NOTAZIONE POSIZIONALE
 Concetto di base di rappresentazione B
 Rappresentazione del numero come
sequenza di simboli (cifre) appartenenti
a un alfabeto di B simboli distinti
 ogni simbolo rappresenta un valore
compreso fra 0 e B-1
Esempio di rappresentazione su N cifre:
dn-1 … d2 d1 d0
4
NOTAZIONE POSIZIONALE
Il valore di un numero espresso in questa
notazione è ricavabile
 a partire dal valore rappresentato da ogni
simbolo
 pesandolo in base alla posizione che occupa
nella sequenza
dn-1 … d2 d1 d0
Posizione n-1:
pesa Bn-1
Posizione 1:
pesa B1
Posizione 0:
pesa B0 (unità)
5
NOTAZIONE POSIZIONALE
In formula:
dove
n 1
v   dk B
k
k 0
 B = base
 ogni cifra dk rappresenta un valore fra 0 e B-1
Esempio (base B=4):
1 2 1 3
d3 d2 d1 d0
Valore = 1 * B3 + 2 * B2 + 1 * B1 + 3 * B0 = centotre
6
NOTAZIONE POSIZIONALE
Quindi, una sequenza di cifre non è interpretabile se non si precisa la base in cui è
espressa
Esempi:
Stringa
“12”
“12”
“12”
“12”
Base
quattro
otto
dieci
sedici
Alfabeto
{0,1,2,3}
{0,1,...,7}
{0,1,...,9}
{0,..,9, A,., F}
Calcolo valore
4*1+2
8*1+2
10 * 1 + 2
16 * 1 + 2
Valore
sei
dieci
dodici
diciotto
7
NOTAZIONE POSIZIONALE
Inversamente, ogni numero può essere
espresso, in modo univoco, come
sequenza di cifre in una qualunque base
Esempi:
Numero
venti
venti
venti
venti
Base
due
otto
dieci
sedici
Alfabeto
Rappresentazione
{0,1}
“10100”
{0,1,...,7}
“24”
{0,1,...,9}
“20”
{0,..,9, A,., F}
“14”
Non bisogna confondere un numero con
una sua RAPPRESENTAZIONE!
8
Rappresentazione in base p
Metodo posizionale: ogni cifra ha un peso
Esempio: 123 = 100 +20 +3
• Di solito noi usiamo la base decimale
• Un numero generico di m cifre è rappresentato in
base p dalla sequenza: an, an-1, an-2,..., a0
an : cifra più significativa
a0 : cifra meno significativa
n = m-1
ai  {0, 1, ..., p-1}
Rappresentazione in base p
• Un numero naturale N, composto da m cifre, in base
p, si esprime come:
N p  an  p  an1  p
n
n 1
n
 ...  a1  p  a0  p   ai  p i
1
0
i 0
• Esempio in base decimale (p=10):
58710 = 7·100 + 8·101 + 5·102
• Posso rappresentare i numeri nell’intervallo discreto:
[0 , pm - 1]
Rappresentazione in base due
• Base binaria: p=2; cifre ai  {0, 1}
chiamate bit (binary digit)
• Otto bit sono chiamati byte
Esempio, con m=5:
110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710
• Posso rappresentare i numeri nell’intervallo discreto:
[0 , 2m -1]
• Esempio con m=8:
rappresento numeri binari: [000000002 , 111111112],
ovvero: [0 , 255]
NUMERI NATURALI: valori rappresentabili
 Con N bit, si possono fare 2N combinazioni
 Si rappresentano così i numeri da 0 a 2N-1
Esempi
con 8 bit,
[ 0 …. 255 ]
In C: unsigned char = byte
con 16 bit,
[ 0 …. 65.535 ]
In C: unsigned short int (su alcuni compilatori)
In C: unsigned int (su alcuni compilatori)
con 32 bit,
[ 0 …. 4.294.967.295 ]
In C: unsigned int (su alcuni compilatori)
In C: unsigned long int (su molti compilatori)
12
Conversioni di base
• Per convertire da base due a base 10:
– Usare la sommatoria illustrata nella slide precedente
• Per convertire da base dieci a base due:
– Metodo delle divisioni successive:
Metodo delle divisioni successive
Esempio: Esprimere in base 2 il numero naturale 2710
operazione quoziente
resto
27:2
13
1
a0
13:2
6
1
a1
6:2
3
0
a2
3:2
1
1
a3
1:2
0
1
a4
 2710= (11011)
2
Operazioni sui Numeri Binari:
Addizione
• Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto (carry) può essere solo 1
Riporto
precedente
Somma
Risultato
Riporto
0
0+0
0
0
0
0+1
1+0
1
0
0
1+1
0
1
1
0+0
1
0
1
0+1
1+0
0
1
1
1+1
1
1
Addizione e riporto (carry)
• Esempio:
1  riporto
0101 +
(510)
1001 =
(910)
-----1110
(1410)
111
 riporti
1111 +
1010 =
------carry  11001
(1510)
(1010)
(2510 se uso 5 bit;
910 se considero 4 bit:
OVERFLOW)
Sottrazione
• Le cifre sono 0 e 1 ed il prestito può essere solo 1
Prestito
precedente
differenza
Risultato
Prestito
0
0-0
0
0
0
1-0
1
0
0
1-1
0
0
0
0-1
1
1
1
0-0
1
1
1
1-0
0
0
1
1-1
1
1
1
0-1
0
1
Basi ottale ed esadecimale
• Base ottale: p=8; ai  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
– Esempio: 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610
• Base esadecimale: p=16;
ai  {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F}
– Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310
– Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro
equivalenti in base dieci
• Conversione dalla base 2 alla base 8 o 16: si
considerano gruppi di tre o 4 cifre binarie
• Es: 001 010 110 111 si traduce ogni tripla nella
corrispondente cifra ottale
ERRORI (primissimo assaggio )
Esempio (supponendo di avere solo 7 bit per la
rappresentazione)
60 +
99 =
----135
0111100
1100011
-------10011111
Errore!
Massimo numero
rappresentabile:
27-1 cioè 127
• Questo errore si chiama overflow
• Può capitare sommando due numeri dello
stesso segno il cui risultato non sia
rappresentabile utilizzando il numero massimo
di bit designati
19
ESERCIZIO RAPPRESENTAZIONE
Un elaboratore rappresenta numeri interi su
8 bit dei quali 7 sono dedicati alla
rappresentazione del modulo del numero e
uno al suo segno. Indicare come viene
svolta la seguente operazione aritmetica:
59 – 27
in codifica binaria
20
ESERCIZIO RAPPRESENTAZIONE
Soluzione
59 0 0111011
-27 1 0011011
Tra i (moduli dei) due numeri si esegue una sottrazione:
0111011
-
0011011
------0100000
che vale 32 in base 10
21
DIFFERENZE TRA NUMERI BINARI
Che cosa avremmo dovuto fare se avessimo avuto
27-59 ?
Avremmo dovuto invertire i due numeri,
calcolare il risultato, e poi ricordarci di mettere a 1
il bit rappresentante il segno
Per ovviare a tale problema, si usa la notazione in
“complemento a 2” (vedi nel seguito), che permette di
eseguire tutte le differenze tramite semplici somme
22
INFORMAZIONI NUMERICHE
 La rappresentazione delle informazioni
numeriche è di particolare rilevanza
 Abbiamo già discusso i numeri naturali
(interi senza segno) N = { 0,1,2,3, …}
 Come rappresentare invece i numeri interi
(con segno)?
Z = { -x, xN - {0}}  N
23
NUMERI INTERI (con segno)
Dominio: Z = { …, -2,-1,0,1,2,3, … }
Rappresentare gli interi in un elaboratore pone
alcune problematiche:
• come rappresentare il “segno meno”?
• possibilmente, come rendere semplice
l’esecuzione delle operazioni
aritmetiche?
Magari riutilizzando gli stessi algoritmi e gli stessi
circuiti già usati per i numeri interi senza segno
24
NUMERI INTERI (con segno)
Due possibilità:
 rappresentazione in modulo e segno
 semplice e intuitiva
 ma inefficiente e complessa nella gestione delle
operazioni  non molto usata in pratica
 rappresentazione in complemento a due
meno intuitiva, costruita “ad hoc”
ma efficiente e capace di rendere semplice la
gestione delle operazioni  largamente usata
nelle architetture reali di CPU
25
NUMERI INTERI (con segno)
Rappresentazione in modulo e segno
 1 bit per rappresentare il segno
0 +
1
-
 (N-1) bit per il valore assoluto
Esempi (su 8 bit, Most Significant Bit –MSB- rappresenta il segno):
+ 5
=
0 0000101
- 36
=
1 0100100
26
NUMERI INTERI (con segno)
Rappresentazione in modulo e segno
Due difetti principali:
 occorrono algoritmi speciali
per fare le operazioni
Ad esempio:
(+5) + (-5) = -10 ???
+5
-5
--0
0 0000101
1 0000101
---------1 0001010
se si adottano le usuali regole,
non è verificata la proprietà X + (-X) = 0
occorrono regole (e quindi circuiti) ad hoc
 due diverse rappresentazioni per lo zero
+ 0 = 00000000
- 0 = 10000000
27
NUMERI INTERI (con segno)
Rappresentazione in complemento a due
 si vogliono poter usare le regole standard per
fare le operazioni
 in particolare, si vuole che
X + (-X) = 0
la rappresentazione dello zero sia unica
 anche a prezzo di una notazione più complessa,
meno intuitiva, e magari non (completamente)
posizionale
28
NUMERI INTERI (con segno)
Rappresentazione in complemento a due
 si vogliono poter usare le regole standard per
fare le operazioni
 in particolare, si vuole che
 X + (-X) = 0
 la rappresentazione dello zero sia unica
 anche a prezzo di una notazione più complessa,
meno intuitiva
Rappresentazioni dei Numeri
• Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0
per positivi, 1 per negativi
• La rappresentazione di un numero positivo si ottiene
codificando il valore assoluto del numero con i bit
restanti
• La rappresentazione di un numero negativo si
ottiene in tre passi:
– Si rappresenta in complemento a due il numero positivo
con lo stesso valore assoluto del numero negativo da
codificare
– Si invertono tutti i bit
– Si somma 1 al risultato ottenuto al passo precedente
Quindi:
• per calcolare il numero negativo -|v|
occorre:
• prima invertire tutti i bit della
rappresenta-zione di |v| poi aggiungere 1
al risultato
Esempio
• Esempio con 4 bit a disposizione
• +5 -> 0101
• -5 -> :
– La rappresentazione del complemento a due
di +5 è 0101
– Invertendo tutti i bit si ottiene 1010
– Sommando 1 si ottiene 1011 -> -5
Ottenere un numero con segno data
la rappresentazione in CPL2
• Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il
valore assoluto si esegue la conversione da binario a
decimale
• Se il primo bit è 1 il numero è negativo:
– Si ignora il primo bit
– Si invertono i bit restanti
– Si converte da binario a decimale
– Si somma 1 al numero così ottenuto per ottenere il valore
assoluto del numero negativo
– Es. 1011. si esclude il primo bit. Invertendo 011 si ottiene
100 che è la codifica di 4, si aggiunge 1, quindi si ottiene
il valore assoluto 5, il risultato è -5
Complemento a due (CPL2)
• Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2
• Esempio (m=3): (-N)CPL2 = (23 - N10)2
Num. intero base
10
Trasformazione
Num. intero, base
2, CPL2, m=3
-4
8-4=4
410 = 100
-3
8-3=5
510 = 101
-2
8-2=6
610 = 110
-1
8-1=7
710 = 111
0
nessuna
010 = 000
1
nessuna
110 = 001
2
nessuna
210 = 010
3
nessuna
310 = 011
Complemento a due (CPL2)
• Posso rappresentare i numeri nell’intervallo discreto:
[-2m-1 , 2m-1 - 1]
– Asimmetria tra negativi e positivi
– Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127
• Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più
significativo posto a “1”, mentre tutti i positivi e lo zero
iniziano con uno “0”
Somma e sottrazione in CPL2
• Somma: come per i naturali
• Sottrazione: N1 - N2 = N1 + (-N2)CPL2
• Carry:
– Il carry non viene considerato!
• Overflow:
– Se, sommando due interi di m bit dotati di segno
concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre
considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato
non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata
– L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di
segno discorde
Rappresentazione in eccesso
Nella notazione in eccesso una parte di numerali disponibili si usa per
rappresentare i numeri negativi e la restante per rappresentare lo
zero e I numeri positivi. Si trasla l’origine dell’asse che rappresenta i
numeri naturali e si usano I numerali che precedono l’origine cosi’
determinata per rappresentare I numeri negativi
Se n=8 si possono rappresentare tutti I numeri da 0 a 255. Con N=127
ho due intervalli da 0 a 126 che si usano per rappresentare I numeri
negativi da -127 a 1, il numerale 127 che rappresenta lo 0 e I
restantipositivi da 1 a128
Rappresentazione dei Numeri:
NUMERI RAZIONALI
Ovviamente rappresentazione posizionale vale anche per numeri “con
virgola”, avendo l’accortezza di pesare le cifre a dx della virgola con
potenze negative della base e via via decerescenti mano a mano che
ci si sposta verso destra. Un numero a con N cifre a destra della
virgola ed M a sinistra vale:
M 1
a   ci * bi
i  N
Quindi, come si converte
un numero razionale da
decimale a binario?
Rappresentazione in virgola mobile (mantissa ed esponente),
utilizzando base 2
Standard IEEE 754 (rappresentazione float a 32 bit):
- Bit più significativo per segno mantissa (0 per positivi, 1 per
negativi)
- 8 bit per l’esponente (notazione in complemento a 2)
- Ultimi 23 bit per mantissa in forma normale
38
Rappresentazione dei Numeri:
NUMERI RAZIONALI
• zero si rappresenta ponendo a 0 tutti i bit di mantissa ed
esponente
• +∞ e –∞ si possono rappresentare ponendo a 1 tutti i bit
dell’esponente e a 0 tutti i bit della mantissa
• Not a Number (NaN) ponendo a 1 tutti i bit dell’esponente e la
mantissa diversa da 0
Nel caso di doppia precisione – double: 11 bit per
esponente, 52 per mantissa
Valori massimo e minimo rappresentabili
Interi senza segno
Interi con segno
Interi in complemento a 2
Reali in sing. prec. (modulo)
Reali in doppia prec. (modulo)
0
-2147483647
-2147483648
1.401298*10-45
4.940656*10-324
4294967295
2147483647
2147483647
3.402823*1038
1.797693*10308
39
Rappresentazione dei Numeri:
NUMERI RAZIONALI
Es: 22,75
1.
Si trasforma da decimale a binario conservando la virgola
22.75=10110.11 (la parte decimale 0.75=0.5+0.25 corrisponde alle
potenze di 2-1 e 2-2)
2.
Si trasla la virgola di tanti posti a sx quanti ne servono a far diventare il
numero minore di 2(cioè a lasciare la virgola a dx del bit più significativo):
1.011011
3.
Si moltiplica il numero per una potenza di due pari al numero di posti di
cui è stata spostata la virgola: 24, la cui rappresentazione in eccesso a
127 è 4+127=131 =10000011
4.
Si scrive il bit di segno (0) quindi i primi 8 bit che rappresentano
l’esponente di 2 seguiti dalla parte frazionaria della mantissa (23 bit): 0
10000011 01101100000000000000000
N.B a causa del numero limitato di cifre a disposizione, un numero si puo’
rappresentare esattamente in un calcoltaore solo se la sua parte
frazionaria è esprimibile come somma di un numero limitato di potenze di
40
2 altrimenti lo si approssima a quello ad esso più vicino
Errori di Approssimazione: OVERFLOW
• Se si sommano due numeri positivi tali che il
risultato sia maggiore del massimo numero
positivo rappresentabile con i bit fissati (lo
stesso per somma di due negativi)
• Basta guardare il bit di segno del risultato: se 0 (1) e i
numeri sono entrambi negativi (positivi)  overflow
41
ERRORI NELLE OPERAZIONI
Attenzione ai casi in cui venga invaso il bit più
significativo (bit di segno)
Esempio
60 +
75 =
----135
00111100
01100011
-------10011111
Errore!
Si è invaso il bit di segno,
il risultato è negativo!
Questo errore si chiama invasione del bit di segno; è una
forma di overflow
Può accadere solo sommando due numeri dello stesso
segno, con modulo sufficientemente grande
42
Errori di Approssimazione: ERRORI DI
ARROTONDAMENTO e UNDERFLOW
Tutti i numeri non interi si approssimano al numero
razionale più vicino con rappresentazione finita
(pensare a
ma anche a 0.1)
Precisione dell’ordine di 2n, dove n è il numero di bit
dedicati alla mantissa
 Due numeri che differiscono per meno della
precisione sono considerati uguali => errore di
arrotondamento
 Se un numero è più piccolo della precisione, allora
viene approssimato con 0 => errore di underflow
43
PROPAGAZIONE degli ERRORI
Propagazione “catastrofica” in alcuni algoritmi
quando operandi (numeri razionali) molto diversi o
molto simili
1) Molto diversi: il più piccolo dei due operandi perde
precisione a causa spostamento mantissa (necessario
per svolgere operazione: stessa mantissa del più grande)
Esempio:
se a sufficientemente grande e b sufficientemente piccolo
 a+b=a
(chi propone un esempio concreto in rappres. IEEE754?)
44
PROPAGAZIONE degli ERRORI
a= 68833152
b= 2309657318129664
a= 0 10011001 0000011010010011110000
b= 0 10110010 0000011010010011110000
Per eseguire la somma devo incolonnare i numeri, quindi a deve essere
espresso con lo stesso esponente di 2 di b. L’esponente di a è 26
quello di b 51. La differenza tra questi numeri è 25. La mantissa di a
si dovrebbe riscrivere spostando le cifre di altrettante posizioni
verso destra. Poichè il numero massimo di cifre per la mantissa è
23, il risultato è che la mantissa sarà rappresentata come una
sequenza di 0
0 10110010 00000000000000000000000 + ....
0 10110010 0000011010010011110000 =
Quindi un’assurdità!
45
PROPAGAZIONE degli ERRORI
Propagazione “catastrofica” in alcuni algoritmi
quando operandi (numeri razionali) molto diversi o
molto simili
2) Molto simili: differenza fra due numeri molto vicini
Esempio (in base 10 per semplificare; mantissa con 3 cifre significative
dopo virgola):
a = 1.000x103; b = 999.8x100
a – b = (1.000x103) – (0.999x103) = 1.000x100, che è piuttosto diverso
da 0.2!
Nota che diversi algoritmi possono produrre errori molto differenti.
Ad esempio (x = 3.451x100, y = 3.450x100):
x2 – y2 = 1.190x101 – 1.190x101 = 0!!!
x2 – y2 = (x + y) (x - y) = (6.901x100) (1.000x10-3) = 6.901x10-3
46
Rapida Nota sulla
Rappresentazione dei Caratteri
Ad esempio, un tipo fondamentale di dato da rappresentare
è costituito dai singoli caratteri
Idea base: associare a ciascun carattere un numero
intero (codice) in modo convenzionale
Codice standard ASCII (1968)
ASCII definisce univocamente i primi 128 caratteri (7 bit –
vedi tabella nel lucido seguente)
I caratteri con codice superiore a 127 possono variare secondo la
particolare codifica adottata (dipendenza da linguaggio naturale: ISO
8859-1 per alfabeto latino1, …)
Visto che i caratteri hanno un codice intero, essi possono
essere considerati un insieme ordinato (ad esempio: ‘g’ > ‘O’
perché 103 > 79)
47
Tabella ASCII standard
48
NUMERI E LORO RAPPRESENTAZIONE
 Internamente, un elaboratore adotta per i
numeri interi una rappresentazione
binaria (base B=2)
 Esternamente, le costanti numeriche che
scriviamo nei programmi e i valori che
stampiamo a video/leggiamo da tastiera
sono invece sequenze di caratteri ASCII
Il passaggio dall'una all'altra forma richiede
dunque un processo di conversione
49
Esempio: RAPPRESENTAZIONE
INTERNA/ESTERNA
 Numero: centoventicinque
 Rappresentazione interna binaria (16 bit):
00000000 01111101
 Rappresentazione esterna in base 10:
occorre produrre la sequenza di
caratteri ASCII '1', '2', '5'
00110001 00110010 00110101
vedi tabella ASCII
50
Esempio: RAPPRESENTAZIONE
INTERNA/ESTERNA
 Rappresentazione esterna in base 10:
È data la sequenza di caratteri ASCII
'3', '1', '2', '5', '4'
vedi tabella ASCII
00110011 00110001 00110010 00110101 00110100
 Rappresentazione interna binaria (16 bit):
01111010 00010110
 Numero:
trentunomiladuecentocinquantaquattro
51
CONVERSIONE STRINGA/NUMERO
Si applica la definizione:
n 1
v   dk B
k 0
k
le cifre dk sono note,
il valore v va calcolato
= d0 + B * ( d1 + B * ( d2 + B * ( d3 + ... )))
Ciò richiede la valutazione di un polinomio
 Metodo di Horner
52
CONVERSIONE NUMERO/STRINGA
 Problema: dato un numero, determinare la
sua rappresentazione in una base data
 Soluzione (notazione posizionale):
manipolare la formula per dedurre un
algoritmo
n 1
v   d k Bk
v è noto,
le cifre dk vanno calcolate
k 0
= d0 + B * ( d1 + B * ( d2 + B * ( d3 + ... )))
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CONVERSIONE NUMERO/STRINGA
Per trovare le cifre bisogna calcolarle una per
una, ossia bisogna trovare un modo per
isolarne una dalle altre
v = d0 + B * (…)
Osservazione:
d0 è la sola cifra non moltiplicata per B
Conseguenza:
d0 è ricavabile come v modulo B
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CONVERSIONE NUMERO/STRINGA
Algoritmo delle divisioni successive
 si divide v per B
 il resto costituisce la cifra meno
significativa (d0)
 il quoziente serve a iterare il
procedimento
 se tale quoziente è zero, l’algoritmo
termina;
 se non lo è, lo si assume come nuovo
valore v’, e si itera il procedimento con il
valore v’
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CONVERSIONE NUMERO/STRINGA
Esempi:
Numero
quattordici
undici
sessantatre
sessantatre
Base
4
2
10
16
Calcolo valore
14 / 4 = 3 con resto 2
3 / 4 = 0 con resto 3
11 / 2 = 5 con resto 1
5 / 2 = 2 con resto 1
2 / 2 = 1 con resto 0
1 / 2 = 0 con resto 1
63 / 10 = 6 con resto 3
6 / 10 = 0 con resto 6
63 / 16 = 3 con resto 15
3 / 16 = 0 con resto 3
Stringa
“32”
“1011”
“63”
“3F”
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Esempio di PROPAGAZIONE
in ALGORITMO ITERATIVO
Attenzione ai problemi di arrotondamento in algoritmi
iterativi, possibili anche in casi in cui non ce lo aspettiamo!
Esempio di somma di N numeri naturali
#include <stdio.h>
#define N 10000000
main () {
Quale risultato
float s=0, x=7;
dall’esecuzione?
unsigned int i, is=0; ix=7;
for (i=0; i<N; i++) {
s += x; is += ix; }
printf(“usando float: %.0f x %d = %.0f\n”, x, N, s);
printf(“usando integer: %d x %d = %d\n”, ix, N, is);
}
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Esempio di PROPAGAZIONE
in ALGORITMO ITERATIVO
Errore già per i = 2396746, s = 16777222
Notazione IEEE 754; perdita della cifra più a destra
dell’addendo 7 (approssimato a 6)
Quindi un risultato finale più basso? NO, NEMMENO
Situazione ancora più complessa: rappresentazione interna alla
Floating Point Unit (FPU) a 80 bit, troncata quando si va in
memoria centrale
Ovviamente stesso problema di arrotondamento su
somma di qualunque coppia di numeri che
differiscono troppo fra loro
E se avessimo a che fare con un ottimizzatore di codice
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sufficientemente intelligente?
COME RISOLVERE/ATTENUARE
IL PROBLEMA?
Algoritmi equivalenti alternativi che riducano la
differenza tra i numeri da sommare
Ad esempio: sommare prima m valori fra loro; poi sommare tra loro i k
risultati (dove ovviamente k*m = n)
Oppure somma di Kahan:
float sum = 0., corr = 0., x = 7., tmp, y; int i;
for (i=0; i<N; i++) {
y = corr + x;
tmp = sum + y;
corr = (sum - tmp) + y;
sum = tmp; }
sum += corr;
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