Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi

4
Polinomi, potenze,
esponenziali e
logaritmi
4.0
Scopi del capitolo
In questo capitolo esporremo i principali concetti relativi a polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi. Si tratta di famiglie di funzioni particolarmente importanti, per lo studio delle quali è necessario combinare tra loro
concetti di natura algebrica con altri derivanti dalla geometria analitica e
dallo studio qualitativo dei grafici di funzione. Dato che, tradizionalmente, un approccio diretto all’algebra astratta crea difficoltà per lo studente,
abbiamo deciso di iniziare il capitolo richiamando alcune proprietà fondamentali relative all’aritmetica dei numeri naturali. Infatti, queste proprietà da una parte costituiscono un riferimento concettuale esplicito che può
guidare il lettore alla comprensione degli argomenti relativi alla divisione
e alla fattorizzazione dei polinomi, dall’altra ci consentono di presentare
una simbologia di uso corrente nell’ambito del calcolo algebrico ed anche,
come vedremo nei capitoli successivi, in probabilità e statistica. Nel corso
4.1 Concetti preliminari
123
√
di questo capitolo incontreremo sia la funzione radice n-esima ( n x), sia
la funzione logaritmo (loga x): l’approccio matematicamente più appropriato per introdurre queste funzioni passa attraverso l’illustrazione del
concetto di funzione inversa. Si tratta di un argomento molto generale
ed importante, al quale riteniamo opportuno dedicare una sezione specifica che utilizzeremo poi anche nel contesto dello studio delle funzioni
trigonometriche.
4.1
Concetti preliminari
Abbiamo già incontrato l’insieme dei numeri naturali N nel corso del
Capitolo 2:
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} .
(4.1.1)
L’abitudine consolidata in ognuno di noi consente agli autori di ritenere che
nessun lettore abbia difficoltà nel riferirsi ad un proprio schema mentale
operativo che gli permetta di ragionare usando i numeri naturali: lo studio
delle proprietà di N a livello elementare si chiama aritmetica, mentre a
livello superiore è noto col nome di teoria dei numeri. D’altra parte, anche
se non ne svilupperemo i relativi dettagli, è opportuno ribadire ancora che
una definizione matematica formale dell’insieme dei numeri naturali N
richiede l’approccio assiomatico cui si è già accennato nel Capitolo 1 al
momento dell’introduzione dei fondamenti della geometria euclidea.
Con queste premesse, possiamo iniziare a presentare le prime proprietà di
interesse per i nostri obiettivi.
Definizione 4.1. Siano m, n ∈ N. Diciamo che m è un divisore di n se
esiste k ∈ N tale che n = m · k. In questo caso si può anche dire che n è
un multiplo di m, o che n è divisibile per m.
Osservazione 4.1.
(i) Nessun numero naturale positivo è divisibile per 0.
(i) Ogni numero naturale positivo ha almeno due divisori banali: 1 e se
stesso.
Definizione 4.2. Sia n ∈ N, n ≥ 2. Diremo che n è primo se non ha altri
divisori oltre i due divisori banali (cioè 1 e se stesso).
124
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
♦ Esempio 4.1. Ad esempio, i numeri, 2, 3, 5, 7, 11, 53 sono numeri
primi. Esistono infiniti numeri primi, fatto che era già noto ad Euclide1 .
I due teoremi seguenti raccolgono le proprietà fondamentali di cui dovremo
esaminare la generalizzazione nel contesto dei polinomi.
Teorema 4.1 (Teorema fondamentale dell’aritmetica). Ogni numero naturale n ≥ 2 può essere fattorizzato come prodotto di numeri primi, cioè
scritto nella forma:
n = pα1 1 · pα2 2 · . . . · pαr r
(4.1.2)
dove p1 , . . . , pr sono r numeri primi diversi fra loro, mentre gli esponenti
α1 , . . . , αr sono numeri maggiori o uguali a 1. Inoltre, questa decomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Teorema 4.2 (Teorema della divisione e del resto). Si considerino n, m ∈
N, con n ≥ m ≥ 1. Allora sono univocamente determinati due numeri naturali q e r, che sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione
n : m, con le seguenti proprietà:
n = q ·m+r,
0≤r<m.
(4.1.3)
Abbiamo già incontrato, nel Capitolo 2 (si veda la (2.4.6)) il simbolo
di sommatoria Σ. Ora acquistiamo maggiore familiarità con i calcoli
coinvolgenti le sommatorie.
◃ Esercizio 4.1. Calcolare
8
!
i2 .
i=3
Soluzione.
8
!
i=3
1
i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = · · · = 199 .
▹
La dimostrazione di Euclide è la seguente. Supponiamo che i numeri primi siano
finiti e denotiamoli con {p1 , p2 , . . . , pk }. Se adesso consideriamo il numero p̄ = p1 ·
p2 · · · pk + 1 è facile verificare che nessuno dei p1 , p2 , . . . , pk divide p̄. Ma allora p̄ è
un numero primo diverso da p1 , p2 , . . . , pk contraddicendo l’ipotesi che p1 , p2 , . . . , pk
fossero gli unici numeri primi.
4.1 Concetti preliminari
125
Sappiamo che somma e moltiplicazione di numeri reali godono delle seguenti proprietà:
"
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa)
(4.1.4)
c · (a + b) = c · a + c · b
(distributiva) ,
valide ∀ a, b, c ∈ R. Come conseguenza immediata si hanno le seguenti
utili formule relative alle sommatorie (c, ak , bk sono numeri reali arbitrari,
mentre k, m, n ∈ N):
(i)
n
!
k=1
(ii)
n
!
(c · ak ) = c ·
ak +
k=1
(iii)
(iv)
n
!
ak +
n
!
n+m
!
k=1
(vi)
n+m
!
k=n+1
n
!
n
!
k=1
n
!
(ak + bk )
k=1
k=1
ak =
ak
k=1
bk =
k=1
k=1
(v)
n
!
n
!
ak =
n+m
!
ak
k=1
(4.1.5)
ak−m
k=1+m
c=c·n
ak =
n
!
k=1
an−k+1 =
n−1
!
an−k .
k=0
Concettualmente le formule precedenti sono banali, ma sono state inserite
in quanto la loro lettura dovrebbe consentire al lettore di acquisire una
maggiore confidenza con l’importante formalismo matematico che coinvolge gli indici. In questo ordine di idee, nel prossimo esercizio presentiamo
un metodo alternativo per ottenere un risultato che avevamo dimostrato,
nel Capitolo 2, utilizzando il principio di induzione.
126
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
◃ Esercizio 4.2 (Somma dei primi n numeri). Dimostrare che, ∀ n ≥ 1,
si ha:
n
!
n (n + 1)
.
(4.1.6)
k=
2
k=1
Soluzione. Possiamo scrivere:
2
n
!
n
!
k =
k=1
k=1
n
!
(usiamo (4.1.5)(vi)) =
k+
k+
k=1
n
!
(usiamo (4.1.5)(ii)) =
k=1
n
!
k=1
n
!
k=1
k
(n − k + 1)
(k + n − k + 1) =
(usiamo (4.1.5)(v)) = n(n + 1) .
n
!
(n + 1)
k=1
Questa catena di uguaglianze dimostra che:
2
n
!
k = n(n + 1) .
k=1
Dividendo per 2 si ha immediatamente la tesi.
▹
Osservazione 4.2. Il lettore attento dovrebbe aver riconosciuto che l’idea
matematica alla base dello svolgimento del precedente esercizio coincide
con quella del bambino Gauss, illustrata nel Capitolo 2.
◃ Esercizio 4.3 (Progressione geometrica). Siano q ∈ R, q ̸= 1 e n ∈ N,
n ≥ 1. Allora vale la formula:
n
!
1 − q n+1
q =
.
1
−
q
k=0
k
(4.1.7)
Soluzione. Poiché 1 − q ̸= 0, la (4.1.7) è equivalente a:
(1 − q)
n
!
k=0
q k = 1 − q n+1 .
(4.1.8)
4.1 Concetti preliminari
127
Ora, grazie a (4.1.5)(i) e (ii), abbiamo:
(1 − q)
n
!
k
q =
k=0
n
!
k=0
k
q −q
n
!
k
q =
k=0
n
!
k=0
k
q −
n
!
q k+1 .
(4.1.9)
k=0
Usando la (4.1.5)(iv) possiamo riscrivere la (4.1.9) come:
(1 − q)
n
!
k
q =
k=0
n
!
k=0
k
q −
n+1
!
qk .
(4.1.10)
k=1
Infine, usando la (4.1.5)(iii):
(1 − q)
n
!
qk = 1 +
k=0
n
!
k=1
qk −
#
n
!
k=1
q k + q n+1
$
= 1 − q n+1 ,
(4.1.11)
come richiesto.
▹
Definizione 4.3. Sia n ∈ N. Si definisce il numero n! (si legge n fattoriale) come segue:
"
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2
se n ≥ 2
n! =
(4.1.12)
1
se n = 1 o n = 0 .
♦ Esempio 4.2.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 ;
6! = 6 · 5! = 720 .
Più generalmente, non sussiste difficoltà nel capire le due seguenti uguaglianze (dove k < n):
n!
= n · (n − 1) · (n − 2) · · · (k + 1) . (4.1.13)
k!
% &
Definizione 4.4. Siano n, k ∈ N , n ≥ k. Si definisce il numero nk (si
legge n su k, ed è chiamato coefficiente binomiale) come segue:
⎧
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1)
' ( ⎪
⎨
se k ≥ 1
n
k!
(4.1.14)
=
⎪
k
⎩
1
se k = 0 .
(n + 1)! = (n + 1) · n! ;
128
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Si osservi che il numeratore, nella frazione che definisce il coefficiente
binomiale, è il prodotto di k numeri naturali: in particolare,
' (
n
=n.
1
♦ Esempio 4.3.
' (
7·6·5·4
7
7· ̸ 6 · 5· ̸ 4
=
=
= 35 .
4
4!
̸ 4· ̸ 3· ̸ 2
Osservazione 4.3. Una formula alternativa per definire il coefficiente binomiale è:
' (
n
n!
=
.
(4.1.15)
k
k! (n − k)!
Il lettore non dovrebbe avere problemi a riconoscere che (4.1.14) e (4.1.15)
sono equivalenti. Inoltre, possiamo anche notare che dalla (4.1.15) segue
facilmente la seguente simmetria del coefficiente binomiale:
(
' ( '
n
n
.
(4.1.16)
=
n−k
k
◃ Esercizio 4.4. Dimostrare la seguente uguaglianza:
'
( ' ( '
(
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k
k+1
(4.1.17)
Soluzione. Applicando la definizione (4.1.15) troviamo:
' ( '
(
n!
n
n
n!
+
.
+
=
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
k
k+1
Riportando queste ultime due frazioni a comune denominatore otteniamo:
' ( '
(
n
n
(k + 1) n!
n! (n − k)
+
=
+
,
k
k+1
(k + 1) k! (n − k)! (k + 1)! (n − k) (n − k − 1)!
ovvero, proseguendo il calcolo:
' ( '
(
n
n
n! · [̸ k + 1 + n− ̸ k]
+
=
(k + 1)! (n − k)!
k
k+1
'
(
(n + 1)!
n+1
=
=
.
k+1
(k + 1)! ((n + 1) − (k + 1))!
▹
4.1 Concetti preliminari
129
Il coefficiente binomiale trova ampio impiego all’interno del calcolo combinatorio e della teoria della probabilità, come illustreremo in dettaglio nel
Capitolo 6. Per il momento, per noi il coefficiente binomiale gioca un ruolo
essenziale nel seguente importante risultato (cui deve il nome).
Teorema 4.3 (Formula del binomio di Newton). Siano a, b ∈ R, e n ∈
N, n ≥ 1. Allora vale la seguente formula di sviluppo della potenza nesima di un binomio:
n ' (
!
n k n−k
n
a b
.
(4.1.18)
(a + b) =
k
k=0
Dimostrazione. Dimostriamo la (4.1.18) per induzione sulla potenza n.
La (4.1.18) è vera per n = 1: infatti, ricordando che x0 = 1 , ∀ x ∈ R,
abbiamo:
' (
' (
1 ' (
!
1 k 1−k
1 0 1
1 1 0
a b
=
ab +
a b = 1·1·b+1·a·1 = a+b = (a+b)1 .
k
0
1
k=0
Ora supponiamo la (4.1.18) vera per n e dimostriamola per n + 1. Per
ipotesi induttiva si ha:
(a + b)n+1 = (a + b) (a + b)n
n ' (
!
n n−k k
a
b
= (a + b)
k
k=0
(
'
n ' (
n
!
! n
n n−k k+1
an+1−k bk +
a
b
. (4.1.19)
=
k
k
k=0
k=0
Adesso
(
' (
n−1 '
n ' (
!
!
n
n n+1−k k
n n+1
an−k bk+1 ,
a
b =
a
+
k+1
k
0
k=0
(4.1.20)
k=0
mentre
' (
n−1 ' (
n ' (
!
n n+1
n n−k k+1 ! n n−k k+1
b
.
a
b
+
a
b
=
n
k
k
k=0
k=0
(4.1.21)
130
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Ora sostituiamo la (4.1.20) e la (4.1.21) nella (4.1.19). Tenendo conto
della (4.1.17) e delle (4.1.5) troviamo:
(a + b)
n+1
=
=
=
=
'
((
' (
' (
n−1 '' (
n
n
n n+1
n n+1 !
n−k k+1
+
a
b
+
b
a
+
k
k
+
1
n
0
k=0
(
' (
' (
n−1 '
!
n n+1
n + 1 n−k k+1
n n+1
a
b
+
a
+
b
k
+
1
0
n
k=0
(
'
(
'
(
n '
!
n + 1 n+1−k k
n + 1 n+1
n + 1 n+1
a
b +
b
a
+
k
n
+
1
0
k=1
(
'
n+1
!
n + 1 n+1−k k
a
b ,
k
k=0
cosa che completa la dimostrazione induttiva. Si noti anche che, per la
terza di quest’ultima serie di uguaglianze, abbiamo usato
' ( '
(
' ( '
(
n
n
n+1
n+1
=
(= 1) e
=
(= 1) .
0
0
n
n+1
◃ Esercizio 4.5 (Disuguaglianza di Bernoulli). Sia x ∈ R, x ≥ 0. Allora,
per ogni n ∈ N, vale la seguente disuguaglianza:
(1 + x)n ≥ 1 + nx .
(4.1.22)
Soluzione. Usando la formula del binomio di Newton possiamo scrivere:
' (
n ' (
!
n k
n 2
(1 + x) =
x = 1 + nx +
x + . . . ≥ 1 + nx ,
k
2
n
k=0
in quanto, valendo l’ipotesi x ≥ 0, tutti i termini trascurati sono non negativi.
▹
In realtà, come dimostreremo mediante induzione su n in uno degli esercizi
di riepilogo che seguono, la disuguaglianza (4.1.22) è valida anche sotto
l’ipotesi meno restrittiva: x ≥ −1.
4.2 Polinomi
131
Per completezza, concludiamo questo paragrafo introduttivo presentando
alcune formule note con il nome di prodotti notevoli. Nello spirito della
formula del binomio di Newton, queste uguaglianze consentono, in molti
casi, di semplificare determinate espressioni algebriche.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
a2 − b2
a3 − b3
a3 + b3
an − bn
=
=
=
=
(a + b) (a − b)
(a − b) (a2 + ab + b2 )
(a + b) (a2 − ab + b2 )
(a − b) (an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) .
(4.1.23)
Inoltre, per n dispari:
an + bn = (a + b) (an−1 − an−2 b + an−3 b2 · · · − abn−2 + bn−1 ) . (4.1.24)
Il lettore è invitato ad eseguire esplicitamente i calcoli necessari a verificare
i prodotti notevoli (4.1.23)–(4.1.24).
4.2
Polinomi
Un polinomio di grado n, a coefficienti in R, è una funzione P : R → R
definita da una legge del tipo:
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
(an ̸= 0) ,
(4.2.1)
dove i coefficienti a0 , . . . , an sono dei numeri reali assegnati. Una notazione
equivalente, più sintetica, è:
P (x) =
n
!
j=0
aj xj ,
aj ∈ R , an ̸= 0 .
(4.2.2)
In particolare, i polinomi costanti P (x) ≡ a0 hanno grado zero. Se poi
a0 = 0, allora P (x) si chiama polinomio nullo (P (x) ≡ 0) (in questi casi,
la simbologia “≡” sostituisce “=” per sottolineare che l’uguaglianza vale
∀ x). I polinomi con un solo coefficiente non nullo vengono detti monomi,
mentre se i coefficienti non nulli sono due o tre si parla rispettivamente di
binomi o trinomi.
Definizione 4.5. Diremo che x0 ∈ R è una radice di P (x) se è una
soluzione dell’equazione P (x) = 0, o, in altre parole, se
P (x0 ) = 0 .
(4.2.3)
132
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Se x0 è una radice di P (x), allora esiste un’unica fattorizzazione di P (x)
del tipo:
P (x) = (x − x0 )k Q(x) ,
(4.2.4)
dove k ∈ N, k ≥ 1, mentre Q(x) ha grado (n − k) e Q(x0 ) ̸= 0. Il
numero naturale k si chiama molteplicità algebrica di x0 e si indica con la
simbologia:
µa (x0 ) = k .
(4.2.5)
Per capire meglio questi concetti e svolgere esercizi in merito è necessario
richiamare alcuni risultati fondamentali relativi alla divisione di polinomi. Anche se questo è un argomento ampiamente trattato nei testi di
matematica delle scuole superiori, riteniamo utile richiamare i principali aspetti operativi della questione. Iniziamo con l’enunciato del teorema
che rappresenta, in questo contesto, l’analogo del Teorema 4.2 relativo alla
divisione con resto nell’ambito dell’insieme dei numeri naturali N.
Teorema 4.4 (Teorema della divisione e del resto per polinomi). Siano P (x), P ′ (x) due polinomi a coefficienti reali, di grado rispettivamente
n, n′ ∈ N, con n ≥ n′ . Allora sono univocamente determinati due polinomi Q(x) e R(x), detti rispettivamente quoziente e resto della divisione
P (x) : P ′(x), con le due seguenti proprietà:
"
(i) P (x) = P ′ (x) · Q(x) + R(x)
(4.2.6)
(ii) R(x) ≡ 0 oppure r < n′ ,
dove r indica il grado di R(x).
Nel prossimo importante esercizio studiamo il concetto di molteplicità
algebrica di una radice e impariamo, attraverso un semplice esempio, come
effettuare la divisione di polinomi di cui al Teorema 4.4.
◃ Esercizio 4.6. Sia P (x) = x4 − 3x3 + 2x2 + x − 1. Verificare che x0 = 1
è una radice di P (x) e determinare µa (1).
Soluzione. Si ha
P (1) = 14 − 3 · 13 + 2 · 12 + 1 − 1 = 0 ,
per cui effettivamente x0 = 1 è una radice di P (x). Per ottenere la fattorizzazione (4.2.4) dobbiamo dividere P (x) per il polinomio di primo grado (x − 1).
4.2 Polinomi
133
La seguente sequenza illustra appunto il cosiddetto algoritmo euclideo per la
divisione dei polinomi:
+x4
+x4
!
−3x3
+2x2
−2x3
+2x2
−x3
−2x3
!
+x
+x
−1
+x
−1
+2x2
!
+x
(Resto R(x) = )
−1
!
x−1
x3 − 2x2 + 1 (= Q(x) )
−1
!
(4.2.7)
Il procedimento per costruire l’algoritmo di divisione (4.2.7) segue la logica della
divisione tra numeri naturali ed è il seguente: si costruisce Q(x) decrescendo dal
monomio di grado maggiore (3 nella nostra situazione), individuato come quel
monomio (x3 in questo caso) che, moltiplicato per il divisore (x − 1), genera
un polinomio il cui monomio di grado maggiore (x4 in questo esempio) coincide
con quello del dividendo P (x). Si scrive poi il risultato di questa moltiplicazione
sotto P (x) e si effettua la sottrazione, trovando in questo caso:
−2x3 + 2x2 + x − 1 .
Si continua allo stesso modo, determinando il secondo monomio di Q(x) (−2x2
nel nostro esempio): il procedimento termina quando si ottiene resto nullo (come
in questo caso) o di grado strettamente inferiore a quello del divisore.
In conclusione, mediante l’algoritmo di divisione (4.2.7) abbiamo ottenuto:
P (x) = (x − 1) Q(x) + R(x) ,
con Q(x) = x3 − 2x2 + 1 e R(x) ≡ 0. Per comodità riscriviamo esplicitamente
questo risultato:
P (x) = (x − 1) (x3 − 2x2 + 1) .
(4.2.8)
134
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Poiché Q(1) = 0, la fattorizzazione non è ancora terminata e bisogna dividere
Q(x) per x − 1. Abbiamo:
+x3
+x3
!
−2x2
+1
−x2
+1
−x2
−x2
x−1
x2 − x − 1.
(4.2.9)
+x
−x
!
−x
!
+1
+1
!
Da cui Q(x) = (x − 1) (x2 − x − 1), che sostituita in (4.2.8) fornisce:
P (x) = (x − 1)2 (x2 − x − 1) ,
(4.2.10)
che è la fattorizzazione di tipo (4.2.4) richiesta, in quanto x0 = 1 non è radice
di (x2 − x − 1). Allora la molteplicità algebrica vale µa (1) = 2.
▹
Definizione 4.6. Sia
P (x) = ax2 + bx + c ,
a ̸= 0 ,
un polinomio di secondo grado. Diciamo che P (x) è irriducibile se non ha
radici reali.
♦ Esempio 4.4. Il polinomio
P (x) = x2 + 1
è irriducibile.
Possiamo adesso enunciare il seguente importante risultato che generalizza al contesto dei polinomi il Teorema 4.1 di fattorizzazione dei numeri
naturali in prodotto di numeri primi.
Teorema 4.5 (Fattorizzazione di polinomi). Ogni polinomio a coefficienti
reali, di grado n ≥ 1, può essere fattorizzato come prodotto di potenze di
polinomi di primo grado e polinomi di secondo grado irriducibili. Inoltre,
questa decomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
4.2 Polinomi
135
Va sottolineato che una giustificazione rigorosa degli enunciati e delle proprietà illustrate in questa sezione sui polinomi costituisce materia avanzata, normalmente oggetto di corsi universitari specifici. In particolare, uno
studio algebrico completo dei polinomi può avvenire solo in congiunzione
con l’introduzione del corpo dei cosiddetti numeri complessi, un argomento
che non rientra negli obiettivi di questo libro.
Detto questo, appare naturale la necessità di discutere quando, ed eventualmente come, sia possibile determinare esplicitamente le radici di un
dato polinomio. Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive per determinare, in generale, le radici di polinomi di grado superiore
a quattro. Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre e
quattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse per questo livello di
trattazione. Invece, riprendendo il discorso, iniziato nel Capitolo 3, relativo alla rappresentazione grafica di parabole, è possibile ed utile illustrare
in dettaglio la situazione per i polinomi di secondo grado: in particolare,
possiamo derivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
Procediamo con ordine. Per prima cosa, ricordando l’ipotesi a ̸= 0,
scriviamo:
'
(
b
2
2
ax + bx + c = a x + x + c
a
'
(2 '
(
b
b2
= a x+
+ c−
2a
4a
= a(x − x0 )2 −
(4.2.11)
∆
,
4a
dove abbiamo posto:
x0 = −
b
2a
e
∆ = b2 − 4ac .
(4.2.12)
Facciamo il punto della situazione: grazie alla (4.2.11) possiamo dire che
l’equazione
ax2 + bx + c = 0
(4.2.13)
equivale a:
a(x − x0 )2 =
∆
.
4a
(4.2.14)
136
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Quindi, se ∆ < 0, ora possiamo subito concludere che non ci sono radici
reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile.
Invece, se ∆ ≥ 0, una semplice ispezione di (4.2.14) fornisce:
∆
x − x0 = ±
,
4a2
ovvero
-
∆
.
(4.2.15)
4a2
Infine, usando l’espressione esplicita di x0 data in (4.2.12), concludiamo che le due radici sono proprio quelle già anticipate nella (3.2.8) del
Capitolo 3, cioè:
√
√
−b + ∆
−b − ∆
,
x2 =
(4.2.16)
x1 =
2a
2a
x = x0 ±
(si noti che x1 = x2 quando ∆ = 0). Infine, un calcolo diretto consente
di verificare che, quando ∆ ≥ 0, vale la fattorizzazione già presentata nel
Capitolo 3, ovvero:
ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) ,
(4.2.17)
dove x1 e x2 sono le radici, come in (4.2.16). Il lettore preoccupato dall’astrattezza e difficoltà di questi concetti algebrici troverà diversi esercizi
utili nel §4.5. Però, al fine di raggiungere più rapidamente una visione
completa degli argomenti di questo capitolo, consigliamo ora di passare
direttamente all’importante sezione successiva.
4.3
Il concetto di funzione inversa
Questa sezione richiede una certa assimilazione del concetto di funzione e
quindi potrebbe essere anche ristudiata dopo aver acquisito una maggiore
maturità matematica. D’altra parte, un primo approccio al concetto di
funzione inversa si rende necessario fin da ora, in quanto ci consentirà,
ad esempio, di introdurre rapidamente, nel successivo §4.4, l’importante
funzione logaritmo. Un suggerimento che riteniamo possa essere di aiuto
nella comprensione di quanto illustreremo è il seguente: si tenga sempre
4.3 Il concetto di funzione inversa
137
conto del fatto che una funzione non è identificata solo dalla legge che la
definisce (ad esempio, f (x) = 4x + 1), ma anche dalla assegnazione del
suo dominio e del suo codominio.
Definizione 4.7. Siano g : A → B, e f : B → C due funzioni. Allora si
chiama funzione composta f ◦ g : A → C la funzione definita da:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) ,
∀x ∈ A .
(4.3.1)
♦ Esempio 4.5. Siano f : R → R una funzione qualsiasi e sia g : R → R
la funzione definita da
g(x) = x + c ,
∀x ∈ R ,
dove c ∈ R è una costante fissata. Allora abbiamo:
(i) (f ◦ g)(x) = f (x + c) ,
∀x ∈ R
(ii) (g ◦ f )(x) = f (x) + c ,
∀x ∈ R .
(4.3.2)
Avevamo già tacitamente incontrato questi esempi nel Capitolo 3, quando
abbiamo descritto traslazioni orizzontali e verticali di grafici di funzione.
Osservazione 4.4. Non è sempre possibile effettuare la composizione di
due funzioni. Più precisamente, la (4.3.1) richiede che le immagini g(x)
stiano nel dominio di f .
Inoltre, sottolineiamo che l’ordine di applicazione delle funzioni f e g è
essenziale: pertanto, anche nei casi in cui hanno senso sia f ◦ g, sia g ◦ f ,
in generale esse daranno luogo a risultati diversi, come è evidente anche
nell’Esempio 4.5.
♦ Esempio 4.6. Si considerino le due funzioni seguenti: f : R → R
definita da
f (x) = x + 2 ,
∀x ∈ R
e g : R\{0} → R , con
g(x) =
1
,
x
∀ x ∈ R\{0}
138
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
(ricordiamo che la scrittura R\{0} indica la differenza di insiemi definita
nel §2.1: in questo caso, equivale a R privato dello 0). In questa situazione
si può considerare f ◦ g : R\{0} → R , che fornisce:
(f ◦ g)(x) =
1
+2,
x
∀ x ∈ R , x ̸= 0 .
Invece g ◦ f non ha senso, in quanto avremmo:
(g ◦ f )(x) =
1
,
(x + 2)
∀x ∈ R ,
legge che non è accettabile poiché nel punto x = −2 il denominatore si
annullerebbe.
Definizione 4.8. Sia A un insieme. La funzione identità di A, generalmente indicata col simbolo IA , è la funzione IA : A → A definita da
IA (x) = x , ∀ x ∈ A.
Definizione 4.9. Sia f : A → B. Diremo che f ammette funzione inversa
se esiste g : B → A tale che
(i) g ◦ f = IA ;
(ii) f ◦ g = IB .
(4.3.3)
Se tale inversa g esiste, viene indicata con il simbolo f −1 . Notiamo anche che le richieste (4.3.3) possono essere esplicitate nel seguente modo
equivalente:
(i) (f −1 ◦ f )(x) = x ,
∀x ∈ A
(4.3.4)
−1
(ii) (f ◦ f )(y) = y ,
∀y ∈ B .
Le (4.3.4) consentono di capire bene il significato della funzione inversa
f −1 . In pratica f −1 è quella funzione che consente di tornare indietro, cioè
f −1 applicata a f (x) deve restituire x. È chiaro che non sempre questo
processo è possibile. Più precisamente, vale la seguente:
Proprietà 4.1. Sia f : A → B. Allora f è invertibile (cioè ammette
inversa f −1 : B → A) se e solo se f è bigettiva.
♦ Esempio 4.7. Sia A = {a, b, c, d}. Definiamo f : A → A come segue:
f (a) = b, f (b) = c, f (c) = d, f (d) = a. Questa f è bigettiva e la sua
inversa f −1 : A → A può essere facilmente costruita ponendo: f −1 (b) = a,
f −1 (c) = b, f −1 (d) = c, f −1 (a) = d.
4.3 Il concetto di funzione inversa
139
Ora passiamo a situazioni di maggiore interesse per noi, e cioè al caso di
funzioni f : A → B con A e B sottoinsiemi di R.
♦ Esempio 4.8. Sia f : R → R definita da f (x) = x2 , ∀ x ∈ R. Questa
funzione non è invertibile. Infatti, riprendendo brevemente quanto già
visto nel Capitolo 3, basta osservare che f (1) = f (−1) per concludere che
f non è iniettiva. In realtà, f non è neanche surgettiva, in quanto, ad
esempio, non esiste alcun x ∈ R tale che x2 = −1.
Introduciamo ora una terminologia che è molto usata anche in altri contesti. Più precisamente, riprendendo quanto anticipato nell’Esercizio 2.23,
diciamo: dati due numeri reali a e b, con a < b, poniamo:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} .
(4.3.5)
L’insieme (a, b) viene chiamato intervallo aperto di estremi a e b (si noti
che a ̸∈ (a, b) e b ̸∈ (a, b)). In modo simile, scriviamo:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .
(4.3.6)
L’insieme [a, b] viene chiamato intervallo chiuso di estremi a e b (ora a ∈
[a, b] e b ∈ [a, b]). Il contesto di lavoro consente normalmente di non
confondere l’intervallo chiuso [a, b] con il punto del piano cartesiano di
coordinate [a, b]! Sono anche ammissibili situazioni in cui l’intervallo è
aperto a destra e chiuso a sinistra, o viceversa. O, ancora, si può avere
b = +∞ oppure a = −∞ (∞ si legge infinito2 ). Ad esempio:
(1, 4] = {x ∈ R : 1 < x ≤ 4} ;
[1, +∞) = {x ∈ R : x ≥ 1} .
Torniamo ora allo studio delle funzioni inverse illustrando il caso, tacitamente già noto ma fondamentale, della funzione radice quadrata.
2
Il simbolo ∞ ha il significato di infinito, cioè maggiore (minore) di qualunque
numero reale. In particolare, si noti che +∞ e −∞ non appartengono alla retta reale.
Infatti, se, per esempio, +∞ vi appartenesse, allora si potrebbe facilmente costruire
un numero reale maggiore di +∞ (basterebbe sommargli 1), cosa che contraddirebbe
la definizione stessa di +∞.
140
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
♦ Esempio 4.9. Sia f : [0, +∞) → [0, +∞) definita da f (x) = x2 .
Ora questa legge definisce una funzione bigettiva, la cui inversa, f −1 :
[0, +∞) → [0, +∞)
√ è tradizionalmente indicata col nome di radice quadrata e simbolo x. In questo caso le (4.3.4) diventano:
.
√
(4.3.7)
(x2 ) = x , ∀ x ≥ 0 ; (ii) ( x)2 = x , ∀ x ≥ 0 .
(i)
Il grafico di queste funzioni è illustrato nella Figura 4.1.
Osservazione 4.5. Il lettore attento avrà notato che, in diverse circostanze,
avevamo già operativamente utilizzato il concetto di radice quadrata: ad
esempio, per dedurre la formula risolutiva (4.2.16) per le equazioni di
secondo grado.
y
f (x)=x2
f (x)=x
√
f (x)= x
1
x
1
Figura 4.1 – Grafici delle funzioni x2 e
√
x, x≥0.
Più in generale, si può considerare f : [0, +∞) → [0, +∞) definita da
f (x) = xn , con n ∈ N , n > 0, n
pari. Anche in questo caso, l’inversa
√
−1
n
esiste ed è indicata con f (x) = x, x ≥ 0 (radice n-esima di x).
♦ Esempio 4.10. Nel caso di esponente n dispari, f (x) = xn realizza
una
funzione bigettiva f : R → R. La sua inversa è ancora denotata
√
n
x, x ∈ R. In Figura 4.2 è rappresentato il caso n = 3.
◃ Esercizio 4.7. Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:
f (x) = 3x + 1 ,
x∈R.
Determinare l’espressione che definisce f −1 : R → R .
(4.3.8)
4.3 Il concetto di funzione inversa
y
141
f (x)=x3
f (x)=x
f (x)=
√
3
x
1
x
1
Figura 4.2 – Grafici delle funzioni x3 e
√
3
x , x ∈ R.
Soluzione. Applicando f a x si ottiene (3x + 1). Ora, per ritornare indietro al
valore x di partenza, bisogna sottrarre 1 e poi dividere per 3: cioè, in formule
y−1
,
3
f −1 (y) =
∀y ∈ R .
(4.3.9)
Lo stesso ragionamento, formalizzato in modo algebrico, si realizza scrivendo
(3x + 1) = y; da ciò si ricava
x=
y−1
= f −1 (y) ,
3
che coincide con (4.3.9). Notiamo che, per rappresentare convenientemente f −1
nel piano cartesiano, possiamo riscrivere la (4.3.9) come
f −1 (x) =
x−1
,
3
x∈R.
▹
◃ Esercizio 4.8. Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:
√
f (x) = 5 x + 2 ,
x∈R.
Determinare l’espressione che definisce f −1 : R → R .
142
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Soluzione. L’inversa è
f −1 (x) = x5 − 2 ,
x∈R.
▹
Guardando le Figure 4.1 e 4.2 si può osservare che sussiste una simmetria
rispetto alla bisettrice (del primo quadrante) y = x: questa è una proprietà
di validità generale che ora esaminiamo.
Proprietà 4.2. Sia f : A → B invertibile, con A e B sottoinsiemi di
R. Allora il grafico di f −1 e il grafico di f risultano uno il simmetrico
dell’altro rispetto alla bisettrice y = x.
Dimostrazione. (*)
Γf −1 = {[x, f −1 (x)] ∈ R2 : x ∈ B}
= {[f (x), f −1 (f (x))] ∈ R2 : x ∈ A}
= {[f (x), x] ∈ R2 : x ∈ A} .
D’altra parte,
Γf = {[x, f (x)] ∈ R2 : x ∈ A} .
Dunque Γf −1 si ottiene da Γf (e viceversa) scambiando i ruoli di ascissa e
ordinata. Geometricamente, questo è quanto espresso nella Proprietà 4.2.
A titolo di esercizio, il lettore potrà ora verificare la Proprietà 4.2 per la
funzione dell’Esercizio 4.7.
4.4
Potenze, esponenziali e logaritmi
Ora siamo nella situazione ottimale per riprendere ed approfondire lo studio delle funzioni potenza, definite da f (x) = xn , x ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1. In
questo paragrafo metteremo in luce, per prima cosa, le naturali proprietà
algebriche di queste funzioni, poi passeremo a considerare il caso in cui
l’esponente è un qualunque numero reale. Una trattazione matematica
completa, e formalmente rigorosa, di quest’ultimo passaggio risulterebbe
troppo complessa in questa sede, quindi abbiamo optato per un approccio
che ci porrà in una posizione conveniente dal punto di vista applicativo.
4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi
143
Iniziamo dalle proprietà elementari:
xn ·xm = xn+m = xm ·xn ,
(xn )m = xn·m = (xm )n ,
(4.4.1)
(4.4.2)
valide per x ∈ R, n, m ∈ N, n, m ≥ 1. Il primo fatto importante è
che, se x > 0, le (4.4.1)–(4.4.2) continuano a essere valide anche quando
n, m ∈ Q, a condizione di porre:
x0 = 1 ,
∀x ∈ R,
x ̸= 0 ,
(4.4.3)
√
n
(4.4.4)
e di considerare, per n ∈ N, n ≥ 1,
x−n =
1
xn
e
1
xn =
x,
√
dove n x è la funzione inversa di xn , come descritto nel §4.3. Volendo riassumere ciò che abbiamo detto, siamo arrivati ad affermare che possiamo
considerare una famiglia di funzioni f (x) = xa , con a ∈ Q fissato, definite
almeno per x > 0 (il caso a = 0 non ha interesse in questo contesto, quindi
per semplicità possiamo assumere a ̸= 0). Attraverso un opportuno processo di limite che, come accennato sopra, è assai articolato e quindi non
descriviamo, si arriva infine a definire le cosiddette funzioni potenza con
esponente reale, cioè
f (x) = xa ,
x>0,
(4.4.5)
dove l’esponente a in (4.4.5) è un qualunque numero reale, non nullo,
fissato. Per cogliere la sottigliezza dell’argomento notiamo che, se da una
parte una scrittura del tipo 35/2 ha un significato chiaro, in quanto
√
35/2 = (35 )1/2 = 35 ,
√
dall’altra una scrittura del tipo 3 2 richiede un processo non banale di
approssimazione: inoltre, ciò coinvolge non solo la definizione (4.4.5),
ma anche la verifica che le (4.4.1)–(4.4.2) continuano a sussistere. Più
precisamente, si arriva a provare che valgono le seguenti proprietà:
xa ·xb = xa+b = xb ·xa ,
(xa )b = xa·b = (xb )a ,
x > 0, a, b ∈ R
x > 0, a, b ∈ R .
(4.4.6)
(4.4.7)
144
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
y
y
y
1
1
1
1
(a)
x
1
x
(b)
x
1
(c)
Figura 4.3 – Grafico di f (x) = xa : (a) 1 > a > 0 , x ≥ 0 ; (b) 1 < a , x ≥ 0 ;
(c) a < 0 , x > 0.
I grafici delle funzioni potenza hanno qualitativamente un andamento
come mostrato nelle Figure 4.3.
Si noti che nella definizione (4.4.5) della funzione potenza, la restrizione
x > 0 assicura di poter scegliere come esponente a un qualunque numero
reale. Resta però vero quanto discusso nel §4.3, e cioè, in particolare, che
se n è un numero naturale dispari, allora x1/n ha senso ∀ x ∈ R.
Se invece si considera, in (4.4.5), la base x come fissata e l’esponente
come variabile, si ottengono le cosiddette funzioni esponenziali. Più precisamente, se a ∈ R, a > 0, definiamo la funzione esponenziale di base a
come:
f (x) = ax ,
x∈R.
(4.4.8)
Le principali proprietà di questa famiglia di funzioni sono ovviamente
coerenti con quanto già visto per le potenze. In particolare, ∀ a, b, x, y ∈
R , con a, b > 0 , si ha:
4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi
(i)
a0 = 1 ,
(ii)
ax > 0 ;
145
1x = 1
(iii) ax+y = ax · ay
(iv) (a · b)x = ax · bx
(v)
(4.4.9)
(ax )y = axy = (ay )x
(vi) se a > 1 , allora : (x < y) ⇒ (ax < ay )
(vii) se 0 < a < 1 , allora : (x < y) ⇒ (ax > ay ) .
In particolare, la (4.4.9)(vi) dice che, se a > 1, la funzione esponenziale
f (x) = ax è strettamente crescente su R. Invece, da (4.4.9)(vii), questa
funzione è strettamente decrescente su R quando 0 < a < 1. Si vedano le
Figure 4.4 (a) e (b) per un grafico qualitativo delle funzioni esponenziali.
y
y
f (x)=ax , a>1
f (x)=ax , a<1
1
1
x
(a)
x
(b)
Figura 4.4 – (a) Grafico di f (x) = ax (a > 1 ). (b) Grafico di f (x) = ax (0 <
a < 1 ).
Osservazione 4.6. In generale, una funzione f : A → R, con A ⊆ R, è
strettamente crescente (decrescente) su A se:
%
&
x < y ⇒ f (x) < f (y)
f (x) > f (y) ,
∀ x, y ∈ A .
(4.4.10)
146
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Si tratta sicuramente di un concetto molto intuitivo e facilmente visualizzabile: a parole, un andamento strettamente crescente corrisponde all’alzarsi del grafico di f mano a mano che ci si sposta verso destra. Questi
concetti sono comunemente impiegati nello studio qualitativo di funzioni, soprattutto in relazione al concetto di funzione derivata. Visto però
che la nostra trattazione non toccherà questi aspetti faremo un uso molto
limitato della nozione di funzione strettamente crescente o decrescente.
Guardando i grafici di Figura 4.4 non è difficile convincersi del fatto che,
se a ̸= 1, le funzioni esponenziali f : R → (0, +∞), f (x) = ax , sono
bigettive e quindi invertibili.
L’inversa f −1 : (0, +∞) → R dell’esponenziale ax si chiama funzione
logaritmo in base a di x, indicato con loga x.
◃ Esercizio 4.9. Tracciare qualitativamente l’andamento grafico della
funzione loga x, x > 0, separando i due casi: 0 < a < 1 e a > 1.
Soluzione. Sappiamo, dalla Proprietà 4.2, che il grafico di f −1 e quello di f
sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto alla bisettrice y = x. Quindi abbiamo,
per il caso a > 1, un comportamento come in Figura 4.5a.
Invece, nel caso 0 < a < 1, qualitativamente si ottiene il risultato di Figura 4.5b.
▹
y
y
ax
f (x)=x
ax
f (x)=x
loga x
1
1
1
x
1
x
loga x
(a)
(b)
Figura 4.5 – Grafici di loga x e di ax : (a) caso a > 1; (b) caso 0 < a < 1.
4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi
147
Ricordiamo che, dato che ax e loga x sono una l’inversa dell’altra, valgono,
in virtù delle (4.3.4), le seguenti relazioni fondamentali:
loga ax = x ,
∀x ∈ R ;
aloga x = x ,
∀x ∈ R , x > 0 .
(4.4.11)
Utilizzando le (4.4.11) e le (4.4.9) è possibile ottenere le principali proprietà dei logaritmi. Più precisamente, se a, b, x, y sono numeri reali positivi,
con a, b ̸= 1, allora:
(i)
loga xy = loga x + loga y
(ii) loga xα = α loga x ,
(iii) logb x =
∀α ∈ R
(4.4.12)
loga x
.
loga b
◃ Esercizio 4.10. Verificare le proprietà (4.4.12) usando le (4.4.9) e (4.4.11).
Soluzione. (i)
loga x + loga y = loga [aloga x+loga y ]
= loga [aloga x aloga y ] = loga xy
(ii)
xα = (aloga x )α = aα loga x .
Ora, applicando loga al primo e all’ultimo membro dell’uguaglianza, si ottiene
esattamente la (ii).
(iii) Usando la (ii) si ha:
loga x = loga blogb x = (logb x) (loga b) .
▹
Osservazione 4.7.
loga
x
= loga x · y −1 = loga x + loga y −1
y
= loga x − loga y ,
∀ a, x, y > 0 , a ̸= 1 .
148
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Un valore abbastanza usato, specialmente in certi campi dell’ingegneria
(ad esempio, nella scala decibel) per la base a del logaritmo è a = 10:
in questo caso, scriveremo Log x invece di log10 x. Però la base di gran
lunga più usata per i logaritmi è il cosiddetto numero di Nepero e che
abbiamo già menzionato nel Capitolo 2. Ricordiamo che si tratta di un
numero reale irrazionale, di tipo trascendente, le cui prime cifre decimali
sono riportate nella seguente approssimazione:
e ≈ 2, 718182
(4.4.13)
La funzione logaritmo con base e è tradizionalmente chiamata logaritmo
naturale di x e si indica col simbolo ln x . La funzione esponenziale con
base e, cioè ex , è anche semplicemente detta funzione esponenziale.
◃ Esercizio 4.11. Determinare gli x ∈ R che verificano
log4 42x − 3 = |x| .
Soluzione. Usando (4.4.12)(ii), l’equazione diventa:
2x log4 4 − 3 = |x| .
Applicando ora la (4.4.11), si ottiene
2x − 3 = |x| .
(4.4.14)
Ora, se x < 0, la (4.4.14) non può essere verificata, in quanto a destra dell’uguale
avremmo una quantità positiva, mentre a sinistra ne avremmo una negativa.
Quindi si deve avere x ≥ 0, per cui la (4.4.14) diventa
2x − 3 = x ,
che ovviamente ha come unica soluzione x = 3.
▹
◃ Esercizio 4.12. Determinare gli x ∈ R che soddisfano
28+x + 2x = 22x .
(4.4.15)
4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi
149
Soluzione. Usiamo le (4.4.9)(iii) e (v). La (4.4.15) diventa:
28 · 2x + 2x = (2x )2 ,
cioè
/
0
2x 28 + 1 − 2x = 0 .
Poiché 2x > 0 ∀ x ∈ R (vedi (4.4.9)(ii)), l’unica possibilità è:
2x = 1 + 28 ,
da cui x = log2 (1 + 28 ) = log2 (257).
▹
◃ Esercizio 4.13. Ripetere l’esercizio precedente sostituendo la (4.4.15)
con:
28+x − 2x = 2−x .
(4.4.16)
Soluzione. Moltiplicando entrambi i lati dell’equazione per la quantità positiva
2x , vediamo che la (4.4.16) equivale a:
28 · 22x − 22x = 1 ,
ovvero
22x =
28
1
1
=
.
−1
255
Applicando il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri si ottiene:
2x log2 2 = log2
1
.
255
Un ultimo passaggio fornisce il risultato seguente:
1
1
x = log2
= log2
2
255
-
1
1
= − log2 255
255
2
(il lettore sia consapevole della possibilità di scrivere il risultato in diversi modi
equivalenti tra loro).
▹
150
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
4.5
Esercizi di riepilogo
Definizione 4.10. Una funzione razionale (fratta) è una funzione definita
da una legge del tipo:
P (x)
,
(4.5.1)
T (x) = ′
P (x)
dove P (x) e P ′ (x) sono due polinomi (ovviamente, la funzione razionale
T (x) risulta definita solo per i valori di x ∈ R per cui il denominatore è
̸= 0 ).
Nella teoria degli integrali (si vedano [2], [12]) è utile saper scrivere una
generica funzione razionale come somma di un polinomio e di una funzione
razionale in cui il grado del numeratore è strettamente inferiore a quello del
denominatore. Per ottenere questo scopo è sufficiente applicare l’algoritmo
di divisione tra polinomi, come illustriamo nei due esercizi seguenti.
◃ Esercizio 4.14. Sia T (x) la funzione razionale definita da:
T (x) =
P (x)
,
P ′ (x)
(4.5.2)
dove P (x) = x4 − 3x3 − 2x + 1 e P ′ (x) = x2 + x − 2. Scrivere T (x) come
somma di un polinomio e di una funzione razionale in cui il grado del
numeratore è strettamente inferiore a quello del denominatore.
Soluzione. Per prima cosa dobbiamo effettuare la divisione tra il polinomio
P (x) (dividendo) e il polinomio P ′ (x) (divisore):
+x4
+x4
!
−3x3
+x3
−4x3
−4x3
!
−2x2
+2x2
−4x2
6x2
6x2
(Resto R(x) = )
!
−2x
+1
−2x
+1
−10x
+1
x2 + x − 2
x2 − 4x + 6
(4.5.3)
+8x
+6x
−16x
−12
+13
Dal calcolo precedente, coerentemente con il Teorema 4.4, deduciamo che
P (x) = (x2 + x − 2) · (x2 − 4x + 6) + (−16x + 13) .
(4.5.4)
4.5 Esercizi di riepilogo
151
Ora applichiamo (4.5.4) a (4.5.2). Usando le esplicite espressioni dei vari polinomi troviamo:
T (x) =
(x2 + x − 2) · (x2 − 4x + 6) + (−16x + 13)
(x2 + x − 2)
=
(x2 + x − 2) · (x2 − 4x + 6) (−16x + 13)
+ 2
(x2 + x − 2)
(x + x − 2)
= (x2 − 4x + 6) +
(−16x + 13)
,
(x2 + x − 2)
che rappresenta la decomposizione richiesta.
▹
◃ Esercizio 4.15. Ripetere l’esercizio precedente, ma usando:
P (x) = x5 − x4 + x2 − 4 ;
P ′ (x) = x3 − x .
Soluzione. Dividendo P (x) per P ′ (x), si trova
+x5
+x5
!
−x4
+x2
−x3
−x4
+x3
!
+x3
−x4
+x2
−4
+x2
+x3
(Resto R(x) = )
−4
!
−x
+x
x3 − x
x2 − x + 1
−4
−4
Ora la conclusione cui si perviene è:
T (x) = (x2 − x + 1) +
(x − 4)
.
(x3 − x)
▹
Il Teorema 4.5 afferma che ogni polinomio ammette una certa fattorizzazione: è però importante chiarire che non disponiamo di un metodo
generale che consenta di costruirla. La difficoltà non risiede solo nel fatto
152
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
che non sempre sappiamo calcolare le eventuali radici, ma anche nell’individuazione dei fattori irriducibili di secondo grado. Nell’esercizio seguente
vediamo una situazione in cui la fattorizzazione si ottiene con un’intuizione algebrica che soprattutto suggerisce quanto improbabile sia riuscire a
trattare i polinomi di grado alto con simili ragionamenti.
◃ Esercizio 4.16. Individuare la fattorizzazione del Teorema 4.5 nel caso
del polinomio di quarto grado P (x) = x4 + 1.
Soluzione. Poiché x4 ≥ 0 , ∀ x ∈ R , è chiaro che P (x) non ha radici e quindi
la sua fattorizzazione non può contenere fattori di primo grado. In altre parole,
ci dobbiamo aspettare che P (x) sia il prodotto di 2 polinomi di secondo grado
irriducibili. Scriviamo:
x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − 2x2
= (x2 + 1)2 − 2x2
√
√
= (x2 + 1 − 2x) · (x2 + 1 + 2x) ,
dove per l’ultima uguaglianza abbiamo usato il prodotto notevole (4.1.23)(i).
▹
Ovviamente, se si conosce qualche radice del polinomio, allora si ha la
possibilità di avanzare nella costruzione della sua fattorizzazione. Vediamo
un esempio.
◃ Esercizio 4.17. Individuare la fattorizzazione del Teorema 4.5 nel caso
del polinomio di terzo grado P (x) = x3 + 2x − 3.
Soluzione. Si può osservare che x = 1 è una radice di questo polinomio. Quindi
(x−1) deve comparire nella fattorizzazione di P (x). Dividendo P (x) per (x−1),
il lettore dovrebbe facilmente arrivare a concludere che:
P (x) = (x − 1) · (x2 + x + 3) .
▹
Osservazione 4.8. Siano P (x) un polinomio e x0 una sua radice. Il fatto
che la divisione di P (x) per (x − x0 ) dia resto zero è una conseguenza
immediata del Teorema 4.4 (verificarlo come esercizio). Generalmente,
questa proprietà è nota come Teorema di Ruffini.
4.5 Esercizi di riepilogo
153
In virtù di quanto appena detto, è chiaro che potrebbe essere utile disporre di un criterio che consenta di restringere la rosa delle possibili radici
razionali di un dato polinomio. In questo ordine di idee, vale il seguente
risultato che enunciamo senza dimostrazione.
Proprietà 4.3. Sia
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
(an ̸= 0) ,
(4.5.5)
un polinomio di grado n dove i coefficienti a0 , . . . , an sono dei numeri
interi. Se P (x) ammette una radice razionale
x0 =
m
k
(4.5.6)
con m e k interi primi fra loro, allora k è un divisore di an , mentre m è
un divisore di a0 .
◃ Esercizio 4.18. Sia
P (x) = 3x3 + 7x2 + 8x + 2 .
Determinare le eventuali radici razionali di P (x).
Soluzione. Per la Proprietà 4.3, una frazione, ridotta ovviamente ai minimi
termini, x0 = (m/k) può essere una radice di P (x) solo se m divide 2 e k divide
3. Ne segue che abbiamo le seguenti otto possibili scelte per x0 :
±1 ;
±2 ;
±
1
;
3
±
2
.
3
D’altra parte, dato che i coefficienti non nulli del polinomio sono tutti positivi, è
chiaro che un’eventuale radice debba essere negativa. Questo restringe a quattro
la rosa delle possibili radici razionali. Un calcolo di sostituzione diretta ora
consente di concludere che l’unica radice razionale del polinomio è x0 = −(1/3).
▹
Osservazione 4.9. Sia P (x) = xn − k, con k numero naturale. Applicando
la Proprietà 4.3 a P (x) deduciamo subito che la radice n-esima di k è un
numero intero oppure irrazionale.
◃ Esercizio 4.19. Dimostrare, usando il principio di induzione, che la
disuguaglianza di Bernoulli (4.1.22) vale ∀ x ≥ −1.
154
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Soluzione. Procediamo per induzione su n. Per n = 0 la disuguaglianza è:
(1 + x)0 ≥ 1 + 0 · x
1≥1,
ovvero
dunque evidentemente vera. Vediamo ora il passo induttivo:
(1 + x)n+1 = (1 + x) · (1 + x)n
(4.5.7)
≥ (1 + x) · (1 + nx)
= 1 + (n + 1)x + nx2
≥ 1 + (n + 1)x ,
come richiesto. Si noti che per la prima ≥ in (4.5.7) abbiamo usato l’ipotesi
induttiva e (1 + x) ≥ 0, mentre per l’ultimo passaggio semplicemente il fatto
che n x2 ≥ 0.
▹
◃ Esercizio 4.20. Determinare i valori di x ∈ R per cui è verificata la
seguente equazione:
(log5 x)2 − 5 = 0 .
(4.5.8)
Soluzione. Deve essere
log5 x =
√
5
oppure
√
log5 x = − 5 ,
per cui:
√
x=5
5
oppure x = 5−
√
5
=
1
√
5
5
.
Usando una normale calcolatrice si ricava infine:
x ≈ 36.555
oppure x ≈ 0.027 .
▹
◃ Esercizio 4.21. Determinare i valori di x ∈ R per cui è verificata la
seguente equazione:
ln(2x + 1) − ln(x + 2) = 0 .
(4.5.9)
4.5 Esercizi di riepilogo
155
Soluzione. La (4.5.9) equivale a:
2
1
2x + 1
=0,
ln
x+2
ovvero
2x + 1
=1,
x+2
da cui, con passaggi elementari, si ricava x = 1 (accettabile).
(4.5.10)
(4.5.11)
▹
◃ Esercizio 4.22. Determinare i valori di x ∈ R per cui è verificata la
seguente equazione:
3x · 22x = 4 .
(4.5.12)
Soluzione. Applichiamo il logaritmo naturale ln ad entrambi i membri di
(4.5.12) e usiamo le (4.4.12). Otteniamo:
x ln 3 + 2x ln 2 = 2 ln 2 ,
da cui:
x=
(4.5.13)
2 ln 2
≈ 0.558 .
ln 3 + 2 ln 2
▹
◃ Esercizio 4.23. Determinare i valori di x ∈ R per cui è verificata la
seguente equazione:
'5
(
√
√ 4
%√
&
%√
& 1 3
x + 3 . (4.5.14)
ln x − 2 + ln x + 2 = ln x − 3 + ln
2
Soluzione. Bisogna restringere l’analisi della (4.5.14) a quei valori di x ∈ R
per cui essa ha senso. Più precisamente, bisogna richiedere che siano simultaneamente soddisfatte le seguenti condizioni:
√
⎧
(i)
x
≥
0
e
x
+
3≥0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
x − 2) > 0
(ii)
(
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
√
(iii)
( x + 2) > 0
(4.5.15)
⎪
⎪
⎪
√ &
%
⎪
⎪
⎪
(iv)
x− 3 >0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.
⎪
√ 4
⎪
⎩ (v)
x+ 3 >0 .
156
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Ora, un semplice esame delle (4.5.15)(i)–(v) ci porta a concludere che esse
equivalgono al semplice requisito:
x>4.
(4.5.16)
Chiarito questo, possiamo applicare alla (4.5.14) le proprietà (4.4.12), ottenendo
così:
√ 4 3
√ 47
& %√
&0 1 6 3
/%√
ln x − 3 · x + 3
x−2 ·
x+2 =
,
ln
2
ovvero:
-3
√ 4 3
√ 4
/%√
& %√
&0
x− 3 · x+ 3 .
ln
x−2 ·
x + 2 = ln
Adesso, applicando la funzione esponenziale ad entrambi i lati dell’uguaglianza
e effettuando il calcolo, deduciamo:
.
x − 4 = x2 − 3 .
Poiché vale la (4.5.16), possiamo elevare al quadrato e ricavare:
x2 − 8x + 16 = x2 − 3 ,
da cui si ottiene x = (19/8). Poiché questo valore soddisfa anche la (4.5.16),
concludiamo che l’unica soluzione del nostro esercizio è appunto x = (19/8).
▹
4.6
Esercizi proposti
◃ Esercizio 4.24. Decomporre il polinomio P (x) = x4 + x3 − x2 + x − 2
nel prodotto di fattori irriducibili.
◃ Esercizio 4.25. Utilizzare l’Esercizio 4.24 per risolvere la seguente
disequazione:
x4 + x3 − x2 + x − 2 < 0 .
◃ Esercizio 4.26. Decomporre il polinomio P (x) = x6 − 1 nel prodotto
di fattori irriducibili.
◃ Esercizio 4.27. Determinare quoziente Q(x) e resto R(x) della seguente divisione:
x5 − x4 + 3x2 + 2x − 1
.
x3 + 2
4.7 Commenti e note bibliografiche
157
◃ Esercizio 4.28. Risolvere (se possibile) la seguente equazione:
ln(x + 3) + ln(x − 2) = ln(2x2 + x + 1) .
◃ Esercizio 4.29. Risolvere (se possibile) la seguente equazione:
32x−1 − 10 · 5x = 0 .
◃ Esercizio 4.30. Semplificare la seguente espressione, valida per x > 1 :
ln(x2 − 1) − ln(x − 1) + ln
1
.
x+1
◃ Esercizio 4.31. Risolvere (se possibile) la seguente equazione:
42x − 4x − 2 = 0 .
◃ Esercizio 4.32. Sia f (x) =
funzione inversa.
4.7
√
5
x3 − 2 , x ∈ R . Determinare la sua
Commenti e note bibliografiche
Riprendendo brevemente quanto già accennato sopra, segnaliamo che uno
studio algebrico moderno e completo dei polinomi richiederebbe l’introduzione dei cosiddetti numeri complessi, all’interno dei quali ogni equazione
algebrica polinomiale ammette soluzione. L’algoritmo di divisione che
abbiamo illustrato rientra invece nel contesto generale dello studio dei cosiddetti anelli euclidei (si veda, per esempio, [19]).
In questo capitolo abbiamo segnalato l’importanza del numero di Nepero e , per cui il lettore potrebbe chiedersi quale sia, matematicamente
parlando, l’origine di questo numero: la maniera più nota per introdurre
il numero di Nepero consiste nel considerarlo come il limite, quando n
tende a diventare infinitamente grande, della successione numerica
(n
'
1
,
1+
n
n ∈ N, n ≥ 1 .
(4.7.1)
158
Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi
Non entreremo nel formalismo matematico della definizione di limite,
ma ci limitiamo a segnalare che la simbologia, abbastanza intuitiva, che
formalizza quanto appena detto è la seguente:
(n
'
1
e = lim 1 +
n→+∞
n
(il lettore potrebbe provare a valutare, mediante una comune calcolatrice, il valore dell’espressione (4.7.1) assegnando qualche valore, sufficientemente grande, a n). Detto questo, all’interno del calcolo differenziale
e integrale, l’importanza della funzione esponenziale ex risiede nel fatto
che essa coincide con la sua derivata, proprietà che la rende fondamentale
all’interno della teoria delle equazioni differenziali e, più generalmente, in
quasi tutte le realizzazioni di modelli matematici della realtà fisica. Per
approfondimenti in queste direzioni si possono consultare: [9] per gli studenti di architettura o discipline legate alle scienze naturali, [22] per gli
ingegneri e [12], [2] per gli studenti di matematica o fisica.