Economia Internazionale

Una “cassetta degli attrezzi” per
gli studenti di
ISPI – MASTER IN
DIPLOMACY 2017
Premessa
La preparazione aritmetica e matematica degli studenti che frequentano i corsi di
Economia internazionale ha ormai toccato livelli bassissimi, tali da rendere
problematica per molti di loro la comprensione di ciò che sono chiamati a studiare.
Lo stesso vale per alcune nozioni fondamentali di statistica e di contabilità
nazionale. Si tratta di “attrezzi concettuali” del tutto rudimentali e del tutto
indispensabili per impostare ragionamenti economici.
Nelle pagine seguenti verrà riproposto un breve sommario di “cose che non si
possono non sapere” (perché se non le si sanno è ben difficile superare l’esame) e
che molto spesso lo studente si vergogna a chiedere. La spiegazione, naturalmente,
non è esaustiva; l’enfasi è sul “come si fa” e non sul “perché” lo si fa.
Una parte di queste pagine – e l’idea stessa di questa “dispensa” – è tratta da un
volumetto di un collega prematuramente scomparso molti anni fa (Giorgio Rota,
Elementi di calcolo economico, Giappichelli, Torino, 1968). Segno che anche gli
studenti di un tempo erano molto ignoranti. Il che, per qualcuno dei lettori, può
essere di qualche conforto.
1. Divisioni, proporzioni, percentuali, indici, tassi, medie
Divisioni
La formula generale della divisione:
D=A/B
può naturalmente essere scritta:
D = A * 1/ B
dividere un numero per un altro significa, in altre parole, moltiplicarlo per
l’inverso di quest’altro. Banale? Il 15-25 per cento degli iscritti a Economia
Internazionale negli ultimi anni ha sbagliato una semplice divisione in un test
anonimo alla prima lezione.
Ne segue che, se 0 < B < 1, allora D > A (dove A, B e D > 0); se si divide un
numero per un valore positivo e inferiore a uno, si ottiene un numero positivo
superiore al valore iniziale.
Proporzioni (tratto, con qualche semplificazione, dall’enciclopedia elettronica
Wikipedia)
Si dice che quattro numeri reali positivi a, b, c, d sono in proporzione fra loro,
se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto;
in formula:
Questa relazione si legge: a sta a b, come c sta a d .
Per esprimere questa situazione si può anche dire che i numeri a, b, c, d,
nell'ordine costituiscono una quaterna proporzionale. Ad esempio i numeri 3, 6,
5, 10 formano una quaterna proporzionale perché il rapporto 3/6 è uguale al
rapporto 5/10.
I numeri a, b, c, d si dicono termini della proporzione, a e d estremi della
proporzione, b e c medi della proporzione; infine d è detto quarto
proporzionale che segue a, b e c.
Dalla definizione si ricava immediatamente la proprietà fondamentale delle
proporzioni: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
In formula
Da questa proprietà ne derivano altre:
1a proprietà: regola del quarto proporzionale
Noti tre numeri a,b,c, il quarto proporzionale, d, tale che , è dato da
Similmente si hanno le formule
2a proprietà: proprietà dell’invertire
Data una quaterna proporzionale, se ne ottiene un’altra scambiando tra loro ogni
antecedente con il proprio conseguente:
3a proprietà: proprietà del permutare
Data una quaterna proporzionale se ne ottiene un’altra scambiando tra loro o i
medi o gli estremi:
4° proprietà: proprietà del comporre
In ogni quaterna proporzionale la somma degli antecedenti sta alla somma dei
conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:
5a proprietà: proprietà dello scomporre
In ogni quaterna proporzionale la differenza degli antecedenti sta alla differenza
dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:
Percentuali
Le percentuali sono particolari tipi di proporzioni in cui il quarto termine (d) è =
100; il terzo termine è incognito e viene indicato con x; il primo termine (a) è
inferiore al secondo termine (b).
a : b = x : 100
per le cose dette sopra:
x = a : b * 100
in pratica, il calcolo di una percentuale si riduce alla divisione a : b, in quanto la
successiva moltiplicazione per 100 è automatica, comportando il semplice
spostamento della virgola. Normalmente a è la parte e b è il tutto.
Esempio: su 45 studenti presentatisi all’esame di Economia Internazionale, solo 9
hanno superato l’esame. Qual è la percentuale dei promossi?
Soluzione: a = 9; b = 45, quindi x = 9/45 * 100 = 0,2 * 100 = 20%
Tutti gli operatori economici sanno fare le percentuali a mente. Gli studenti no,
anche perché nessuno ha mai insegnato loro il calcolo mentale. E’ importante,
per tutto quello che riguarda la vita pratica, che si esercitino; questo eviterà loro
molto errori e dolori.
Numeri indice
I numeri indice costituiscono una parte importante della statistica. Qui se ne
esamina solo un esempio, relativo alle “serie storiche” ossia alle successioni
temporali di dati. In questo caso il numero indice è un caso particolare della
proporzione.
Si immagini che il prodotto lordo di un paese nel 2005 sia pari a 3000 miliardi di
euro e nel 2006 sia pari a 3300 miliardi. Possiamo dire che, posto uguale a 100 il
prodotto lordo del 2005, il prodotto lordo del 2006 è espresso dal valore di x nella
seguente proporzione:
3300 : 3000 = x : 100
da cui si ricava:
x = 3300/3000 * 100 = 110
invece di proporzionare a 100, si può proporzionare a qualche altro numero
convenzionale, per esempio 1. Si dirà allora che l’indice del prodotto lordo del
2006 di quel paese è pari a 1,10, posto uguale a 1 il prodotto lordo dell’anno 2005.
L’anno al quale è proporzionata la serie si dice anno base. L’anno base si può
mutare a piacere. Per esempio, si può convenire di porre uguale a 100 non il
prodotto lordo del 2005 ma quello del 2006. In questo caso, la proporzione
diventa:
3000 : 3300 = x : 100
Lo studente può verificare che l’indice per il 2005 è pari a 90,9.
Si potrebbe anche adottare come anno base un altro anno, per esempio il 2004, nel
quale, supponiamo, il prodotto lordo è ammontato a 2500 miliardi. Lo studente
verifichi che l’indice risulterà pari a 120 per il 2005 e a 132 per il 2006.
Tassi di variazione
Il termine “tasso” indica generalmente un rapporto tra due numeri. Quando i due
numeri fanno parte della successione storica di un fenomeno, questo rapporto
indica la variazione percentuale del fenomeno stesso. Nell’esempio precedente, se
il prodotto lordo è aumentato in un anno di 300 miliardi di euro, il rapporto:
300 miliardi di euro / 3000 miliardi di euro = 0,1
si definisce tasso (o saggio) di variazione del prodotto lordo nel periodo di tempo
considerato. Esso si può anche esprimere percentualmente (10%), il che
sottintende la proporzione:
300 : 3000 = x : 100
da cui lo studente può facilmente ricavare x = 10.
Poiché l’incremento si è avuto in un anno, quel 10% è il tasso di variazione annuo
del prodotto lordo. In modo analogo si possono calcolare tassi di variazione
giornalieri, mensili, ecc. (soprattutto in applicazioni di economia finanziaria)
rapportando le variazioni intercorse in un giorno, un mese, ecc. al dato iniziale.
Altri tassi sono rapporti tra una parte e un tutto. A esempio, il tasso (grezzo) di
natalità , che gli studenti incontreranno più avanti nel corso, è il rapporto tra il
numero dei nati in un paese dato e in un determinato periodo di tempo e la
popolazione complessiva di quel paese (in genere alla metà di quel periodo di
tempo: ossia i nati del 2005 vengono rapportati alla popolazione al giugno 2005).
Il tasso di interesse, che sarà oggetto di particolare attenzione più avanti, è il
rapporto tra il rendimento ottenuto da un capitale in un periodo di tempo
(generalmente, ma non sempre, un anno) e il capitale stesso all’inizio dell’anno.
Lo studente provi a trovare a quale tasso di interesse è stato impiegato un capitale
di 55000 euro che, in un anno, abbia fruttato 3750 euro.
Tasso di interesse
Parzialmente tratto da Wikipedia
In economia, il tasso (o saggio) di interesse rappresenta il prezzo per l’uso di un
capitale monetario. Si può anche definire come la misura della remunerazione
spettante al prestatore.
Viene espresso come una percentuale per un dato periodo di tempo e indica quanta
parte della somma prestata debba essere corrisposta come interesse al termine del
tempo considerato o, da un altro punto di vista, indica il costo del denaro. Il
debitore, infatti, ricevendo una somma di denaro, si impegna a pagare una somma
superiore a quella ricevuta. La differenza costituisce l'interesse, che viene
solitamente calcolato in percentuale sulla somma prestata. Tale percentuale
costituisce il tasso di interesse. Il tasso d'interesse è variabile anche in funzione
della moneta di riferimento, del rischio connesso alla solvibilità del debitore e
della lunghezza del periodo di riferimento.
Se la durata del prestito è superiore al periodo di tempo per cui l'interesse viene
conteggiato, si parla di interesse composto, perché vengono conteggiati nel
calcolo dell'interesse finale anche gli interessi parziali già maturati per ogni
periodo.
Interesse semplice
L'interesse viene detto semplice quando è proporzionale al capitale e al tempo.
Ovvero gli interessi maturati da un dato capitale nel periodo di tempo considerato,
non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e, quindi, non maturano a loro
volta interessi.
Indicando con i l'interesse (tasso unitario annuo), con C il capitale iniziale, con t il
periodo di tempo in anni e con M il montante, si avrà:
.
Interesse composto
L'interesse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è
aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto. Questo comporta che alla
maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per
il periodo successivo, ovvero anche l'interesse produce interesse.
L'interesse composto si divide in:

discontinuo annuo;

discontinuo convertibile;

continuo o matematico.
Montante ad interesse composto discontinuo annuo
In questo caso gli interessi si sommano al capitale iniziale che li ha prodotti al
termine di ogni anno.
Per determinare il montante di un capitale C, dopo un numero n di anni e
impiegato ad interesse composto (annuo) i, si procede come segue. Si indichi con
Mn il montante all inizio dell'anno n.
Il montante M1 si ottiene con la formula per l'interesse semplice posto t = 1:
Il montante M2 si applica la stessa formula posto t = 1, ma il capitale è ora M1,
quindi:
.
Generalizzando, dopo n anni, il montante Mn risulta:
dove i è detto tasso di interesse medio annuo: ciò significa che si raggiunge il
valore M partendo da C in n anni al tasso uniforme i. Tale tasso è particolarmente
utile per valutare serie storiche reali, caratterizzate da tassi annualmente variabili.
Grafici
Coordinate cartesiane
Due rette tra loro perpendicolari dividono un piano in quattro parti. Il loro punto
di incontro si dice origine degli assi; di qui hanno infatti origine due semirette per
ognuna delle rette, orientate positivamente e negativamente (Figura 1). Si
determinano così 4 aree denominate quadranti; Qualsiasi punto del piano è
identificabile mediante la sua distanza dalle due semirette che individuano il
quadrante, ossia mediante la distanza che lo separa dalle semirette. Questo è il
sistema di riferimento cartesiano o delle coordinate cartesiane
Figura 1 – Il sistema di riferimento cartesiano
Asse verticale o delle ordinate
+
I^ Quadrante – tutti i punti hanno ambedue
le coordinate positive. E’ quello
maggiormente usato in economia
+
indica la distanza dall’asse verticale, misurata
abbassando da P un segmento perpendicolare
all’asse
y
•
YP
P (x, y)
questa notazione convenzionalmente
identifica un punto mediante la sua
distanza dagli assi
x
-
+
-
O
XP
+
Asse
orizzontale o
delle ascisse
indica la distanza dall’asse orizzontale, misurata
abbassando da P un segmento perpendicolare
all’asse
origine degli assi
-
-
Per evitare dolori agli esami, gli studenti devono ricordare di indicare sempre
che cosa è rappresentato sugli assi.
Rappresentazioni grafiche
Un diagramma o grafico a linee, indica la relazione tra due grandezze
rappresentate sugli assi. Sull’asse x è rappresentata la variabile indipendente;
sull’asse y è rappresentata la variabile dipendente. La funzione, ossia la relazione
matematica che lega le variabili, è pertanto.
y = f (x)
…dipende…
la variabile y…
…dalla variabile x
Questa funzione si dice implicita, in quanto non ne è data la forma matematica.
Una possibile funzione esplicita del tipo sopra rappresentato potrebbe essere:
y = 4 + 2x
Si può vedere bene come il valore di y dipenda dal valore attribuito a x.
Attribuendo a x i valori finiti compresi tra 0 e 10, si ottengono la tabella e il
grafico qui sotto indicato:
Figura 2 - funzione y = 4 + 2x
rappresentata con un grafico a linee
30
asse delle ordinate
25
24
22
20
20
18
16
15
14
12
10
10
8
6
5
0
y
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
asse delle ascisse
La medesima funzione può essere rappresentata mediante un istogramma (Figura
3) e un diagramma a dispersione (o a punti) (Figura 4).
Figura 3 - funzione y = 4 + 2x
rappresentata mediante un istogramma
30
24
asse delle ordinate
25
22
20
18
20
16
14
15
12
10
8
10
6
4
5
0
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
asse delle ascisse
Figura 4 - funzione y = 4 + 2x
rappresentata mediante un diagramma a dispersione
30
asse delle ordinate
25
24
22
20
20
18
16
15
14
12
10
10
8
6
5
4
0
0
2
4
6
asse delle ascisse
8
10
12
Si noti che la rappresentazione grafica varia notevolmente a seconda della scala
adottata. Nella Figura 5 è riprodotto il medesimo grafico della Figura 2 con scala
verticale 0 – 100 anziché 0 – 30.
Figura 5 - funzione y = 4 + 2x
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
4
0
1
2
10
8
6
3
4
5
6
18
16
14
12
7
8
9
24
22
20
10
Esistono naturalmente molti altri tipi di grafici. I grafici possono avere scala
doppia; la scala logaritmica consente particolari rappresentazioni grafiche.
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