soluzione_esercizio_53_pag_76_romeni_dinamica

Esercizio n. 53
Un blocco di massa m=0,37 Kg poggia su un piano inclinato di 27° rispetto all’orizzontale, ed è
tenuto fermo da una molla di costante elastica k=22N/m come illustrato in figura. Il coefficiente di
attrito statico tra il piano e il blocchetto è μs=0,21
 Si calcoli l’allungamento massimo e minimo della molla per cui si ha una posizione
di equilibrio.
APPROCCIO PIUTTOSTO INTUITIVO:
Inizialmente si consideri la situazione come se l’attrito non ci fosse (disegnare i vettori che
rappresentano le forze che vengono a esercitarsi sul corpo).
In questa situazione il blocco si troverebbe in equilibrio in corrispondenza di un certo allungamento
della molla. Nella posizione di equilibrio la forza esercitata dalla molla e la componente della forza
peso che agiscono sul blocco, si equilibrano: se sposto il blocco un po’ più in basso della posizione
di equilibrio la forza elastica aumenta in modulo e diventa maggiore della componente della forza
peso lungo il piano, quindi il corpo risale. Viceversa, se sposto il blocco un po’ più in alto della
posizione di equilibrio, il modulo della forza elastica diminuisce e diventa minore della componente
della forza peso lungo il piano e il corpo scende.
Adesso introduciamo l’attrito.
In presenza di attrito non c’è più una sola posizione di equilibrio, ma un intervallo di posizioni in
cui il blocco, se postovi fermo, rimane in equilibrio. Le posizioni di equilibrio sono comprese fra
una posizione di massimo allungamento della molla e una posizione di minimo allungamento.
Allungamento Max.:
Se spostiamo il blocco più in basso della posizione di equilibrio del punto precedente, il blocco
tende a risalire ma, in questo caso, è presente anche la forza di attrito, diretta verso il basso, che si
“oppone” al moto (disegnare lo schema delle forze). Considerando un sistema di coordinate con gli
assi paralleli e perpendicolari al piano inclinato e con orientazione positiva verso il basso per l’asse
parallelo al piano, si ha la condizione di equilibrio (consideriamo solo la direzione parallela al
piano):
 kx  mgsen  Fa ,s  0
(utilizziamo la convenzione che le lettere maiuscole individuino i moduli delle forze)
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(1)
Ricordiamo che il modulo della forza di attrito statico varia da un minimo di 0 ad un massimo di
μsN, dove N è l’intensità della forza che “preme” una superficie contro l’altra, che nel nostro caso è
N  mg cos  , cioè

0  F A,s   s mg cos 
(2)
Quindi dalla (1) e dalla (2) si ha che l’allungamento massimo si ha in corrispondenza della forza di
attrito massima sviluppabile fra le superfici
 kx max  mgsen   s mg cos   0
(3)
mg ( sen   s cos  )
k
(4)
xmax 
Allungamento Min.:
Se spostiamo il blocco un po’ più in alto della posizione di equilibrio individuata senza attrito, il
corpo tenderebbe a scendere perché la componente della forza peso lungo il piano avrebbe modulo
maggiore della forza elastica, ma anche in questo caso allo spostamento si oppone la forza di attrito
che questa volta è diretta verso l’alto (disegnare lo schema delle forze). Utilizzando le stesse
considerazioni e convenzioni del punto precedente, si ha che la condizione di equilibrio è:
 kx  mgsen  Fa ,s  0
(5)
Quindi
xmin 
mg ( sen   s cos  )
k
(6)
RISOLUZIONE UN PO’ PIU’ FORMALE
Dopo le valutazioni iniziali che ci portano ad inquadrare la situazione (immaginarci la situazione
senza attrito mi pare un opportuno punto di partenza), si può osservare che il blocco rimane in
equilibrio se (consideriamo ancora le componenti delle forze lungo il piano con l’asse orientato
come in precedenza)
 kx  mgsen  f a ,s  0
(7)
x 
mgsen  f a,s
k
N.B.: per la forza di attrito usiamo la lettera minuscola perché intendiamo semplicemente la
componente e non il modulo di questa, quindi può essere sia positiva che negativa.
Per la caratteristica della forza di attrito statico si ha
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f a ,s   s mg cos 
(8)
cioè
  s mg cos   f a ,s   s mg cos
(9)
dalle (7) e dalla (9) si ha che le posizioni “estreme” di equilibrio sono
xmin 
mg ( sen   s cos  )
k
(10)
xmax 
mg ( sen   s cos  )
k
(11)
e
P.S.: trovate voi le soluzioni numeriche
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