Lezione 23 Prerequisiti: Lezione 22. Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 8.4; [H] Sezione 5.3; [PC] Sezione 6.2 Campi di spezzamento. Definizione 23.1 Dato un campo F, e dato un polinomio f ( x ) ∈ F [ x ] , non costante, si dice campo di spezzamento di f ( x ) su F ogni estensione L di F tale che: i) f ( x ) si decompone (“spezza”) in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari; ii) se L ' ⊂ L è un’estensione di F tale che f ( x ) si decompone in L '[ x ] nel prodotto di fattori lineari, allora L ' = L . In altri termini: l’estensione L è minimale rispetto alla condizione i). Osservazione 23.2 La condizione i) equivale alla seguente: il numero delle radici di f ( x ) in L, contate con le rispettive molteplicità, è pari al grado di f ( x ). In altri termini, un campo di spezzamento è un campo in cui il polinomio f ( x ) ha “tutte le radici”. Esempio 23.3 Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è = (i ). Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è (i ). Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 − 2 ∈ [ x ] su è ( 2) . Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 − 2 ∈ [ x ] su è 1 3 . Se ω è una radice primitiva cubica dell’unità, ad esempio ω = − + i , allora l’altra radice 2 2 primitiva cubica dell’unità è ω = ω −1 = ω 2 . Quindi un campo di spezzamento di f ( x ) = x 3 − 2 ∈ [ x ] su è ( 3 2, ω 3 2, ω 2 3 2) = (ω ) = , e un campo di spezzamento di f ( x ) = x 3 − 2 ∈ [ x ] su è ( 3 2, ω 3 2, ω 2 3 2) = (ω , 3 2) (che grado ha questa estensione di ?). Questi esempi mostrano che il campo di spezzamento di un polinomio dipende strettamente dal campo dei coefficienti F a cui si fa riferimento nella Definizione 23.1. Osservazione 23.4 Il campo di spezzamento di un polinomio su un campo non è unico. Infatti, un altro campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è L = [ x ] /( x 2 + 1). Infatti, L è un campo contenente tale che: i) f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotti di fattori lineari: f ( x ) = ( x + z )( x − z ) , ove z = x + ( x 2 + 1) (infatti: ( x + z )( x − z ) = x 2 − z 2 = x 2 + 1, essendo z 2 + 1 = 0 in L). ii) L è un’estensione minimale avente questa proprietà, perché è minimale tra le estensioni proprie, avendo grado 2. Notiamo che, però, i campi di spezzamento e [ x ] /( x 2 + 1) sono isomorfi. In generale, vale la proprietà dimostrata nel seguente: Esercizio 23.5 Sia F un campo, e sia f ( x ) ∈ F [ x ] un polinomio irriducibile su F di grado 2. Provare che allora F [ x ] /( f ( x )) è un campo di spezzamento di f ( x ) avente grado 2 su F, e che, inoltre, ogni campo di spezzamento di f ( x ) è ad esso isomorfo. Svolgimento: Sia I = ( f ( x )), L = F [ x ] /( f ( x )) = F [ x ]/ I , e sia z = x + ( f ( x )) = x + I . Allora L = { p( x ) + I p( x ) ∈ F [ x ]}. n Ora, dato il generico polinomio p ( x ) = ∑ ai x i di F [ x ] , si ha i =0 n n n p ( x ) + I = ( ∑ ai x i ) + I = ∑ ai ( x + I )i = ∑ ai z i = p( z ) , i =0 i =0 i =0 dunque L = F [ x ] / I = F [ z ] . In questa estensione di F il polinomio f ( x ) si decompone nel prodotto di fattori lineari: infatti f ( z ) = f ( x ) + I = I , (I è l’elemento zero di L) e dunque, per il Teorema di Ruffini, esiste q( x ) ∈ L[ x ] tale che f ( x ) = ( x − z ) q( x ) , ove, naturalmente, q( x ) ha grado 1. Se q( x ) = ax + b , allora l’altra radice di f (x ) è z ' = −ba −1 ∈ L . Quindi L è un campo di spezzamento di f (x ) su L. Il suo grado su F è pari a 2 in virtù della Proposizione 22.10, poiché f (x ) è, a meno di un fattore invertibile, il polinomio minimo di z (e anche di z′) su F. Sia ora K un altro campo di spezzamento di f (x ) su F. Sia w una radice di f (x ) in K. Allora, essendo f (x ) privo di radici in F, si ha che w ∈ K − F , e f ( x ) è, a meno di un fattore invertibile, il polinomio minimo di w su F. Poiché f ( x ) si spezza su F ( w) nel prodotto di fattori lineari, segue che F ( w) = K . Consideriamo l’omomorfismo di valutazione in w: ϕ w : F [ x ] → F ( w) = K f ( x ) f ( w) che è suriettivo, ed ha come nucleo ( f ( x )) . Allora, per il Teorema fondamentale di omomorfismo per gli anelli (Teorema 15.5), segue che L = F [ x ] ( f ( x )) ≅ K , come volevasi. In generale, dato un polinomio non costante f ( x ) ∈ F [ x ] , se K è un’estensione di F in cui f ( x ) ha un numero di radici pari al suo grado, siano esse w1 ,..., wn , allora F ( w1 ,..., wn ) è un campo di spezzamento di f ( x ) su F. Dimostriamo ora che per ogni polinomio non invertibile e non nullo esiste un campo in cui esso di decompone nel prodotto di fattori irriducibili. Proposizione 23.6 Sia F un campo, e sia f ( x ) ∈ F [ x ] un polinomio non invertibile e non nullo, di grado n. Esiste allora un’estensione L di F tale che f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari, e [ L : F ] ≤ n ! . Dimostrazione: Procediamo per induzione su n. Se n = 1, f ( x ) ha la sua unica radice in F, dunque basta prendere L=F per avere la tesi. Sia ora n > 1 e supponiamo la tesi vera per tutti i casi in cui f ( x ) ha grado minore di n. Sia p ( x ) un fattore irriducibile di f ( x ) . Posto I = ( p ( x )) , si ha che K = F [ x ] / I è un campo in virtù della Proposizione 18.10, ed, in virtù degli argomenti sviluppati nella Lezione 22, si ha che [ K : F ] = deg p( x ) ≤ deg f ( x ) = n. In K il polinomio p ( x ) ha la radice z = x + I . Questa è anche radice di f ( x ) in K. Per il Teorema di Ruffini, esiste allora un polinomio q( x ) ∈ K [ x ] tale che f ( x ) = ( x − z ) q( x ) . Poiché q( x ) ha grado n − 1 , l’ipotesi induttiva si applica ad esso. Dunque esiste un’estensione L di K tale che q( x ) si decompone, in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari: q( x ) = c( x − w1 )( x − w2 ) ( x − wn −1 ) , con c, w1 , w2 ,..., wn ∈ L , e [ L : K ] ≤ ( n − 1)! . Allora, in L[ x ] , f ( x ) si decompone nel prodotto di fattori lineari f ( x ) = c( x − z )( x − w1 )( x − w2 ) ( x − wn −1 ) . ed, inoltre, in virtù della Proposizione 21.5, [ L : F ] = [ L : K ][ K : F ] ≤ ( n − 1)! n = n !. Nota Osserviamo che, nella decomposizione di f ( x ), il fattore c è il coefficiente direttore di f ( x ) e, in quanto tale, appartiene a F. Inoltre, l’estensione L di F contiene un campo di spezzamento di f ( x ) , ossia F ( z , w1 , w2 ,..., wn−1 ). In generale, vale il seguente Teorema 23.7 Dato un campo F , e dato un polinomio non invertibile e non nullo f ( x ) ∈ F [ x ] , ogni estensione L di F tale che f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari contiene un campo di spezzamento di f ( x ) . Inoltre, tutti i campi di spezzamento di f ( x ) sono isomorfi. Dimostrazione: [PC], Corollario 6.2.12. In base alle nozioni fin qui introdotte, possiamo ora dare una versione completa di una definizione già nota dal corso di Algebra 1. Definizione 23.8 Un campo F si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti: a) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F ha una radice in F. b) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F ha in F un numero di radici pari al grado, se le radici vengono contate con le rispettive molteplicità. c) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F si decompone su F nel prodotto di fattori lineari. d) Il campo di spezzamento di ogni polinomio a coefficienti in F è il campo F. e) Il campo F non ha estensioni algebriche proprie. f) Il campo F è algebricamente chiuso in ogni sua estensione. Nota Ricordiamo che, secondo il Teorema Fondamentale dell’Algebra, il campo complesso è algebricamente chiuso.