Sommario | V
Sommario
Prefazione di S. Bergia .........................................................................................
XIII
Premessa
1.
L’organizzazione del libro .............................................................................
3
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Indicazioni per lo studente ....................................................................................
Ringraziamenti ......................................................................................................
Una breve rassegna della teoria della relatività ....................................................
Note per l’insegnante ............................................................................................
Un consiglio finale per lo studente meno brillante ...............................................
3
5
6
8
10
Esercizi ............................................................................................................................
11
Parte A. Relatività speciale
2.
Il calcolo k .........................................................................................................
15
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
La formulazione di modelli ...................................................................................
Panorama storico ...................................................................................................
Il contesto newtoniano ..........................................................................................
Le trasformazioni di Galileo .................................................................................
Il principio di relatività speciale ...........................................................................
La costanza della velocità della luce .....................................................................
Il fattore k ..............................................................................................................
Velocità relativa di due osservatori inerziali .........................................................
La legge di composizione delle velocità ...............................................................
La relatività della simultaneità ..............................................................................
Il paradosso degli orologi.......................................................................................
Le trasformazioni di Lorentz ................................................................................
La visione del mondo a quattro dimensioni ..........................................................
15
16
16
18
19
20
20
22
23
24
26
27
29
Esercizi ............................................................................................................................
31
3.
Le caratteristiche essenziali della relatività speciale ........................
33
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Derivazione standard delle trasformazioni di Lorentz ..........................................
Proprietà matematiche delle trasformazioni di Lorentz ........................................
Contrazione delle lunghezze .................................................................................
La dilatazione del tempo .......................................................................................
Trasformazione delle velocità ...............................................................................
Relazione tra i diagrammi spazio-tempo degli osservatori inerziali .....................
33
36
37
38
40
41
VI
| Sommario
3.7
3.8
3.9
3.10
L’accelerazione in relatività speciale ....................................................................
Accelerazione uniforme .........................................................................................
Il paradosso dei gemelli .........................................................................................
L’effetto Doppler ...................................................................................................
42
44
45
46
Esercizi .............................................................................................................................
48
4.
Elementi di meccanica relativistica ..........................................................
51
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
La teoria newtoniana .............................................................................................
Sistemi isolati di particelle in meccanica newtoniana ...........................................
La massa relativistica ............................................................................................
Energia relativistica ...............................................................................................
I fotoni ...................................................................................................................
51
54
54
57
59
Esercizi .............................................................................................................................
61
Parte B. Il formalismo dei tensori
5.
Algebra tensoriale ...........................................................................................
67
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Introduzione ...........................................................................................................
Varietà e coordinate ...............................................................................................
Curve e superfici ....................................................................................................
Trasformazioni di coordinate ................................................................................
Tensori controvarianti ...........................................................................................
Tensori covarianti e misti ......................................................................................
Campi tensoriali .....................................................................................................
Operazioni elementari con i tensori .......................................................................
Interpretazione senza indici dei campi vettoriali controvarianti ...........................
67
67
69
70
72
74
76
76
78
Esercizi .............................................................................................................................
81
6.
Analisi tensoriale .............................................................................................
83
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
Derivata parziale di un tensore ..............................................................................
La derivata di Lie ...................................................................................................
La connessione affine e la derivata covariante ......................................................
Geodetiche affini ...................................................................................................
Il tensore di Riemann .............................................................................................
Coordinate geodetiche ...........................................................................................
Piattezza affine ......................................................................................................
La metrica ..............................................................................................................
Geodetiche metriche ..............................................................................................
La connessione metrica .........................................................................................
Piattezza metrica ....................................................................................................
Il tensore di curvatura ............................................................................................
Il tensore di Weyl ..................................................................................................
83
84
88
91
93
94
96
100
101
103
105
106
107
Esercizi .............................................................................................................................
109
Sommario | VII
7.
Integrazione, variazione e simmetria ........................................................
113
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Densità tensoriali ..................................................................................................
Il simbolo di Levi-Civita .......................................................................................
Il determinante della metrica ................................................................................
Gli integrali e il teorema di Stokes .......................................................................
Le equazioni di Eulero-Lagrange ..........................................................................
Il metodo variazionale per le geodetiche ..............................................................
Le isometrie ..........................................................................................................
113
114
115
118
120
123
126
Esercizi ............................................................................................................................
128
Parte C. Relatività generale
8.
Rivisitiamo la relatività speciale ...............................................................
133
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
Lo spazio-tempo di Minkowski ............................................................................
Il cono nullo ..........................................................................................................
Il gruppo di Lorentz ..............................................................................................
Il tempo proprio ....................................................................................................
Una formulazione assiomatica della relatività speciale ........................................
Un approccio alla meccanica classica secondo un principio variazionale ............
Un approccio alla meccanica relativistica secondo un principio variazionale ......
Formulazione covariante della meccanica relativistica ........................................
133
135
136
137
140
142
144
146
Esercizi ............................................................................................................................
147
9.
I principi della relatività generale ..............................................................
151
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Il ruolo dei principi fisici ......................................................................................
Il principio di Mach ..............................................................................................
La massa nella teoria newtoniana .........................................................................
Il principio di equivalenza ....................................................................................
Il principio di covarianza generale ........................................................................
Il principio di accoppiamento gravitazionale minimo ..........................................
Il principio di corrispondenza ...............................................................................
151
152
157
160
163
164
164
Esercizi ............................................................................................................................
165
10. Le equazioni di campo della relatività generale ...................................
167
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Esperimenti non locali con l’ascensore .................................................................
L’equazione newtoniana della deviazione ............................................................
L’equazione di deviazione geodetica ....................................................................
La corrispondenza newtoniana .............................................................................
Le equazioni di campo nel vuoto in relatività generale ........................................
Riassunto della storia ............................................................................................
Le equazioni di campo complete in relatività generale .........................................
167
168
170
173
176
177
177
Esercizi ............................................................................................................................
179
VIII
| Sommario
11. La relatività generale da un principio variazionale ...............................
181
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
L’equazione di Palatini ..........................................................................................
Vincoli differenziali sulle equazioni di campo ......................................................
Un esempio semplice .............................................................................................
La lagrangiana di Einstein .....................................................................................
Derivazione indiretta delle equazioni di campo ....................................................
Una lagrangiana equivalente .................................................................................
L’approccio di Palatini ..........................................................................................
Le equazioni di campo complete ...........................................................................
181
182
184
185
186
188
189
191
Esercizi .............................................................................................................................
192
12. Il tensore energia-impulso ............................................................................
195
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
Introduzione ...........................................................................................................
La materia incoerente ............................................................................................
Il fluido perfetto .....................................................................................................
Le equazioni di Maxwell .......................................................................................
Formulazione potenziale delle equazioni di Maxwell ...........................................
Il tensore energia-impulso di Maxwell ..................................................................
Altri tensori energia-impulso .................................................................................
Il vincolo di dominio dell’energia .........................................................................
Il limite newtoniano ...............................................................................................
La costante di accoppiamento ...............................................................................
195
195
198
198
200
202
204
205
205
208
Esercizi .............................................................................................................................
209
13. La struttura delle equazioni di campo ......................................................
211
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
Interpretazione delle equazioni di campo ..............................................................
Determinatezza, non linearità e differenziabilità ...................................................
La costante cosmologica ........................................................................................
Le equazioni di conservazione ..............................................................................
Il problema di Cauchy ...........................................................................................
Il problema del buco ..............................................................................................
Il problema dell’equivalenza .................................................................................
211
212
213
215
216
220
221
Esercizi .............................................................................................................................
222
14. La soluzione di Schwarzschild .....................................................................
225
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
Le soluzioni stazionarie .........................................................................................
Campi vettoriali ortogonali a ipersuperfici ............................................................
Soluzioni statiche ...................................................................................................
Soluzioni a simmetria sferica ................................................................................
La soluzione di Schwarzschild ..............................................................................
Proprietà della soluzione di Schwarzschild ...........................................................
Coordinate isotrope ...............................................................................................
225
226
229
231
233
235
237
Esercizi .............................................................................................................................
238
Sommario | IX
15. I test sperimentali della relatività generale ...........................................
241
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
15.10
Introduzione ..........................................................................................................
Il moto classico di Keplero ...................................................................................
Processione del perielio di Mercurio ....................................................................
Deflessione dei raggi luminosi ..............................................................................
Lo spostamento gravitazionale verso il rosso .......................................................
Ritardo temporale della luce .................................................................................
L’esperimento di Eötvös .......................................................................................
Lo schiacciamento del Sole ai poli .......................................................................
Cronologia degli eventi sperimentali e osservativi ...............................................
La geometria del telo elastico ...............................................................................
241
241
244
248
252
255
257
258
259
259
Esercizi ............................................................................................................................
262
Parte D. Buchi neri
16. Buchi neri non rotanti ....................................................................................
267
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
16.10
16.11
16.12
Caratterizzazione delle coordinate ........................................................................
Singolarità .............................................................................................................
Diagrammi spaziali e spazio-temporali ................................................................
Diagrammi spazio-temporali in coordinate di Schwarzschild ..............................
Una particella in caduta libera radiale ...................................................................
Le coordinate di Eddington-Finkelstein ................................................................
L’orizzonte degli eventi ........................................................................................
I buchi neri ............................................................................................................
Una dimostrazione classica ...................................................................................
Forze mareali in un buco nero ..............................................................................
Evidenza osservativa dei buchi neri ......................................................................
Stato teorico dei buchi neri ...................................................................................
267
268
269
271
273
275
277
278
280
281
283
284
Esercizi ............................................................................................................................
285
17. Massima estensione e compattificazione conforme ...........................
287
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
Massima estensione analitica ................................................................................
La soluzione di Kruskal ........................................................................................
Il ponte di Einstein-Rosen .....................................................................................
Diagramma di Penrose per lo spazio-tempo di Minkowski ..................................
Diagrammi di Penrose per la soluzione di Kruskal ..............................................
287
287
289
291
295
Esercizi ............................................................................................................................
297
18. Buchi neri carichi ............................................................................................
299
18.1 Il campo di una massa carica puntiforme .............................................................
18.2 Singolarità intrinseche e delle coordinate .............................................................
18.3 Diagramma spazio-tempo della soluzione di Reissner-Nordstrøm .......................
299
301
302
X
| Sommario
18.4 Particelle non cariche nello spazio-tempo di Reissner-Nordstrøm .......................
18.5 Diagrammi di Penrose di massima estensione analitica ........................................
304
305
Esercizi .............................................................................................................................
308
19. Buchi neri rotanti .............................................................................................
311
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
19.7
19.8
19.9
19.10
19.11
19.12
19.13
Tetradi nulle ...........................................................................................................
La soluzione di Kerr a partire da una trasformazione complessa ..........................
Le tre forme principali della soluzione di Kerr .....................................................
Proprietà fondamentali della soluzione di Kerr .....................................................
Singolarità e orizzonti ............................................................................................
Le congruenze principali nulle ..............................................................................
Coordinate di Eddington-Finkelstein ....................................................................
Il limite stazionario ................................................................................................
Estensione massima per il caso a2 < m2 .................................................................
Estensione massima per il caso a2 > m2 .................................................................
Buchi neri rotanti ...................................................................................................
I teoremi sulle singolarità ......................................................................................
L’effetto Hawking .................................................................................................
311
313
315
316
318
321
323
324
325
326
328
330
332
Esercizi .............................................................................................................................
334
Parte E. Onde gravitazionali
20. Onde gravitazionali piane ..............................................................................
337
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
Le equazioni di campo linearizzate .......................................................................
Trasformazioni di gauge ........................................................................................
Onde gravitazionali piane linearizzate ..................................................................
Stati di polarizzazione ...........................................................................................
Onde gravitazionali piane esatte ............................................................................
Onde gravitazionali piane impulsive .....................................................................
Collisione tra onde gravitazionali piane impulsive ...............................................
Onde gravitazionali che collidono .........................................................................
La rilevazione delle onde gravitazionali ................................................................
337
339
341
346
348
350
352
353
355
Esercizi .............................................................................................................................
358
21. Radiazione da una sorgente isolata ..........................................................
361
21.1
21.2
21.3
21.4
21.5
21.6
21.7
361
363
364
365
367
369
371
Sorgenti isolate radianti .........................................................................................
Ipersuperfici caratteristiche delle equazioni di Einstein ........................................
Coordinate radiative ..............................................................................................
La metrica radiativa di Bondi ................................................................................
Il problema alle condizioni iniziali sulle caratteristiche ........................................
La funzione di informazione e la perdita di massa ................................................
La classificazione di Petrov ...................................................................................
Sommario | XI
21.8 Il teorema del distacco ..........................................................................................
21.9 Gli scalari ottici .....................................................................................................
373
374
Esercizi ............................................................................................................................
376
Parte F. Cosmologia
22. Cosmologia relativistica ...............................................................................
381
22.1
22.2
22.3
22.4
22.5
22.6
22.7
22.8
22.9
22.10
22.11
22.12
Premessa ...............................................................................................................
Il paradosso di Olbers ...........................................................................................
Cosmologia newtoniana ........................................................................................
Il principio cosmologico .......................................................................................
Il postulato di Weyl ...............................................................................................
Cosmologia relativistica ........................................................................................
Spazi e curvatura costante .....................................................................................
La geometria dei 3-spazi a curvatura costante ......................................................
L’equazione di Friedmann ....................................................................................
La propagazione della luce ...................................................................................
Una definizione cosmologica di distanza .............................................................
La legge di Hubble in cosmologia relativistica .....................................................
381
382
384
387
389
390
391
394
398
400
403
404
Esercizi ............................................................................................................................
407
23. Modelli cosmologici .......................................................................................
409
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
23.9
23.10
23.11
23.12
23.13
23.14
23.15
23.16
23.17
23.18
23.19
I modelli a spazio piatto ........................................................................................
Modelli con costante cosmologica nulla ...............................................................
Classificazione dei modelli di Friedmann .............................................................
Il modello di de Sitter ...........................................................................................
I primi modelli ......................................................................................................
Il problema della scala temporale .........................................................................
Modelli successivi .................................................................................................
Il problema della massa mancante ........................................................................
I modelli standard .................................................................................................
L’universo primordiale .........................................................................................
Coincidenze cosmologiche ...................................................................................
La teoria dello stato stazionario ............................................................................
L’orizzonte degli eventi dell’universo di de Sitter ...............................................
Gli orizzonti delle particelle e degli eventi ...........................................................
Struttura conforme degli spazi-tempo di Robertson-Walker ................................
Struttura conforme dello spazio-tempo di de Sitter ..............................................
L’inflazione ...........................................................................................................
Il principio antropico .............................................................................................
Conclusioni ...........................................................................................................
409
412
414
416
418
418
419
420
422
423
424
424
428
430
432
434
436
438
441
Esercizi ............................................................................................................................
442
XII
| Sommario
Risposte agli esercizi ...............................................................................................
445
Ulteriori letture ...........................................................................................................
463
Bibliografia scelta .....................................................................................................
467
Indice analitico ...........................................................................................................
471
