Università degli Studi di Trieste Quantizzazione Canonica di una

Università degli Studi di Trieste
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Fisica
Tesi di Laurea Triennale
Quantizzazione Canonica di una stringa
non-relativistica
Laureando:
Relatore:
Federico Rizzo
prof. Euro Spallucci
ANNO ACCADEMICO 2014–2015
Indice
1 Introduzione
1.1
Fondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 La stringa classica
1
2
4
2.1
Meccanica della stringa classica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Metodo di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Formalismo Hamiltoniano ed Energia della stringa . . . . . . .
21
3 Quantizzazione Canonica
30
3.1
Metodo della quantizzazione Canonica . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2
Quantizzazione della stringa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Bibliografia
41
Capitolo 1
Introduzione
Uno dei problemi fondamentali della fisica del nostro tempo è l’unificazione
delle leggi della natura in un’unica teoria capace di spiegare ogni aspetto della
realtà secondo un preciso rapporto di causalità. Invero tale aspirazione prese
forma già nel Novecento quando, in seguito all’unificazione della teoria elettromagnetica di Maxwell via via nuovi fenomeni si scoprirono collegati e, come
conseguenza, richiesero un aggiustamento delle teorie esistenti che riflettesse
tali collegamenti. A fronte di tali avvenimenti s’incominciò a far strada l’idea
che esistesse un’unica congettura dalla quale sarebbero scaturite le spiegazioni
di tutti i fenomeni conosciuti.
Attualmente le potenzialità della nostre predizioni sono dovute a due teorie
fondamentali: la Relatività Generale di Einstein ed il Modello Standard. La
prima nasce dall’elettrodinamica classica e promuove una nuova visione del
palcoscenico spazio-temporale su cui si verificano tutti i fenomeni fisici: lo
spazio e il tempo non sono più visti come due entità distinte, bensì s’intrecciano
in un unico campo la cui trama si modifica in relazione agli elementi (masse
ed energie) che "sorregge"; il secondo è nato dal connubio di tutte le teorie
quantistiche compiutamente formulate e unificate (con l’eccezione della color
force per cui non sussiste una vera e propria unificazione) e riassume tutta
la conoscenza attuale sulla fisica delle particelle. L’idea di base è che le forze
agiscono tramite la medizione di dodici portatori, ovvero particelle virtuali con
spin intero (bosoni). Queste sono:
• otto gluoni, mediatori della forza nucleare forte
• le particelle 𝑊 + , 𝑊 − , 𝑍 0 , mediatori dell’interazione nucleare debole
1
1.1. FONDAMENTI
• il fotone, mediatore della forza elettromagnetica
Si noti come il Modello standard non contempli alcun mediatore per la
forza gravitazionale: questo è dovuto al fatto che, fino ad ora, tutti i tentativi volti ad ottenere una descrizione quantistica della gravità hanno portato a
risultati non rinormalizzabili e dunque non in grado di fornire predizioni sensate. È plausibilmente possibile supporre l’esistenza di una particella mediatrice
anche per la forza gravitazionale (il gravitone), tuttavia l’esistenza di questa
all’interno del Modello Standard non emerge come condizione necessaria da
una quantizzazione di una teoria classica preesistente, come invece accade per
le altre.
L’esistenza di circa venti parametri del Modello Standard che non possono essere calcolati all’interno del suo dominio costituisce, inoltre, un ulteriore problema per la teoria che, in un ultima analisi, risulta quindi ancora profondamente
inappagante.
Ci preme osservare come l’unificazione non sia solamente un processo atto
a chiarire paradossi o un’inutile pretesa di estetica matematica: il risultato di
Maxwell non fu solo un traguardo in cui le inconsistenze delle teorie magnetica ed elettrica venivano eliminate, ma fu sostanziale in quanto riguardava
precisamente l’essenza stessa dei fenomeni.
Alla luce di questi fatti, l’unificazione risulta oggi un problema centrale della fisica moderna per una piena comprensione del mondo e delle leggi che lo
governano.
1.1
Fondamenti
La Teoria delle stringhe si pone in questo contesto come una possibile soluzione alle moderne problematiche dell’unificazione di tutti i tipi di interazione
presenti in natura. Tale teoria nacque nel 1968 quando il ricercatore al CERN
di Ginevra, G.Veneziano, s’interrogò sul particolare comportamento dello spin
degli adroni. Pochi anni dopo, Nambo, Nielsen e Susskind riuscirono a spiegare
tali andamenti sperimentali con un modello per la forza nucleare a stringhe vibranti unidimensionali; ma fu solo nel 1979 con Shwarz e Scherk che l’interesse
per questa teoria si fece più intenso, quando questi, studiando la vibrazione
delle stringhe notarono una corrispondenza con le supposte proprietà del gravitone.
2
1.1. FONDAMENTI
Tra i punti a favore della teoria delle stringhe vi è infatti la mancanza di quei
problemi che solitamente scaturiscono quando si cerca di ottenere una descrizione quantistica dell’interazione gravitazionale, nonostante ciò non possa
essere considerato un’evidenza di correttezza. Come garanzia della sua unicità (proprietà fondamentale per una GUT), al contrario del modello standard
in cui vi è un certo numero di parametri impossibili da calcolare all’interno
del suo dominio, la teoria delle stringhe non ha parametri adimensionali da
"aggiustare". Un’altra peculiarità della teoria è la dimensionalità dello spaziotempo che emerge direttamente come risultato all’interno del suo dominio, al
contrario di quanto invece accade per il Modello Standard in cui tale informazione costituisce un’ipotesi fondamentale alla base del modello. Come se
non bastasse il valore stesso del parametro risulta ancora più sbalorditivo: il
numero non è quattro ma dieci. Nonostante la difficile comprensione di tale
risultato e la scetticità che ha risvegliato nella comunità scientifica, sono state
avanzate ipotesi secondo cui alcune di queste dimensioni si possano nascondere alla nostra esperienza quotidiana raggomitolandosi su se stesse in uno
spazio sufficientemente piccolo da sfuggire alla rivelazione in esperimenti a
basse energie.
Il principale problema della teoria consiste nella mancanza di equazioni di
campo complete ed eleganti in grado di fornire predizioni verificabili sperimentalmente in maniera diretta. Le risposte sulla veridicità della teoria verranno
cercate pertanto tramite la verifica di effetti secondari indiretti.
Secondo la Teoria delle stringhe ogni particella, sia essa fermionica o bosonica, viene associata ad un particolare modo di vibrazione di una stringa
elementare. Sfruttando una similitudine celebre in letteratura, come una corda di violino può vibrare in diversi modi producendo suoni distinti, così i modi
di vibrazione di una stringa possono essere accostati alle diverse particelle che
conosciamo.
Riferendoci alle formulazioni più recenti, tali costituenti fondamentali, le
stringhe, sono definite come oggetti fisici unidimensionali, continui, relativistici e supersimmetrici. Nella presente tesi cercheremo di rispondere al perché
sia utile studiare le stringhe continue, presentandone previamente una descrizione classica; successivamente quantizzeremo il modello e ne studieremo le
proprietà, riferendoci in particolar modo a due tipi di stringhe: stringhe aperte soggette a due diverse condizioni al contorno ( condizioni di Dirichlet e
Neuman-Dirichlet) e stringhe chiuse.
3
Capitolo 2
La stringa classica
2.1
Meccanica della stringa classica
Geometricamente il concetto di stringa scaturisce dalla naturale evoluzione
del concetto matematico di linea in tre dimensioni quando si vuole attribure a
tale entità caratteristiche propriamente fisiche, spostando la cornice entro cui
si opera, da un contesto puramente matematico a quello reale. Le particolari
equazioni legate alla geometria della linea risulteranno, quindi, ancora valide
e particolarmente utili nella presente trattazione.
Linea geometrica Si consideri uno spazio lineare vettoriale e un sistema
ortogonale di assi di riferimento grazie al quale è possibile individuare univocamente ciascun punto dello spazio con un vettore in 𝑅3 ; in questo spazio,la
linea può essere descritta attraverso la sua rappresentazione parametrica, da
una funzione vettoriale del tipo
⃗𝑦 = ⃗𝑦 (𝜎)
(2.1)
con 𝜎 ∈ [0, 𝐿]. Si osservi che 𝜎 non rappresenta una variabile dinamica, bensì
un mero parametro atto ad indicizzare ciascun punto della linea. A partire da
questa espressione, risulta possibile introdurre varie quantità vantaggiose per
una corretta descrizione della linea nello spazio, quali la lunghezza della stessa
e le coordinate del centro geometrico.
Si definisce la lunghezza reale propria della linea come la sua lunghezza
nello spazio in cui è immersa. Se si considera un tratto infinitesimo di linea 𝑑𝑙
4
2.1. MECCANICA DELLA STRINGA CLASSICA
individuato dai vettori ⃗𝑦 (𝜎) ed ⃗𝑦 (𝜎 + 𝑑𝜎), la sua estensione è data da
𝑑𝑙 =| 𝑑⃗𝑙 |=| ⃗𝑦 (𝜎 + 𝑑𝜎) − ⃗𝑦 (𝜎) |=|
𝑑⃗𝑦 (𝜎)
| 𝑑𝜎
𝑑𝜎
Si può allora calcolare la lunghezza propria della linea integrando tale quantità
sul dominio di 𝜎:
∫︁ 𝐿
𝑙=
𝑑𝜎 |
0
𝑑⃗𝑦 (𝜎)
|
𝑑𝜎
(2.2)
la grandezza che ne risulta è una quantità scalare che corrisponde, come già
accennato, alla lunghezza vera e propria della linea nello spazio in cui è situata.
Il centro della linea corrisponde alle coordinate ottenute dalla media "aritmetica" operata sulla posizione complessiva di tutti i punti della linea, e
pertanto risulta essere
⃗𝑦𝑐 =
1
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑦 (𝜎)
(2.3)
0
Dalla linea alla stringa Come accennato precedentemente, le origini del
concetto di stringa risiedono nell’espressione della linea, alla quale però vengono attribuite proprietà tipiche del mondo fisico quali densità 𝜌, tensione 𝑇 ,
costanti, e una propria dinamica. Alla luce di questi fatti, la stringa può essere
rappresentata da una funzione
⃗𝑦 = ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎)
(2.4)
che ricopre un ruolo analogo alla (2.1). In quest’espressione risalta immediatamente l’ulteriore dipendenza della funzione dal tempo, che deriva dall’attribuzione della dinamica alla linea. La funzione cui si perviene in questo modo è
detta funzione di embedding e associa ad ogni 𝜎 ∈ [0, 𝐿] un punto della stringa
nello spazio fisico; la lunghezza 𝐿 dell’intervallo che ne costituisce il dominio,
prende il nome di lunghezza parametrica della stringa.
Occorre precisare, come già fatto nel caso della linea, che l’intervallo 𝐼 non
corrisponde ad uno spazio fisico reale e, di conseguenza, 𝜎 non è una variabile
dinamica, bensì un mero parametro adibito alla rappresentazione di ciascun
punto della stringa.
Analogamente a quanto fatto per la linea, anche nel caso della stringa
è possibile introdurre i concetti di lunghezza propria e centro di massa che
risultano essere estensioni delle (2.2) e (2.3). Le uniche differenze con tali
casi risiedono nell’opportuna sostituzione delle derivate totali con le rispettive
5
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
derivate perziali e nel fatto che l’introduzione della densità di massa induce a
considerare non più il concetto di centro geometrico, ma il centro di massa. In
questo modo la lunghezza propria risulta essere
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎|
𝑙=
0
𝜕⃗𝑦 (𝑡, 𝜎)
|
𝜕𝜎
(2.5)
e le coordinate del centro di massa
⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) =
1
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑦 (𝑡, 𝜎)
(2.6)
0
Come si può notare le (2.3) e (2.6) risultano equivalenti: ciò è una conseguenza diretta del fatto che il centro di massa di un sistema si riduce a quello
geometrico se la densità dello stesso è assunta costante.
Dall’attribuzione della dinamica alla linea, è possibile definire un’ulteriore
quantità per la stringa: il momento 𝑝⃗ = 𝑝⃗(𝑡, 𝜎)
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) = 𝜌⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎)
dove ⃗𝑦˙ =
𝜕⃗
𝑦
𝜕𝑡 .
(2.7)
Risulta allora possibile introdurre un’ulteriore quantità, il mo-
mento del centro di massa, 𝑝⃗𝑐𝑚 :
𝜌
𝑝⃗𝑐𝑚 (𝑡) = 𝜌⃗𝑦˙ 𝑐𝑚 (𝑡, 𝜎) =
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎
0
𝜕⃗𝑦 (𝑡, 𝜎)
𝜕𝑡
(2.8)
L’importanza di aver definito queste quantità si paleserà in futuro, quando ci
si occuperà della forma delle funzioni di embedding per la stringa, e la sua
energia.
2.2
Formalismo Lagrangiano
Breve riepilogo sulla meccanica Lagrangiana Il numero di variabili
sufficienti ad identificare univocamente la configurazione di un dato sistema
fisico è detto numero dei gradi di libertà del sistema. La determinazione dello
stato meccanico di un sistema classico necessita dunque della conoscenza delle
coordinate e dei momenti generalizzati ad esso associati. Noti tali elementi,
l’evoluzione del sistema è governata da una particolare funzione
ℒ(𝑡, 𝑞 1 , ...𝑞 𝑁 , 𝑞˙1 , ..., 𝑞˙𝑁 )
(2.9)
6
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
dove 𝑁 è il numero di gradi di libertà del sistema. La funzione ℒ(𝑡, 𝑞, 𝑞)
˙ è detta
Lagrangiana del sistema, e la sua importanza si palesa alla luce del principio
di minima azione o di Hamilton. Si supponga di conoscere tutti i parametri
necessari per determinare lo stato di un sistema ai tempi 𝑡1 e 𝑡2 , il principio
sopra menzionato afferma che la dinamica del sistema è tale da estremizzare
la seguente grandezza:
∫︁ 𝑡2
𝑑𝑡ℒ(𝑡, 𝑞, 𝑞)
˙
𝑆=
(2.10)
𝑡1
Tale quantità prende il nome di Azione; condizione necessaria affinchè esista
un estremo è che la variazione al primo ordine si annulli, ovvero
∫︁ 𝑡2
𝛿𝑆 =
𝑡1
𝜕ℒ
𝜕ℒ
𝑑𝑡
𝛿𝑞 +
𝛿 𝑞˙ = 0
𝜕𝑞
𝜕 𝑞˙
(︂
)︂
(2.11)
Da questa condizione si ricava un set di equazioni in 𝑞 e 𝑞,
˙ le equazioni di
Lagrange, che corrispondono, nell’ambito della meccanica classica, alle usuali
equazioni del moto:
𝑑 𝜕ℒ
𝜕ℒ
= 𝑖
𝑖
𝑑𝑡 𝜕 𝑞˙
𝜕𝑞
(𝑖 = 1, 2, ..., 𝑁 )
(2.12)
dove le seguenti quantità
𝑝𝑖 =
𝜕ℒ
𝜕 𝑞˙𝑖
(2.13)
sono dette momenti generalizzati.
Lagrangiana e Azione di una stringa La Lagrangiana di un sistema
conservativo può essere ottenuta sottraendo l’energia potenziale del sistema a
quella cinetica:
ℒ=𝑇 −𝑉
(2.14)
Con questa definizione si vuole ora calcolare l’azione di una stringa con densità
di massa 𝜌 e tensione 𝑇 , costanti. Iniziamo col valutarne l’energia cinetica:
questa potrà essere calcolata come somma delle energie cinetiche di tutti i
segmenti infinitesimi che costituiscono la stringa, e può essere quindi scritta
come
∫︁ 𝐿
𝑇 =
0
[︃
1
𝜕⃗𝑦
𝑑𝜎 𝜌
2
𝜕𝑡
(︂
)︂2 ]︃
7
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
L’origine del termine potenziale risiede nel lavoro che deve essere speso per
allungare ciascun segmento infinitesimo. Allo scopo di calcolare tale quantità,
è istruttivo immaginare la stringa come una successione di molle di lunghezza
infinitesima legate agli estremi l’una con l’altra. Ci si può allora facilmente convincere, con questa modellizzazione, che l’energia potenziale derivante
dall’allungamento infinitesimo di una singola molla è
1
𝑑𝑉 = 𝑇 (𝑑𝑙)2
2
(2.15)
dove 𝑑𝑙 rappresenta l’allungamento infinitesimo della molla rispetto la posizione di equilibrio. Alla luce di quanto appena trovato, con l’opportuna sostituzione dell’espressione per l’allungamento sopra calcolata, l’energia potenziale
totale della stringa sarà data dalla somma delle energie potenziali di ogni molla
infinitesima, per cui
∫︁ 𝐿
𝑉 =
0
[︃
1
𝑑𝜎 𝑇
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2 ]︃
La lagrangiana del sistema sarà allora data da
ℒ=
∫︁ 𝐿
0
[︃
1
𝜕⃗𝑦
𝑑𝜎 𝜌
2
𝜕𝑡
(︂
)︂2
1
− 𝑇
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2 ]︃
(2.16)
per cui ℒ = ℒ(⃗𝑦 (𝑡), ⃗𝑦˙ (𝑡)). Da questa espressione è immediato calcolare l’azione
della stringa come
∫︁ 𝑡2
𝑆=
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
𝑡1
0
[︃
1
𝜕⃗𝑦
𝑑𝜎 𝜌
2
𝜕𝑡
(︂
)︂2
1
− 𝑇
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2 ]︃
(2.17)
Rifacendosi al paragrafo precedente è possibile ricondursi, partendo dall’Azione della stringa, alle sue equazioni del moto annullando la variazione dell’Azione al primo ordine in 𝛿⃗𝑦 inoltre, nota la Lagrangiana, è possibile studiare
l’espressione dei momenti generalizzati che, come si può vedere, corrisponde
alla definizione data nel capitolo precedente:
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) =
𝜕 ℒ̃
𝜕⃗𝑦
=𝜌
˙
𝜕𝑡
𝜕 ⃗𝑦
8
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
Si osservi che, in questo caso, va considerata ℒ̃ che corrisponde alla densità di
lagrangiana in rapporto al parametro 𝜎:
1
𝜕⃗𝑦
ℒ̃(⃗𝑦 (𝑡, 𝜎), ⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎)) = 𝜌
2
𝜕𝑡
(︂
)︂2
1
− 𝑇
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2
Ciò è dovuto al fatto che i momenti 𝑝⃗(𝑡, 𝜎) sono funzioni di 𝜎 e, pertanto,
sono riferiti ai diversi tratti infinitesimi di stringa individuati da tale parametro: ciò fa si che la lagrangiana cui occorre riferirsi nel calcolo di questi
momenti sia quella del singolo segmento infinitesimo individuato da 𝜎, ovvero
ℒ̃(⃗𝑦 (𝑡, 𝜎), ⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎)).
Il momento del centro di massa, calcolato come media "aritmetica", è dato
da
𝑝⃗𝑐𝑚 (𝑡) =
1
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗
𝑝(𝑡, 𝜎) =
0
𝜌
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎)
(2.18)
0
Si osservi, pertanto, che la trattazione lagrangiana risulta in perfetto accordo
con le definizioni date nella sezione 2.1; l’utilità di tali grandezze si manifesterà
più tardi, nel calcolo della forma esplicita di ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎).
Equazioni del moto
Si vuole ora ottenere le equazioni del moto che gover-
nano la stringa annullando la variazione al primo ordine dell’azione in 𝛿⃗𝑦 . Si
esamini quindi, per prima cosa la variazione dell’azione che risulta dal variare
⃗𝑦 (𝜎, 𝑡) −→ ⃗𝑦 (𝜎, 𝑡) + 𝛿⃗𝑦 (𝜎, 𝑡):
∫︁ 𝑡2
𝑆[⃗𝑦 + 𝛿⃗𝑦 ] =
𝑑𝑡ℒ(⃗𝑦 + 𝛿⃗𝑦 , ⃗𝑦˙ + 𝛿⃗𝑦˙ )
𝑡1
∫︁ 𝑡2
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
=
𝑡1
0
∫︁ 𝑡2
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
=
𝑡1
0
∫︁ 𝑡2
(︂
[︃
(︂
)︂2
1
𝜕
𝑑𝜎 𝜌
(⃗𝑦 + 𝛿⃗𝑦 )
2
𝜕𝑡
1
𝜕⃗𝑦
𝑑𝜎 𝜌
2
𝜕𝑡
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
+
[︃
𝑡1
[︂
𝑑𝜎 𝜌⃗𝑦˙
0
)︂2
1
− 𝑇
2
(︂
1
− 𝑇
2
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
(︂
)︂2 ]︃
𝜕
(⃗𝑦 + 𝛿⃗𝑦 )
𝜕𝜎
)︂2 ]︃
𝜕(𝛿⃗𝑦 )
𝜕⃗𝑦 𝜕(𝛿⃗𝑦 )
−𝑇
𝜕𝑡
𝜕𝜎 𝜕𝜎
+
(2.19)
]︂
2
+ 𝑂[(𝛿⃗𝑦 ) ]
∫︁ 𝑡2
= 𝑆[⃗𝑦 ] +
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
𝑡1
0
[︂
𝑑𝜎 𝜌⃗𝑦˙
𝜕(𝛿⃗𝑦 )
𝜕⃗𝑦 𝜕(𝛿⃗𝑦 )
−𝑇
+ 𝑂[(𝛿⃗𝑦 )2 ]
𝜕𝑡
𝜕𝜎 𝜕𝜎
]︂
9
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
Consideriamo il secondo termine:
∫︁ 𝐿
∫︁ 𝑡2
𝑑𝑡
𝛿𝑆 =
𝑡1
0
𝜕(𝛿⃗𝑦 )
𝜕⃗𝑦 𝜕(𝛿⃗𝑦 )
𝑑𝜎 𝜌⃗𝑦˙
−𝑇
𝜕𝑡
𝜕𝜎 𝜕𝜎
[︂
]︂
(2.20)
Si osservi che valgono le seguenti uguaglianze
𝜕 ˙
𝜕𝛿⃗𝑦
(⃗𝑦 𝛿⃗𝑦 ) − ⃗𝑦¨(𝛿⃗𝑦 ) = ⃗𝑦˙
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(︂
𝜕
𝜕𝜎
(︂
)︂
(2.21)
𝜕⃗𝑦
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕⃗𝑦 𝜕(𝛿⃗𝑦 )
𝛿⃗𝑦 −
(𝛿⃗𝑦 ) =
𝜕𝜎
𝜕𝜎 2
𝜕𝜎 𝜕𝜎
)︂
(2.22)
Alla luce di questi fatti, è possibile riscrivere la (2.20) nella seguente forma:
∫︁ 𝑡2
∫︁ 𝐿
𝛿𝑆 =
𝜕 ˙
(⃗𝑦 𝛿⃗𝑦 )
𝜕𝑡
𝑡1
0
[︂
(︂
)︂]︂
∫︁ 𝑡2 ∫︁ 𝐿
𝜕 𝜕⃗𝑦
𝛿⃗𝑦
−
𝑑𝜎 𝑇
𝑑𝑡
𝜕𝜎 𝜕𝜎
𝑡1
0
−
[︂
]︂
𝑑𝑡 𝜌
𝑑𝜎
∫︁ 𝑡2
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
𝑡1
[︃
𝑑𝜎(𝛿⃗𝑦 ) 𝜌⃗𝑦¨ − 𝑇
0
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕𝜎 2
(2.23)
]︃
che, alla luce del Teorema del calcolo integrale, si riduce all’espressione sottostante
∫︁ 𝐿
[︂
𝑑𝜎 𝜌
𝛿𝑆 =
0
−
∫︁ 𝑡2
𝑡1
−
𝜕⃗𝑦
𝛿⃗𝑦
𝜕𝑡
𝑡1
𝜕⃗𝑦
𝛿⃗𝑦
𝑑𝑡 𝑇
𝜕𝜎
[︂
∫︁ 𝑡2
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
𝑡1
]︂𝑡2
0
]︂𝐿
(2.24)
0
[︃
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕 2 ⃗𝑦
𝑑𝜎(𝛿⃗𝑦 ) 𝜌 2 − 𝑇 2
𝜕𝑡
𝜕𝜎
]︃
Quest’ultima espressione è costituita da tre termini che devono annullarsi separatamente. Il primo termine risulta determinato dalla configurazione della
stringa ai tempi 𝑡1 e 𝑡2 : la variazione viene fatta ad "estremi fissi", i. e. le
configurazioni iniziale e finale sono fissate quindi 𝛿⃗𝑦 (𝑡1 , 𝜎) = 0 e 𝛿⃗𝑦 (𝑡2 , 𝜎) = 0.
Il secondo termine riguarda invece il moto degli estremi della stringa, ⃗𝑦 (0, 𝑡)
e ⃗𝑦 (𝐿, 𝑡): affinchè questo si annulli è necessario introdurre delle opportune
condizioni al contorno. Se si pone il vincolo che gli estremi siano fissati a particolari punti nello spazio, di fatto si sta imponendo che 𝛿⃗𝑦 (0, 𝑡) = 𝛿⃗𝑦 (𝐿, 𝑡) = 0
e ciò fa sì che il termine si annulli. Queste condizioni al contorno sono det-
10
2.2. FORMALISMO LAGRANGIANO
te Condizioni di Dirichlet. È possibile considerare, in aggiunta, il caso in cui
𝛿⃗𝑦 (0, 𝑡) ̸= 0 e 𝛿⃗𝑦 (𝐿, 𝑡) ̸= 0. Affinchè il termine dia contributo nullo è allora
necessario imporre le condizioni
𝜕⃗𝑦
(0, 𝑡) = 0
𝜕𝜎
𝜕⃗𝑦
(𝐿, 𝑡) = 0
𝜕𝜎
(2.25)
Queste condizioni al contorno sono dette Condizioni di Neumann. Esiste un’ulteriore condizione che, se applicata alla stringa, fa si che il secondo termine si
annulli. Tale condizione richiede che la stringa sia chiusa su se stessa:
⃗𝑦 (𝑡, 0) = ⃗𝑦 (𝑡, 𝐿)
In tal caso, infatti, 𝛿⃗𝑦 (𝑡, 0) = 𝛿⃗𝑦 (𝑡, 𝐿) e
𝜕⃗
𝑦
𝜕𝜎 (0, 𝑡)
(2.26)
=
𝜕⃗
𝑦
𝜕𝜎 (𝐿, 𝑡),
e ciò è responsabile
dell’annullarsi dell’integrale. Riassumendo, se vengono applicate queste condizioni alla stringa, e se risultano note le sue configurazioni agli istanti iniziale
e finale, la (2.24) si riduce solamente al terzo termine:
∫︁ 𝑡2
𝛿𝑆 =
∫︁ 𝐿
𝑑𝑡
𝑡1
0
[︃
]︃
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕 2 ⃗𝑦
𝑑𝜎(𝛿⃗𝑦 ) −𝜌 2 + 𝑇 2 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝜎
(2.27)
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕 2 ⃗𝑦
+
𝑇
=0
𝜕𝑡2
𝜕𝜎 2
(2.28)
L’uguaglianza è soddisfatta se
−𝜌
L’espressione (2.28) costituisce un sistema di tre equazioni, ciascuna riferita ad
una particolare componente di ⃗𝑦 , che corrispondono alle equazioni del moto che
governano la dinamica della stringa nello spazio fisico. Tale formula è nota col
nome di equazione d’onda classica√︁in quanto descrive un’onda che si propaga
lungo la stringa con velocità 𝑣 =
𝑇
𝜌.
Soluzione dell’equazione d’onda Ricapitolando, se la stringa soddisfa le
particolari condizioni al contorno sopra citate, e se sono note le configurazioni
della stessa negli istanti iniziale e finale, la sua dinamica è governata dalle
equazioni del moto appena trovate che risultano avere la forma di equazioni
d’onda classiche. Queste equazioni nel caso più generale, ammettono come
soluzioni funzioni del tipo
˜
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + ⃗𝑐𝜎 + ⃗ℎ(𝜎 − 𝑣𝑡) + ⃗ℎ(𝜎 + 𝑣𝑡)
(2.29)
11
2.3. METODO DI FOURIER
I termini ⃗𝑎, ⃗𝑏 e ⃗𝑐 corrispondono alle costanti derivanti dalla soluzione dell’equazione d’onda che costituisce un’equazione differenziale di secondo grado
in 𝑡 e 𝜎. I termini rimanenti rappresentano invece la sovrapposizione di due
˜
onde, ⃗ℎ ed ⃗ℎ, che si propagano in direzioni opposte lungo la lunghezza della
stringa. Imponendo le condizioni al contorno e le condizioni iniziali, è possibile
conoscere la forma esplicita dei rispettivi parametri e funzioni.
2.3
Metodo di Fourier
Si studieranno i vari casi definiti dalle diverse condizioni al contorno per la
stringa, utilizzando, in conformità con quanto detto nella sezione precedente,
una simile funzione per la ⃗𝑦 :
𝑖𝑘𝜎
−𝑖𝑘𝜎
⃗
⃗
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + ⃗𝑐𝜎 + 𝐴(𝑡)𝑒
+ 𝐵(𝑡)𝑒
Stringa chiusa
(2.30)
Per la stringa chiusa, le condizioni al contorno sono:
⃗𝑦 (𝑡, 0) = ⃗𝑦 (𝑡, 𝐿)
(2.31)
In altre parole, si esige che in ogni istante di tempo 𝑡 le estremità della stringa risultino coincidenti. Tale imposizione, che costituisce una condizione di
periodicità, applicata alla (2.30) si risolve nella seguente equazione:
𝑖𝑘𝐿
−𝑖𝑘𝐿
⃗ + 𝐵(𝑡)
⃗
⃗
⃗
𝐴(𝑡)
= ⃗𝑐𝐿 + 𝐴(𝑡)𝑒
+ 𝐵(𝑡)𝑒
Procedendo nella risoluzione, si giunge alla seguente espressione:
𝑖𝑘𝐿/2
⃗
2𝑖𝐴(𝑡)𝑒
sin
(︂
𝑘𝐿
2
)︂
−𝑖𝑘𝐿/2
⃗
− 2𝑖𝐵(𝑡)𝑒
sin
(︂
𝑘𝐿
2
)︂
+ ⃗𝑐𝐿 = 0
Affinchè possa essere soddisfatta, l’uguaglianza si traduce nei seguenti risultati:
𝑘𝑛 =
2𝜋
𝐿𝑛
con 𝑛 ∈ 𝑍, e ⃗𝑐 = 0. Ci si soffermi ad osservare il carattere discreto
dei 𝑘𝑛 : ciascun 𝑛 corrisponde ad una diversa onda stazionaria con lunghezza
d’onda 𝜆 =
2𝐿
𝑛 .
Alla luce del principio di sovrapposizione lineare, la formula più
opportuna e generale per la funzione considerata risulta pertanto la seguente:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 +
∑︁
⃗ 𝑛 (𝑡)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (𝑡)𝑒−𝑖𝑘𝑛 𝜎 ]
[𝐴
(2.32)
𝑛̸=0
12
2.3. METODO DI FOURIER
⃗ 𝑛 (𝑡) e 𝐵
⃗ 𝑛 (𝑡) sono dette modi normali (normal modes) o coordinate normali e
𝐴
ciascuna evolve nel tempo in maniera indipendente. Si sostituisca ora quanto
trovato nell’equazione d’onda (2.28), il risultato concerne proprio tali quantità:
{︃
dove 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
√︁
𝑇
𝜌
=
2𝜋
𝐿𝑛
√︁
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐵
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐵
𝑇
𝜌.
Sostituendo, si ottiene la seguente espressione
per ⃗𝑦 :
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 +
∑︁ [︁
]︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (0)−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
(2.33)
𝑛̸=0
Si osservi che il carattere reale di ciascuna componente della funzione ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎)
impone una condizione di vincolo sui coefficienti della serie, in particolare, deve
* (𝑡). Rimangono da identificare i
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐵
⃗ −𝑛
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐴
⃗ *−𝑛 (𝑡) e 𝐵
risultare che 𝐴
coefficienti ⃗𝑎 e ⃗𝑏, termini costanti derivanti dalla risoluzione dell’equazione
d’onda. Si può verificare che
e
1
⃗𝑎 =
𝐿
∫︁ 𝐿
⃗𝑏 = 1
𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑦 (0, 𝜎)
0
𝑑𝜎⃗𝑦˙ (0, 𝜎)
0
Il termine ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 ,infatti, corrisponde alle costanti derivanti dalla risoluzione
dell’equazione differenziale di secondo grado. Nota la (2.33) è possibile calcolare questo termine applicando la definizione (2.6) che riguarda le coordinate
del centro di massa:
1 𝐿
𝑑𝜎𝑦(𝑡, 𝜎)
𝐿 0
∫︁
]︁
∑︁ [︁
1 𝐿
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (0)−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 }
=
𝑑𝜎{⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 +
𝐴
𝐿 0
𝑛̸=0
∫︁
⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) =
[︃
1 ∑︁ ⃗
= ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 +
𝐴𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐿 𝑛̸=0
∫︁ 𝐿
𝑖𝑘𝑛 𝜎
𝑑𝜎𝑒
0
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
+𝐵
∫︁ 𝐿
]︃
−𝑖𝑘𝑛 𝜎
𝑑𝜎𝑒
0
(2.34)
13
2.3. METODO DI FOURIER
I due integrali forniscono entrambi contributo nullo, infatti
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎𝑒±𝑖𝑘𝑛 𝜎 = ±
0
1 ±𝑖𝑘𝑛 𝐿
(𝑒
− 1) = 0
𝑖𝑘𝑛
Per cui
⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡
(2.35)
Dal momento che
⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) = ⃗𝑦𝑐𝑚 (0) + ⃗𝑦˙ 𝑐𝑚 (0)𝑡
Risulta che
⃗𝑎 = ⃗𝑦𝑐𝑚 (0)
e
⃗𝑏 = ⃗𝑦˙ 𝑐𝑚 (0) = 𝑝⃗𝑐𝑚 (0)
𝜌
La velocità di traslazione è costante, quindi ⃗𝑦𝑐𝑚 (0) è lo stesso ∀𝑡: semplificheremo allora la notazione:
⃗𝑦𝑐𝑚 = ⃗𝑦𝑐𝑚 (0)
analogamente,
𝑝⃗𝑐𝑚 = 𝑝⃗𝑐𝑚 (0)
L’uguaglianza con gli integrali sopra riportati per ⃗𝑎 e ⃗𝑏 viene constatata grazie
alle definizioni (2.6) e (2.8) introdotte all’inizio del capitolo, per analogia con
il caso della linea. L’espressione finale per la stringa chiusa è allora data, in
ultima analisi, dalla seguente equazione:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
dove 𝑘𝑛 =
2𝜋
𝐿𝑛
]︁
∑︁ [︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝑡+
𝐴
𝜌
𝑛̸=0
e 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
√︁
𝑇
𝜌.
(2.36)
Tale soluzione può essere vista, in una forma
maggiormente istruttiva, separando il risultato nel contributo di due onde che
si propagano in direzioni opposte lungo la stringa:
∑︁
1
1 𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝑡+
⃗𝑦𝑅 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
𝐴
2
2 𝜌
𝑛̸=0
(2.37)
∑︁
1 𝑝⃗𝑐𝑚
1
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
⃗𝑦𝐿 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
𝑡+
𝐵
2
2 𝜌
𝑛̸=0
(2.38)
14
2.3. METODO DI FOURIER
È utile osservare come l’ equazione (2.36) descriva la posizione di ciascun punto
della stringa chiusa nello spazio fisico in termini della somma di due contributi:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) + ⃗𝑢(𝑡, 𝜎)
(2.39)
Il primo termine si riferisce al moto del centro di massa, il secondo riguarda gli
spostamenti relativi di ciascun punto della stringa rispetto il centro di massa.
In particolare
⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
⃗𝑢(𝑡, 𝜎) =
∑︁ [︁
𝑝⃗𝑐𝑚
𝑡
𝜌
]︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
𝑛̸=0
Quest’ultima quantità, dal momento che la posizione media occupata dai punti
della stringa al tempo t è data da ⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡), deve dare un contributo medio nullo:
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑢(𝑡, 𝜎) = 0
(2.40)
0
Si osservi che la verifica di questo fatto è già stata condotta in questo paragrafo,
appurando l’annullamento degli integrali nella (2.34).
Condizioni al contorno di Dirichlet
Come visto nella sezione riguardante
la derivazione delle equazioni del moto, anche le condizioni al contorno di
Dirichlet fanno sì che il secondo termine della (2.24) si annulli, di modo che
la stringa, soggetta a queste condizioni, deve soddisfare solamente l’equazione
d’onda (2.28). Generalmente, data una funzione 𝑓 definita su un certo dominio
𝐷, le condizioni di Dirichlet richiedono che questa assuma dei particolari valori
sul bordo del dominio 𝜕𝐷. Nel presente caso di una stringa unidimensionale
aperta, le condizioni di Dirichlet sono date dalla seguente richiesta:
⃗𝑦 (𝑡, 0) = ⃗𝑦1
⃗𝑦 (𝑡, 𝐿) = ⃗𝑦2
(2.41)
Applicando tali condizioni alla funzione di prova (2.30), si giunge alla coppia
di uguaglianze:
{︃
⃗ + 𝐵(𝑡)
⃗
⃗𝑦1 = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + 𝐴(𝑡)
𝑖𝑘𝐿 + 𝐵(𝑡)𝑒
−𝑖𝑘𝐿
⃗
⃗
⃗𝑦2 = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + ⃗𝑐𝐿 + 𝐴(𝑡)𝑒
15
2.3. METODO DI FOURIER
Si ricorda che ⃗𝑦1 e ⃗𝑦2 rappresentano due punti fissi nello spazio fisico, pertanto,
le loro componenti sono reali. Studiando il sistema sopra riportato, è possibile
arrivare ad una simile equazione:
𝑖𝑘𝐿
−𝑖𝑘𝐿
⃗
⃗ + 𝐵(𝑡)𝑒
⃗
⃗
(⃗𝑦2 − ⃗𝑦1 ) = 𝐴(𝑡)𝑒
− 𝐴(𝑡)
− 𝐵(𝑡)
+ ⃗𝑐𝐿
(2.42)
da cui è possibile desumere i seguente requisiti per i coefficienti:
⃗ = −𝐵(𝑡)
⃗
𝐴(𝑡)
(2.43)
⎧
⎪
𝑦1
⎪
⎨ ⃗𝑎 = ⃗
⃗𝑏 = 0
⎪
⎪
⎩ ⃗𝑐 = ⃗𝑦2 −⃗𝑦1
𝐿
Dall’equazione (2.42) segue inoltre il carattere discreto di 𝑘:
𝑘𝑛 =
𝜋
𝑛
𝐿
con 𝑛 ∈ 𝑍. In analogia a quanto già riportato nel caso della stringa chiusa,
anche in questa circostanza risulta possibile scrivere la funzione nella sua forma
più generale:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
+∞
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
⃗ 𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝜎 + 2𝑖
𝐴
𝐿
𝑛=−∞
(2.44)
Per esemplificare la trattazione, è possibile assorbire il fattore immaginario
⃗ 𝑛 (𝑡), in questo modo è possibile riscrivere la funzione nel seguente modo:
nelle 𝐴
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
+∞
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
⃗ 𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝜎+
𝐴
𝐿
𝑛=−∞
(2.45)
Si procede ora in maniera del tutto simile a quella utilizzata per trattare
la stringa chiusa, sostituendo l’espressione della serie per la funzione di embedding nell’equazione d’onda (2.28): i risultati ottenuti sono, in accordo con
quanto ci si aspetta, i medesimi del caso precedente:
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
16
2.3. METODO DI FOURIER
dove 𝜔𝑛 =
𝜋
𝐿𝑛
√︁
𝑇
𝜌.
Sostituendo,
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
+∞
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
𝜎+
𝐿
𝑛=−∞
Si ricorda che ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) è una funzione vettoriale a valori reali: quest’ultima proprietà aggiunge una nuova condizione sulla sommatoria, per la quale bisogna
richiedere che
[︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
]︁*
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎)
=𝐴
Ciò implica le seguenti equazioni:
⃗ * (0)𝑒𝑖𝜔𝑛 𝑡 = 𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
𝑛
⃗ * (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 = 𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
−𝑛
⃗ *−𝑛 (0) = 𝐴
⃗ 𝑛 (0). Si può sfruttare questo vincolo per riscrida cui segue che 𝐴
vere la ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) in termini di una sommatoria in cui l’indice 𝑛 spazi solamente
l’insieme dei numeri naturali:
∑︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎) =
𝐴
𝑛∈𝑍
=
+∞
∑︁
𝑛=0
+∞
∑︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎) − 𝐴
⃗ −𝑛 (0)𝑒𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎) − 𝐴
⃗ *𝑛 (0)𝑒𝑖𝜔𝑛 𝑡 sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
𝑛=0
= −2𝑖
+∞
∑︁
⃗ 𝑛 (𝑡)] sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐼𝑚[𝐴
𝑛=0
(2.46)
Per cui, tenuto contro dell’altro fattore 2𝑖, precedentemente assorbito nei coef⃗ 𝑛 (𝑡), è possibile riscrivere la funzione identificando il coefficiente nella
ficienti 𝐴
sommatoria:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
+∞
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
𝜎+
⃗𝑦𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐿
𝑛=0
(2.47)
⃗ 𝑛 (𝑡)]. Si ricorda che nell’espressione valgono le seguenti
dove ⃗𝑦𝑛 (𝑡) = 4𝐼𝑚[𝐴
√︁
proprietà per i coefficienti: 𝑛 = 0, 1, 2, ..., 𝑘𝑛 = 𝐿𝜋 𝑛, 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛 𝑇𝜌 . Si osservi che
la stringa di Dirichlet ammette come soluzione il modo normale con frequenza
17
2.3. METODO DI FOURIER
nulla: tale caso corrisponde a
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
𝜎
𝐿
ovvero alla situazione in cui la stringa non oscilla ma è semplicemente tesa tra
i punti ⃗𝑦1 e ⃗𝑦2 .
Condizioni al contorno di Neumann Si consideri un’equazione di prova
per la stringa analoga a quella presa in esame per l’applicazione delle condizioni
di stringa chiusa e di Dirichlet:
𝑖𝑘𝜎
−𝑖𝑘𝜎
⃗
⃗
⃗𝑦 = ⃗𝑎 + 𝑏𝑡 + ⃗𝑐𝜎 + 𝐴(𝑡)𝑒
+ 𝐵(𝑡)𝑒
Le condizioni al contorno di Neumann che, si ricorda, scaturiscono dall’annullamento del secondo termine nella (2.24), richiedono che la derivata della
funzione rispetto al parametro 𝜎 assuma valori nulli sui bordi del dominio:
𝜕⃗𝑦 (𝑡, 0)
=0
𝜕𝜎
𝜕⃗𝑦 (𝑡, 𝐿)
=0
𝜕𝜎
Queste condizioni descrivono una stringa per la quale gli estremi non sono
vincolati come nel caso delle condizioni di Dirichlet, bensì liberi di muoversi.
Per apprezzare fino in fondo la differenza col caso Dirichlet, è utile studiare il
momento 𝑝⃗ trasportato dalla stringa, definito come la somma del momenti di
ciascun segmento infinitesimo della stringa:
∫︁ 𝐿
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎𝜌
𝑑𝜎⃗
𝑝(𝑡, 𝜎) =
𝑝⃗(𝑡) =
0
0
𝜕 ⃗𝑦˙
𝜕𝑡
(2.48)
È allora possibile scrivere la seguente successione di uguaglianze:
𝑑
𝑝⃗(𝑡) =
𝑑𝑡
∫︁ 𝐿
0
𝜕 2 ⃗𝑦
𝑑𝜎𝜌 2 =
𝜕𝑡
∫︁ 𝐿
0
𝜕 2 ⃗𝑦
𝜕⃗𝑦
𝑑𝜎𝑇 2 = 𝑇
𝜕𝜎
𝜕𝜎
[︂
]︂𝐿
0
Nella serie di uguaglianze sovrastanti si è adoperata la (2.28) per ricondursi a
termini di derivazione rispetto a 𝜎. Si può osservare come il flusso di momento
che attraversa la stringa risulti conservato applicando le condizioni al contorno
di Neumann, mentre non lo sia nel caso delle condizioni al contorno di Dirichlet
per le quali, generalmente,
𝜕⃗
𝑦
𝜕𝜎 (𝑡, 0)
̸=
𝜕⃗
𝑦
𝜕𝜎 (𝑡, 𝐿).
18
2.3. METODO DI FOURIER
Procediamo ora allo studio della funzione di embedding per la stringa
aperta di Neumann. Le derivate parziali rispetto al parametro 𝜎 danno:
[︁
𝑖𝑘𝜎
−𝑖𝑘𝜎
⃗
⃗
𝜕𝜎 ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑐 + 𝑖𝑘 𝐴(𝑡)𝑒
− 𝐵(𝑡)𝑒
]︁
Per cui,
{︃
⃗ − 𝐵(𝑡)]
⃗
0 = ⃗𝑐 + 𝑖𝑘[𝐴(𝑡)
𝑖𝑘𝐿 − 𝐵(𝑡)𝑒
−𝑖𝑘𝐿 ]
⃗
⃗
0 = ⃗𝑐 + 𝑖𝑘[𝐴(𝑡)𝑒
⃗
⃗
La risoluzione del sistema conduce alla seguente equazione per 𝐴(𝑡)
e 𝐵(𝑡):
⃗ − 𝐵(𝑡)
⃗
⃗ − 𝐵(𝑡)]
⃗
⃗ + 𝐵(𝑡)]
⃗
𝐴(𝑡)
= [𝐴(𝑡)
cos(𝑘𝐿) + 𝑖[𝐴(𝑡)
sin(𝑘𝐿)
L’equazione produce i risultati sottostanti:
⃗ = 𝐵(𝑡)
⃗
𝐴(𝑡)
𝑘𝐿 = 𝑛𝜋
dalla quale si estrae il carattere discreto di k: 𝑘𝑛 =
𝜋
𝐿𝑛
con 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑛 ̸= 0. Si
osservi che, a differenza del caso della stringa di Dirichlet, non è contemplato
il caso 𝑛 = 0: ciò è dovuto al fatto che tale condizione ritorna il risultato
⃗ 0 (𝑡) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡.
banale 0 = 0. Si può tuttavia assorbire ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 nella serie, con 𝐴
⃗
⃗
Sostituendo nel sistema quanto trovato per i coefficienti 𝐴(𝑡)
e 𝐵(𝑡)
e 𝑘𝑛 , si
ricava ⃗𝑐 = 0. Alla luce delle condizioni ottenute la componente della funzione
di embedding può essere riscritta nella seguente maniera:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + 2
∞
∑︁
⃗ 𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
(2.49)
𝑛̸=0
⃗
Lo studio dei coefficienti 𝐴(𝑡)
viene condotto ispirandosi a quanto fatto nei
casi precedenti di stringa chiusa e stringa aperta con condizioni di Dirichlet.
Il risultato è il medesimo:
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐴
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝐴
19
2.3. METODO DI FOURIER
dove 𝜔𝑛 =
𝜋
𝐿𝑛
√︁
𝑇
𝜌.
La ⃗𝑦 allora diventa
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑎 + ⃗𝑏𝑡 + 2
∑︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝐴
(2.50)
𝑛̸=0
Per quanto riguarda i coefficienti ⃗𝑎 e ⃗𝑏, il calcolo è del tutto analogo al caso
della stringa chiusa per cui, evitando ridondanze superflue,
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
𝜋
𝐿𝑛
∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝑡+2
𝐴
𝜌
𝑛̸=0
√︁
(2.51)
𝑇
𝜌
e 𝑛 ̸= 0. La condizione di realtà
⃗ 𝑛 (0):
sulla funzione ritorna, come negli altri casi, un vincolo sui coefficienti 𝐴
⃗ *𝑛 (0) = 𝐴
⃗ −𝑛 (0). Risulta allora possibile riscrivere la (2.51) in una forma in
𝐴
dove, si ricorda, 𝑘𝑛 =
e 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
cui 𝑛 ∈ 𝑁 :
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 + 𝐴
⃗ −𝑛 (0)𝑒𝑖𝜔𝑛 𝑡 ] cos(𝑘𝑛 𝜎)
[𝐴
𝑡+2
𝜌
𝑛=1
= ⃗𝑦𝑐𝑚 +
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 + 𝐴
⃗ *𝑛 (0)𝑒𝑖𝜔𝑛 𝑡 ] cos(𝑘𝑛 𝜎)
[𝐴
𝑡+2
𝜌
𝑛=1
= ⃗𝑦𝑐𝑚 +
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 ] cos(𝑘𝑛 𝜎)
2𝑅𝑒[𝐴
𝑡+2
𝜌
𝑛=1
(2.52)
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡 ], l’espressione per la stringa di
Per cui, definendo ⃗𝑦𝑛 (𝑡) = 4𝑅𝑒[𝐴
Neumann diventa:
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
𝑡+
⃗𝑦𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝜌
𝑛=1
(2.53)
Anche in questo caso è possibile intendere la funzione come somma di un
contributo legato al centro di massa e uno legato al moto di ciascun punto
della stringa rispetto ad esso, proprio come fatto nel caso della stringa chiusa:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 (𝑡) + ⃗𝑢(𝑡, 𝜎)
con le ovvie associazioni
𝑦𝑐𝑚 (𝑡) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
𝑝⃗𝑐𝑚
𝑡
𝜌
20
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
+∞
∑︁
⃗𝑢(𝑡, 𝜎) =
⃗𝑦𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝑛=1
Verifichiamo che, anche in questo caso vale la 2.41:
∞
∑︁
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎⃗𝑢(𝑡, 𝜎) =
0
𝑛̸=0
∞
∑︁
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎 cos(𝑘𝑛 𝜎)
⃗𝑦𝑛 (𝑡)
0
sin(𝑘𝑛 𝜎)
=
⃗𝑦𝑛 (𝑡)
𝑘𝑛
𝑛̸=0
[︂
]︂𝐿
(2.54)
0
=0
poichè il seno si annulla in 0 ed 𝐿.
Si è ad ora studiata la forma per le funzione di embedding nei tre diversi
casi di stringa emersi dall’annullamento della variazione al primo ordine dell’azione. Si vuole ora calcolare la funzione Hamiltoniana associata ad ogni
configurazione.
2.4
Formalismo Hamiltoniano ed Energia della stringa
Un’ulteriore formulazione della meccanica della stringa è possibile tramite
il formalismo Hamiltoniano. Questo modo di descrivere la fisica del sistema
accompagna la trattazione Lagrangiana rispetto alla quale ha la caratteristica
di essere maggiormente versatile agli scopi di una successiva quantizzazione.
Così come nella Meccanica Lagrangiana si definiva una funzione ℒ(𝑡, 𝑞, 𝑞)
˙ che
rappresentasse il sistema fisico d’interesse, l’Hamiltoniana costituisce la funzione caratteristica del sistema considerato nel formalismo hamiltoniano, con
la sola differenza che al posto di dipendere da 𝑞˙𝑖 dipende da 𝑝𝑖 ed è definita
nella seguente maniera:
𝐻(⃗𝑦 , 𝑝⃗) = 𝑝⃗(𝑡)⃗𝑦˙ (𝑡) − ℒ
(2.55)
Nel presente caso in cui il sistema considerato è una stringa e quindi, un ogget˜
to unidimensionale e continuo, è utile introdurre la densità hamiltoniana 𝐻,
trovata come trasformata di Legendre della densità lagrangiana ℒ̃ introdotta
21
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
nella sezione 2.2:
˜ 𝑦 (𝑡, 𝜎), 𝑝⃗(𝑡, 𝜎)) = 𝑝⃗(𝑡, 𝜎)⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎) − ℒ̃
𝐻(⃗
In questa formula 𝑝⃗(𝑡, 𝜎) corrisponde alla seguente definizione già espressa nel
capitolo sulla meccanica lagrangiana:
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) =
𝜕 ℒ̃
𝜕⃗𝑦
=𝜌
˙
𝜕𝑡
𝜕 ⃗𝑦
(2.56)
La 𝐻 = 𝐻(⃗𝑞, 𝑝⃗) risulta pertanto essere una funzione scalare e nel presente caso
di una stringa unidimensionale, è data da
∫︁ 𝐿
𝐻=
˜ 𝑦 (𝑡, 𝜎), 𝑝⃗(𝑡, 𝜎))
𝑑𝜎 𝐻(⃗
0
∫︁ 𝐿
=
𝑑𝜎[⃗
𝑝(𝑡, 𝜎)⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎) − ℒ̃(⃗𝑦 (𝑡, 𝜎), ⃗𝑦˙ (𝑡, 𝜎))]
0
[︃
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎
=
0
1 2 1
𝑝⃗ + 𝑇
2𝜌
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
(2.57)
)︂2 ]︃
Studiando le diverse soluzioni ottenute per la stringa, si vuole ora riscrivere la
funzione Hamiltoniana di ciascuna di esse esplicitando coordinate e momenti
delle stesse, in maniera da calcolare l’energia della stringa classica in termini
dei modi normali di vibrazione della stringa. Successivamente si quantizzerà
la teoria e si studieranno i livelli energetici di ciascuna stringa investigando i
relativi autolavori.
Energia della stringa chiusa
Studiando la stringa chiusa si è riusciti a
intendere la forma della serie di Fourier che la rappresenta:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
]︁
∑︁ [︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖𝑘𝑛 𝜎 + 𝐵
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖𝑘𝑛 𝜎 𝑒−𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝑡+
𝐴
𝜌
𝑛̸=0
Tale espressione può essere facilmente riscritta in una forma in cui 𝑛 ∈ 𝑁
* (𝑡), derivanti dall’im⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐴
⃗ *−𝑛 (𝑡) e 𝐵
⃗ 𝑛 (𝑡) = 𝐵
⃗ −𝑛
adoperando le condizioni 𝐴
22
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
posizione del carattere reale della ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) alla serie:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖(𝑘𝑛 𝜎−𝜔𝑛 𝑡) + 𝐴
⃗ *𝑛 (0)𝑒−𝑖(𝑘𝑛 𝜎−𝜔𝑛 𝑡)
𝑡+
[𝐴
𝜌
𝑛=1
(2.58)
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖(𝑘𝑛 𝜎+𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵
⃗ 𝑛* (0)𝑒𝑖(𝑘𝑛 𝜎+𝜔𝑛 𝑡) ]
+𝐵
È allora possibile interpretare i termini interni alla sommatoria accorgendosi
che corrispondono alla somma di due quantità puramente reali:
⃗𝑦 = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
𝑡+
[⃗𝑦𝑛 (𝑡, 𝜎) + ⃗𝑦˜𝑛 (𝑡, 𝜎)]
𝜌
𝑛=1
(2.59)
dove
[︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒𝑖(𝑘𝑛 −𝜔𝑛 𝑡)
⃗𝑦𝑛 (𝑡, 𝜎) = 2𝑅𝑒 𝐴
]︁
[︁
⃗ 𝑛 (0)𝑒−𝑖(𝑘𝑛 +𝜔𝑛 𝑡)
⃗𝑦˜𝑛 (𝑡, 𝜎) = 2𝑅𝑒 𝐵
(2.60)
]︁
(2.61)
Da tale espressione è possibile estrarre il momento generalizzato associato:
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) = 𝜌
+∞
∑︁
𝑝⃗𝑐𝑚
[⃗𝑦˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) + ⃗𝑦˜˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎)]
+𝜌
𝜌
𝑛=1
(2.62)
Ometteremo in seguito il simbolo di vettore per evitare inutili appesantimenti di indici e segni che complichino la lettura. Sostituendo queste quantità
nell’espressione dell’Hamiltoniana, è possibile calcolare l’energia degli stati. A
tal scopo risulta vantaggioso studiare separatamente i vari termini, calcolando esplicitamente i quadrati del momento e della derivata parziale rispetto a
sigma. Per quanto riguarda il momento,
𝑝2 (𝑡, 𝜎) = 𝑝2𝑐𝑚 + 𝜌2 [
+∞
∑︁
(𝑦˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) + 𝑦˜˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎))]2 + 2𝑝𝑐𝑚 𝜌
𝑛=1
+∞
∑︁
[𝑦˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) + 𝑦˜˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎)]
𝑛=1
Il primo termine, moltiplicato per il fattore 1/2𝜌, integrato sul dominio di 𝜎
fornisce un contributo
1 𝑝2𝑐𝑚
𝐿
2 𝜌
(2.63)
Per quanto riguarda gli altri due termini, occorre studiare la derivata temporale di 𝑦𝑛 (𝑡, 𝜎) e 𝑦˜𝑛 (𝑡, 𝜎). Poichè la derivata della parte reale di una funzione
23
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
complessa è equivalente alla parte reale della derivata della funzione,
[︁
𝑦˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) = 𝜔𝑛 𝐼𝑚 𝐴𝑛 (0)𝑒𝑖(𝑘𝑛 𝜎−𝜔𝑛 𝑡)
[︁
]︁
𝑦˜˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) = 𝜔𝑛 𝐼𝑚 𝐵𝑛 (0)𝑒−𝑖(𝑘𝑛 𝜎+𝜔𝑛 𝑡)
]︁
(2.64)
(2.65)
per cui è immediato verificare che il terzo termine si annulla per ogni 𝑛:
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎𝑒±𝑖𝑘𝑛 𝜎 = 0
∀𝑛
0
Studiare il secondo termine richiede di operare un prodotto di Cauchy della
sommatoria:
[
+∞
∑︁
(𝑦˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎) + 𝑦˜˙ 𝑛 (𝑡, 𝜎))]2 =
𝑛=1
=
+∞
∑︁ ∑︁
[𝑦˙ 𝑚 (𝑡, 𝜎) + 𝑦˜˙ 𝑚 (𝑡, 𝜎)][𝑦˙ 𝑛−𝑚 (𝑡, 𝜎) + 𝑦˜˙ 𝑛−𝑚 (𝑡, 𝜎)]
𝑛=1 𝑚
+∞
∑︁ ∑︁
[𝑦˙ 𝑚 𝑦˙ 𝑛−𝑚 + 𝑦˙ 𝑚 𝑦˜˙ 𝑛−𝑚 + 𝑦˜˙ 𝑚 𝑦˙ 𝑛−𝑚 + 𝑦˜˙ 𝑚 𝑦˜˙ 𝑛−𝑚 ]
𝑛=1 𝑚
(2.66)
Tra i termini interni alla sommatoria, gli unici che danno un contributo diverso
da zero sono il primo e l’ultimo, infatti la loro integrazione ritorna una delta di
Dirac, 𝛿𝑛,2𝑚 , moltiplicata per un fattore 𝐿. Gli unici termini che sopravvivono
sono, pertanto, del tipo
+∞
∑︁
1
[𝑦˙ 2 (𝑡) + 𝑦˜˙ 𝑛2 (𝑡)]
𝜌𝐿
2 𝑛=1 𝑛
Si studia ora il contributo derivante dal termine quadrato della derivata parziale della funzione di embedding rispetto sigma. In tal caso i passaggi da operare
sono i medesimi di quelli riguardanti il termine (2.66); le derivate rispetto a
sigma risulteranno essere:
[︁
]︁
𝜕𝑦𝑛
(𝑡, 𝜎) = −𝑘𝑛 𝐼𝑚 𝐴𝑛 (0)𝑒𝑖(𝑘𝑛 𝜎−𝜔𝑛 𝑡)
𝜕𝜎
(2.67)
[︁
]︁
𝜕 𝑦˜𝑛
(𝑡, 𝜎) = 𝑘𝑛 𝐼𝑚 𝐵𝑛 (0)𝑒−𝑖(𝑘𝑛 𝜎+𝜔𝑛 𝑡)
𝜕𝜎
(2.68)
Anche in questo caso, il quadrato della serie si calcola come un prodotto di
Cauchy tra le stesse, e l’integrazione in sigma ritorna una delta, 𝛿𝑛,2𝑚 , per un
24
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
fattore 𝐿, per cui il contributo, in questo caso, è:
2𝜋
𝑇𝐿
𝐿
(︂
)︂2 +∞
∑︁
[𝑛2 (𝑦𝑛2 (𝑡) + 𝑦˜𝑛2 (𝑡))]
𝑛=1
Risulta pertanto, che l’Hamiltoniana per la stringa aperta può essere scritta
nel seguente modo:
+∞
∑︁
∑︁
1 𝑝⃗2
1
1 (2𝜋)2 +∞
𝐻 = 𝐿 𝑐𝑚 + 𝜌𝐿
[⃗𝑦˙ 𝑛2 (𝑡) + ⃗𝑦˜˙ 𝑛2 (𝑡)] + 𝑇
[𝑛2 (⃗𝑦𝑛2 (𝑡) + ⃗𝑦˜𝑛2 (𝑡))] (2.69)
2 𝜌
2 𝑛=1
2
𝐿 𝑛=1
Si ricorda che, finora, sono stati omessi i simboli di vettore per esemplificare la
notazione; ora tuttavia, raggiunto il risultato finale, abbiamo reintrodotto la
notazione vettoriale per essere più chiari e precisi. A partire da questa formula,
è possibile notare come questa ammetta un’interpretazione particolarmente
istruttiva e funzionale a una futura quantizzazione: mentre il primo termine
è infatti associabile all’Hamiltoniana di una particella libera con massa 𝜌𝐿,
le due serie danno vita a una somma infinita di Hamiltoniane di oscillatori
armonici. Per capire meglio è utile riscrivere la (2.69) nel seguente modo:
+∞
∑︁ 1
1 𝑝⃗2
1 (2𝜋)2 2 2
1
1 (2𝜋)2 2 ⃗ 2
𝐻 = 𝐿 𝑐𝑚 + [ 𝜌𝐿⃗𝑦˙ 𝑛2 (𝑡)+ 𝑇
𝑛 ⃗𝑦𝑛 (𝑡)]+[ 𝜌𝐿⃗𝑦˜˙ 𝑛2 (𝑡)+ 𝑇
𝑛 𝑦˜𝑛 (𝑡)]
2 𝜌 𝑛=1 2
2
𝐿
2
2
𝐿
(2.70)
Da questa espressione è immediato riconoscere nei termini tra parentesi quadre le Hamiltoniane di due oscillatori armonici. Se ci si interroga sul significato
di queste sommatorie, occorre osservare che queste sono date, appunto,
dalla
√︁
somma di infiniti oscillatori armonici, ciascuno con frequenza 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
𝑇
𝜌 .Tali
oggetti, gli oscillatori, costituiscono elementi ben noti nel panorama fisico per
la loro universalità pertanto, il vantaggio nell’impiegarli, risulta in una gran ricchezza di teorie classiche e quantistiche già compiutamente formulate e immediatamente a disposizione del lettore. Nel prossimo capitolo si sfrutterà proprio
tali oggetti per fornire una descrizione quantistica delle stringhe considerate,
senza operare troppi calcoli che appesantiscano il discorso.
25
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
Hamiltoniana della stringa aperta con condizioni di Dirichlet
Con-
sideriamo la stringa di Dirichlet, la cui espressione è:
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦1 +
+∞
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1
𝜎+
⃗𝑦𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝐿
𝑛=0
(2.71)
⃗ 𝑛 (𝑡)]. Il momento generalizzato ad essa assodove, si ricorda, ⃗𝑦𝑛 (𝑡) = 4𝐼𝑚[𝐴
ciato è il seguente:
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) = 𝜌
+∞
∑︁
⃗𝑦˙ 𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
(2.72)
𝑛=0
È allora possibile calcolare l’energia della stringa di Dirichlet sostituendo
le espressioni (2.71) e (2.72) nell’equazione dell’Hamiltoniana. Si studia per
primo il termine relativo al quadrato del momento:
∫︁ 𝐿
0
1
1
𝑑𝜎 𝑝⃗2 =
2𝜌
2𝜌
∫︁ 𝐿
2
𝑑𝜎𝜌
0
[︃ +∞
∑︁
]︃2
⃗𝑦˙ 𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
𝑛=0
[︃
1 ∑︁ ∑︁ ˙
⃗𝑦𝑚 (𝑡)⃗𝑦˙ 𝑛−𝑚 (𝑡)
= 𝜌
2 𝑛 𝑚
]︃ (2.73)
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎[sin(𝑘𝑚 𝜎) sin(𝑘𝑛−𝑚 𝜎)]
0
Si osserva che 𝑘𝑛−𝑚 = 𝑘𝑛 − 𝑘𝑚 per cui, adoperando le formule trigonometriche
di Werner,
∫︁ 𝐿
0
1
𝑑𝜎[sin(𝑘𝑚 𝜎) sin(𝑘𝑛 𝜎 − 𝑘𝑚 𝜎)] = −
2
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎[cos(𝑘𝑛 𝜎) − cos(2𝑘𝑚 𝜎 − 𝑘𝑛 𝜎)]
0
Il primo termine dà contributo nullo, mentre il secondo dà un contributo diverso da zero solo se 𝑛 = 2𝑚, in tal caso il contributo è pari ad 𝐿. Alla luce di
quanto appena detto, il termine derivante dal quadrato del momento risulta
+∞
∑︁
1
𝜌𝐿
⃗𝑦˙ 2 (𝑡)
4 𝑛=0 𝑛
(2.74)
Esaminiamo ora il termine che concerne la derivata di ⃗𝑦 rispetto 𝜎:
∫︁ 𝐿
0
1
𝑑𝜎 𝑇
2
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2
26
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
Si può verificare che
(︂
𝜕⃗𝑦
𝜕𝜎
)︂2
]︃2
∑︁
⃗𝑦2 − ⃗𝑦1 +∞
=
+
(𝑘𝑛 ⃗𝑦𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎))
𝐿
𝑛=0
[︃
L’integrazione in 𝑑𝜎 del quadrato del primo termine ritorna
1 (⃗𝑦2 − ⃗𝑦1 )2
𝑇
2
𝐿
(2.75)
Il doppio prodotto non contribuisce, infatti
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎 cos(𝑘𝑛 𝜎) = 0
∀𝑛
0
Il quadrato della sommatoria contribuisce invece con un fattore
+∞
∑︁
1
𝑘𝑛2 ⃗𝑦𝑛2 (𝑡)
𝑇𝐿
4
𝑛=0
(2.76)
È ora possibile scrivere l’espressione dell’Hamiltoniana della stringa aperta di
Dirichlet:
+∞
+∞
∑︁
∑︁
1 (⃗𝑦2 − ⃗𝑦1 )2 1
1
⃗𝑦˙ 𝑛2 (𝑡) + 𝑇 𝐿
𝐻= 𝑇
+ 𝜌𝐿
𝑘𝑛2 ⃗𝑦𝑛2 (𝑡)
2
𝐿
4 𝑛=0
4
𝑛=0
(2.77)
Questa equazione fornisce allora l’energia di una stringa aperta classica fissata
alle due estremità, in termini delle ampiezze dei modi normali di vibrazione
della stringa. Come nel caso della stringa chiusa, anche ora è possibile riconoscere nell’Hamiltoniana quantità familiari: riassumendo infatti entrambe le
sommatorie in un’unica scrittura, ci si può accorgere che l’Hamiltoniana è data
dalla somma di un primo termine legato alla condizione di riposo della stringa
1 (⃗𝑦2 − ⃗𝑦1 )2
𝑇
2
𝐿
con una serie infinita di oscillatori armonici ciascuno con 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
√︁
𝑇
𝜌:
∑︁ 1
1 +∞
1 (𝜋𝑛)2 2
𝜌𝐿⃗𝑦˙ 𝑛2 (𝑡) + 𝑇
⃗𝑦 (𝑡)
2 𝑛=0 2
2
𝐿 𝑛
[︃
]︃
.
27
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
Hamiltoniana della stringa aperta con condizioni di Neumann Si
vuole ora studiare l’Hamiltoniana della stringa aperta con condizioni al contorno di Neumann. In questo caso la funzione che descrive la stringa corrisponde
alla (2.53):
⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) = ⃗𝑦𝑐𝑚 +
+∞
∑︁
𝑝⃗𝐶𝑀
𝑡+
⃗𝑦𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)
𝜌
𝑛=1
(2.78)
Il momento generalizzato associato è allora:
𝑝⃗(𝑡, 𝜎) = 𝑝⃗𝑐𝑚 + 𝜌
+∞
∑︁
⃗𝑦˙ 𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)
(2.79)
𝑛=1
Per ottenere l’Hamiltoniana della stringa di Neumann è sufficiente sostituire
le espressioni (2.78) e (2.79) nell’equazione dell’Hamiltoniana della stringa.
Si consideri dapprima il termine derivante dall’integrazione del momento al
quadrato:
∫︁ 𝐿
0
1
𝑑𝜎 𝑝⃗2 =
2𝜌
∫︁ 𝐿
0
]︃2
+∞
∑︁
1
𝑑𝜎
𝑝⃗𝑐𝑚 + 𝜌
[⃗𝑦˙ 𝑛 (𝑡) cos(𝑘𝑛 𝜎)]
2𝜌
𝑛=1
[︃
Il quadrato del primo termine, integrato in 𝑑𝜎, tra 0 ed 𝐿, dà un contributo
1 𝑝⃗2𝑐𝑚
𝐿
2 𝜌
Il doppio prodotto non contribuisce, infatti
∫︁ 𝐿
𝑑𝜎 cos(𝑘𝑛 𝜎) = 0
∀𝑛
0
Il terzo termine, come già visto per la stringa di Dirichlet, contribuisce con un
fattore
+∞
∑︁
1
⃗𝑦˙ 2 (𝑡)
𝜌𝐿
4 𝑛=1 𝑛
La parte riguardante la derivata rispetto 𝜎, invece, è data da
∫︁ 𝐿
0
+∞
∑︁
1
𝑑𝜎 𝑇 −
𝑘𝑛 ⃗𝑦𝑛 (𝑡) sin(𝑘𝑛 𝜎)
2
𝑛=1
[︃
]︃2
28
2.4. FORMALISMO HAMILTONIANO ED ENERGIA DELLA STRINGA
Un integrale di questo tipo è già stato studiato in precedenza e, come già visto,
ritorna il valore
+∞
∑︁
1
𝑇𝐿
𝑘𝑛2 ⃗𝑦𝑛2 (𝑡)
4
𝑛=1
È allora possibile scrivere la forma per l’Hamiltoniana della stringa di Neumann:
+∞
+∞
∑︁
∑︁
1 𝑝⃗2
1
1
𝐻 = 𝐿 𝑐𝑚 + 𝜌𝐿
⃗𝑦˙ 𝑛2 (𝑡) + 𝑇 𝐿
⃗𝑦𝑛2 (𝑡)
2 𝜌
4 𝑛=1
4
𝑛=1
(2.80)
Nel riscrivere l’espressione, condensado le due serie in un’unica sommatoria,
risulta chiaro che l’Hamiltoniana della stringa di Neumann può essere interpretata come una prima parte legata al centro di massa, che corrisponde all’Hamiltoniana di una particella libera con massa 𝜌𝐿, e una parte costituita
dalla somma√︁di funzioni di Hamilton di infiniti oscillatori armonici, ciascuno
con 𝜔𝑛 = 𝑘𝑛
𝑇
𝜌.
Si osservi che le forme per la stringa di Dirichlet e quella di Neumann potrebbero sembrare simili ad una prima analisi. In realtà sono profondamente
differenti. Ciò è dovuto, in primis, al fatto che nel caso della stringa di Neumann, il modo con 𝑛 = 0 non è ammesso, in secondo luogo, alla differente
definizione dei ⃗𝑦𝑛 (𝑡).
29
Capitolo 3
Quantizzazione Canonica
3.1
Metodo della quantizzazione Canonica
Nel presente capitolo si esporrà il metodo della Quantizzazione canonica
che sarà usato per quantizzare, appunto, i casi di stringa finora studiati. Secondo tale metodo, le coordinate e i momenti coniugati impiegati nella descrizione
Hamiltoniana devono essere promossi a operatori su uno spazio di Hilbert, che
soddisfano particolari relazioni di commutazione.
{︃
𝑞 −→ 𝑄
𝑝 −→ 𝑃
Con questa definizione, segue che le parentesi di Poisson in meccanica classica
vengono convertite in relazioni di commutazione (in cui rientra il prodotto per
un fattore 1/𝑖~):
{..., ...} −→
1
[..., ...]
𝑖~
allora
[𝑃𝑖 , 𝑄𝑗 ] = −𝑖~𝛿𝑖𝑗
[𝑃𝑖 , 𝑃𝑗 ] = 0
[𝑄𝑖 , 𝑄𝑗 ] = 0
Nel caso particolare della stringa, ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎) e 𝑝⃗(𝑡, 𝜎) devono essere promossi ad
⃗ (𝜎) e 𝑃⃗ (𝜎) su uno spazio di Hilbert. Si osservi che esiste una coppia
operatori 𝑌
⃗ e 𝑃⃗ per ogni valore del parametro 𝜎. Le relazioni di commutadi operatori 𝑌
zione canoniche per questi operatori si possono estrarre dalla generalizzazione
30
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
delle precedenti:
[𝑃𝑖 (𝜎), 𝑌𝑗 (𝜎 ′ )] = −𝑖~𝛿𝑖𝑗 𝛿(𝜎 − 𝜎 ′ )
[𝑌𝑖 (𝜎), 𝑌𝑗 (𝜎 ′ )] = 0
[𝑃𝑖 (𝜎), 𝑃𝑗 (𝜎 ′ )] = 0
Si osservi che l’operatore 𝑃𝑖 in 𝜎 commuta con con l’operatore 𝑌𝑖 in un qualsiasi 𝜎 ′ ̸= 𝜎: ciò significa che una misura della componente 𝑖 del momento
di un segmento infinitesimo della stringa in 𝜎 non interferisce con la misura
simultanea della componente 𝑖 della posizione di un segmento in un qualsiasi
altro punto 𝜎 ′ . Si applicherà ora tale procedura per quantizzare i diversi casi
di stringa chiusa, aperta con condizioni al contorno di Dirichlet e aperta con
condizioni al contorno di Neumann.
3.2
Quantizzazione della stringa
Stringa chiusa Come detto nel paragrafo 3.1, le variabili reali vengono promosse ad operatori su uno spazio di Hilbert per cui le 𝐻 = 𝐻(⃗𝑞, 𝑝⃗) diventano
esse stesse degli operatori, proprio come ⃗𝑞 e 𝑝⃗. Esaminando il caso della stringa
chiusa l’operatore Hamiltoniano legato all’oscillazione è dato dalla relazione:
𝐻=
+∞
∑︁
1 ⃗˙ 2 1 (2𝜋)2 2 ⃗ 2
1 ⃗
1 (2𝜋)2 2 ⃗˜ 2
[ 𝜌𝐿𝑌
𝑛 𝑌𝑛 ] + [ 𝜌𝐿𝑌˜˙ 𝑛2 + 𝑇
𝑛 𝑌𝑛 ]
𝑛 + 𝑇
2
2
𝐿
2
2
𝐿
𝑛=1
(3.1)
Dal momento in cui i termini tra parentesi corrispondono agli operatori 𝐻 dell’oscillatore armonico quantistico, i cui autostati e autovalori risultano noti dalla teoria, è immediato riscrivere l’Hamiltoniano nel seguente modo, separando
le componenti right e left-handed :
𝐻 = 𝐻𝑅 + 𝐻𝐿 =
+∞
∑︁
𝐻𝑛𝑅 +
𝑛=1
∞
∑︁
𝐿
𝐻𝑚
(3.2)
𝑚=1
𝐿 stanno ad indicare gli operatori hamiltoniani di oscillatori
dove 𝐻𝑛𝑅 ed 𝐻𝑚
armonici di frequenza 𝜔𝑛 ed 𝜔𝑚 riferiti rispettivamente alle componenti right
e left-handed dell’oscillazione. In particolare
† 𝑅
𝐻𝑛𝑅 = ~𝜔𝑛 [(⃗𝑎𝑅
𝑎𝑛 + 3/2]
𝑛) ⃗
(3.3)
31
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
𝐿
† 𝐿
𝐻𝑚
= ~𝜔𝑚 [(⃗𝑎𝐿
𝑎𝑚 + 3/2]
𝑚) ⃗
(3.4)
Si può quindi osservare come ad ogni modo normale di vibrazione di ciascuna
⃗𝑦𝑅 e ⃗𝑦𝐿 classiche, corrisponda, nel caso quantistico, un oscillatore armonico
di frequenza rispettivamente 𝜔𝑛 o 𝜔𝑚 . Ci si soffermi sul singolo 𝐻𝑛 , operatore hamiltoniano dell’oscillatore armonico quantistico tridimensionale: gli
autovettori di 𝐻𝑛 , noti dalla teoria sull’oscillatore armonico, sono i vettori
normalizzati |˜
𝜈𝑛 ⟩
|˜
𝜈𝑛 ⟩ = |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩ = |𝜈𝑛1 ⟩ ⊗ |𝜈𝑛2 ⟩ ⊗ |𝜈𝑛3 ⟩
dove ciascun 𝜈𝑛𝑖 è un intero non negativo. 𝐻𝑛 agisce su un autostato |˜
𝜈𝑛 ⟩ nel
seguente modo:
𝐻𝑛 |˜
𝜈𝑛 ⟩ = 𝐻𝑛1,𝑛2,𝑛3 |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩
= 𝐸𝜈𝑛1 ,𝜈𝑛2 ,𝜈𝑛3 |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩
(3.5)
= 𝐸𝜈˜𝑛 |˜
𝜈𝑛 ⟩
Dove 𝐸𝜈˜𝑛 = 𝐸𝜈𝑛1 ,𝜈𝑛2 ,𝜈𝑛3 = 𝐸𝜈𝑛1 + 𝐸𝜈𝑛2 + 𝐸𝜈𝑛3 e ciascun 𝐸𝜈𝑛𝑖 è dato da
𝐻𝑛𝑖 |𝜈𝑛𝑖 ⟩ = 𝐸𝜈𝑛𝑖 |𝜈𝑛𝑖 ⟩
Dalla teoria è noto che
(︂
𝐸𝜈𝑛𝑖 = ~𝜔𝑛 𝜈𝑛𝑖 +
1
2
)︂
per cui
𝐸𝜈˜𝑛 = 𝐸𝜈𝑛1 + 𝐸𝜈𝑛2 + 𝐸𝜈𝑛3
3
= ~𝜔𝑛 𝜈𝑛1 + 𝜈𝑛2 + 𝜈𝑛3 +
2
(︂
)︂
3
= ~𝜔𝑛 𝜈𝑛 +
2
(︂
)︂
(3.6)
dove 𝜈𝑛 corrisponde alla somma di tre numeri interi, 𝜈𝑛 = 𝜈𝑛1 + 𝜈𝑛2 + 𝜈𝑛3 ,
ed è, di conseguenza, anch’esso un intero. Gli autovettori di 𝐻 𝑅 =
∑︀+∞
𝑅
𝑛=1 𝐻𝑛
sono allora dati, vista la separabilità di 𝐻 𝑅 , dai vettori
|˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ...⟩ = |˜
𝜈1𝑅 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑛𝑅 ⟩ ⊗ ...
32
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
𝑅 è un intero non negatidove ciascun |˜
𝜈𝑛𝑅 ⟩ ha il significato appena esposto e 𝜈𝑛𝑖
vo. È allora possibile valutare l’energia riferita alla componente right-handed
dell’oscillazione nel seguente modo:
𝐻 𝑅 |˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ...⟩ = 𝐸𝜈˜𝑅𝑅 ,...,˜𝜈 𝑅 ,... |˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ...⟩
1
𝑛
(3.7)
dove
𝐸𝜈˜𝑅𝑅 ,...,˜𝜈 𝑅 ,... = 𝐸𝜈˜𝑅𝑅 + ... + 𝐸𝜈˜𝑅𝑛𝑅 + ...
1
𝑛
1
=
=
+∞
∑︁
𝑛=1
+∞
∑︁
𝐸𝜈˜𝑅𝑛𝑅
(3.8)
(︂
~𝜔𝑛 𝜈𝑛𝑅 +
𝑛=1
3
2
)︂
𝑅 + 𝜈 𝑅 + 𝜈 𝑅 . Un analogo ragionamento può essere riproposto per
con 𝜈𝑛𝑅 = 𝜈𝑛1
𝑛2
𝑛3
𝐻 𝐿 , per cui gli autovettori dell’Hamiltoniano totale sono i vettori normalizzati
𝐿 , ...⟩ in cui ciascun 𝜈 𝑅 (ed 𝜈 𝐿 ) è un intero non nega|˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ..., 𝜈˜1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
𝑛𝑖
𝑚𝑖
tivo che ritorna lo stato quantistico dell’𝑛-esimo (𝑚-esimo) modo normale di
vibrazione dell’𝑖-esima componente right-handed (o left-handed) della stringa.
Per quanto detto precedentemente e per la separabilità dell’operatore H, è
possibile scrivere le seguenti uguaglianze:
𝐿
𝐿
𝜈1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
, ...⟩
|˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ..., 𝜈˜1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
, ...⟩ = |˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ...⟩ ⊗ |˜
(︁
)︁
(︁
)︁
𝐿
= |˜
𝜈1𝑅 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑛𝑅 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈1𝐿 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑚
⟩ ⊗ ...
𝐿
= |˜
𝜈1𝑅 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑛𝑅 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈1𝐿 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑚
⟩ ⊗ ...
(3.9)
È allora possibile, noto un particolare stato dell’oscillazione della stringa, studiarne l’energia, applicando l’operatore 𝐻 all’autostato che lo descrive,
𝐿 , ...⟩:
|˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ..., 𝜈˜1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
𝐿
𝐿
𝐻 |˜
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ..., 𝜈˜1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
, ...⟩ = 𝐸𝜈˜𝑅 ,...,˜𝜈𝑛𝑅 ,...,˜𝜈 𝐿 ,...,˜𝜈𝑚
𝜈1𝑅 , ..., 𝜈˜𝑛𝑅 , ..., 𝜈˜1𝐿 , ..., 𝜈˜𝑚
, ...⟩
𝐿 ,... |˜
1
1
(3.10)
33
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
dove
𝐸𝜈˜𝑅 ,...,˜𝜈𝑛𝑅 ,...,˜𝜈 𝐿 ,...,˜𝜈𝑚
𝐿 ,...
𝑅 ,... + 𝐸𝜈
𝐿 ,... = 𝐸𝜈
˜𝐿 ,...,˜
𝜈𝑚
˜𝑅 ,...,˜
𝜈𝑛
1
1
1
1
=
(︂
∑︁
~𝜔𝑛
𝑛=1
∑︁
+
3
+ 𝜈𝑛𝑅 +
2
)︂
(︂
~𝜔𝑚
𝑚=1
3
𝐿
+ 𝜈𝑚
2
(3.11)
)︂
𝑅 + 𝜈 𝑅 + 𝜈 𝑅 e 𝜈 𝐿 = 𝜈 𝐿 + 𝜈 𝐿 + 𝜈 𝐿 . Si è quindi ottenuta
con 𝜈𝑛𝑅 = 𝜈𝑛1
𝑚
𝑚1
𝑚2
𝑚3
𝑛2
𝑛3
l’espressione per l’energia della stringa quantistica chiusa, derivante dalle sue
oscillazioni: essa è data dalla somma delle energie di due serie di infiniti oscillatori armonici, ciascuna delle quali è riferita alla componente right o left-handed
dell’oscillazione. Si osservi che, nella trattazione appena formulata, i simboli
di "tilde" presenti negli autostati del singolo oscillatore, |˜
𝜈𝑛 ⟩, riguardano le tre
diverse componenti spaziali degli stessi.
Stringa di Dirichlet
Il corrispondente operatore quantistico relativo al ter-
mine oscillatorio dell’Hamiltoniana classica per stringa aperta di Dirichlet è
dato, vista la (2.77), da
]︂
⃗2 − 𝑌
⃗1 )2 +∞
∑︁ [︂ 1
1 (𝑌
˙2 1
2⃗ 2
⃗
+
𝜌𝐿𝑌𝑛 + 𝐿𝑇 𝑘𝑛 𝑌𝑛
𝐻= 𝑇
2
𝐿
4
4
𝑛=0
(3.12)
Come nel caso precedente, è possibile riconoscere nei termini della serie, gli
operatori hamiltoniani di infiniti oscillatori armonici quantistici, ciascuno con
frequenza 𝜔𝑛 . Si osservi che è possibile tener conto dell’aggiuntivo fattore 1/2
⃗𝑛 e 𝑌
⃗˙ 𝑛 . In questo
che compare nell’espressione semplicemente ridefinendo 𝑌
modo, la (3.8) può essere scritta nella forma
𝐻 = 𝐻𝑟𝑒𝑠𝑡 +
∑︁
𝐻𝑛
(3.13)
𝑛=0
dove 𝐻𝑟𝑒𝑠𝑡 corrisponde all’Hamiltoniana riferita all’energia di riposo della
⃗2 e 𝑌
⃗1 , e 𝐻𝑛 corstringa, quando questa è tesa tra i punti individuati da 𝑌
risponde all’operatore Hamiltoniano di un oscillatore armonico quantistico di
frequenza 𝜔𝑛 in tre dimensioni:
𝐻𝑛 = ~𝜔𝑛 (⃗𝑎†𝑛⃗𝑎𝑛 + 3/2)
(3.14)
34
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
Anche in questo caso si può notare come ad ogni modo normale di vibrazione
della stringa classica corrisponda, nel caso quantistico, un oscillatore armonico
𝐻𝑛 di frequenza 𝜔𝑛 . Gli autovettori di 𝐻𝑛 sono dati da vettori normalizzati
|˜
𝜈𝑛 ⟩ dove 𝜈𝑛𝑖 è un intero positivo oppure 0, e
𝐻𝑛 |˜
𝜈𝑛 ⟩ = 𝐻𝑛1,𝑛2,𝑛3 |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩
= 𝐸𝜈𝑛1 ,𝜈𝑛2 ,𝜈𝑛3 |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩
(3.15)
𝜈𝑛 ⟩
= 𝐸𝜈˜𝑛 |˜
con
𝐸𝜈˜𝑛 = 𝐸𝜈𝑛1 ,𝜈𝑛2 ,𝜈𝑛3 = 𝐸𝜈𝑛1 + 𝐸𝜈𝑛2 + 𝐸𝜈𝑛3
Dalla teoria dell’oscillatore armonico quantistico è noto che:
(︂
𝐸𝜈𝑛𝑖 = ~𝜔𝑛 𝜈𝑛𝑖 +
1
2
)︂
per cui
3
2
(︂
𝐸𝜈˜𝑛 = ~𝜔𝑛 𝜈𝑛 +
)︂
(3.16)
con 𝜈𝑛 = 𝜈𝑛1 + 𝜈𝑛2 + 𝜈𝑛3 . Gl autovettori dell’Hamiltoniano totale, vista la
sua separabilità, saranno i vettori normalizzati |˜
𝜈1 , 𝜈˜2 , ...⟩ = |˜
𝜈1 ⟩ ⊗ |˜
𝜈2 ⟩ ⊗ ... in
cui ognuno dei |˜
𝜈𝑛 ⟩ ha il significato sopra illustrato e 𝜈𝑛𝑖 è un numero intero,
non negativo, che ritorna lo stato quantistico dell’𝑛-nesimo modo normale
dell’i-esima componente della stringa. Anche in questo caso vale la
|˜
𝜈1 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩ = |˜
𝜈1 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑛 ⟩ ⊗ ...
È dunque possibile calcolare l’energia posseduta da un particolare stato delle
oscillazioni della stringa, |˜
𝜈1 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩:
𝐻 |˜
𝜈1 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩ = 𝐸𝜈˜1 ,...,˜𝜈𝑛 ,... |˜
𝜈1 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩
(3.17)
dove
𝐸𝜈˜1 ,...,˜𝜈𝑛 ,... =
=
+∞
∑︁
𝑛=0
+∞
∑︁
𝑛=0
𝐸𝜈˜𝑛
(3.18)
3
𝜈𝑛 +
2
(︂
~𝜔𝑛
)︂
35
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
con 𝜈𝑛 = 𝜈𝑛1 + 𝜈𝑛2 + 𝜈𝑛3 . A quest’energia, associata al termine di oscillazione
dell’hamiltoniana, bisogna sommare, per la separabilità di H (𝐻 = 𝐻𝑟𝑒𝑠𝑡 +
𝐻𝑜𝑠𝑐 ), il termine derivante dalla 𝐻𝑟𝑒𝑠𝑡 , l’energia di riposo della stringa. Tale
contributo costituisce un termine costante, pari a
⃗2 − 𝑌
⃗1 )2
1 (𝑌
𝐸𝑟𝑒𝑠𝑡 = 𝑇
2
𝐿
L’espressione per l’energia della stringa di Dirichlet corrisponde pertanto alla
somma di due termini: uno riferito all’energia di riposo della stringa, costante,
ed uno dato dalla somma delle energie di infiniti oscillatori armonici quantistici
tridimensionali, ciascuno di frequenza 𝜔𝑛 :
𝐸 = 𝐸𝑟𝑒𝑠𝑡 + 𝐸𝜈˜1 ,...,˜𝜈𝑛 ,...
(3.19)
Stringa di Neumann Il termine dell’Hamiltoniana relativo alle oscillazioni
per la stringa di Neumann, promosso ad operatore agente su elementi di uno
spazio di Hilbert, è una ovvia estensione della (2.80) e può essere scritto nella
seguente maniera:
𝐻=
+∞
∑︁ [︂
𝑛=1
1 ⃗˙ 2 1
⃗2
𝜌𝐿𝑌𝑛 + 𝑇 𝐿𝑌
𝑛
4
4
]︂
(3.20)
⃗𝑛 e 𝑌
⃗˙ 𝑛 , la
Trascurando il fattore 1/2 che può essere assorbito dagli operatori 𝑌
precedente espressione può essere scritta come una somma di infiniti operatori
H di oscillatori armonici tridimensionali:
𝐻=
+∞
∑︁
𝐻𝑛
(3.21)
𝑛=1
in cui 𝐻𝑛 corrisponde all’Hamiltoniana di un oscillatore armonico quantistico
in tre dimensioni:
𝐻𝑛𝑅 = ~𝜔𝑛 (⃗𝑎†𝑛⃗𝑎𝑛 + 3/2)
(3.22)
Gli autovettori di 𝐻𝑛 sono dati da vettori normalizzati |˜
𝜈𝑛 ⟩,
|˜
𝜈𝑛 ⟩ = |𝜈𝑛1 , 𝜈𝑛2 , 𝜈𝑛3 ⟩ = |𝜈𝑛1 ⟩ ⊗ |𝜈𝑛2 ⟩ ⊗ |𝜈𝑛3 ⟩
per i quali valgono le medesime relazioni (3.15) e (3.16), esposte nel paragrafo
dedicato alla stringa di Dirichlet. Anche in questo caso, allora, gli autovettori
36
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
dell’operatore Hamiltoniano totale saranno, a causa della sua separabilità,
vettori normalizzati |˜
𝜈1 , 𝜈˜2 , ...⟩ in cui ognuno dei 𝜈𝑛𝑖 è un numero intero non
negativo che ritorna lo stato quantistico dell’𝑛-nesimo modo normale dell’iesima componente della stringa. Alla luce di questi fatti l’energia di una stringa
descritta da |˜
𝜈1 , 𝜈˜2 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩ può essere calcolata nello stesso modo praticato
per la stringa di Dirichlet per cui:
𝐸𝜈˜1 ,˜𝜈2 ,...,˜𝜈𝑛 ,... =
+∞
∑︁
~𝜔𝑛 (𝜈𝑛 + 3/2)
(3.23)
𝑛=1
con 𝜈𝑛 = 𝜈𝑛1 + 𝜈𝑛2 + 𝜈𝑛3 . Possiamo dunque affermare che, anche in questo
caso, il termine energetico derivante dalle oscillazioni relative della stringa
corrisponde alla somma delle energie di infiniti oscillatori armonici, ciascuno
di con frequenza 𝜔𝑛 .
Osservazioni sull’energia del ground-state Nei precedenti paragrafi si è
visto come l’Hamiltoniana di una stringa quantistica ammetta, per ogni modo
normale della stringa classica un oscillatore armonico di frequenza 𝜔𝑛 (nel caso
della stringa chiusa gli oscillatori sono due, uno per le componenti right e uno
per le left-handed). Per capire cosa comporta questo fenomeno, è opportuno
studiare il ground state delle stringhe quantistiche ed, in particolare, la sua
energia. In realtà, per capire quanto succede è sufficiente concentrarsi sull’espressione, comune a tutti i tipi di stringa studiati, di una sommatoria infinita
di oscillatori armonici quantistici. Il ground-state dell’oscillatore, ovvero quello che possiede il livello energetico più basso, è così definito: |𝑔𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑⟩ = |0̃⟩ e
soddisfa la seguente espressione:
⃗𝑎 |0̃⟩ = ⃗𝑎 |0, 0, 0⟩ = 0
(3.24)
Nel presente caso, in cui l’autostato del sistema è dato da |˜
𝜈1 , ..., 𝜈˜𝑛 , ...⟩ =
|˜
𝜈1 ⟩ ⊗ ... ⊗ |˜
𝜈𝑛 ⟩ ⊗ ..., in cui ciascun |˜
𝜈𝑛 ⟩ è l’autostato di un oscillatore armonico
𝐻𝑛 , il ground state del sistema corrisponde allo stato in cui ognuno degli
infiniti oscillatori si trova nel suo ground-state: |𝑔𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑⟩ = |0̃, 0̃, ...⟩. Allora
l’energia di tale stato è:
𝐸𝑔𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 =
∑︁ 3
𝑛
2
~𝜔𝑛
(3.25)
37
3.2. QUANTIZZAZIONE DELLA STRINGA
Risulta quindi che il ground state della stringa è costituito dallo stato in cui
ognuno degli infiniti oscillatori armonici è nel suo ground state e contribuisce
all’energia totale della configurazione con un fattore 32 ~𝜔𝑛 . Occorre osservare
che la somma sovrastante è una serie divergente: il problema che si presenta a
questo punto, dunque, riguarda il fatto che il ground-state, come quindi anche
gli stati eccitati della stringa quantistica, ha energia infinita. La risoluzione
del problema concerne al fatto che, in realtà, in ambito fisico non è possibile
misurare l’ energia in maniera assoluta, e possono essere valutate solo differenze
di energia tra diversi stati. Si ridefinisce pertanto l’Hamiltoniana e l’energia
di ogni stringa sottraendo a ciascuna di esse, il suo ground state in modo
da "misurare" la differenza di energia della stringa con quest’ultimo, al posto
della sua energia assoluta; in questo modo le espressioni trovate nei paragrafi
precedenti diventano:
𝐻=
+∞
∑︁
† 𝑅
~𝜔𝑛 (⃗𝑎𝑅
𝑎𝑛 +
𝑛) ⃗
𝑛=1
+∞
∑︁
† 𝐿
~𝜔𝑚 (⃗𝑎𝐿
𝑎𝑚
𝑚) ⃗
(3.26)
𝑚=1
per la stringa chiusa,
𝐻 = 𝐻𝑟𝑒𝑠𝑡 +
+∞
∑︁
~𝜔𝑛⃗𝑎†𝑛⃗𝑎𝑛
(3.27)
𝑛=0
per la stringa di Dirichlet, e
𝐻=
+∞
∑︁
~𝜔𝑛⃗𝑎†𝑛⃗𝑎𝑛
(3.28)
𝑛=1
per quella di Neumann. Le energie corrispondenti saranno allora
𝐸𝜈˜𝑅 ,...,˜𝜈𝑛𝑅 ,...,˜𝜈 𝐿 ,...,˜𝜈𝑚
𝐿 ,... =
1
1
∑︁
[~𝜔𝑛 𝜈𝑛𝑅 ] +
∑︁
𝐿
[~𝜔𝑚 𝜈𝑚
]
(3.29)
𝑚=1
𝑛=1
𝑅 + 𝜈 𝑅 + 𝜈 𝑅 e 𝜈 = 𝜈 𝐿 + 𝜈 𝐿 + 𝜈 𝐿 per la stringa chiusa,
con 𝜈𝑛𝑅 = 𝜈𝑛1
𝑚
𝑛2
𝑛3
𝑚1
𝑚2
𝑚3
𝐸𝜈˜1 ,...,˜𝜈𝑛 ,... = 𝐸𝑟𝑒𝑠𝑡 +
+∞
∑︁
~𝜔𝑛 𝜈𝑛
(3.30)
𝑛=0
per quella aperta di Dirichlet, e
𝐸𝜈˜1 ,...,˜𝜈𝑛 ,... =
+∞
∑︁
~𝜔𝑛 𝜈𝑛
(3.31)
𝑛=1
38
3.3. CONCLUSIONI
per quella di Neumann. Si può osservare, tuttavia, che, anche con la presente
ridefinizione di 𝐻, in tutti questi casi le sommatorie, generalmente, divergono:
ciò fa si che la differenza di energia con il ground state sia infinita. Ciò non può
essere ammesso dal punto di vista fisico per cui, per ovviare a questo ulteriore
problema, occorre richiedere una specifica condizione sui 𝜈𝑛 , in particolare si
impone che solo un numero finito di interi 𝜈𝑛 possa essere diverso da 0. La
differenza con il modello di stringa classico risiede proprio in questo punto
che, detto in altre parole, consiste nel fatto che solo un numero finito di modi
della stringa quantistica (ciascuno dei quali corrispondente ad un particolare
oscillatore armonico) possono trovarsi in uno stato eccitato.
3.3
Conclusioni
Nel presente lavoro si sono descritti i tipi di stringhe, chiuse, aperte con
condizioni di Dirichlet e di Neumann, sia nel caso classico che quantistico, in
termini dei loro modi normali di vibrazione. Si è inizialmente esposto il concetto di stringa, derivandolo dall’opportuna estensione del concetto di linea al
mondo fisico, attribuendogli caratteristiche proprie di quest’ultimo, quali tensione, densità di massa e dinamica. Si sono studiate la Lagrangiana e l’Azione
della stringa, da cui si sono poi derivate le equazioni del moto della stessa
studiando l’annullamento al primo ordine dell’azione. Da questo calcolo sono
scaturite ulteriori ipotesi circa l’utilizzo di particolari condizioni al contorno
e iniziali, che hanno portato a concentrare la propria attenzione sui tre tipi
di stringa sopra citati. Per ognuno di essi si sono calcolate l’espressione per la
funzione di embedding e la corrispondente Hamiltoniana in termini dei modi
normali di vibrazione. Si è visto come i numeri di modi risultino infiniti, e
come ve ne esista uno per ogni intero 𝑛; in aggiunta a ciò occorre ricordare
che ogni modo normale è indipendente dagli altri dal punto di vista dinamico.
Studiando la stringa quantistica, accorgendosi che alcuni termini dell’Hamiltoniano potevano essere interpretati come somme infinite di opportuni oscillatori
armonici quantistici, si è osservato come ad ogni modo normale di vibrazione
della stringa classica, corrisponda un oscillatore armonico di frequenza 𝜔𝑛 . Successivamente si sono calcolate le energie di stati arbitrari per i tipi di stringa
studiati come autovalori dei corrispondenti operatori hamiltoniani; i risultati
ottenuti corrispondevano a somme divergenti di energie di infiniti oscillatori armonici. A seguito di quanto detto è risultato necessario rinormalizzare
39
3.3. CONCLUSIONI
le energie degli stati e imporre alcune specifiche condizioni sui livelli possibilmente occupabili dagli oscillatori di modo che, a seguito di quanto detto,
l’energia di una stringa quantistica può solamente essere 𝜈~𝜔𝑛 sopra l’energia
del suo ground state, dove 𝜈 è un intero positivo. I risultati principali del lavoro, dunque, corrispondono alle uguaglianze (3.26) − (3.31) che rappresentano
gli operatori Hamiltoniani e le energie delle diverse stringhe considerate in seguito alla rinormalizzazione. Occorre precisare che quest’ultima costituisce un
processo necessario affinchè la teoria abbia senso e validità fisiche, e consiste
nel sottrarre all’energia della stringa quella del suo ground state; l’ulteriore
condizione sui 𝜈𝑛 richiede che questi debbano essere quantizzati affinchè la
differenza dei livelli energetici delle stringhe con il loro ground-state non siano
infiniti.
Le stringhe che costituiscono gli enti fondamentali delle recenti formulazioni della Teoria delle Stringhe sono simili a quelle descritte nel presente lavoro.
La prima differenza sostanziale risiede nel fatto che queste, in aggiunta alle
proprietà sopra attribuitele, sono anche relativistiche (in questo caso vengono chiamate stringhe bosoniche). Da questo carattere relativistico, discende
la richiesta che queste teorie siano invarianti sotto trasformazioni di Lorenz.
Ulteriori formulazioni si assumono la pretesa di descrivere, tra le varie particelle, anche i fermioni e la supersimmetria: le stringhe impiegate in tali teorie
sono dette superstringhe e sono oggetti descritti da variabili dinamiche anticommuntanti in aggiunta alle ⃗𝑦 (𝑡, 𝜎). Molti dettagli di queste teorie non sono
ancora stati del tutto compresi, infatti non si è ancora riuscito a verificare come
queste, nel limite delle presenti energie, debbano ricostruire l’intero panorama
di leggi della fisica da noi osservabile.
Quanto ricavato nel presente lavoro ci permette dunque di affermare che
l’Hamiltoniano di una stringa quantistica può essere visto come una somma di
infiniti oscillatori armonici ciascuno con 𝜔 = 𝜔𝑛 (nel caso della stringa chiusa
le serie sono due, una per la componente left e una per la right-handed). A
seguito della rinormalizzazione inoltre si è visto come solo alcuni degli infiniti
𝜈𝑛 possano essere diversi da zero e quindi, come l’energia della stringa quantistica possa essere solamente 𝜈~𝜔𝑛 sopra l’energia del suo ground state, dove 𝜈
è un intero positivo. La causa di questo fatto è da ricercarsi, in ultima analisi,
nel comportamento altrimenti divergente delle serie che entrano nel computo
dell’energia della stringa quantistica.
40
Bibliografia
[1] [Guy Foleman], Am. J. Phys., Vol. 55, No.4, April
1987
[2] [Barton Zwiebach], "A First Course in String
Theory", 2004
[3] [Matthew Chalmers], Physics World, September
2007
[4] [A. Messiah], Quantum Mechanics (North-Holland,
Amsterdam, 1961), Vol. 1
[5] [K. R. Symon], Mechanics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1960)
41