Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011
Prof. C. Perugini
Esercitazione n.71 – Ripasso
Esercizio 1 – L’equilibrio del consumatore
Si consideri un consumatore le cui preferenze, fra due beni A e B, sono espresse dalla seguente funzione di
utilità:
𝑈 𝑞𝐴 , 𝑞𝐵 = (𝑞𝐴 )1/2 (𝑞𝐵 )1/3
I prezzi dei due beni sono rispettivamente pa=3 e pB=2, ed il reddito a disposizione del consumatore è pari a
R=100.
Calcolare:
1. La scelta ottima del consumatore, e rappresentare graficamente la soluzione
2. L’equazione della curva di domanda per il bene A, e rappresentarla graficamente
3. L’equazione della funzione di domanda per il bene A
Soluzione
1. Il consumatore sceglie il paniere che si trova sulla curva di indifferenza più alta (livello di utilità più alto)
dato il reddito che ha a disposizione ed i prezzi (cioè lo sceglierà nell’insieme dei panieri ammissibili).
In presenza di curve di indifferenza convesse, la scelta ottima è individuata come il punto di tangenza
tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza corrispondente: dato che la pendenza delle curve di
indifferenza è misurata dal SMSA,B e la pendenza del vincolo è data dal prezzo relativo, le condizioni
sono riassumibili nel seguente sistema:
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐴 𝑞𝐴 + 𝑝𝐵 𝑞𝐵 = 𝑅
𝑆𝑀𝑆𝐴,𝐵 =
La seconda equazione individua il vincolo (o retta) di bilancio, ed è l’insieme di tutte le combinazioni di
quantità dei beni A e B che corrispondono ad una medesima spesa complessiva per il consumatore.
Il saggio marginale di sostituzione (𝑆𝑀𝑆𝐴,𝐵 ) è, come noto, pari al rapporto delle utilità marginali dei due
beni:
𝜕𝑈
1
−1/2
(𝑞𝐵 )1/3 3 𝑞𝐵
𝜕𝑞𝐴 2 (𝑞𝐴 )
𝑆𝑀𝑆𝐴,𝐵 =
=
=
1
𝜕𝑈
2 𝑞𝐴
1/2 (𝑞 )−2/3
(𝑞
)
𝐵
𝜕𝑞𝐵 3 𝐴
→ Nota bene: dal calcolo del SMS si vede come le questo diminuisca al crescere di qA: ciò assicura che le
curve di indifferenze siano convesse (verso l’origine), e che la massima utilità per il consumatore si
abbia proprio nel punto di tangenza tra la curva di indifferenza e la retta di bilancio.
Adesso possiamo impostare il sistema:
1
Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h.12.15-13.45); ricevimento studenti mercoledì h. 15-16 (Aula Dottorandi
Assegnisti DEFS – sezione Economia); per domande e quesiti brevi: [email protected]. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il
materiale didattico sono scaricabili dal sito http://www.unipg.it/~perugini/, di regola alla fine della settimana.
1
3 𝑞𝐵 3
=
2 𝑞𝐴 2
2 3 ∙ 𝑞𝐴 + 2 ∙ 𝑞𝐵 = 100
Dalla [1] possiamo ricavare che qB = qA , che possiamo poi sostituire nella [2], così da ricavare la quantità
domandata del bene B in funzione dei prezzi e del reddito: q*B = 20. Dalla [1], otteniamo che anche la
quantità ottima domandata del bene A sarà pari a 20.
Pertanto la scelta ottima del consumatore è E(q*A = 20, q*B = 20). Graficamente, possiamo
rappresentare la retta di bilancio esplicitando la quantità di B in funzione della quantità di A, dei prezzi
e del reddito:
3 ∙ 𝑞𝐴 + 2 ∙ 𝑞𝐵 = 100
3
𝑞𝐵 = 50 − 𝑞𝐴
2
1
qb
50
E
20
U*=12,13
20
qa
33.3
Facilmente troviamo le intersezioni del vincolo di bilancio con gli assi (per qA=0, qB=50; per qB=0,
qA=33.3) .
La curva di indifferenza su cui giace la scelta ottima del consumatore è quella corrispondente al livello
di utilità:
𝑈 ∗ = 20 1/2 20 1/3 = 12,13
2. La curva di domanda per il bene A è il luogo dei punti del piano che associa ad ogni valore del prezzo
del bene A, la quantità (ottima) domandata dal consumatore.
Pertanto il prezzo di A adesso è da considerarsi come una variabile, e per determinarne l’equazione,
ripetiamo il procedimento con cui abbiamo determinato la scelta ottima, esprimendo il prezzo di A con
il termine generico pA:
3 𝑞𝐵 𝑝𝐴
=
2 𝑞𝐴
2
𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴 + 2 ∙ 𝑞𝐵 = 100
1
2
2
Dalla [1] possiamo ricavare la forma esplicita per qB in funzione delle altre variabili, così da ottenere,
𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴
𝑞𝐵 =
3
Sostituendo l’equazione trovata nella *2+, troviamo che
5 (𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴 )
= 100
3
cioè
𝑞𝐴 =
60
𝑝𝐴
che è proprio l’equazione della curva di domanda per il bene A, che possiamo disegnare facilmente,
ponendo sull’asse delle ordinate i valori del prezzo e su quello delle ascisse i valori della quantità:
pA
60
30
20
1
qA
3
2
La curva di domanda è decrescente, quindi indica una relazione negativa tra la quantità ottima
domandata dal consumatore ai diversi valori possibili del prezzo del bene A: il bene è quindi ordinario.
3. La funzione di domanda per un dato bene, esprime la quantità (ottima) domandata dal consumatore
come funzione del prezzo del bene stesso, del reddito e del prezzo dell’altro (o degli altri) bene(i).
Quindi il sistema da impostare è il seguente:
3 𝑞𝐵 𝑝𝐴
=
2 𝑞𝐴 𝑝𝐵
𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴 + 𝑝𝐵 ∙ 𝑞𝐵 = 𝑅
1
2
Ricavo, come fatto in precedenza, qB dalla [1] e la sostituisco nella [2], così da ricavare la quantità
domandata di A in funzione del suo prezzo e del reddito:
𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴 2
𝑝𝐴 ∙ 𝑞𝐴 + 𝑝𝐵
=𝑅
𝑝𝐵
3
𝑞𝐴 =
𝑅 3
∙
𝑝𝐴 5
La funzione di domanda è crescente rispetto al reddito, quindi indica una relazione positiva tra la
quantità ottima domandata dal consumatore e i diversi valori possibili del reddito a sua diposizione: il
bene è quindi normale.
3
Esercizio 2 – Domanda a risposta aperta
Rappresentare graficamente e discutere la scomposizione dell’effetto prezzo in effetto reddito ed
effetto sostituzione nel caso di un bene inferiore. Derivare inoltre graficamente le curve di domanda
ordinaria e compensata e discutere e motivare la loro posizione relativa.
Soluzione
Analizziamo gli effetti di una variazione del prezzo di un bene sulla scelta e sull’utilità del consumatore.
Assumiamo che un consumatore possa scegliere tra due beni, A e B, disponibili sul mercato,
rispettivamente, ai prezzi pA1 e pB1, e che disponga di un reddito pari a R.
Possiamo rappresentare la situazione su un piano cartesiano con le quantità del bene A sull’asse delle
ascisse e del bene B sull’asse delle ordinate.
 La scelta ottima iniziale per il consumatore è il punto E (qA1, qB1); ipotizziamo una diminuzione del
prezzo del bene A: pa↓, passando da pA1 a pA2
 In seguito alla diminuzione di pa il vincolo originario, ruota in senso anti-orario, mantenendo
invariata l’intersezione con l’asse delle ordinate
qB
Equilibrio dopo
variazione prezzo;
3
3
C (qA , qB )
Equilibrio dopo
variazione prezzo;
2
2
B (qA , qB )
qB3
qB1
qB2
qA1
qA2
qA
qA3
Equilibrio iniziale;
1
1
E(qA , qB )
 La scelta ottima al nuovo prezzo relativo coincide col punto C (qA3, qB3): in questo punto il
consumatore consumerà un po’ più del bene A, che è diventato meno relativamente meno costoso.
L’effetto prezzo è quantificabile come: qA3 - qA1 ([scelta successiva alla variazione di pA (livello di
utilità di arrivo)] - [scelta precedente alla variazione di pA (livello di utilità di partenza)]).
 Compensando in termini di utilità il consumatore (che a seguito della variazione diminutiva del
prezzo di A è diventato “un po’ più ricco” in termini reali), e lo riportandolo al livello di utilità di
partenza –quindi attraverso una variazione diminutiva del reddito--, è possibile individuare la scelta
4
ipotetica, che il consumatore effettuerebbe a parità del livello di utilità originale, ma ai nuovi prezzi.
Tale scelta coinciderebbe col punto B (qA2, qB2).
L’effetto sostituzione è proprio la distanza qA2 - qA1 ([scelta successiva alla variazione di pA (livello di
utilità di partenza)] - [scelta precedente alla variazione di pA (livello di utilità di partenza)]), e ci
consente di confrontare le scelte ottime prima e dopo la variazione dei prezzi, a parità di utilità per il
consumatore, quindi isolando l’effetto del prezzo relativo.
L’effetto reddito è la distanza qA3 - qA2 ([scelta successiva alla variazione di pA (livello di utilità di
arrivo)] - [scelta successiva alla variazione di pA (livello di utilità di partenza)]) , e ci consente di
confrontare le scelte ottime dopo la variazione dei prezzi, a livelli di utilità diversi per il
consumatore, quindi isolando l’effetto di variazione del reddito reale.

Essendo il bene inferiore, l’effetto sostituzione e l’effetto reddito hanno segni opposti, ma l’effetto
reddito è minore in valore assoluto, quindi l’effetto prezzo va nella stessa direzione dell’effetto
sostituzione: l’idea è che, se il reddito aumenta il consumatore sceglie di consumare una quantità
inferiore del bene A, e quindi questo va a diminuire l’aumento di consumo determinato dall’effetto
sostituzione (il bene A è diventato relativamente meno costoso).
Per tracciare i grafici della curva di domanda ordinaria e compensata, partiamo dal grafico precedente.
qB
3
3
C (qA , qB )
2
2
B (qA , qB )
qB3
qB1
qB2
1
qA1
1
E(qA , qB )
qA
qA2
qA3
pA
Curva domanda non
compensata
Curva domanda
compensata
qA2
qA1
qA
qA3
5

Nel caso di un bene inferiore, la curva di domanda compensata è meno inclinata (più elastica) della
curva di domanda ordinaria: infatti, a fronte di una diminuzione del prezzo, la domanda aumenta
per l’effetto sostituzione, ma subisce anche una diminuzione, dovuta all’effetto reddito
(all’aumentare del reddito il consumatore domanda una quantità inferiore del bene)
6
Esercizio 3 – Domanda a risposta aperta
Si definiscano i concetti di prodotto totale, medio e marginale del lavoro nel breve periodo, anche
utilizzando gli opportuni grafici, esplicitando le ipotesi sottostanti.
Si spieghi, sia da un punto di vista concettuale che grafico, la relazione che sussiste tra prodotto totale,
produttività media e marginale del lavoro nel breve periodo.
Soluzione
 L’impresa dispone di una determinata tecnologia (conoscenza) per trasformare gli input (i fattori
della produzione) in output (il prodotto finale): questa tecnologia si rappresenta analiticamente
con la funzione di produzione, di tipo: Q=f(K,L), qualora l’impresa utilizzi solamente due fattori per
la produzione, il capitale (K) ed il lavoro (L).
 Nel breve periodo (bp), assumiamo che alcuni fattori della produzione, in particolare il capitale,
siano fissi (K=K*), e che l’unico fattore variabile sia il lavoro. Pertanto, l’analisi della produzione
nel bp si concentra sui livelli di output prodotti per i diversi livelli di L impiegati, data la quantità
fissa di capitale.
Q=PTBP
Q2
Rendimenti
marginali
crescenti
Q1
Rendimenti
marginali
decrescenti
L1 (K=K*)
L2
L1 (K=K*)
L2
0
L
PML, PmL,


L
Il prodotto totale del lavoro (PTL) è quindi, semplicemente, la quantità di prodotto ottenuta
dall’impresa ai diversi livelli di L.
Assumiamo che la funzione di produzione di bp sia contraddistinta dalla legge dei rendimenti
marginali decrescenti: nel tratto da 0 a L1 (combinazione ottima della quantità di lavoro con la
quantità di capitale fissa), ogni unità di L aggiuntiva, comporta un aumento di Q maggiore
dell’unità di lavoro precedente *rendimenti marginali crescenti]; da L1 in poi, ogni unità di L
7

aggiuntiva, comporta un aumento di Q minore dell’unità di lavoro precedente [rendimenti
marginali decrescenti].
Il prodotto/produttività marginale del lavoro è la quantità di output addizionale che l’impresa
ottiene da un incremento unitario nell’impiego di L: matematicamente è rappresentato dalla
derivata del prodotto totale rispetto al fattore lavoro:
𝑃𝑚𝐿 = 𝜕𝑃𝑇𝐿 /𝜕𝐿
La produttività marginale diventa pari a zero per un livello in cui la curva di prodotto totale
diventa piatta rispetto all’asse delle ascisse (pendenza = 0): quindi per una quantità di lavoro
impiegata molto grande.

Il prodotto/produttività medio del lavoro è la quantità di output che l’impresa ottiene per
ciascuna unità di L impiegata
𝑃𝑀𝐿 = 𝑃𝑇𝐿 /𝐿

Graficamente la curva di PML coincide con la pendenza della retta che esce dall’origine e che
unisce ogni punto della curva di PTL; la curva di PmL coincide, invece, con la pendenza della retta
tangente alla curva di PTL in ogni suo punto.

Dai grafici è evidente che nel caso di una funzione di produzione di breve periodo, con
rendimenti marginali del lavoro prima crescenti, poi decrescenti, il punto di intersezione tra la
curva del prodotto marginale e quella del prodotto medio del lavoro coincide con il punto di
massimo della produttività media. Infatti, ogni unità di lavoro aggiunta, prima di arrivare ad L2,
contribuisce con una produttività marginale (aumento della quantità di output) superiore alla
media, e la produttività media aumenta; successivamente ad L2, ogni unità contribuisce con una
produttività marginale inferiore alla media, e la produttività media diminuisce.
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