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Istituto Professionale per i Servizi Alberghieri e
alla Ristorazione
San Pellegrino Terme
11 ottobre 2012
1
Esercizi di Preparazione alla Verifica
Trova due numeri sapendo che la loro somma ‘e 72 e che uno di essi é
5
3
dellaltro.
Poniamo x il primo numero e allora si ha
ovvero
ovvero
5
x + x = 72
3
5
1+
x = 72
3
3+5
x = 72
3
e quindi
8
x = 72
3
per il secondo principio di equivalenza, questa equazione si riscrive come
8
3 · x = 3 · 27
3
che si riscrive come
8x = 216
Applicando ancora una volta il secondo principio, si ottiene
1
1
· 8x = · 216
8
8
ovvero
x = 27
da cui l’altro numero é
5
· 27 = 45
3
1
Esercizio 2 Trovare un numero che3, sommato al suo triplo, dá 32 Poniamo x
questo numero, allora deve essere
x + 3x = 32
da cui
4x = 32
e quindi
x=8
Esercizio 3 Trovare un numero che, sommato alla sua metá ed alla sua sesta
parte, dá 50. In questo caso poniamo x il numero e quindi
1
1
x + x + x = 50
2
6
da cui
1+
1 1
+
x = 50
2 6
e quindi
da cui
moltiplichiamo tutto per
6+3+1
x = 50
6
10
x = 50
6
e otteniamo
1
10
1
x=5
6
e quindi, moltiplicando tutto per 6
x = 30
Esercizio 4 Dividere il numero 576 in due parti tali che
5
6
della prima parte meno
3
4
della seconda parte sia uguale a 138. Poniamo x il primo numero e quindi 576−x
sará il secondo numero. Allora
5
3
x − (576 − x) = 138
6
4
. Da cui
20x − 18(576 − x)
= 138
24
Raccogliendo a fattor comune 2
2·
10x − 9(576 − x)
= 138
24
2
dividendo per 2
10x − 9(576 − x)
= 138
12
10x − 5184 + 9x
= 138
12
e quindi
19x − 5184 = 1656
ovvero, per il primo principio di equivalenza
19x = 6840
e quindi
x = 360
e il secondo numero é 576-360=216
Esercizio 5 Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza
dei loro quadrati ‘e uguale a 49. Posto x il numero in questione, deve essere
(x + 1)2 − x2 = 49
e quindi
x2 + 2x + 1 − x2 = 49
da cui
2x = 50
e quindi
x = 25
Esercizio 6 Trova tre numeri dispari consecutivi tali che la loro somma sia
uguale a 87. Sia 2x + 1 il primo numero. Il secondo é 2x + 3 e il terzo é 2x + 5
allora deve essere
2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 87
da cui
6x + 9 = 87
ovvero
6x = 78
e quindi x = 13 da cui i tre numeri cercati sono 27,29 e 31
Esercizio 7 Trova cinque numeri pari consecutivi tali che la loro somma sia
uguale a 1000. Indichiamo con 2x il primo numero pari, da cui
2x + 2x + 2 + 2x + 4 + 2x + 6 + 2x + 8 = 1000
e quindi
10x + 20 = 1000
e quindi
10x = 980
da cui
3
x = 98
e quindi i numeri sono 196 ; 198 ; 200 ; 202 ; 204
Esercizio 8 Trova due numeri dispari consecutivi tali che la differenza dei loro
cubi sia uguale a 218.
Poniamo 2x + 1 il primo numero. Il secondo sará 2x + 3 e quindi
(2x + 3)3 − (2x + 1)3 = 218
da cui
8x3 + 36x2 + 54x + 27 − (8x3 + 12x2 + 6x + 1) = 218
ovvero
8x3 + 36x2 + 54x + 27 − 8x3 − 6x − 12x2 − 1 = 218
da cui
24x2 + 48x + 26 = 218
e quindi
24x2 + 48x − 192 = 0
da cui
x2 + 2x − 8 = 0
che scomposto dá
(x + 4)(x − 2) = 0
ovvero
x=2
e
x = −4
che si scarta. Quindi i numeri cercati sono 7 e 9.
Esercizio 9 Trova un numero tale che: se diviso per 3 dá a resto 2; se calcoliamo
la differenza tra il quadrato del numero stesso e il quadrato del precedente
otteniamo 111.
Indichiamo con m questo numero. Allora m = 3x + 2 e
m2 − (m − 1)2 = 111
Quindi
(3x + 2)2 − (3x + 1)2 = 111
ovvero
(3x + 2 + 3x + 1)(3x + 2 − 3x − 1) = 111
da cui
(6x + 3) = 111
e quindi
6x = 108
4
e
x = 18
da cui il numero é 56
Esercizio 10 La differenza di due numeri é 20, il loro quoziente é 3. Trova i
due numeri.
Se il primo numero lo indichiamo con x , il secondo sará
1
x
3
da cui
1
x − x = 20
3
e quindi
1−
1
x = 20
3
da cui
2
x = 20
3
e quindi 2x = 60 da cui x = 30 e il secondo numero é 10
Esercizio 11 In un cortile ci sono dei polli e degli agnelli che hanno in tutto 47
teste e 120 zampe. Trovare il numero dei polli e degli agnelli.
Gli animali sono 47. Indichiamo con x il numero dei polli e con 47 − x il numero
dei conigli. Sará quindi
2x + 4(47 − x) = 120
da cui
2x + 188 − 4x = 120
e quindi
188 − 120 = 4x − 2x
da cui
2x = 68
e quindi
x = 34
. Ci sono quindi 34 polli e 47-34 = 13 conigli
Esercizio 13 In un numero di due cifre la somma di esse é 7; scrivendo le cifre in
ordine inverso, si ottiene un numero che é il doppio del numero dato aumentato
di 2. Trovare il numero.
Sia n il numero che scriviamo come 10a + b. Sappiamo che la somma delle cifre
é 7 e indichiamo con x la prima cifra. La seconda cifra sará quindi 7 − x. A
questo punto, dal momento che
10b + a = 2(10a + b) + 2
si ha subito
10(7 − x) + x = 2(10x + 7 − x) + 2
da cui
5
70 − 10x + x = 2(9x + 7) + 2
ovvero
70 − 9x = 18x + 14 + 2
e quindi
70 − 9x = 18x + 16
ovvero
70 − 16 = 27x
e quindi x = 2 che é la prima cifra e la seconda é 7-2 = 5. Il numero cercato é
25. Esercizio 12
Uno studente compra 4 penne, 12 quaderni e 7 libri per un totale di 180 euro.
Sapendo che un libro costa quanto 8 penne e che 16 quaderni costano quanto 5
libri, determinare il costo dei singoli oggetti.
Indichiamo con x il costo di una penna. Un libro costa 8x. Un quaderno costa
5
16
di un libro e quindi
5
5
· 8x = x
16
2
. Quindi 4 penne, 12 quaderni e 7 libri costano
5
4x + 12 · x + 7 · 8x = 180
2
da cui
4x + 30x + 56x = 180
e quindi
90x = 180
e quindi
x=2
da cui si deduce che una penna costa 2 euro, un quaderno costa 5 euro e un
libro costa 16 euro.
Esercizio 13
Ad un certo punto del campionato la Fiorentina ha il doppio dei punti della
Juventus e lInter ha due terzi dei punti della Fiorentina. Sapendo che in totale
i punti delle tre squadre sono 78, determinare i punti delle singole squadre.
Indichiamo con x i punti della Juventus. La Fiorentina ha 2x punti e l’Inter
4
2
2x = x
3
3
. Avremo allora che
4
x + 2x + x = 78
3
da cui
3x + 6x + 4x = 234
6
da cui
13x = 234
e quindi
x = 18
e quindi la Juventus ha 18 punti, la Fiorentina 36 e l’Inter 24..
Esercizio 14 Per organizzare una gita collettiva, vengono affittati due pulmini dello stesso modello, per i quali ciascun partecipante deve pagare 12 euro.
Sui pulmini restano, in tutto, quattro posti liberi: se fossero stati occupati anche essi, ogni partecipante avrebbe risparmiato 1,50 euro. Quanti posti vi sono
su ogni pulmino?
Indichiamo con x i posti su ogni pulmino. In tutto vi sono 2x posti e la spesa
totale 2xC con C che indica il costo per passeggero. Naturalmente ipotizziamo
che la spesa totale é costante e con 4 posti di meno 2x − 4 e la spesa totale é
(2x − 4)12
. Il risparmio di 1.50 euro porta C a 12 − 1.5 = 10.5 quindi
2x · 10.5 = (2x − 4) · 12
da cui
1
2x(10 + ) = 24x − 48
2
da cui 21x = 24x − 48 e quindi
3x = 48
da cui
x = 16
.
Esercizio 15 Un rubinetto, se aperto, riempie una fontana in 5 ore; un altro
rubinetto riempie la stessa fontana in 7 ore. Se vengono aperti contemporaneamente, quanto tempo ci vorrá per riempire un sesto della vasca?
Dalla fisica
l(t) = v · t
e quindi , nel nostro caso
v1 · t1 = v2 · t2
ovvero
5v1 = 7v2
quindi
7
v2
5
Se i due rubinetti sono aperti contemporaneamente si ha
v1 =
7
12
v = v1 + v2 = v1 + v1 =
v1
5
5
7