Il campo magnetico rotante

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.
Il campo magnetico monofase.
Il funzionamento delle macchine elettriche rotanti alimentate in corrente alternata si basa sul
principio del campo magnetico rotante: il suo studio viene qui introdotto in modo generale, prescindendo cioè dalla macchina specifica.
Si considerino due cilindri coassiali (v. fig.01), uno esterno (armatura esterna), l'altro interno
(armatura interna) tra loro separati da uno spessore () uniforme di aria (traferro); i due cilindri
si suppongono realizzati in materiale ferromagnetico avente una permeabilità molto elevata, al
limite infinita (µfe= ).
Nello spazio fra i cilindri si realizzi una bobina di N spire, connesse in serie fra loro.
Ciascuna spira di tale bobina è costituita da quattro conduttori rettilinei: una coppia di
conduttori, aventi l'asse in direzione assiale, è alloggiata in due cave poste a distanza
diametrale, prospicienti il traferro e ricavate su una delle due strutture, ad esempio quella
esterna; l'altra coppia di conduttori realizza la connessione fra i conduttori posti nelle cave, in
corrispondenza delle parti frontali della struttura cilindrica.
Dicesi passo la distanza (misurata lungo la periferia cilindrica della struttura dotata di avvolgimento) fra i conduttori assiali connessi fra loro a formare le spire di una bobina: nel caso in
esame la bobina è a passo diametrale.
Quando le N spire siano percorse da corrente costante I nasce un campo magnetico (v. ancora
fig. 01), le cui linee di flusso presentano un andamento simmetrico rispetto agli assi a-a’; b-b’;
ciascuna linea di campo è concatenata con la f.m.m. N·I ed attraversa due volte radialmente il
traferro, una volta secondo un verso, l'altra volta secondo il verso radiale opposto.
Poichè la permeabilità delle armature è supposta infinita, non vi è in esse alcuna caduta di tensione magnetica (c.d.t.m.).
Pertanto, considerando una generica linea di campo, la f.m.m. totale (N·I) uguaglia la somma
delle c.d.t.m. nei due attraversamenti del traferro. D'altra parte, i due attraversamenti sono di
uguale lunghezza (); quindi, la differenza di potenziale magnetico (d.d.p.m.) al traferro (U)
vale (a prescindere dal segno) N·I/2.
Si definisce diagramma di f.m.m. al traferro, e si indica con M(), la funzione che esprime la
differenza di potenziale magnetico U tra le due armature, punto per punto lungo periferia. La
d.d.p.m. al traferro, o f.m.m. al traferro, è una quantità algebrica: essa è positiva quando la linea
di campo nella posizione di periferia considerata è diretta verso l'armatura esterna, negativa in
caso opposto.
Fig. 01. Campo di f.m.m. dovuto ad una bobina. M p  armonica principale.
88
Indicata con  la generica posizione angolare lungo la periferia della struttura rispetto all'asse
magnetico b-b della bobina (posto in direzione perpendicolare al piano in cui la bobina giace),
con le convenzioni di fig. 01 la f.m.m. al traferro M() ha la seguente espressione:
I

N

2
M   
 N  I

2
per
per



 
2
2
.

3 
 
2
2
Poiché il traferro è costante (trascurando la presenza delle cave), la distribuzione della induzione al traferro lungo la periferia B() è proporzionale al diagramma di M():
B      0  H       0 
M  

.
Se la struttura cilindrica viene svolta nel piano, tale diagramma risulta di tipo rettangolare,
come indicato in fig. 02.
Lo sviluppo in serie di Fourier dell'onda rettangolare periodica di fig. 02 è il seguente:
M  
4 N I

 2
1
1


 cos   cos3     cos5    ... .
3
5


Pertanto questo campo di f.m.m. al traferro, a distribuzione rettangolare, è pensabile come
somma algebrica di funzioni sinusoidali, di ampiezza inversamente proporzionale all'ordine di
armonicità.
Il campo sinusoidale fondamentale (caratterizzato dal minor numero di semionde lungo lo
sviluppo della periferia) ha ampiezza:
M p max 
4 N I

 2
ed espressione:
M p  
4 N I

 cos ;
 2
i suoi punti di zero coincidono con i punti di zero del diagramma originario di f.m.m..
Per quanto riguarda i campi armonici di f.m.m. con ordine di armonicità superiore, si può
osservare e/o dimostrare quanto segue:
 non esistendo i campi di ordine pari, l'armonica presente di ordine più basso è la terza,
di ampiezza pari ad 1/3 di quella del campo fondamentale;
 le principali applicazioni di questa trattazione si riferiscono a macchine trifasi: in tale
situazione si può dimostrare che l'effetto trifase complessivo dei campi armonici di
ordine 3 e multipli di 3 è nullo;
 l'effetto delle prime armoniche di campo realmente efficaci (la 5a e la 7 a), già di per sè
di minore ampiezza, può essere ridotto con opportuni accorgimenti costruttivi nella
realizzazione degli avvolgimenti.
Pertanto, nel seguito verrà considerata la sola presenza del campo fondamentale di f.m.m.,
avente la distribuzione sinusoidale rappresentata in fig. 02.
Nello studio del regime sinusoidale si è visto che ad una sinusoide funzione del tempo si può
far corrispondere un vettore, di ampiezza pari a quella della sinusoide e di fase opportuna.
Anche per le sinusoidi nello spazio è possibile e conveniente istituire questa corrispondenza.
Si conviene, pertanto, di rappresentare un campo di f.m.m. a distribuzione sinusoidale lungo la
periferia mediante un vettore M p . L'ampiezza di tale vettore è pari al valor massimo della
89
sinusoide; la direzione (coincidente con quella dell'asse magnetico n1 della bobina)
corrisponde alla posizione periferica in corrispondenza alla quale si verifica tale massimo; il
verso è in accordo al segno assunto positivo per il diagramma di f.m.m. .
Fig. 02. Sviluppo lineare della struttura di fig. 01. M p  è l’armonica principale del campo di f.m.m.
dovuto ad una bobina.
Il valore della differenza di potenziale magnetico al traferro nella generica posizione  risulta
pari alla proiezione del vettore M p lungo la semiretta che individua tale posizione (fig. 01).
Se la corrente che percorre la bobina è alternata sinusoidale con pulsazione , il campo di
f.m.m. possiede sì un andamento spaziale sinusoidale ma la sua ampiezza è variabile nel tempo:
m p , t  
i t   2  I  cos  t 
4 N 2I

 cos  t   cos  M  cos  t   cos .

2
Il vettore m p t  risulta quindi sempre diretto lungo l’asse della bobina, ma la sua ampiezza
varia nel tempo con legge sinusoidale e pulsazione  da un massimo positivo ad un massimo
negativo: si ha quindi un campo di f.m.m. FISSO nello spazio e VARIABILE nel tempo.
Un campo di f.m.m. di tali caratteristiche, cioè stazionario nello spazio e alternativo sinusoidale nel tempo, è
equivalente ad una coppia di campi controrotanti con velocità angolare  = ±  ed aventi ampiezza costante, pari a
metà di quella massima del campo stazionario oscillante. Infatti:
m p , t   M  cos  t   cos 
M
M
 cos  t   
 cos  t    md , t   mi , t 
2
2
.
Si osservi che nella espressione:
m p , t   M  cos  t   cos
è spontaneo interpretare l'anomalia  come una posizione angolare fissa lungo la periferia, in corrispondenza della
quale l'osservatore valuta il valore della f.m.m., di ampiezza variabile sinusoidalmente nel tempo.
Viceversa nelle espressioni:
m d , t  
M
 cos  t  
2
mi , t  
M
 cos  t  
2
è più opportuno interpretare  come l'angolo secondo il quale l'osservatore deve orientarsi nel tempo per rimanere
solidale con il massimo della sinusoide di f.m.m. rotante al traferro.
Per ciascuno dei due campi controrotanti, ponendo uguale a zero l'argomento della funzione coseno si ottiene il
valore dell'angolo (max), cui corrisponde il massimo di tale f.m.m.:
 d max     t
i max     t .
90
Dunque il primo campo, il cui massimo si sposta con velocità =+ nel senso degli angoli  positivi, si dice diretto;
il secondo, il cui massimo si sposta con velocità = – nel senso degli angoli  negativi, si dice inverso.
Si può arrivare alla stessa conclusione con considerazioni di carattere vettoriale, come mostrato in fig.03:
componendo istante per istante due vettori uguali, rotanti (uno in senso opposto all'altro) con velocità angolare
costante, si ottiene un vettore avente direzione fissa ed ampiezza variabile nel tempo secondo una legge sinusoidale.
Fig. 03. Suddivisione di un campo di f.m.m. FISSO nello spazio e VARIABILE nel tempo in due campi
controrotanti MOBILI nello spazio e COSTANTI nel tempo.
Campo di f.m.m. al traferro prodotto da un avvolgimento trifase percorso da corrente
alternata sinusoidale.
Siano date tre bobine disposte spazialmente a 120° l’una dall’altra (fig. 04); esse siano
percorse da tre correnti sinusoidali i1(t), i2(t), i3(t) sfasate nel tempo di 120°. La corrente
circolante nella bobina 1-1’ dà luogo ad un campo di f.m.m. FISSO nello spazio (diretto lungo
l’asse n1 ) e VARIABILE nel tempo; tale campo è rappresentabile mediante un vettore diretto
lungo l’asse n1 . Lo stesso vale per la corrente circolante nella bobina 2-2’, di asse n2 , e per la
corrente nella bobina 3-3’, di asse n3 .
Si consideri una generica posizione al traferro individuata dalla coordinata angolare . Il valore
del campo di f.m.m. al traferro in tale posizione è dato dalla somma dei campi dovuti alle tre
bobine, cioè alla proiezione dei vettori istantanei m p1 t  , m p 2 t  , m p3 t  lungo la posizione
individuata dalla coordinata .
i1 t   2  I  cos  t 
m p1 , t  
4 N  2I

 cos  t   cos

2
i 2 t   2  I  cos  t  120
m p 2 , t  
4 N  2I

 cos  t  120  cos  120

2
i3 t   2  I  cos  t  240
m p3 , t  
4 N  2I

 cos  t  240  cos  240

2
3 4 N  2I
3
m p , t   m p1 , t   m p 2 , t   m p 3 , t    
 cos  t     M  cos  t  
2 
2
2
91
Fig. 04. Avvolgimento trifase percorso da una terna equilibrata di correnti.
Si tratta quindi di un campo magnetico rotante MOBILE nello spazio e COSTANTE nel tempo
(di ampiezza 3/2 M). Infatti:
all’istante t1 il valore massimo del campo si ha nella posizione 1    t1 . All’istante
t 2  t1  t , il valore massimo del campo si ha in:
 2    t 2    t1    t  1    t
,
cioè in una posizione successiva.
Ne segue che la velocità angolare meccanica del campo rotante è:
  1
0  2

t
.
Per un avvolgimento a due poli (cioè che dà luogo a due semi–onde di f.m.m.), la velocità
angolare meccanica 0 risulta pari alla pulsazione  delle correnti. Ad es., se la frequenza delle
correnti di alimentazione è f = 50 Hz,
  = 2 f = 314.2 rad/s

0 = 314.2 rad/s = 3000 giri/min .
Le tre correnti di fase possono essere rappresentate nel piano complesso di Gauss mediante tre
fasori, I1 , I 2 ed I 3 , ed il loro valore istantaneo è dato dalla proiezione sull’asse reale del
relativo fasore.
Sovrapponendo il piano complesso sul piano della macchina in modo che l’asse Reale coincida
con l’asse n1 della fase 1-1’, si può dimostrare che, istante per istante, la posizione angolare
del vettore f.m.m. m p coincide con la posizione del fasore I1 (fig. 05).
Infatti, all’istante generico t*, la fase del fasore I1 è  I1    t * .
Il vettore m p è diretto, istante per istante, nella direzione  in cui m p , t  è massimo. Ciò avviene per
  t    0 , cioè per
t   .
All’istante t*, tale coordinata angolare è *    t * . E’ quindi dimostrata la tesi.
92
Fig. 05. Sovrapponendo il piano complesso sul piano della macchina in modo che l’asse Reale coincida
con l’asse n1 , ne segue  I1 = m p istante per stante.
Campo di f.m.m. a due poli prodotto da un avvolgimento bifase percorso da corrente
alternata sinusoidale.
Siano date due bobine, di N spire ciascuna, disposte spazialmente a 90° l’una dall’altra (fig.06); esse
siano percorse da correnti sinusoidali sfasate nel tempo di 90°, con la corrente nella seconda bobina in
anticipo sulla prima. La corrente circolante nella bobina 1-1’ dà luogo ad un campo di f.m.m. FISSO
nello spazio (diretto lungo l’asse n1 ) e VARIABILE nel tempo; tale campo è rappresentabile mediante
un vettore m p1 t  diretto lungo l’asse n1 . Lo stesso vale per la corrente nella bobina 2-2’, di asse n2
ed il campo m p2 t  .
Si consideri una generica posizione al traferro individuata dalla coordinata angolare : il valore del
campo di f.m.m. in tale posizione è dato dalla somma dei campi dovuti alle due bobine, cioè alla
proiezione dei vettori istantanei m p1 t  ed m p2 t  lungo la posizione individuata dalla coordinata .
Fig. 06. Avvolgimento bifase percorso da correnti sfasate nel tempo di 90°
i1 t   2  I  cos  t 
i 2 t   2  I  cos  t  90
m p1 , t  
m p 2 , t  
4 N  2I

 cos  t   cos
2

4 N  2I

 cos  t  90  cos  90

2
93
m p , t   m p1 , t   m p 2 , t  
4 N  2I

 cos  t    M  cos  t   .

2
Si tratta quindi di un campo magnetico rotante.
Questo avvolgimento è usato nei piccoli motori asincroni bifase ad alimentazione monofase (“motori a
condensatore”), impiegati in molti apparecchi domestici (frigoriferi, ventil – convettori, …).
Avvolgimenti a più coppie polari. Angolo meccanico e elettrico.
Si abbia un avvolgimento costituito da due bobine per fase, ciascuna con N spire (fig. 07),
percorse dalla corrente continua I.
Fig. 07. Avvolgimento monofase a quattro poli.
I diagrammi di f.m.m. al traferro, reale m() e principale mp(), sono rappresentati in fig. 08.
Lungo l’intero arco di circonferenza, cioè in 2 rad meccanici, mp() presenta quattro
semionde: l’avvolgimento si dice a quattro poli.
Fig. 08. Diagrammi di f.m.m. al traferro, reale m() e principale mp(), dovuto ad un avvolgimento
monofase a quattro poli.
Dopo un arco comprendente due semionde ( rad meccanici), il diagramma assume lo stesso
andamento; in altre parole, dopo un arco pari a  rad meccanici, mp() ha compiuto un ciclo.
Un ciclo corrisponde a 2 rad elettrici, per cui in questo caso
 rad meccanici  2 rad elettrici
.
94
Più in generale, detto e l’angolo elettrico,  quello meccanico e p il numero di poli (n il
numero di paia poli):
p
 n  
2
e 
.
Utilizzando un avvolgimento trifase, alimentato con tre correnti sinusoidali di pulsazione 
sfasate nel tempo di 120°, si ottiene la seguente espressione del campo di f.m.m.:
m p , t  
p 
3
3

 M  cos  t   e    M  cos   t    
2
2
2 

.
Lo stesso vale per un avvolgimento bifase (ad esclusione del coefficiente 3/2).
Ripetendo la dimostrazione precedente, la velocità angolare meccanica del campo di f.m.m. è:


2
.
 
p
p
n
 
 
2
Ne segue che la relazione tra la relazione tra la frequenza di alimentazione f e la velocità di
rotazione meccanica 0 del campo magnetico rotante è:
0 
0 
4 f
p
f [Hz], 0 [rad/s]
Si definisce velocità angolare elettrica del campo di f.m.m. la quantità:
e 
d e p d  p
 
 0   ;
dt
2 dt
2
essa risulta pari alla pulsazione  delle correnti di alimentazione, indipendentemente dal
numero di poli. Ad esempio, se la frequenza delle correnti di alimentazione è f = 50 Hz,
(  = 2 f = 314 rad/s), si ha:
p
2
4
6
8
0 [rad/s] / [giri/min]
314.2 / 3000
157.1 / 1500
104.7 / 1000
78.54 / 750
L’importanza degli angoli elettrici è notevole. La struttura della macchina in un arco di
circonferenza sotteso da un angolo pari a 2 rad elettrici (un arco che comprende due poli) si
ripete identicamente in tutte le altre porzioni di periferia. E’ quindi possibile limitare lo studio
del comportamento magnetico ed elettrico ad un arco pari a 2 rad elettrici.
In questo modo, lo studio delle macchine con un numero di poli p = 2n  4 può essere
ricondotto a quello di una macchina a due poli, pur di considerare l’angolo elettrico e e non
quello meccanico . Per questo motivo nell’analisi delle macchine elettriche si fa sempre
riferimento ad una macchina a due poli.
95
F.m.m. e flusso di un polo.
Le strutture cilindriche interne ed esterne delle macchine rotanti sono, in molti casi, dotate di un
elevato numero di cave, uniformemente distribuite lungo la periferia prospiciente il traferro: in tali cave
vengono alloggiati i conduttori attivi (sono i conduttori disposti in senso assiale i quali, tagliando le linee
di campo, risultano sede di f.e.m. indotta, in base alla legge dell'induzione in forma elementare).
Ciascuna coppia di conduttori attivi costituente, con i conduttori di collegamento frontali, una spira è
disposta in una coppia di cave. Gli avvolgimenti di ciascuna fase sono costituiti realizzando numerose
spire e connettendo tali spire in serie fra loro; se si tratta di una struttura trifase vi sono pertanto tre
avvolgimenti di fase: per ragioni di simmetria costruttiva e funzionale, essi devono essere uguali ed
ugualmente spostati fra loro (di 2·/3 radianti elettrici) lungo la periferia.
Si consideri agente in questa struttura un campo magnetico rotante; la causa di tale campo può essere
qualsiasi:
 il campo può essere prodotto da un avvolgimento posto su una struttura (ad esempio il cilindro
interno: rotore) in moto rispetto all'altra struttura (il cilindro esterno: statore): in tal caso il
campo è prodotto da una corrente continua e ruota nel traferro, solidale con la struttura che lo
genera;
 il campo può essere prodotto da una struttura fissa, dotata di un avvolgimento trifase percorso
da un sistema di correnti sinusoidali equilibrate (campo magnetico rotante di G. Ferraris).
E' evidente che agli effetti della struttura investita dal campo non ha rilevanza l'origine del campo, ma il
fatto che esso sia rotante rispetto alle spire in essa alloggiate: d'altra parte il campo magnetico concatena
le spire della struttura indotta ed essendo in moto rispetto ad esse, cioè variabile, induce delle f.e.m. in
base alla legge della induzione elettromagnetica.
Si vuole qui mostrare il legame tra le f.e.m. elementari (indotte nelle singole spire) e quella
complessiva misurabile ai morsetti dell'avvolgimento. A tale scopo si può fare riferimento ad una
struttura a due poli: si osservi, infatti, che ad ogni coppia di poli la situazione si ripete identicamente.
Pertanto la rappresentazione schematica della struttura a due poli è significativa anche per un numero di
poli superiore, pur di ricordare che angoli e velocità angolari devono essere espressi in radianti elettrici;
con tale rappresentazione le spire che abbiano i lati attivi posti ad una distanza periferica pari all'estensione di un polo appaiono disposte agli estremi di un diametro.
Come visto, il campo magnetico rotante di f.m.m. (armonica fondamentale) ha espressione:
m p  , t   M  cos  t   
dove M è il valore massimo della sinusoide di f.m.m. rotante al traferro; se un osservatore in moto con
velocità angolare  (espressa in radianti elettrici al secondo) osserva tale campo di f.m.m., esso gli
appare di forma invariabile nel tempo.
A questo campo di f.m.m. a distribuzione sinusoidale e rotante al traferro si è associato un vettore
spaziale f.m.m., di ampiezza pari al massimo della sinusoide di f.m.m., direzione corrispondente alla
posizione angolare nella quale all'istante t si ha il massimo      t  e verso corrispondente alla
semionda positiva del diagramma di f.m.m. (polo Nord).
Non considerando le eventuali discontinuità del traferro, il campo di induzione in ogni punto lungo la
periferia vale:
b  , t    o 
m  , t 
 Bmax  cos  t    .

Pertanto anche il campo di induzione è a distribuzione sinusoidale e può essere convenientemente
rappresentato mediante una opportuna quantità vettoriale: si tratta del vettore spaziale flusso di un polo.
Tale vettore è così definito:
 l'ampiezza  è pari al flusso, attraverso il traferro, del campo di induzione b(ε , t), calcolato
fra i punti di zero di una semionda della distribuzione sinusoidale:
 
 t bl d 
,
dove:
96


τ è la lunghezza periferica corrispondente ad un polo (misurata lungo la circonferenza di
raggio R);
l è la lunghezza delle strutture cilindriche, ovvero dei conduttori attivi.
Fig. 09. Vettore flusso al traferro:  è il passo polare.
Calcolando l'integrale fra gli estremi di periferia corrispondenti ai suddetti passaggi per lo zero
della sinusoide di campo si ottiene:
2
   Bmax    l ;

 la direzione ed il verso del vettore flusso sono gli stessi di quelli del vettore f.m.m..
Osservando che tra i valori massimi delle due distribuzioni vale la relazione

Bmax  o  M ,

tra le ampiezze dei due suddetti vettori spaziali esiste il seguente legame:
    M ,
con
 
2 o

l .
 
F.e.m. indotta in un avvolgimento da un campo di f.m.m.
Il campo di induzione magnetica dà luogo a f.e.m. sia negli avvolgimenti che lo creano sia ad altri
avvolgimenti presenti nella macchina. Per la loro determinazione, si consideri la struttura di fig. 10: si
tratta di una struttura a due poli, nella quale tre avvolgimenti di fase statorici (costituenti un
avvolgimento trifase), disposti a 120° l’uno dall’altro e percorsi da tre correnti equilibrate, creano un
campo di f.m.m. rotante m p ed un campo di induzione  . Vi sia anche una generica bobina k,
costituita da Nsb spire ed avente i conduttori attivi disposti nelle cave k e k', poste a distanza diametrale.
In fig. 10 la posizione del vettore flusso  è individuata dall'angolo elettrico e, che si suppone
variabile nel tempo con la seguente legge:
 e  e  t   e 0 ,
e  
(: pulsazione delle correnti statoriche)
avendo indicato con  e 0 la posizione dell'asse magnetico del campo all'istante t=0.
97
La posizione della bobina considerata è individuata dall'angolo e che la normale n al piano della
bobina forma con il riferimento assunto per gli angoli. Supponendo, per generalità, che il rotore ruoti con
velocità angolare meccanica  ed elettrica r, si ha:
 e  r  t  e 0 ,
con  r 
p
n
2
dove  e 0 individua la posizione della bobina all’istante iniziale.
Fig. 10. Campo di f.m.m. m p e di induzione  al traferro dovuto all’avvolgimento trifase.
Determinazione della f.e.m. indotta nella bobina rotorica ed in quelle statoriche.
Il flusso c concatenato con la bobina k - k’ risulta una funzione sinusoidale dell'angolo formato
dall’asse del campo magnetico e dalla normale al piano della bobina. Ne viene la seguente espressione:
 c  N sb    cos e   e  .
Si decide di misurare la f.e.m. indotta nella bobina legandone il verso a quello del flusso con la regola
opposta a quella della vite destrorsa; pertanto il verso istantaneo della f.e.m. nei lati attivi della bobina è
quello indicato in fig. 10 con croce (+) e punto (·).
La f.e.m. indotta nella bobina (eb) assume dunque la seguente espressione:
d c
d  e   e 
  N sb   
 sin  e   e  
dt
dt
.
  N sb       r   sin    r   t   e 0   e 0
eb 


Questa espressione mette in evidenza quanto segue:
 la frequenza di tale f.e.m. è proporzionale alla differenza delle velocità di rotazione (in radianti
elettrici) del campo rotante e del cilindro interno;
 anche l'ampiezza di tale f.e.m. indotta è proporzionale a tale differenza.
Pertanto, qualora il rotore fosse in moto alla medesima velocità del campo rotante, non vi sarebbero
f.e.m. indotte nelle spire di rotore.
Si consideri ora il caso in cui la velocità r è nulla: oltre a corrispondere alla situazione di rotore
fermo, tale condizione è in ogni caso applicabile a tutte le bobine di statore, essendo quest'ultimo
solidale con il riferimento fisso adottato.
Ponendo nella espressione precedente la condizione r = 0 ed osservando che in tal caso si ha:
e = e0 ,
si ottiene:
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


eb   N sb      sin   t   e 0   e 0   N sb      sin  e   e 0

Per la bobina statorica 1 – 1’ (e0 = 0), si ha:



eb1   N sb      sin   t   e 0  N sb      cos   t   e 0  90

E' importante osservare che in questo caso la pulsazione elettrica  della f.e.m. indotta e la velocità
angolare elettrica del campo rotante coincidono. Inoltre la f.e.m. eb è massima nel tempo (in modulo)
quando vale la relazione:
e   e 0 

,
2
 e 0  e 

.
2
da cui:
Quest'ultima relazione si interpreta dicendo che il piano della spira nella quale viene indotta la massima
f.e.m. è quello su cui giace il vettore flusso; questo fatto è in accordo con quanto prevedibile in base alla
legge elementare dell'induzione (e=b·l·v), considerando che in quel piano si ha il massimo del campo di
induzione al traferro.
Sovrapponendo il piano complesso sul piano della macchina, in modo che l’asse reale coincida con
l’asse n1 della fase 1 di statore, è possibile rappresentare la f.e.m. eb1 indotta nella bobina 1-1’ mediante
un fasore E1 ruotato di 90° in anticipo rispetto al vettore flusso  (si osservi il terzo monomio di eb1).
La proiezione sull’asse reale (quindi sull’asse n1 ) di E1 dà il suo valore istantaneo (fig. 11).
Analogamente la f.e.m. indotta nella bobina statorica 2 – 2’, spostata di 120° rispetto alla 1–1’, vale:




eb 2   N sb      sin   t   e 0  120  N sb      cos   t   e 0  90  120 ;
risulta quindi sfasata di 120° in ritardo rispetto alla eb1; analogamente la f.e.m. eb3 indotta nella bobina
3–3’ risulta sfasata di 240° in ritardo rispetto alla eb1.
Fig. 11. Rappresentazione della f.e.m. indotta nella prima fase dell’avvolgimento trifase statorico.
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