Misure con circuiti elettrici

Misure con circuiti elettrici
Samuele Straulino
Laboratorio di Fisica II - S.S.I.S.
2008 – 2009
http://hep.fi.infn.it/ol/samuele/dida.php
Descriverò in particolare questi aspetti:
• comportamento a regime di alcuni circuiti con componenti R, C, L alimentati con
una differenza di potenziale (d.d.p.) sinusoidale;
• condizione di risonanza in un circuito RCL;
• regime transitorio in presenza di una tensione rapidamente variabile.
Circuito puramente resistivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
V (t) = V0 cos ωt
V0
i(t) =
cos ωt
R
V
(legge di Ohm)
La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito
hanno la stessa frequenza e sono in fase.
R
Circuito puramente resistivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
3
4
1.5
2
0
0
-1.5
-2
-3
-4
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
Circuito puramente capacitivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
V (t) − Q(t)/C = 0
Q(t) = C V0 cos ωt
V
i(t) = − ω C V0 sin ωt
La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito
hanno la stessa frequenza ma sono sfasate di π
2
(la corrente è in anticipo rispetto alla tensione applicata).
C
Circuito puramente capacitivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
2
4
1
2
0
0
-1
-2
-2
-4
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
Circuito puramente induttivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
di
V (t) − L
=0
dt
V
i(t) = 0
L
Z
cos ωt dt
V
V0
=
sin ωt
ωL
La tensione applicata e la corrente che attraversa il circuito
hanno la stessa frequenza ma sono sfasate di π
2
(la corrente è in ritardo rispetto alla tensione applicata).
L
Circuito puramente induttivo
in presenza di una d.d.p. sinusoidale
2
4
1
2
0
0
-1
-2
-2
-4
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
Circuito RC
V0 cos ωt −
Q
C
i
d
→ − ω V0 sin ωt −
dt
C
R
= Ri
= R
di
dt
V
C
Si cerca una soluzione del tipo i = i0 cos(ωt + ϕ):
− ω V0 sin ωt =
i0
cos (ωt + ϕ) − ω R i0 sin (ωt + ϕ)
C
Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt =



i

 0




=
tan ϕ =
ω C V0
p
2
1+ω τ
1
ωτ
2
π
2
e risolvendo il sistema cosı̀ ottenuto si trova:
τ = RC
(COSTANTE DI TEMPO DEL CIRCUITO)
VR = R i0 cos (ωt + ϕ) è sfasato rispetto a V
Circuito RL
V0 cos ωt − L
di
dt
R
= Ri
V
Nota: nel caso non ideale va considerata
anche la resistenza RL
L
Si cerca una soluzione del tipo i = i0 cos(ωt + ϕ):
V0 cos ωt = − ω L i0 sin (ωt+ϕ)+R i0 cos (ωt+ϕ)
Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt =



 i0



π
2
e risolvendo il sistema cosı̀ ottenuto si trova:
V0
=
R
p
2
1+ω τ
tan ϕ = − ω τ
2
τ = L/R
Circuito RCL
V0 cos ωt − L
R
di Q
−
= Ri
dt C
V
di
d2 i
i
d
→ − ω V0 sin ωt = L 2 + + R
dt
dt
C
dt
Si cerca una soluzione del tipo i = i0 cos(ωt + ϕ):
− ω V0 sin ωt = − ω 2L i0 cos (ωt+ϕ) +
ω=
p
=
L
i0
cos (ωt+ϕ) − ω R i0 sin (ωt+ϕ)
C
Valutando questa espressione in ωt = 0 e ωt =


i0




C
π
2
e risolvendo il sistema cosı̀ ottenuto si trova:
V0
q
R2 + (1/ωC − ωL)2




 tan ϕ = 1/ωC − ωL
R
1/LC → risonanza : lo sfasamento ϕ si annulla e la corrente è massima ( i0 =
V0
R
)
d2 Q
1
dQ
V0 cos ωt − Q − L 2 = R
C
dt
dt
r
1
Risonanza per ω =
LC
F
m
k
L
C
V
Moto in un fluido viscoso senza attrito radente
R
Confronto con un modello meccanico
d2 x
dx
F0 cos ωt − kx − λ
=m 2
dt
dt
λ dx/dt : ATTRITO VISCOSO
r
k
Risonanza per ω =
m
In entrambi i casi, in assenza di effetti dissipativi (R = 0; λ = 0), il sistema inizialmente eccitato
prosegue indefinitamente a oscillare alla frequenza di risonanza,
senza che gli venga fornita energia dall’esterno (V = 0; F = 0).
Ricerca della frequenza di risonanza
Si utilizza la funzione X-Y dell’oscilloscopio per guardare V in funzione
p di VR :
si osserva un’ellisse, che degenera in un segmento quando ω = 1/LC
• Regolare i VOLT/DIV sui due canali in modo che l’asse maggiore dell’ellisse sia inclinato sullo
schermo di circa 45◦ per ottenere una sensibilità maggiore.
• Valutare se lo sfasamento intrinseco fra CH1 e CH2 produce un effetto non trascurabile,
scambiando fra loro i cavi collegati a questi due ingressi; eventualmente correggere la misura
facendo la media delle frequenze ottenute nelle due configurazioni.
Circuito RC con generatore a onda quadra
Per studiare il regime transitorio che si osserva in presenza di tensioni rapidamente variabili utilizziamo una
d.d.p. a onda quadra il cui periodo sia molto più lungo
della costante di tempo τ = RC del circuito.
V − VC = R i
→
dQ
Q
+R
=0
C
dt
V =
dQ
Q
+R
C
dt
Nella soluzione dell’equazione omogenea si considera
dipendente dal tempo la costante k:
Q(t)
→
=
V0
V
(eq. omogenea associata)
Q(t) = k(t) e−t/τ
R
0
C
Valutare il contributo
della resistenza interna del generatore
dk −t/τ 1
dQ
=
e
− k(t)e−t/τ
dt
dt
τ
C V + Ke−t/τ
Fronte di salita ( ↑ ): Q(0) = 0
Fronte di discesa ( ↓ ): Q(0) = V0C
VC = V0 (1 − e−t/τ )
VC = V0 e−t/τ
VR = V0 e−t/τ
VR = − V0 e−t/τ
Andamento della d.d.p. ai capi di resistenza e condensatore
V0
V0/2
0
-V0/2
-V0
Dalla misura di T1/2 (intervallo di tempo in cui il valore della tensione ai capi di condensatore o
resistenza passa da V0 a V0/2) si può ricavare la costante di tempo del circuito: τ = T 1/2 / ln 2
Andamento della d.d.p. ai capi del condensatore ...
V0
V0/2
0
-V0/2
-V0
... se il periodo dell’onda quadra è “troppo piccolo”
Circuito RL con generatore a onda quadra
Consideriamo ancora una tensione a onda quadra , il
cui periodo sia molto più lungo della costante di tempo
τ = L/R del circuito.
V − VL = R i
L
→
V =L
di
+Ri = 0
dt
di
+Ri
dt
R
V
L
Nella soluzione dell’equazione omogenea associata si
fa variare la costante k:
i(t) = k(t) e−t/τ
i(t)
→
=
dk −t/τ 1
di
=
e
− k(t)e−t/τ
dt
dt
τ
V
+ Ke−t/τ
R
Fronte di salita ( ↑ ): V = V0 per t > 0
Fronte di discesa ( ↓ ): V = 0 per t > 0
VL = V0 e−t/τ
VL = − V0 e−t/τ
VR = V0 (1 − e−t/τ )
VR = V0 e−t/τ
Andamento della d.d.p. ai capi di resistenza e induttanza
V0
V0/2
0
-V0/2
-V0
Come nel caso precedente, dalla misura di T1/2 si può ricavare la costante di tempo del circuito.