Precorso:parte 2
dott.Francesca De Mori
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
1
Come possiamo descrivere le grandezze fisiche?
VETTORI
Es. Velocita’
Caratterizzato da direzione orientata( direzione+verso), modulo( valore
numerico) e punto di applicazioneÆ VETTORE
Il vettore e’ rappresentato da :
r
v
SCALARI sono invece specificati da numero + unita’ di misura ( es massa, tempo,
volume). Puo’ essere positivo, negativo o nullo.
2
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Assi cartesiani
Servono a descrivere la posizione di
un punto nello spazio
1. Un punto di riferimento fisso O, l-origine
2. Un insieme di assi o direzioni specificate
3
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
COORDINATE POLARI PIANE
4
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
SOMMA DI VETTORI
y
r
r
r
r
C = A + B
r B
A r
C
x
C ≤ A + B
Un uomo si sposta 6m a est e 4 m a nord. Spostamento netto?
5
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
PROPRIETA’ COMMUTATIVA DELLA SOMMA
r
r
r
r
A +B =B +A
r
r
r
r
r
r
A + (B + C ) = (A + B ) + C
6
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OPPOSTO DI UN VETTORE A:
e’ definito come il vettore che sommato (vettorialmente) al vettore
A da’ zero per il vettore somma.
I vettori A e -A hanno stesso modulo, stessa direzione, ma verso
opposto
SOTTRAZIONE DI VETTORI:
r
r
r
r
A − B = A + ( −B )
7
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Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Moltiplichiamo il vettore A per uno scalare c positivo:
Otteniamo un vettore con stessa direzione e verso di A e modulo c volte quello
Di A
→
E se c e- negativo?
B
Prodotto di due vettori
θ
→
A
r r
prodotto _ scalare = A ⋅ B = AB cos ϑ
Il prodotto vettoriale – invece un vettore di modulo ABsinθ
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SOMMA DI VETTORI PER COMPONENTI
y
r
θ
Vx
r
r
vx + vy = v
r
Vy
v
x
vx =v cosθ
vy =v sinθ
tgθ=vy/vx
IDENTITA’ TRIGONOMETRICA : sin2θ + cos2θ =1
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y
r
r
D
60°
D2
r
30°
D1
x
Dx = D1x + D2 x
Dy = D1y + D2 y
La scelta degli assi coordinati e’ arbitraria Æ meglio scegliere uno degli assi
Con la stessa direzione di uno dei vettori del problema.
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I VERSORI
Vettori adimensionali di modulo unitario Æ Indicano una direzione orientata
ˆ
ˆ
ˆ
i , j ,k
Sono i versori degli assi cartesiani x,y,z
r
v = v x iˆ + v y jˆ + v z kˆ
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
12
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Un pony- express guida per 22km verso nord. Prosegue in direzione 60.0°
a sud rispetto a est per 48 km verso un’altra citta’.
Qual’e il vettore spostamento rispetto al punto di partenza?
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PROBLEM SOLVING
1. Tracciare il diagramma
2. Scegliere gli assi coordinati( se non dati nel
testo del problema)
3. Scomporre ogni vettore nelle sue componenti
4. Calcolate ogni componente
5. Sommate le componentiÆ vettore risultante
6. Trovate modulo e direzione del vettore
risultante
IL METODO DEL PARALLELOGRAMMA UTILE PER CONFERMA
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Un viaggio aereo e’ composto di 2 tratte( ci sono due scali).
La prima e’ verso est di 600 km, la seconda verso sud-est di 450 km e
La terza 50° a sud rispetto a ovest per 500 km.
Vettore spostamento netto dell’aereo rispetto al punto di partenza.
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In cinematica abbiamo introdotto 4 differenti vettori:
•Vettore posizione
•Vettore spostamento
•Vettore velocita’
•Vettore accelerazione
Una quaglia e’ osservata inizialmente nella posizione
5 secondi piu’ tardi si trova nella posizione
r
r
ri = (1m )iˆ + (2m ) jˆ
rf = ( −2m )iˆ + ( 4m ) jˆ
Qual’e’ la sua vel.media in questo intervallo di tempo?
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Precorso (seconda parte)
Cos’e’ la Dinamica?
Concetto di forza
Principi della Dinamica / Leggi di Newton
esercizi
Esempi di forze
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Che meccanismo causa la variazione del moto?
Dinamica
La forza è una grandezza vettoriale cioe’ caratterizzata da
una intensità (il modulo)
una direzione
un verso
Esse modificano lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme di un corpo.
Quindi producono un’accelerazione (effetto dinamico) anche se non sono a contatto del
corpo su cui agiscono; oppure una deformazione (effetto statico). Esempi: forza
gravitazionale (o forza peso), forza elastica(legge di Hooke), forze elettromagnetiche,
ecc...
Semplificando:
forze di contatto: esprimono risultato di contatto fisico tra corpi
forze a distanza: agiscono attraverso
lo spazio vuoto (campi di forze)
forza gravitazionale
forza elettrica
forza magnetica
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19
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Le interazioni fondamentali :
1) gravitazionale
interazione tra masse (es.: pianeti,stelle, galassie…);
forza attrattiva; raggio d’azione infinito
2) Elettromagnetica
interaz. tra cariche elettriche;
repulsiva ed attrattiva, raggio d’azione infinito;
ruolo fondamentale nella struttura atomi e molecole
processi chimici e biologici
3) interazione forte
interaz. tra “quarks”, a “corto raggio” (≈ 10-15 m);
Struttura dei nuclei atomici;processi di fissione e fusione nucleare
4) interazione debole
decadimenti radioattivi, dinamica stellare
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Leggi della dinamica(1)
Principio di inerzia
Ogni corpo mantiene il suo stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme se non e’ costretto a
modificare il suo stato per effetto di una forza
risultante non nulla.
Esperienza: un corpo in moto dopo un po’ si ferma.
Ma sulla Terra nessun corpo è isolato: c’è sempre attrito.
Riducendo l’attrito si prolunga il moto.
Se non ci fosse attrito il moto continuerebbe all’infinito.
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Sistemi di riferimento inerziali
La prima legge di Newton
non vale in tutti i sistemi di
riferimento
un sistema di riferimento è
inerziale se in esso vale
la prima legge di Newton
qualunque sistema di riferimento in moto con velocità costante
rispetto ad un riferimento inerziale e anch’esso inerziale
la
terra non è un sistema inerziale:
ac = 6 10-3 m/s2
accelerazione centripeta
verso il Sole (moto attorno al
sole)
ac = 3.4 10-2 m/s2
accelerazione centripeta
verso il centro della terra
(moto attorno all’asse terrestre)
sono accelerazioni piccole rispetto a g = 9.8 m/s2
⇒ si suppone che un sistema di riferimento vicino alla
superficie terrestre sia un riferimento inerziale
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Leggi della dinamica(2)
Seconda legge di Newton
L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza
risultante su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa
r
r
r
Fris = ΣF = ma
⎧ Σ Fx = m a x
⎪
⎨ ΣFy = m a y
⎪
⎩ Σ Fz = m a z
[N.B. si considerano solo le forze che agiscono sul corpo
non tutte le forze presenti nel problema!!]
un corpo è in equilibrio quando
la somma di tutte le forze agenti è nulla
Questo principio introduce il concetto di massa: una conseguenza del fatto che
l’effetto dinamico di forze diverse sullo stesso corpo produce accelerazioni
diverse, ma tali da avere un rapporto costante tra forza e accelerazione:
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F1/a1 = F2/a2 =....= costante = m
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Vale il principio di sovrapposizione delle forze (proprieta` additiva);
ΣFi = m Σai
pesoluna < pesoterra
• proprietà intrinseca di un corpo
massa
mluna = mterra
• indipendente da ciò che lo circonda
• indipendente dal metodo di misura
• grandezza scalare fondamentale
massa ≠ peso
• obbedisce alle regole di aritmetica
Nel S.I. il Kg e` l’unita` di massa e il Newton e` l’unita` delle forze:
1N = 1kg·1m/s2
Nel sistema cgs l’unita` derivata della forza e` la dina (1 N = 105 dine).
densità
densità =
In simboli
massa
volume
ρ= m/V
U.D.M. in S.I. kg/m3
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Esercizio di conversione di unità di misura
Densità
Densità dell’acqua:
dell’acqua:
3
-3
-6
3
11 g/cm
g/cm3== (10
(10-3 kg)/(10
kg)/(10-6 m3)
m3) == 10
103 kg/m3
kg/m3
-3
-3
3
-3
-3
== (10
kg)/(10
dm
)
=
(10-3 kg)/(10-3 dm3) = (10
(10-3 kg)/(10
kg)/(10-3 l)l) == 11 kg/l
kg/l
-3
3
-3
3
== (1
(1 g)/(10
g)/(10-3 dm
dm3)) == (1
(1 g)/(10
g)/(10-3 l)l) == 10
103 g/l
g/l
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Problema: un disco di massa 1Kg che scorre su una sup.orizzontale priva d’attrito
viene colpito contemp. con due bastoni che esercitano due forze parallele alla
superficie orizz., con direz. e verso in fig..Determinare l’accelerazione impressa al disco
se i modulo delle forze sono F1=6 N; F2=10 2 N
y
F2
45°
Suggerimento: scomporre in componenti
20°
F1
x
Che terza forza bisogna applicare al disco perche’ la sua accelerazione sia nulla?
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Leggi della dinamica (3)
Principio di azione e reazione
Se un corpo B esercita una forza su un corpo C, a sua
volta C esercita su B una forza uguale e contraria
FBC = - FCB
esempio:
libro B appoggiato
su cassetta C
FBC = forza esercitata
dal libro sulla cassetta
FCB = forza esercitata
dalla cassetta sul libro
le forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi:
non si combinano in una forza risultante;
non si elidono a vicenda.
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
27
esempio:
F = 36 N
mastronave = 11000 kg
muomo = 92 kg
36
= 0.0033 m / s 2
11000
− 36
=
= −0.39 m / s 2
92
aastronave =
auomo
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
C
D
Fapp=30 N
MC=5 kg
x
Fapp
C
MD = 10 kg
FDC
x
FCD
D
x 2) Francesca De Mori
Corso propedeutico di Fisica (Parte
29
Esercizi
1) Un corpo di massa 3.00 kg subisce un’accelerazione data da
r
a = (2.00iˆ + 5.00 jˆ)m / s 2
Deeterminare la forza che la provoca e il suo modulo.
2) Su un corpo di massa 2 kg inizialmente fermo nel punto P di coordinate
(-2.00m,4.00 m) agiscono due forze:
r
F1 = ( −6iˆ − 4 jˆ)N
r
F2 = ( −3iˆ + 7 jˆ)N
Determinare dopo t=10s
a)Le componenti della velocita’
b) La direzione del moto
c) Lo spostamento
d) Le coordinate della particella
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
30
3) Ho due forze (F1=20 N,F2=15N) applicate ad un corpo di massa m=5 kg
con direzioni e verso indicate in figura:
F2
F2
60°
m
m
F1
F1
Determinare modulo,direzione e verso della forza risultante e modulo,direzione
e verso dell’accelerazione
4) Tre forze:
r
F1 = ( −2.00iˆ + 2.00 jˆ)N
r
F2 = (5.00iˆ − 3.00 jˆ)N
r
F3 = ( −45.00iˆ)N
Agiscono su un corpo imprimendogli un’accel. a=3.75 m/s2
a)Qual’e’ la direzione e il verso dell’accel.?
b)Qual’e’ la massa del corpo?
c)Se il corpo e’ inizialmente fermo, qual’e’ la velocita’ dopo 10 s?
d) Quali sono le componenti della vel. dopo 10 s?
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
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Oltre al suo peso un oggetto di 2.8 kg e’ soggetto ad un’altra forza costante.
L’oggetto parte da fermo e in 1.20 s compie uno spostamento:
r
s = ( 4.2iˆ − 3.3 jˆ)m
Calcolare modulo, direzione e verso della forza costante applicata.
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Esempi di forze
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza gravitazionale
Tra due corpi di massa m1 e m2, posti a distanza r,
si esercita sempre (non solo sulla Terra! )
una forza di attrazione:
r
Gm1m2 r
F =−
r2 r
r
ATTRAZIONE
m1
→
r
m2
G = 6.67•10–11 N•m2/kg2 costante di gravitazione universale
- diretta lungo la congiungente tra i due corpi
- proporzionale alle due masse
- inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
se il secondo corpo è la terra:
diretta verso il centro della terra
r
r
Fg = m1 g
Forza Peso
g varia con la posizione geografica (~ 9.8 m/s2 sulla sup. della terra)
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diminuisce all’aumentare
dell’altezza
h
dalla
superficie
terrestre
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
La regione di spazio vicina alla superficie della Terra è sede di un campo di forza
gravitazionale: ogni corpo di massa m che si trova in quella regione risente di una
forza peso diretta verticalmente verso il centro della terra
L’intensità del campo gravitazionale si estende fino a infinito (ma varia come r-2).
Il corpo (nel nostro caso la Terra) crea un campo gravitaz. g. in tutto lo spazio
intorno ad esso.
Quanto vale la forza gravitazionale tra la Terra e
un corpo di massa m= 1 kg posto sulla superficie della Terra?
Dati Terra: MT = 5.98 •1024 kg, RT = 6.38 •106 m
mM
F = (massa di prova) * (campo g.) = G
r2
(
6 . 67 • 10 − 11 Nm 2 kg 2 ) • (1 kg ) • (5 . 98 • 10 24 kg
=
(6 . 38 • 10 6 m )2 x
= 9 . 799 N
y
r
r
r
P = −mg j = mg
m
F
n.b.:
pterra > pluna
2
gterra = 9.8 m / s ⇒
mterra = mluna
gluna = 1.7 m / s 2
)
R
MT
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
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Bilancia a bracci uguali
Bilancia a molla [dinamometro]
Il peso del corpo allunga
molla tarata in unità di massa o peso,
muovendo un indice su scala graduata
36
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esercizi
Moto di caduta di un grave( trascurando l’attrito dell’aria): sempre uniformemente
accelerato con accelerazione di modulo(g=9.8 m/s2).
Se m= 2kg in 10 s quanto spazio h percorre e che velocita’
Raggiunge se parte da fermo?
m
P
v = g t ; h = ½ g t2
MOTO UNIF. ACCELERATO
se m=2 Kg quanto tempo ci mette a raggiungere terra se
cade da altezza h=100 m ?
t = √ 2h/g
v = √ (v02+2as)=√ 2gh
E se invece il corpo di massa m viene lanciato verso l’alto con una velocita’
iniziale v0 =5 m/s a che altezza inizia a ricadere verso terra?
Qual’e’ la forza di gravita’ all’altezza max e quale a meta’ della stessa?
37
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Tensione
filo fissato ad un corpo soggetto ad una forza
il filo è sotto tensione
il filo esercita sul corpo una forza di trazione T diretta lungo il filo
PULEGGIA
Assumo: filo privo di massa(trascurabile rispetto alla massa del corpo)
e inestensibile. Esso e’ solo un collegamento tra i corpi.Æ La forza esercitata
a un capo del filo viene trasmessa inalterata lungo l’intera lunghezza.
38
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Reazioni vincolari
Se un corpo preme su una superficie:
la superficie si deforma (anche se apparentemente rigida)
Essa spinge il corpo con forza normale N
N è sempre perpendicolare alla superficie stessa
ΣFy = N − Fg = m ay
N − mg = m ay
N = mg + may = m ( g + ay )
ay = 0
⇒N
= mg
la forza normale bilancia il peso e determina l’equilibrio
La presenza di “vincoli” che limitano le possibilità di movimento di un corpo determina lo
sviluppo di forze dette “reazioni vincolari”, dipendenti dalle altre forze agenti sul corpo
(es., forza peso) e dal moto che il corpo è vincolato a compiere:
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
che differenza c’è tra forza normale e forza peso ?sono sempre uguali ?
y
In componenti:
N
N – Py = may=0
Px= max
x
In cui :
Px=mg sin q
Py=mg cos q
Dunque :
N = Py =mg cos q e ax =g sin q
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
• La reazione vincolare e’ la “reazione” alla
“azione” forza peso?
41
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esercizio
a
M
N
Calcolare la tensione T e l’accelerazione
del blocco di massa m e quella del blocco di
massa M appeso:
a 9se m=6 kg e M=2 kg
9se m=20kg e M=2 kg
9 se m=2 kg e M=20kg
T
[puleggia priva di massa e senza attrito,
corda insestensibile]
m
T
PM
M
Pm
y
N
x
a
a
T
x
DIAGRAMMI
DELLE FORZE
m
T
Pm
y
PM
42
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Quali sono modulo direzione e verso della forza T applicata
al blocco dalla corda e della forza normale N applicata
al blocco dal piano? [m1=10 kg]
Se la corda viene tagliata
il blocco scivola giu.
Con che accelerazione?
43
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Per che valore di m2 i blocchi rimangono fermi(equilibrio)?
44
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
mB
T
T
Fapp=50N
Fapp
mA
mB=15 kg
ma=10 kg
NB
PB
T
T
PA
Fapp - T =mA a
NA
Fapp
T =mB a
Fapp =(mA + mB )a
45
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Fd=300N
θ=5º
Fd
FFM
FFA
θ
M
θ
A
y
Fd
θ
FMF
x
FAF
46
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza elastica
legge di Hooke
esempio: molla
F = − k ( x − x0 )
osservabile x indica l’attuale estensione
della molla, x0 la sua lunghezza a riposo
COSTANTE ELASTICA
STATO DI RIPOSO
Principio di azione e reazione:
la forza esercitata dalla molla ha
modulo e direzione uguali, verso opposto
a quella da noi applicata per comprimerla
o estenderla
47
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza centripeta [moto circ. unif.]
Non e’ un nuovo tipo di forza
Moto circ.unif.: corpo con velocità
v costante in modulo
lungo traiettoria circolare
subisce accelerazione centripeta:
r
v2 R
Fc = −m
R R
esempio: disco su traiettoria circolare
r
R
r
v2 R
ac = −
R R
r
inerzia del disco: moto su linea retta
tensione del filo: mantiene
traiettoria circolare
2
v
T = Fc = mac = m
r
se rompo il filo il disco si muove lungo
linea retta tangente alla circonferenza
esempio: satellite attorno alla terra (Fr = mg)
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
48
Se ho una palla di 70 g legata all’estremita’ di una corda che ruota
di moto circ. uniforme su R=0.5 m compiendo 2 giri al secondo,
qual’e’ l’accelerazione centripeta?Qual’e’ la forza centripeta?
Quali sono direzione e verso delle stesse? Qual’e’ la velocita’
della palla?
Cosa cambia se R raddoppia?
49
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza di Attrito
Si oppone al moto
fd
N
fd
N
v
v
f s ≤ µs N
f d = µd N
µs coefficiente attrito statico
µd coefficiente attrito dinamico
µs, µd dipendono dai materiali a contatto [0.05 < µ < 1.5]
µd < µs
µs, µd non dipendono dall’area di contatto
fs, fd
parallele alla superficie e opposte al moto
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
50
1)Ho un blocco di 10 kg sul pavimento orizzontale per cui µs=0.3.
Determinare la forza di attrito(modulo direzione e verso) e l’eventuale acc.
se lo spingo con una forza parallela al pavimento di:
a) 0N
b) 10 N
c) 20 N
d) 30 N
e) 40 N
Se vogliamo tenere fermo un blocco premendolo con una forza F
perpendicolare alla parete senza che esso scivoli sotto l’effetto della
forza peso. Quale deve essere il rapporto tra la massa e la forza
applicata
Fapp
P
Fa
N
Fa
N
P
Fapp
51
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Se µs=0.4 fino a quale angolo α il blocco rimane fermo?
y
Fas
Fs,max=µsN
h
r
r
r
Fas + N + P = 0
P
α
d
x
Fas + 0 − mg sin α = 0
0 + N − mg cos α = 0
N = mg cos α
Fas = mg sin α
Fas
tgα =
≤ µs
N
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
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La slitta(m=100 kg) viene tirata su una sup.orizzontale
(coeff. d’attrito din tra pattini e neve µκ= 0.1 e φ=40°)
a velocita’ cost. Qual’è il modulo della tensione della fune
di traino?
53
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Ammettendo che il coeff. d’attrito sia cost. A che vel. stava andando l’auto
Al momento del bloccaggio delle ruote se lo spazio di frenata è stato di 290 m?
54
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Un’automobile di 1200 kg fa una curva di raggio 45 m.
Se il coefficiente di attrito statico tra i pneumatici e la strada e’ µs=0.82
qual’e’ il valore max per il modulo della velocita’ perche’ l’auto possa
Curvare senza slittare?
N
Fa
P
55
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esempio :curva di una strada
Una curva sopraelevata di raggio 190m è inclinata di un angolo tale da
permette di percorrerla senz'attrito alla velocità di 50km/h. Calcolare
l’angolo
N
Fc
Fa
P
N cos θ = P = mg
mv 2
N sin θ = Fc =
r
v2
tan θ =
rg
Θ = 5.92ο
Se un'automobile percorre questa curva a 100km/h, qual è il minimo
coefficiente di attrito tra pneumatici e strada perchè l'auto non slitti ?
N cos θ − f sin θ = mg
mv 2
N sin θ + f cos θ =
r
N cos θ − µN sin θ = mg
mv 2
N sin θ + µN cos θ =
r
Risolvere
rispetto a µ
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Centrifuga
Utilizza una forte acc.centripeta per svolgere compiti come la separazione
dei globuli bianchi e rossi del sangue dal siero,separare materiali con caratteristiche diverse etc..etc.
Essa puo’ produrre una acc.centripeta molte migliaia di volte quella di gravita’.
Le ultracentrifughe oltre 106 g.
Nel nostro esempio il rotore della centrifuga ruota a 50000 rpm(rivoluzioni
al minuto).Il bordo superiore di una provetta lunga 4 cm si trova a 6 cm dall’asse
di rotazione rispetto a cui la provetta e’ disposta perpendicolarmente. Il fondo
della provetta si trova a 10 cm dall’asse di rot. Calcolare in unita’ di g l’acc.centr.
all’estremita’ superiore e a quella inferiore della provetta.
v
ac =
R
ROTORE
2
A R
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Quantità di moto
Talvolta, anzichè la velocità, si preferisce usare
una grandezza ad essa collegata, l'impulso (o
quantità di moto), definito come p = mv.
Da questa definizione segue che, se la massa si
può ritenere costante, p è costante nel tempo se
F è nulla, in quanto:
F = ma = mdv/dt = dp/dt.
58
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Problem Solving
•
•
•
•
•
•
•
•
Pensate !
Tracciate un disegno del sistema
Isolate il corpo di cui volete analizzare il moto e disegnatene un
diagramma di corpo libero con tutte le forse esterne agenti su di esso.
Se il sistema comprende piu’ corpiÆ Un diagramma per ogni corpo
Scegliere il sistema di coordinate opportuno per ciascun corpo.
Determinare le componenti delle forze lungo gli assi
Elencare dati noti e incogniti. Decidete cosa vi serve per determinare le
incognite. ( fino ad ora abbiamo usato le leggi di Newton e equazioni di
cienmatica…piu’ in generale e’ utile capire se una o piu’ equazioni mettono
in relazione le incognite con i dati noti. Tali equazioni devono essere
applicabili al caso *ATTENTI AI FORMULARI*)( per avere soluzione
equazioni indipendenti = numero incognite)
Risolvere il problema utilizzando per quanto possibile I simboli
algebriciÆ solo alla fine sostituite i valori numerici
Usate le UDM vi servono anche per controllare la correttezza delle
equazioni.
Domandatevi se il risultato ottenuto e’ ragionevole.
59
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Precorso 2: parte seconda
Lavoro
Energia
Conservazione dell’energia totale
Energia cinetica e potenziale
Conservazione dell’energia meccanica
Forze conservative e dissipative
Potenza
esempio: corpo soggetto a forza variabile con la posizione
[forza di gravità, forza della molla] oppure traiettoria complicata
utilizzando le leggi di Newton non posso
calcolare la velocità del corpo in fondo alla
pista, pur conoscendo la velocità iniziale:
devo conoscere nel dettaglio la traiettoria:
molto complicato!!!
Scorciatoia: concetto di energia/lavoro
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
60
Lavoro (forza cost.)
Il lavoro L è una grandezza scalare, prodotto scalare dei
due vettori forza F e spostamento s, ossia L = Fs cosθ, il
cui segno è dato dal segno di cosθ. Si ha L = 0 per θ = π/2:
il lavoro è nullo quando F e s sono ortogonali.
→
F
L’unità di misura del lavoro è il joule
1J = 1N·1m = 105 dine·100 cm = 107 erg
LAB = ∑ Fi ∆si
lavoro: energia trasferita a un corpo
o da un corpo per mezzo di una forza
r lavoro > 0
cedo energia
r lavoro < 0
prelevo energia
α
→
s
F(s)
F
Camminando con una valigia in mano:
in piano Æ L=0
∆S
in salita Æ L<0
in discesa Æ L>0 Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
s
61
“Lavoro” compiuto da una forza :
v(t3)
v(t2 )
ds
v(t 1)
m
A
lavoro infinitesimo : dL
lavoro da A a B :
L AB
Esempio:
B
ϑ
F
r
≡ F ⋅ d s = Fds
≡
lavoro della forza d’attrito dinamico:
r
ux
v
A
∆s
r
B
∫A dL
L
attr
AB
B
∫A F
=
≡
cos ϑ
B
∫A F
r
r
attr
⋅d s
r
⋅d s
r
=
r
ˆ
= − µ D mg i ⋅ ∆ s AB = − µ D mg ∆ s AB
B
x
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
62
Fel = −kx
Fapp = kx
F(x)
1
L = kx 2
2
kx
area = L
x
E’ il lavoro fatto per allungare una molla di x. Si puo’ dimostrare che per
comprimere una molla di x il lavoro e’ lo stesso
63
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
r
r
forza F(x) varia con la posizione x
si ha spostamento da xi a xf
suddivido il percorso in
∆x piccoli, così che F(x) = costante in ∆x
= valore medio di F(x) in ∆x
∆Lj = Fj ∆x
r
espressione approssimata del lavoro:
L = ∑ ∆Lj = ∑ Fj ∆x
r
x
risultato esatto:
L = lim ∑ Fj ∆x = ∫ F (x ) dx
∆x → 0
[
]
f
xi
Corso =
propedeutico
di Fisicadalla
(Parte curva
2) Francesca
Morixi e xf
lavoro
area sottesa
F(x)Detra
64
lavoro fatto dalla forza peso [ in salita ]:
r r
Lg = Fg ⋅ s = mg s cos(180 0 ) = −mg s
dopo avere raggiunto la
massima elevazione il corpo cade:
lavoro fatto dalla forza peso [ in discesa ]:
r r
Lg = Fg ⋅ s = mg s cos( 0 0 ) = + mg s
Il lavoro svolto da una forzasu un corpo si puo’ calcolare anche se non c’e’
relazione causale con lo spostamento dello stesso
65
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia
L’Energia non si puo’ ne’ creare ne’ distruggere.
L’energia si conserva. Essa puo’ essere essere trasferita e
Trasformata(Lavoro,onde meccaniche, onde elettromagnetiche, calore etc..)
- cinetica
stessa unità di misura
del lavoro: joule
-
potenziale gravità
potenziale elastica
potenziale elettrica
termica (calore)
chimica
nucleare
...............
66
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia cinetica
Ogni punto materiale in movimento è dotato di energia in base alla sua
massa e alla sua velocita’
Energia cinetica: T = ½ mv2
[N.B.
più un corpo è veloce, maggiore è la sua energia
r corpo a riposo ha energia cinetica nulla ]
r
67
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Da L = F·s = ma·s si ricava(forza cost., moto unif.accel.)
ma (vf2 − vi2 ) 1
L=
= m (vf2 − vi2 ) =Tf −Ti
2a
2
Teorema dell’energia cinetica( o delle forze vive)
L = ∆T = Tff-Tii = ½ mv22ff – ½ mv22ii
Un lavoro svolto da una forza nello spostare un corpo puntiforme
è pari alla variazione di energia cinetica del corpo(sia per forza costate
che variabile)
N.B. il teorema dell’energia cinetica è correlato ad una variazione del
modulo della velocità non ad una variazione del vettore velocità
⇒ risolvo molti problemi maneggiando solo grandezze scalari
Abbiamo un sistema non isolatoÆ
propedeutico
di Fisica
2) Francesca
De Mori
il lavoro Corso
trasferisce
energia
tra(Parte
sistema
e ambiente.
68
Per accelerare un’auto da ferma ad una velocita’ v e’ necessario un
lavoro L1. Il lavoro necessario per accelerare l’auto da v a 2v e’ L2.
Quale delle affermazioni e’ giusta?
•L2= L1
•L2 =2L1
•L2 =3L1
69
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito
la reazione vincolare non compie lavoro
Ν
dalla legge di Newton:
a
d 2x (t )
a=
= g sinϑ
2
dt
0
mg
ϑ
l
x0 = 0,v0 = 0
condizioni iniziali:
Integrando l’equazione
del moto:
x
v (t ) = g sin ϑ t
x (t ) =
1
g sin ϑ t 2 , x (tf ) ≡ l ⇒ tf =
2
2l
g sin ϑ
v f ≡ v (tf ) = g sin ϑ tf = 2 l g sin ϑ
Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato:
=0
∆T =T
f
−T
v
f
=
i
1
= mv f2 = Li → f = mg sin ϑ l
2
2 l g sin
ϑ
lavoro della forza peso
70
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Richiamo :
Si compie piu’ lavoro sollevando un pacco da terra verticalmente e posandolo
sul pianale di un camion o spingendolo lungo una rampa priva di attrito?
RAMPA
Li →f
s
h
= mg sin ϑ l = mg ( )l = mgh
l
h
y
Fas
l
P
θ
SOLLEVAMENTO VERTICALE
d
Li → f = mgh
Che giovamento ne traggo?
Perche’ le strade di montagna vengono fatte con i tornanti?
Il lavoro svolto da una forza su un corpo si puo’ calcolare anche se non c’e’
propedeutico
di Fisica
(Parte
2) Francesca De Mori
relazione causale Corso
con lo
spostamento
dello
stesso
71
Forze conservative
Si tratta di forze per le quali il lavoro compiuto per spostare un
corpo da un punto A ad un punto B (o viceversa) non dipende dal
percorso effettuato.
Equivalentemente si puo’ dire che il lavoro di una forza
conservativa su un corpo che si muove lungo un percorso chiuso e’
nullo.
(1)
Cio’ implica l’esistenza di un’energia potenziale U.
A
(3) (2)
Sono conservative, per esempio le forze elastiche (F = - kx, U = ½kx2), le forze gravitazionali (F = mg, U = mgh), e altre.
B
72
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia potenziale
Per un campo di forza conservativo, si definisce l’“energia potenziale”
una funzione dei punti dello spazio tale che su un qualunque percorso
LAB = -∆UAB
W
≡ W (x A , y A , z A )
A
ˆ
rA
k
A
iˆ
B
rB
jˆ
o
F( r )
l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria
(= al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)
U
ossia:
U
r
AB
r
r
r
( r ) ≡ U ( rB ) − U ( rA ) ≡ − LA → B
( rB ) ≡ U
r
( rA ) − U
A → B
= U
r
( rA ) −
B
∫
A
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
F
r
r
r
(r ) ⋅ d s
73
Energia potenziale
Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale”
quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due
qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza
del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso):
B
r r
r
AB
( r ) ≡ W ( rB ) − W ( rA ) ≡ − LA → B = − F ( r ) ⋅ d s
∆W
A
B
r r
r
r
r
r
ossia:W ( rB ) ≡ W ( rA ) − LA → B = W ( rA ) − ∫ F ( r ) ⋅ d s
r
r
r
∫
A
W
≡ W (x A , y A , z A )
A
ˆ
r
k
A
iˆ
A
o
jˆ
L=-DU
rB
F( r )
l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria
74
(= al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia potenziale gravitazionale
Lavoro compiuto
da/contro la forza peso
• nella caduta da A a B
• nel sollevamento da B a A
F = mg || s=h=hA-hB
Æ L = mg•(hA-hB)
linee di forza
A
z
hA
x
y
→
→
p = mg
suolo
B
Energia potenziale gravitazionale:
U = mgh = mghA-mghB
h = hA–hB
hB
Dipende solo dall’altezza
h rispetto al suolo
(coord.z), non dalle coord.
orizzontali x e y
L’energia potenziale è relativa a un punto di riferimento arbitrario
(dipende dal “dislivello” tra due punti, non dall’altezza assoluta)
75
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica”
Forza elastica:
r
F ( x ) = −kx iˆ
“costante elastica”: [k] = N / m
0.
x
iˆ
Lavoro:
1
L12 = ∫ F ( x ) ⋅ d s = − ∫ kxdx = − kx
2
1
1
2
r
r
2
x2
2
x1
1
= k ( x 12 − x 22 )
2
Energia potenziale:
1
∆U ≡ U (x 2 ) − U (x 1 ) ≡ −L12 = k (x 22 − x 12 )
2
1
2
2
U
(
x
)
=
U
(
x
)
+
k
(
x
−
x
)
⇒
1
1
2
1
U ( x ) = kx 2
Scelto x 1= 0. e posto W ( x = 0 .) ≡ 0 .
⇒
2
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
76
lavoro fatto dalla molla tra le posizioni xi ed xf:
xf
Fapp
1
1
2
Lm = ∫ ( −k x ) dx = kxi − kxf2
2
2
x
i
[se xi = xf ⇒ Lm = 0 ]
lavoro fatto da forza applicata Fapp tra
le posizioni 0 ed xa:
r
r
Fapp = −Fm = −( −kx ) = kx
Lapp
1
= ∫ (k x ) dx = kx a2
2
0
xa
lavoro uguale e contrario
alla molla !!!
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
77
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
PER UN SISTEMA ISOLATO( per forze conserv.)
l’energia meccanica di un sistema e’ la somma
dell’energia cinetica e di quella potenziale
Consideriamo un sistema isolato. Poichè il lavoro compiuto da forze
conservative è L = U1 – U2, dal teorema delle forze vive si ricava
∆U + ∆K = 0 per cui:
∆U + ∆T = 0 → ∆(U +T ) = 0
U +T = E M → ∆E = 0 → E M = costante
Nella pratica, sono però anche presenti sempre forze non conservative (per es.
attrito, lavoro fisiologico, calore, ecc...).Sono chiamate forze dissipative.
78
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
ESEMPIO
Trascurando gli attriti, l’energia totale (meccanica) è costante:
Etot = Tin + Uin = Tfin + Ufin
m
all’inizio:
alla fine:
Tin=0,
Tfin= ½mv2,
Uin=mgh
Ufin=0
h
Etot = mgh = ½mv2
altezza iniziale
h = v2/2g
velocita’ finale
v = 2gh
(indipendenti dalla massa)
79
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Potenza istantanea:
lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante:
dL (t )
P (t ) ≡
dt
Unità di misura (S.I.) :
[P] = [W] / [t] = J / s = W (“Watt”)
Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v,
la potenza sviluppata dalla forza F è:
r
r
F (t ) ⋅ d s
P (t ) ≡
dt
Potenza media:
r
r
= F (t ) ⋅ v (t )
< P
>≡
L
∆ t
lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato.
Altre unità di misura di uso pratico:
Lavoro:
KWh ≡ 1KW ⋅ 3600 s = 3 .6 ⋅ 10 6 J “chilowattora”
Potenza:
h . p . ≡ 746 W
“cavallo vapore”
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
80
esempio: potenza erogata da
motore ascensore
La massa dell’ascensore e’ di 1 t e quella del max carico di 800 kg.
Si ha una forza ritardante costante di 4kN.
Quale deve essere la minima potenza erogata dal motore per far salire
l’ascensore con vel. cost di 3.00 m/s?
Quale potenza deve fornire il motore in ogni istante se e’ progettato per
fornire un’accelerazione verso l’alto di 1 m/s2?
81
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Es.: ciclo completo di oscill.del
pendolo
E mecc ≡ K + U = costante
82
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
θ
l
P
2
x
d
x
2
Px = mg sin ϑ ≈ mgϑ = mg = mω x = −ma = −m
l
dt 2
d 2x
2
=
−
ω
x
2
dt
x = A cos(ωt + ϕ )
ossia un moto armonico di periodo:
T = 2π l g
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
83
Problem solving
• Definire il sistema
• Se un oggetto che cambia quota scegliere una posizione di
riferimento(zero) dell’energia potenziale.
• Per ogni forza conservativa determinare l’energia potenziale
nello stato iniziale e quella nello stato finale
• Determinare eventuali forze non conservative presenti
• Determinare l’energia cinetica del sistema(per noi sara’ di solito
un oggetto) nello stato iniziale e nello stato finale
• Se le forze agenti sul sistema sono solo conservativeÆ utilizzate
la conservazione dell’energia meccanica dopo averla calcolata
• Se ci sono forze non conservative Æ La differenza tra l’energia
meccanica iniziale e quella finale e’ uguale all’energia trasformata
in o da energia interna dalle forze non conservative
84
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Un corpo puntiforme di massa m=300 g e’ attaccato ad un’estremita’ ad
un filo inestensibile di lunghezza l=50 cm e massa trascurabile, la cui altra
estremita’ e’ fissa. Il filo forma un angolo α =30° con la verticale. Il corpo e’
Tenuto fermo in questa posizione da una forza orizzontale F.
Calcolare il modulo di F
se il corpo viene lasciato andare, calcolare la tensione del filo nel momento
in cui il corpo passa per la quota piu’ bassa della sua traiettoria.
Un blocco di 2 kg scivola su una sup. orizz. priva di attrito finche’
incontra una molla con K=955 N/m. Il blocco si ferma dopo aver compresso
la molla di 4 cm.
Trovare la vel. iniziale del corpo e trovare la compressione max se la vel.
iniziale fosse stata 0.5 m/s
85
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Un ragazzo traina una slitta di m=6.4 kg con un inclinazione della corda di
Φ=40° e il modulo della forza con cui traina la slitta e’ 10 N. Non c’e’ attrito.
Qual’e’ il lavoro fatto dal ragazzo e la velocita’ finale della slitta dopo che ha
percorso 2m se la vel. Iniziale era 0.5 m/s?
Cosa succede se vi e’ attrito con coeff. d’attrito dinamico 0.1?
e se la forza d’attrito e’ costante e uguale a 50 N con quale forza
bisogna trainare la slitta per avere la stessa vel.finale ottenuta
senza attrito?
86
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Due forze F1 ed F2 agiscono su una cassa che scivola verso destra su un pavimento
privo di attrito. La forza F1 è orizzontale e ha intensità 2.0 N.
La forza F2 forma un angolo di 60° rispetto al piano orizzontale e
ha intensità 4.0 N.
La velocità v della scatola in un certo istante è 3.0 m/s.
a) quale è la potenza dovuta a ciascuna delle due forze in quell’istante e
quanto vale la potenza complessiva ?
La potenza complessiva è costante ?
b) Se il modulo di F2 fosse invece 6.0 N, quale sarebbe la potenza dovuta
a ciascuna forza e quale la potenza complessiva ?
La potenza complessiva è costante ?
87
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Calcolate la potenza necessaria ad un’automobile di 1.4 t nelle
Seguenti circostanze:
a) L’automobile sale una collina di 10° di pendenza a vel. cost. di 80 Km/h
b) L’auto accelera in un sorpasso su una strada pianeggiante da 90 a 110 km/h
in 6 s.
Assumete che le forze ritardanti agenti sull’auto assommino a F=700 N
in entrambe le situazioni
Il cavo di un ascensore si spezza quando la cabina di 920 kg si trova 28 m
sopra una grande molla(k=2.2*105 N/m)posizionata al fondo della tromba
dell’ascensore.
Calcolate:
a) Il lavoro compiuto dalla gravita’ sull’ascensore prima che colpisca la molla
b) La velocita’ dell’ascensore appena prima di colpire la molla
c) Di quanto la molla si comprime.
88
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esercizi supplementari
Ho un corpo di massa 3 kg attaccato ad una molla fissata ad un muro,
che ha costante elastica k=640 N/m.Esso viene spinto via dalla molla e
si distacca da essa quando essa ha raggiunto la sua posizione di riposo.
A questo punto il corpo viaggia su un piano con coeff. d’attrito 0.2 fino
a fermarsi dopo aver percorso 700 cm.
a) Quanta energia mecc. e’ stata dissipata in energia termica e qual’e’
la massima en. cin. del blocco?
b)Di quanto era compressa la molla inizialmente?
NO ATTRITO
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Un corpo di massa 2 kg si muove su una sup. Orizzontale e va a sbattere
su una molla orizzontale (k=300 N/m) comprimendola fino a 7 cm.
.Il coeff. d’attrito tra blocco e sup. di scorrimento e’ 0.3 .
a) Quanto lavoro svolge la molla per arrestare il blocco?
b) Quanta en. meccanica e’ dissipata in en termica?
c) Qual’era la vel. del blocco quando ha urtato la molla?
Quanto vale il lavoro fatto da una forza :
Applicata ad un corpo che si muove da:
r
a
r = ( −4iˆ − 3 jˆ)m
r
r
F = ((2x )iˆ + 3 jˆ)N
ri = (2iˆ + 3 jˆ)m
f
90
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
