Esercizio 1
Due masse m = 10 kg e M = 20 kg sono unite da un’asta di massa tascurabile e si trovano su un piano
inclinato di un angolo α = 30◦ e che presenta un coefficiente di attrito dinamico µd1 = 0.2 con la massa m
e µd2 = 0.1 con M . Calcolare la tensione dell’asta quando il sistema scivola lungo il piano.
Soluzione
Facendo riferimento alla figura, possiamo dividere il sistema in due sotto-sistemi, dove l’asta esercita una
forza T⃗ sulla massa a “monte” e una forza −T⃗ sulla massa a “valle” (scelta logica, visti i valori dei coefficienti
di attrito, il segno del risultato ci dirà se l’ipotesi era giusta!).
y
N1
fa1
m
T
x
T
N2
mg
fa2
M
Mg
α
!
A conti fatti:
a=
!
massa m lungo ŷ N1 = mg cos α
massa m lungo x̂ ma = T + mg sin θ − fa1 = T + mg sin α − µd1 mg cos α
massa M lungo ŷ N2 = M g cos α
massa M lungo x̂ M a = M g sin θ − T − fa2 = M g sin α − T − µd2 M g cos α
T
M
✘
✘
+ g sin α − µd1 g cos α → T
+ M✘
g✘
sin✘α − µd1 M g cos α = ✘
M✘
g✘
sin✘α − T − µd2 M g cos α
m
m ✘
"
#
M
M g cos α(µd1 − µd2 )
$
%
T 1+
= M g cos α(µd1 − µd2 ) → T =
≃ 5.7 N
m
1+ M
m
Il segno positivo del risultato conferma la correttezza dell’ipotesi inziale circa l’azione esercitata dall’asta!
Esercizio 2
Considerare la situazione in figura.
k
y
M
x
θ
Il corpo di massa M = 10 kg è in equilibrio sul piano inclinato (angolo θ = 30◦ ) in presenza di un coefficiente
di attrito statico µs = 0.3. Si misura un allungamento della molla di costante k = 300 N/m rispetto alla
sua posizione di equilibrio pari a ∆x = 10 cm. Determinare la forza di attrito statico f⃗s
Cosa succede se il piano viene successivamente inclinato di un nuovo angolo β = 45◦ ? Determinare
l’accelerazione iniziale della massa M se il coefficiente di attrito dinamico è µd = 0.2.
Soluzione
Analizziamo la situazione iniziale di equilibrio. Se la componente del peso tangente al piano supera la forza
elastica, la forza di attrito si disporrà concordemente alla forza elastica, altrimenti il contrario!
|M g sin θ| = 49 N ;
|kx| = 30 N
Pertanto:
fs = −10x̂ N
→
M g sin θ > Fel
Il risultato ha senso fisico in quanto la forza di attrito statico massima fsmax = µs M g cos θ ≃ 25.5 N è
maggiore di fs .
Quando il piano viene inclinato del nuovo angolo β = 45◦ , la nuova forza di attrito statico richiesta per
mantenere il sistema in equilibrio diventa:
fs′ = |M g sin β − kx| = 39.3 N
ma la forza di attrito statica massima in queste condizioni è divenuta fsmax = µs M g cos β = 20.8 N , pertanto
il sistema accelera verso il basso!
Scriviamo l’equazione della dinamica all’istante iniziale del moto (allungamento della molla pari a x):
M a = M g sin β − kx − µd M g cos β
→
a = (sin β − µd cos β)g −
k
x ≃ 2.54 m/s2
M
Esercizio 3
Un punto materiale di massa m400 g è collegato a due molle con costanti elastiche k1 = 20 N/m e k2 = 30
N/m, come mostrato in figura. Calcolare il periodo delle oscillazioni armoniche del punto.
k1
k2
m
Soluzione
Supponiamo di spostare dalla posizione di equilibrio il sistema, esercitando una forza F⃗ che produce uno
spostamento iniziale x0 . Sotto l’azione della forza F⃗ , ciascuna delle due molle reagisce con una elongazione
differente, in pratica:
⎧
F
⎪
⎪
F − k1 x1 = 0 → x1 =
⎪
⎪
⎪
k
1
⎪
⎪
⎪
F
⎨
F − k2 x2 = 0 → x2 =
k2
⎪
⎪
F
F
⎪
⎪
x + x2 = x0 →
+
= x0
⎪
⎪
⎪ 1
k1 k2
⎪
⎩
Possiamo allora immaginare di sostituire al sistema delle due molle in esame, una singola molla “equivalente”,
con una costante elastica keq tale percui F − keq x0 = 0, avremo pertanto:
F
F
F
+
=
k1 k2
keq
→
1
1
1
+
=
k1 k2
keq
→
keq =
k1 k2
= 12 N/m
k1 + k2
A questo punto possiamo studiare il moto del sistema equivalente. Una volta in moto avremo:
*
keq
= 5.48 rad/s
ma = mẍ = −keq x → ω =
m
T =
2π
= 1.15 s
ω
Esercizio 4
Un punto materiale di massa m = 400 g è collegato a due molle con costanti elastiche k1 = 20 N/m e k2 = 30
N/m, come mostrato in figura. Calcolare il periodo delle oscillazioni armoniche del punto.
k1
m
k2
2
Soluzione
Supponiamo di spostare dalla posizione di equilibrio il sistema, esercitando una forza F⃗ che produce uno
⃗ , l’allungamento è uguale per le due molle, che quindi
spostamento iniziale x0 . Sotto l’azione della forza F
⃗
si divideranno la forza F in proporzione alla propria costante elastica, avremo pertanto
⎧
⎨ F1 − k1 x = 0 → F1 = k1 x
F − k2 x = 0 → F2 = k2 x
⎩ 2
F1 + F2 = F → k1 x + k2 x = keq x → keq = k1 + k2 = 50 N/m
A questo punto possiamo studiare il moto del sistema equivalente. Una volta in moto avremo:
*
keq
ma = mẍ = −keq x → ω =
= 11.2 rad/s
m
T =
2π
= 0.56 s
ω
Esercizio 5
Considerare il sistema di molle in figura. Fare una stima ragionata (risultato approssimato!) della costante
elastica equivalente.
k1=1000 N/m
k3=50 N/m
m
k4=1500 N/m
k2=5 N/m
Quanto vale la costante elastica equivalente (valore esatto)?
Soluzione
Il sistema può essere visto come una coppia di molle in parallelo (k1 e k2 ), in serie ad una coppia di molle
in serie (k3 e k4 ). Visto che k1 ≫ k2 , la rigidità equivalente di questo sistema in parallelo è k12 ≃ k1 . Per la
altre due molle, visto che k4 ≪ k3 , la rigidità equivalente di questo sistema in serie è k34 ≃ k4 .
A questo punto ho la serie di k12 e k34 , con k34 ≪ k12 , concludo pertanto che keq ≈ k34 ≃ 50 N/m.
Segue il conto esatto:
k3 k4
k12 = k1 + k2 ;
k34 =
k3 + k4
keq
k12 k34
=
=
k12 + k34
k3 k4
k3 + k4
≃ 46.2 N/m
k3 k4
k1 + k2 +
k3 + k4
(k1 + k2 )
Come si può notare, la nostra stima (fatta senza svolgere alcun calcolo) in questo caso era corretta entro il
10% di errore! Ovviamente, questo tipo calcoli approssimati sono tanto più vicini al valore esatto, tanto più
è grande la sproporzione di valori di rigidità delle molle poste in serie e poste in parallelo.
Esercizio 6
Un blocco di massa m1 = 5 kg è appoggiato sopra ad un blocco di massa m2 = 10 kg. Una forza orizzontale
⃗ = 45 N è applicata al blocco m2 , mentre il blocco m1 è legato alla parete, come mostrato in
costante F
figura. Il coefficiente di attrito dinamico tra tutte le superfici vale µd = 0.2. Si determinino la tensione T
della fune che lega il corpo m1 alla parete e l’accelerazione a del corpo m2 . (7 punti)
3
m1
m2
fad1
fad2
F
m1g
m2 N2
T
F
N1
m1 fad1
m1g
m2g
Soluzione
Disegnamo il diagramma di corpo libero di ciascuna delle due masse.
m2 a = F − µd (m1 + m2 )g − µd m1 g −→ a =
F − µd (2m1 + m2 )g
= 0.58 m/s2
m2
La tensione della fune si ricava dall’equazione di equilibrio per il corpo m1 :
T = µd m1 g = 9.8 N
4
