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propagazione degli errori1.doc
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Titolo :
lucidi e diagrammi di flusso su statisticas errori
Andrea Zucchini
Propagazione degli errori
Misure dirette utilizzate per il calcolo della misura indiretta X:
a = ( a ± Δa )
b = ( b ± Δb )
Il calcolo dell’errore assoluto X ( espresso nella stessa unità di misura della
grandezza X ) da associare ad una misura dipende dal tipo di operazione
utilizzato per il calcolo della misura indiretta X.
Se X è calcolato così
X =a+b
X =a−b
si calcola direttamente l’errore
assoluto X:
ΔX = Δa + Δb
X = a⋅b
a
X =
b
il calcolo dell’errore assoluto si divide
in 2 fasi:
ΔX
1) si calcola l’errore relativo
X
come somma degli errori relativi
sulle misure dirette a e b:
ΔX Δa Δb
=
+
X
a
b
2) calcolo X dal prodotto della
misura X e del suo errore relativo
ΔX
X
⎛ ΔX ⎞
⎟⋅ X
ΔX = ⎜
⎝ X ⎠
Se X è calcolato così
1
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Andrea Zucchini
inizio
Operazioni per
lo svolgimento
di una misura
scelgo il
metodo di misura
No
valuto portata sensibilità
precisione dello strumento
effettuo una piccola
serie di misure
(3o4)
effettuo una
serie di misure
calcolo la media
dei dati senza
approssimare
Le misure si
ripetono ?
No
Sì
semidispersione
x=sensibilità
Sì
Calcolo
1
Quanti
calcolo la
semidispersione
senza approssimare
3
2
X si valuta con
una singola misura
x=
68.3 %
x= x
95.5 %
x= x
99.3 %
x=semidispersione
approssimo l'errore
assoluto ad una cifra
significativa
approssimo la media
alla stessa cifra
significativa dell'errore
propongo il risultato
nella forma
(X X)
fine
2
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Andrea Zucchini
Come si approssimano misura ed errore assoluto già calcolati ?
Si parte
sempre
approssimando
l'errore assoluto !
Individuo la cifra più
significativa dell'errore assoluto
approssimo l'errore assoluto
alla cifra più significativa
Approssimo la misura alla stessa
cifra significativa dell'errore
assoluto
Esempio:
X=521.326589 m
ΔX=0.0125486 m
cifra più significativa
dell’errore assoluto
approssimo
ΔX=0.0125486 m
X=521.326589 m
ΔX = 0.01 m
approssimo
X = 521.33 m
errore approssimato
misura
approssimata
corrispondente cifra
significativa nella misura
X = ( 521.33 ± 0.01 ) m
risultato correttamente approssimato
3
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Andrea Zucchini
Stati: modi possibili in cui si possono presentare sistemi fisici
Frequenza n : numero di volte in cui si presenta un evento
Frequenza relativa n/N: rapporto fra numero n di volte in cui si presenta un
evento e totale N di eventi valutati.
Quando N→∞ la frequenza relativa tende alla probabilità P
Somme di probabilità: se si deve determinare la probabilità del verificarsi di più di
un evento e gli eventi sono indipendenti ( ovvero il verificarsi di uno non influenza
il verificarsi degli altri )
P( A o B )=P(A) + P(B)
Esempio: la probabilità dell’uscita di un 3 o di un 4 in un lancio di un dado P( 3 o
4 )=P(3)+P(4)=1/6+1/6=1/3.
Se valutiamo la probabilità di più eventi non indipendenti:
P( A o B )=P(A) + P(B) - P( A
B)
Esempio: calcolare la probabilità di estrarre una fiori o un Re da un mazzo da 52:
P(A)=13/52
Prob. carta fiori (13) sul totale (52)
P(B)=4/52
Prob. Re (4) sul totale (52)
P( A
B)=1/52Prob. Re di fiori (1) sul totale (52)
P( A o B )=13/52+4/52-1/52=16/52
Insieme di fiori
insieme dei Re
10
9
K quadri
4
J
2
1
5
Q
K fiori
K picche
7
3
8
6
K cuori
4
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Andrea Zucchini
Best-fit
A volte i dati non mostrano relazione fra
ascisse ed ordinate; si distribuiscono in
modo uniforme sul piano
In altri casi i dati indicano una relazione
fra i valori in ascissa e quelli in ordinata;
maggior numero di dati indica con più
precisione la relazione.
10
8
6
4
2
14
0
12
0
10
2
4
6
8
10
8
6
4
2
0
-2 0
2
4
6
8
10
-4
-6
5
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Andrea Zucchini
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
-5
-10
15
15
10
10
5
5
0
0
0
2
4
6
8
10
-5
-5
-10
-10
-15
0
2
4
6
8
10
6
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lucidi e diagrammi di flusso su statisticas errori
Andrea Zucchini
Potendo individuare la retta estrapolante, si possono stimare valori presunti di y (
pur non misurandoli ! ) sulla base del calcolo.
Nella figura che segue si noti che dovendo valutare a x 13 NON corrisponde
certamente y 3 ( il punto è lontanissimo dalla retta ), mentre per a x 14 ( sulla
retta estrapolante ) y 21.
Si deve comunque tenere in considerazione che per valori lontani dai valori
misurati l’andamento della funzione potrebbe essere diverso e non rispettare la
retta interpolante; bisogna in sostanza cercare di conoscere o di verificare il
campo di validità della relazione trovata.
25
20
retta estrapolante
15
10
5
Errato !
0
-5 0
5
10
15
-10
-15
N
m in im o = ∑ ( y i − f (x i ))2
i =1
dove
⎧a ⋅ x i
⎪a ⋅ x + b
i
⎪
⎪a ⋅ x i 2 + b ⋅ x i + c
⎪
f (x i ) = ⎨a ⋅ x i 3 + b ⋅ x i 2 + c ⋅ x i + d
⎪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎪
x)
( x − ⎪
−
1
2 ⋅σ
⋅e
⎪
⎩σ ⋅ 2 ⋅ π
2
i
2
7
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Andrea Zucchini
Non si devono mai trarre conclusioni affrettate parlando di estrapolazioni; nella
figura successiva si possono notare pochi dati apparentemente compatibili con
una estrapolazione di tipo lineare, mentre la figura successiva mostra un
campionamento migliore della popolazione.
L’approssimazione migliore è di tipo quadratico ( parabola )
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
0
10
2
4
6
8
10
La figura seguente mette in risalto a parità di ascissa la differenza di valutazione
dell’ordinata nei 2 casi considerati ( approssimazioni lineare e quadratica ).
Mentre la lineare fornisce un valore di poco superiore a 250, con la quadratica si
finisce oltre quota 350.
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
8
