Corso di Analisi Matematica - Calcolo

Corso di Analisi Matematica
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
1 / 41
1
Derivata di una funzione
2
Punti di non derivabilità
3
Regole di calcolo delle derivate
4
Il teorema del valor medio e le sue conseguenze
5
Teorema di de l’Hôpital
6
Limite della derivata e derivabilità
7
Derivata seconda, concavità e convessità
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Calcolo differenziale
Definire la tangente in un punto ad una curva.
Definire la velocità di un oggetto in moto.
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Definizione di derivata
Definizione
Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b).
Il rapporto incrementale di f relativo all’intervallo di estremi x0 e
x0 + h è definito da
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
La funzione f si dice derivabile in x0 se esiste finito
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Tale limite si chiama derivata prima o derivata di f in x0 e si indica
con
df
f 0 (x0 )
(x0 ) Df (x0 ).
dx
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Definizione di derivata
La retta di equazione
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
si chiama retta tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )).
Se f è derivabile in ogni punto di (a, b) è ben definita la funzione
f 0 : (a, b) → R (funzione derivata di f ) data da x 7→ f 0 (x).
Se f 0 è a sua volta derivabile, la derivata di f 0 si chiama derivata
seconda di f e si indica con
f 00 (x0 )
d2 f
(x0 ) D2 f (x0 ).
dx2
In modo analogo si definiscono le derivate di ordine n o derivate
n-esime indicate con
dn f
f n (x0 )
(x0 ) Dn f (x0 ).
dxn
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Derivate delle funzioni elementari
f (x) = c, c ∈ R x ∈ R, f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ R;
f (x) = xn , n ∈ N x ∈ R f 0 (x) = nxn−1 per ogni x ∈ R;
f (x) = x(α , α ∈ R \ {0}, f 0 (x) = αxα−1 per ogni x ∈ (0, +∞);
0
se α > 1
f 0 (0) =
+∞ se 0 < α < 1
f (x) = ax , x ∈ R, f 0 (x) = ax log a per ogni x ∈ R;
f (x) = ex , x ∈ R, f 0 (x) = ex per ogni x ∈ R;
f (x) = loga x, x > 0, f 0 (x) =
f (x) = log x, x > 0,
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f 0 (x)
=
1
x
1
x log a
per ogni x > 0;
per ogni x > 0;
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Derivate delle funzioni elementari
f (x) = sen x, x ∈ R, f 0 (x) = cos x per ogni x ∈ R;
f (x) = cos x, x ∈ R, f 0 (x) = − sen x per ogni x ∈ R;
f (x) = tg x, x ∈ dom tg, f 0 (x) = 1 + tg2 x =
x ∈ dom tg;
1
cos2 x
f (x) = arcsen x, x ∈ [−1, 1], f 0 (x) =
per ogni x ∈ (−1, 1);
f (x) = arccos x, x ∈ [−1, 1],
f 0 (x)
f (x) = arctg x, x ∈ R, f 0 (x) =
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=
√ 1
1−x2
1
− √1−x
2
1
1+x2
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per ogni
per ogni x ∈ (−1, 1);
per ogni x ∈ R.
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Punti di non derivabilità
Definizione
Sia f : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b).
Se f è continua in x0 e
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= +∞ oppure lim
= −∞
h→0
h→0
h
h
lim
si dice che f ha in x0 è un flesso a tangente verticale.
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Derivata destra e sinistra
Definizione
Sia f : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b).
Se esiste finito il limite
lim
h→0+
f (x0 + h) − f (x0 )
h
allora f si dice derivabile a destra in x0 , tale limite si chiama derivata
destra di f in x0 e si denota con f+0 (x0 ) .
Se esiste finito il limite
lim
h→0−
f (x0 + h) − f (x0 )
h
allora f si dice derivabile a sinistra in x0 , tale limite si chiama
derivata sinistra di f in x0 e si denota con f−0 (x0 ) .
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Punti angolosi e cuspidi
Casi in cui f+0 (x0 ) e f−0 (x0 ) non sono uguali tra loro.
Definizione
Sia f : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b).
Se f è continua in x0 , esistono f−0 (x0 ) , f+0 (x0 ) e
f−0 (x0 ) 6= f+0 (x0 ),
allora
Se almeno uno tra f−0 (x0 ) ed f+0 (x0 ) appartiene ad R, si dice che f
ha in x0 un punto angoloso.
Se f−0 (x0 ) = −∞, f+0 (x0 ) = +∞ (oppure, viceversa, f−0 (x0 ) = +∞,
f+0 (x0 ) = −∞), si dice che f ha in x0 una cuspide.
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Continuità e derivabilità
Teorema
Se f è derivabile in un punto x0 allora è continua in x0 .
In modo equivalente:
se f non è continua in x0 allora f non è derivabile in x0 .
Il viceversa del teorema non vale (f (x) = |x| è continua in 0 ma non
derivabile in 0).
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Regole di derivazione
Proposizione
Siano f, g : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b) tale che f e g siano derivabili in x0 .
Sia c ∈ R. Allora le funzioni f + g, f − g, cf , f · g sono derivabili in x0 e
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 );
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 );
(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 );
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ).
Se g(x0 ) 6= 0, f /g è derivabile in x0 e
0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
(g(x0 ))2
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Derivazione di una funzione composta
Teorema
Sia g ◦ f la funzione composta di due funzioni f e g tali che
f è derivabile in x;
g è derivabile in y = f (x),
allora g ◦ f è derivabile in x e si ha
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
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Derivata di funzione inversa
Teorema
Sia f : (a, b) → R una funzione continua e invertibile e g = f −1 la sua
inversa. Se per x0 ∈ (a, b)
f è derivabile in x0 ;
f 0 (x0 ) 6= 0,
allora g = f −1 è derivabile in y0 = f (x0 ) e si ha
g 0 (y0 ) =
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1
.
f 0 (x0 )
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Applicazione del calcolo differenziale alla ricerca dei
massimi e minimi di una funzione
Sia f : [a, b] → R. Abbiamo già definito il massimo e il minimo assoluti di
f.
Definizione
Si dice M è massimo di f e x0 ∈ [a, b] è punto di massimo se
f (x0 ) = M ≥ f (x)
∀x ∈ [a, b].
Si dice m è minimo di f e x0 ∈ [a, b] è punto di minimo se
f (x0 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ [a, b].
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Estremi locali di una funzione
Definizione
Sia f : [a, b] → R.
Si dice M è massimo locale (o relativo) di f e x0 ∈ [a, b] è punto di
massimo locale se esiste un’intervallo (x0 − δ, x0 + δ) tale che
f (x0 ) = M ≥ f (x)
∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b].
Si dice m è minimo locale (o relativo) di f e x0 ∈ [a, b] è punto di
minimo locale se esiste un’intervallo (x0 − δ, x0 + δ) tale che
f (x0 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b].
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Estremi locali di una funzione
Si noti che
Il massimo e il minimo globale di f se esistono sono unici (ma i punti
di massimo e minimo globale possono essere più di uno).
I massimi e minimi locali possono essere più di uno.
Ogni estremo globale è anche estremo locale (ma non viceversa).
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Teorema di Fermat
Teorema (di Fermat)
Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile in x ∈ (a, b). Se x è un punto di
estremo locale per f allora
f 0 (x) = 0.
Definizione
Un punto x si dice punto critico o punto stazionario per una funzione f se
f è derivabile in x e f 0 (x) = 0.
Quindi, se f : (a, b) → R e x ∈ (a, b)
x di estremo locale ⇒ x stazionario
Non vale il viceversa.
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Interpretazione geometrica
Se f è derivabile in (a, b), nei punti di estremo relativo in (a, b) la
retta tangente al grafico di f è orizzontale.
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Un modo diverso di scrivere la derivata
Sia f : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b). Si è visto che se f è derivabile in x0 esiste
ed è finito
f (x0 + h) − f (x0 )
f 0 (x0 ) = lim
.
h→0
h
Dal teo. del cambio di variabile nei limiti, se si pone x0 + h = x, si ottiene
f 0 (x0 ) = lim
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
f+0 (x0 ) = lim
x→x0
In modo analogo:
f−0 (x0 ) = lim
x→x−
0
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x→x+
0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
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Teorema del valor medio o di Lagrange
Teorema (del valor medio o di Lagrange)
Sia f : [a, b] → R una funzione. Se
f è continua in [a, b];
f è derivabile in (a, b);
allora esiste c ∈ (a, b) tale che
f 0 (c) =
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f (b) − f (a)
.
b−a
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Interpretazione geometrica
Se valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, esiste un punto in (a, b) in
cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta passante per
(a, f (a)) e (b, f (b)).
a
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x0
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b
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Conseguenze del teorema di Lagrange
Proposizione
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile. Se f ha n zeri distinti in (a, b)
allora f 0 : (a, b) → R ha n − 1 zeri distinti in (a, b).
Quindi, se esistono x1 , . . . , xn ∈ (a, b) tali che xi 6= xj se i 6= j e
f (xi ) = 0 per ogni i = 1, . . . , n allora esistono c1 , . . . , cn−1 ∈ (a, b) tali
che ci 6= cj se i 6= j e f (ci ) = 0 per ogni i = 1, . . . , n − 1.
Per ogni i = 1, . . . , n − 1, è possibile applicare il teorema di Lagrange a f
in [xi , xi+1 ]. Si ottiene che esiste ci ∈ (xi , xi+1 ) tale che
0 = f (xi+1 ) − f (xi ) = f 0 (ci ) · (xi+1 − xi ),
da cui
f 0 (ci ) = 0.
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Conseguenze del teorema di Lagrange
Proposizione (Test di monotonia)
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile. Allora
f è crescente ⇔ f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b);
f è decrescente ⇔ f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b).
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Conseguenze del teorema di Lagrange
Proposizione (Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla)
Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile. Allora
f è costante in (a, b) ⇔ f 0 (x) = 0 ∀x ∈ (a, b).
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Ricerca di massimi e minimi
Sia f : [a, b] → R. Se f è derivabile, per determinarne i massimi e minimi
si procede nel seguente modo:
Si calcolano f (a) e f (b).
Si calcola f 0 (x) e si risolve f 0 (x) = 0.
Se non vi sono punti stazionari, f (a) o f (b) sono estremi locali. Se
x = x0 ∈ (a, b) è un punto stazionario, si studia il segno di f 0 in un
intorno di x0 per stabilirne la natura.
Trovati eventuali punti di estremo locale, si calcola il valore di f in
questi punti e lo si confronta con f (a) e f (b).
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Teorema di De l’Hôpital
Teorema
Siano f, g : (a, b) → R due funzioni derivabili in (a, b) con g, g 0 6= 0 in
(a, b). Se
lim f (x) = lim g(x) = 0 (o +∞, o −∞);
x→a+
x→a+
esiste il limite (finito o infinito)
lim
x→a+
Allora
lim
x→a+
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f 0 (x)
= L.
g 0 (x)
f (x)
= L.
g(x)
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Teorema di De l’Hôpital
Risultati analoghi valgono per x → b− e per x → x0 ∈ (a, b).
Non si può applicare il teorema a forme non indeterminate. Per
esempio
x
lim
= +∞
x→1+ log x
ma
1
lim
= 1.
x→1+ 1/x
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Limite della derivata e derivabilità
Teorema
Sia f : [a, b) → R, continua in a, derivabile in (a, b) ed esista (finito o
infinito)
lim f 0 (x) = m ∈ R∗ .
x→a+
Allora esiste
f+0 (a) = m.
Un enunciato analogo vale per la derivata sinistra e quindi per la derivata.
Se f è continua in a ed esiste il limite destro in a della derivata allora
esiste la derivata destra in a e coincide con quel limite.
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Significato geometrico della derivata seconda
La derivata seconda rappresenta la velocità di variazione della
pendenza di un grafico, pertanto misura il grado di scostamento del
grafico dall’andamento rettilineo.
Sia f una funzione tale che f (0) = f 0 (0) = 0, f 00 (0) ≥ 0.
Si prova che la semicirconferenza che meglio approssima f in 0 ha
raggio R tale che
1
f 00 (0) = .
R
1
R
prende il nome di curvatura di f in 0 e R è il raggio di curvatura.
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Convessità e corde
Una figura geometrica F si dice convessa se per ogni coppia di punti
P1 , P2 ∈ F il segmento che congiunge P1 e P2 è interamente
contenuto in F .
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo.
La funzione f si dice convessa in I se l’epigrafico di f , cioè l’insieme
epi f = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ I, y ≥ f (x)}
è un insieme convesso.
Si dice che f è concava in I se −f è convessa in I.
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Una definizione equivalente
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. La funzione f si dice convessa in I se,
per ogni x1 , x2 ∈ I il segmento di estremi (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) non ha
punti sotto il grafico di f .
Quindi, per ogni x1 , x2 ∈ I e t ∈ [0, 1]
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
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Una definizione equivalente
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. La funzione f si dice concava in I se, per
ogni x1 , x2 ∈ I il segmento di estremi (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) non ha
punti sopra al grafico di f .
Quindi, per ogni x1 , x2 ∈ I e t ∈ [0, 1]
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≥ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
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Se le disuguaglianze precedenti valgono con < (>) per t ∈ (0, 1), f si
dice strettamente convessa (strettamente concava).
Regolarità delle funzioni convesse o concave:
Teorema
Una funzione convessa (o concava) su un intervallo I è continua in I,
salvo al più negli estremi di I.
Inoltre f possiede derivata destra e sinistra in ogni punto interno ad I.
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Convessità e derivate
Se f è derivabile, la nozione di convessità risulta essere in relazione con la
derivata prima e seconda.
Teorema
Sia f : (a, b) → R.
Se f è derivabile in (a, b) allora f è convessa (concava) in (a, b) se e
solo se f 0 è crescente (decrescente) in (a, b);
Se f è derivabile due volte in (a, b) allora f è convessa (concava) in
(a, b) se e solo se f 00 (x) ≥ 0 (f 00 (x) ≤ 0) per ogni x ∈ (a, b).
I teoremi si modificano in maniera ovvia per funzioni strettamente
convesse o strettamente concave.
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Convessità e rette tangenti
Teorema
Sia f : (a, b) → R derivabile in (a, b). Allora
f è convessa in (a, b) se e solo se
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) ∀x, x0 ∈ (a, b);
f è concava in (a, b) se e solo se
f (x) ≤ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) ∀x, x0 ∈ (a, b).
Una funzione derivabile è convessa (concava) se il suo grafico si mantiene
tutto sopra (sotto) ogni retta tangente al grafico.
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Convessità e rette tangenti
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Punti di flesso
Definizione
Sia f : (a, b) → R una funzione e x0 ∈ (a, b) un punto di derivabilità per f
oppure in cui f 0 (x0 ) = ±∞.
Il punto x0 si dice di flesso per f se esiste un intorno destro di x0 in cui f
è convessa (concava) e un intorno sinistro di x0 in cui f è concava
(convessa).
x0
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Punti di flesso
Attraversando un punto di flesso la derivata seconda di f cambia segno.
Ci si aspetta dunque che in tale punto essa si annulli.
Teorema
Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b) un punto di flesso per f . Se esiste
f 00 (x0 ) allora f 00 (x0 ) = 0.
Non vale il viceversa: f (x) = x4 ha un punto di minimo in x0 = 0 e
f 00 (0) = 0.
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Significato geometrico dei punti di flesso
Teorema
Se f : (a, b) → R è derivabile in (a, b) e x0 ∈ (a, b) è un punto di flesso per
f allora il grafico di f “attraversa” la propria retta tangente in (x0 , f (x0 )).
x0
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