Esercizi di applicazione della teoria sulle funzioni di due variabili ai problemi di economia
Esercizio1: Un consumatore massimizza la funzione di utilità U(x1,x2)=x12/5x23/5 sotto il vincolo i
bilancio 2x1+4x2=60.
1. Determina le quantità domandate dei due beni
[x1=12 e x2=9]
2. Supponete che il Governo introduca una tassa sulla quantità (un’ accisa) t = 1 su ciascuna unità
venduta del bene 1. Determinate le quantità domandate dei due beni nella nuova situazione.
[x1=8 e x2=9]
3. Supponete ora che il Governo, invece di seguire la politica prevista al punto (b), decida di adottare
una politica fiscale alternativa, e precisamente di introdurre un’ imposta sul reddito, che però
garantisca un gettito pari a quello ottenuto imponendo il pagamento dell’ accisa. Determinate le
quantità domandate dei due beni nella situazione corrispondente all’ imposta sul reddito.
[x1=10,4 e x2=7,8]
4. Rappresentate nello stesso grafico la situazione iniziale e quelle corrispondenti alle due politiche
fiscali alternative descritte ai punti (2) e (3).
5. Osservando il grafico, spiegate quale delle due politiche è preferita dal consumatore, motivando la
risposta.
[U(3)>U(2), U(3)=8,74, U(2)=8,58)]
Esercizio2: Un consumatore massimizza la funzione di utilità U(x1,x2)=x13/5x22/5
1. Supponendo che il reddito monetario del consumatore sia B=50 e che i prezzi dei due beni siano
rispettivamente p1 = 2 e p2 = 4, determinate le quantità domandate dei due beni x1* e x2*.
[x1*=15 e x2*=5]
2. Supponete ora che il Governo introduca una tassa sulla quantità (un’ accisa) t= 1 su ciascuna unità
venduta del bene 1 e che la tassa vada a gravare integralmente sui consumatori, sicché il prezzo del
bene 1 diviene p1’= 3. Calcolate le quantità domandate dei due beni, x1*’ e x2*’ , nella situazione
che si determina dopo l’ introduzione dell’ accisa.
[x1 *’ =10 e x2*’=5]
3. Alternativamente supponete che il governo invece di seguire la politica prevista dal punto 2 decida
di introdurre un’imposta sul reddito ad ammontare fisso, che garantisca un gettito pari a quello
ottenuto mediante il pagamento dell’accisa. Pertanto, in questa situazione il prezzo del bene 1 resta
p1 = 2, mentre il reddito del consumatore diviene B’’=B-tx1’*. Determinate le quantità domandate
dei due beni, nella situazione che si determina dopo l’ introduzione dell’ imposta sul reddito.
[x1=12 e x2=4]
4. Rappresentate con precisione nello stesso grafico la situazione iniziale e quelle corrispondenti alle
due politiche fiscali alternative descritte ai punti (2) e (3).
5. Osservando il grafico, spiegate quale delle due politiche è preferita dal consumatore, motivando la
risposta.
[U(3)>U(2)]
Esercizio3: Un consumatore è caratterizzato da una funzione di Utilità del tipo Cobb-Douglas:
U(x1,x2)=x1ax21-a. Il reddito è B e i prezzi dei due beni sono rispettivamente p1 e p2.
1. Calcolate le funzioni di domanda individuale dei due beni.
[x1=B(a)/p1, x2=B(1-a)/p2]
2. Ricavate l’equazione della curva reddito-consumo e rappresentatela graficamente ( per fare
il grafico attribuisci ad a=0,3, p1=p2=20).
[x2=x1p1 (1-a)/p2a]
3. Per ciascun bene determinate l’elasticità della domanda rispetto 1) al prezzo dello
stesso bene, 2) al prezzo dell’altro bene (elasticità incrociata), 3) al reddito.
[per il primo bene le elasticità sono -1,0,1]
Esercizio4: Un consumatore è caratterizzato da una funzione di Utilità del tipo quasi-lineare:
U(x1,x2)=lnx1+kx2, con k>0. Il reddito è B e i prezzi dei due beni sono rispettivamente p1 e p2.
Rispondere ai quesiti 1), 2), 3) dell’es. precedente.
[x1=p2/p1k, x2=B/p2-1/k, per il primo bene le elasticità sono -1, 1,0]
Esercizio5: Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità
U(x1,x2)=x1(x2-10) , dove x1 e x2 rappresentano le quantità consumate del bene 1 e del
bene 2, rispettivamente. I prezzi dei due beni sono rispettivamente indicati con p1 e p2; il reddito del
consumatore è indicato con B.
1. Determinate la forma analitica della funzione di domanda di ciascuno dei due beni.
[x1= ½(B/p1-10p2/p1)]
2. Determinate la forma analitica della curva reddito-consumo e rappresentatela
graficamente.
[(x2-10)/p1=x1/p2]
3. Trovate il paniere ottimale quando i prezzi dei due beni sono p1 = p2 = 10 e il reddito
è B = 300.
[x1=10, x2=20]
4. Supponete ora che il prezzo del bene 2 divenga p2= 20. Determinate la conseguente
variazione della quantità domandata del bene 2 .
[x2’=12,5; ∆x2=-7,5]
Esercizio6: Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità
U(x1,x2)=2√x1 + x2 , dove x1 e x2 rappresentano le quantità consumate del bene 1 e del
bene 2, rispettivamente. I prezzi dei due beni sono rispettivamente p1=p2= 2 ; L’individuo guadagna un
reddito che spende interamente nei due beni pari a B=20
1. Determinate l’ammontare del bene x1 e x2 nel paniere ottimale.
[x1=1, x2=9]
2. Come si modifica la scelta del paniere ottimale nel caso in cui il prezzo del bene x 1 diventi pari a
P1’=1
[x1’=4, x2’=8]
