A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Corrente elettrica, legge di Ohm
Esercizio 1
Un conduttore cilindrico in rame avente sezione di area S = 4mm 2 è percorso da una
corrente di intensità i=8A. Calcolare la velocità di deriva degli elettroni.
→ Soluzione
S
La densità di corrente vale j =
i
8A
=
= 2 × 10 −6 A / m 2
−6
2
S 4 × 10 m
La densità di corrente si può scrivere anche come:
j = nevd → v d =
j
2 × 10 6
=
= 1.47 × 10 − 4 Am / C = 1.47 × 10 − 4 m / s
ne 8.49 × 10 28 × 1.6 × 10 −19
dove:
vd = velocità di deriva
e = carica portatori
n = n° di portatori per unità di volume ( ncu = 8.49 × 1018 elettroni / m 3 )
Esercizio 2
Calcolare di quanto varia percentualmente la resistenza di un conduttore di argento
quando viene portato dalla temperatura ambiente a quella T=150°C.
→ Soluzione
Poiché la resistività e il coefficiente di espansione termica lineare per l’argento
valgono ρ ag = 1.59 × 10 −8 Ωm e α ag = 4.1 × 10 −3 C −1 , allora:
ρ = ρ 20 (1 + α∆T ) , ∆T = T − 20
E quindi, ρ − ρ 20 = ρ 20α (T − 20) ; ricordando che R = ρ
l
, la variazione percentuale sarà:
S
1
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A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
R − R20 ρ − ρ 20
=
= α (T − 20) = 4.1 × 10 −3 × C −1 (150 − 20 )C = 0.533 ≅ 53%
ρ 20
R20
Esercizio 3
Un filo di rame ( ρ cu = 1.7.10 −8 Ωm ) di raggio a=0,25mm è ricoperto di una guaina di
alluminio ( ρ al = 2,7.10 −8 Ωm ) di raggio esterno b=0.4mm. Il filo è percorso da una
corrente i=2A. Calcolare a) le correnti i1 e i 2 che percorrono i due materiali e b) il
campo elettrico E1 e E2 in ciascuno di essi.
→ Soluzione
a) La corrente che scorre nel conduttore è pari alla somma delle correnti che
scorrono nei due materiali. Ai capi dei due materiali c’è la stessa d.d.p.
Quindi:
i 2 R1 ρ1lS 2 ρ1 S 2 ρ1 πb 2 − πa 2 ρ cu b 2 − a 2 1.7 × 10 −8
=
=
=
=
=
=
1.56 = 0.98
i1 R2 ρ 2 lS1 ρ 2 S1 ρ 2
ρ al a 2
πa 2
2.7 × 10 −8
i 2 = 0.98.i1 → 1.01A
i1 + i 2 = 2 → 0.99 A
b) E1 = ρ cu j1 = ρ cu
E 2 = ρ al j 2 = ρ al
i1
i
1.01
= ρ cu 1 2 = 1.7 × 10 −8
= 0.0874 V = 87.4 mV
m
m
S1
πa
π (2.5 × 10 −4 ) 2
i2
i2
0.99
= ρ al
= 2.7 × 10 −8
= 0.0873V = 87.3 mV
2
2
−4 2
m
m
S2
π .b − πa
π (4 × 10 ) − π (2.5 × 10 −4 ) 2
Cioè i due sono lo stesso campo, costante su tutto il filo.
Esercizio 4
2
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A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Un resistore ha la forma di un tronco di cono lungo d e raggi estremi a e b. Calcolare
a) la resistenza R e b) verificare la formula per a=b.
→ Soluzione
a
b
Si tratta di un problema in cui la resistenza varia al variare della sezione considerata.
b−a
Una generica sezione avrà raggio pari a r = b −
x . Quindi in un generico punto
d
ρdx
dx
.
d’altezza x del cono la resistenza sarà dR = ρ 2 =
2
πr
b−a
π b −
x
d
La resistenza totale sarà data dalla somma di tutti i dR su tutta la lunghezza del cono,
e cioè:
d
d
R = ∫ dR = ∫
0
0
Poiché x = b −
ρdx
π b −
b−a
x
d
2
=
ρd
π ∫0
b −
dx
(b − a ) x 2
d
(b − a ) x → dx = − (b − a ) = a − b , allora
d
d
d
d
a−b
d
dx
d
d
dx
d
1
d
1
ρ d d
ρ
ρ
ρ
d
R=
=
=
− =
−
=
∫
2
∫
2
π a − b 0 (b − a )
π (a − b ) 0 ( x)
π a − b x 0 π a − b b − (b − a ) x
0
b − d x
d
3
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ρ d
−1
−1
ρ d
1 1 ρd
=
=
−
− =
π a − b b − a b − a π a − b b a πab
b − d d b − d (0)
a) se a=b, R =
ρd
Corretto per un cilindro.
π .a 2
4
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