Correnti alternate

SANDRO RONCA
Correnti alternate
I concetti, il formalismo matematico,
le reti e la potenza elettrica in corrente alternata
© 2012 Sandro Ronca
Tutti i diritti riservati
Prima edizione: febbraio 2012
ISBN: 9788863697438
INDICE
1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI
1.1 La corrente alternata
1.2 Sinusoide
1.3 Differenza di potenziale alternata sinusoidale
1.4 Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico
1.4.1 Valore massimo della fem sui lati attivi
1.4.2 Forza elettromotrice indotta e forza di Lorentz
1.4.3 Casi particolari: fem massima, fem nulla
1.4.4 Massima differenza di potenziale ai capi della spira
1.4.5 Da e = Blv sin( ωt) alla legge di Faraday con il calcolo differenziale
1.4.6 Da e = Blv sin (ωt) alla legge di Faraday senza il calcolo differenziale
1.5 Quantità di carica elettrica e valor medio di una corrente alternata
1.5.1 Media sul semiperiodo
1.5.2 Valor medio della corrente alternata sul semiperiodo
1.6 Valore efficace di una corrente o tensione alternata sinusoidale
1.6.1 Ricavare il valore efficace dalla definizione
1.6.2 Il fattore di forma
1.7 Correnti alternate non sinusoidali
1.7.1 Valore medio, efficace e fattore di forma per funzioni non sinusoidali
1.7.1.1 Valore medio di y(t)
1.7.1.2 Valore efficace di y(t)
1.7.1.3 Fattore di forma di y(t)
1.8 Fase di una corrente o tensione alternata
Problemi
2 SINUSOIDI, VETTORI E NUMERI COMPLESSI
2.1 Operazioni con correnti e tensioni alternate sinusoidali
2.2 Vettori rotanti e sinusoidi. Diagramma vettoriale
2.3 Utilità della rappresentazione vettoriale delle sinusoidi
2.4 Prodotto e divisione tra sinusoidi
2.5 Effetti sulla fase delle sinusoidi
2.6 Fasori
2.7 Dai fasori ai numeri complessi
2.8 Numeri complessi
2.9 Corrispondenza tra numeri complessi e sinusoidi
2.10 Forma esponenziale di un vettore rotante e forma polare di un fasore
2.11 Utilità della rappresentazione esponenziale o polare
2.12 Significato geometrico di
Problemi
1
1
1
2
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3
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5
5
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33
3 IMPEDENZA E REATTANZA
3.1 Legge di Ohm per un resistore percorso da corrente alternata sinusoidale
3.2 Nel resistore tensione e corrente sono in fase
3.3 Componenti reattivi
3.4 Induttore e induttanza
3.5 Induttore percorso da una corrente alternata
3.5.1 Induttanza e autoinduzione, richiami teorici
3.5.2 Significato fisico dell’anticipo della tensione sulla corrente nell’induttore
3.5.3 Induttore ideale in regime sinusoidale
3.5.4 La potenza reattiva induttiva istantanea
3.5.5 La reattanza induttiva è un numero immaginario
3.6 Condensatore sottoposto ad una tensione alternata
3.6.1 Il condensatore è un componente reattivo
3.6.2 La reattanza capacitiva è un numero immaginario
3.6.3 La potenza istantanea capacitiva è di tipo reattivo
3.7 Reattanze senza il calcolo differenziale
3.8 L’impedenza
3.8.1 Impedenza di un resistore R e un induttore L collegati in serie
3.8.2 Triangolo delle tensioni e il triangolo dell’impedenza
3.8.3 Resistore R e condensatore C in serie
3.8.4 Resistore R, induttore L e condensatore C in serie (RLC serie)
Problemi
4 AMMETTENZA E RETI IN CORRENTE ALTERNATA
4.1 Resistore R, induttore L e condensatore C in parallelo
4.2 Ammettenza e impedenza equivalenti del parallelo R-L
4.3 Ammettenza e impedenza equivalenti di due impedenze in parallelo
4.4 Versi convenzionali delle correnti e delle tensioni
4.5 I metodi di soluzione sono gli stessi dei circuiti in corrente continua
4.6 Esempio di soluzione applicando i principi di Kirchhoff
4.7 Thévenin, Norton, Millman in corrente alternata
4.7.1 Thévenin
4.7.2 Norton
4.7.3 Considerazioni a conclusione del capitolo
Problemi
5 RISONANZA
5.1 Risonanza
5.2 Risonanza e frequenza di oscillazione propria
5.2.1 Velocità di variazione del secondo ordine di una grandezza
5.2.2 Velocità di variazione del secondo ordine di cos(ωt)
5.3 Conservazione della carica elettrica e considerazioni sui segni
5.4 Risonanza serie o di tensione
5.4.1 Fattore di merito dell’induttore e del condensatore
5.4.2 Frequenze di taglio e banda passante
5.4.3 Il decibel
5.5 Risonanza parallelo, di corrente o antirisonanza
5.6 Risonanza per due rami qualsiasi in parallelo
Problemi
II
35
35
35
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38
38
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44
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100
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109
112
6 POTENZA E RIFASAMENTO
6.1 Definizione di potenza
6.2 La potenza elettrica
6.3 La potenza istantanea con tensioni e correnti sinusoidali
6.4 Il segno della potenza istantanea: significato fisico
6.5 La potenza media
6.6 Espressione del valor medio della potenza
6.7 La potenza apparente
6.8 La potenza reattiva e il triangolo delle potenze
6.9 Il segno della potenza reattiva
6.10 Sintesi
6.11 Esempi
6.12 La potenza complessa
6.13 Potenza nel caso di più utilizzatori
6.14 Additività delle potenze
6.15 Esempi di calcolo con più utilizzatori
6.16 Rifasamento degli impianti utilizzatori
6.17 Conseguenze del rifasamento sul funzionamento degli utilizzatori
6.17.1 La formula della caduta di tensione industriale
6.18 Rifasamento totale
6.19 Sovratensione all’arrivo di una linea con carico capacitivo (Effetto Ferranti)
Problemi
113
113
113
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117
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142
Simboli e abbreviazioni
Le grandezze complesse o vettoriali sono indicata con lettere in grassetto: es. , , ,
ecc.
Le stesse lettere in carattere normale indicano i moduli:
L’unità immaginaria è indicata con (
), es.
.
Un numero complesso
in forma polare è indicato con la notazione
, in
cui
è il modulo, il segno ” ” precede il simbolo dell’angolo.
Il complesso coniugato è indicato con l’asterisco:
,
.
I valori massimi delle grandezze (ampiezze) sono indicati con il pedice M: , , ecc.
Valori continui o efficaci sono rappresentati da lettere senza pedici , , ecc.
Abbreviazioni comunemente usate
ddp
fem
cdt
fdp
differenza di potenziale
forza elettromotrice
caduta di tensione
fattore di potenza
III
IV
PRESENTAZIONE
L’argomento “correnti alternate” è parte irrinunciabile della base di conoscenze necessaria per
affrontare lo studio delle tecnologie elettriche: dall’Elettrotecnica all’ Elettronica, alle
Telecomunicazioni, all’Automazione industriale.
La valenza formativa, per i concetti fisici e matematici coinvolti, è altrettanto rilevante e da
questo punto di vista si è cercato di insistere su alcuni aspetti particolarmente significativi,
privilegiando appunto l’aspetto formativo rispetto a quello semplicemente informativo .
Per alcuni argomenti si è svolta una trattazione “pre-differenziale”, se è consentita
l’espressione, nel senso che si è evitato di ricorrere sempre e comunque al comodo e potente
strumento delle derivate e degli integrali, per ripercorrere con pazienza gli istruttivi passaggi
che portano, da un lato a concepire le tecniche del calcolo differenziale stesso, dall’altro a
renderne più concrete e comprensibili le conclusioni.
Il testo è stato quindi pensato per chi ha necessità di comprendere, rivedere approfondire i
concetti che stanno alla base del funzionamento dei circuiti elettrici in corrente alternata
sinusoidale al livello di formazione tecnica superiore, riunendo e sviluppando i concetti
necessari, nella forma più agile possibile.
Si considera prerequisito per affrontare questo testo la conoscenza dei concetti relativi alle reti
in corrente continua e il possesso di nozioni elementari di elettromagnetismo, ma per quanto
riguarda l’argomento correnti alternate il testo è sostanzialmente autosufficiente.
Vi è per ogni capitolo un certo numero di esempi e per tutti sono presenti problemi di verifica.
.
Febbraio 2012
Sandro Ronca
V
VI
1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI
1.1 La corrente alternata
La corrente elettrica è generata dallo spostamento di cariche elettriche mobili, che nei
conduttori sono gli elettroni. La quantità di carica Q che fluisce attraverso una certa superficie,
osservata per un intervallo tempo t, permette di definire l’intensit{ della corrente elettrica
come:
Questo flusso di cariche può essere unidirezionale e costante nel tempo, nel qual caso si ha
una corrente continua. Se invece l’insieme delle cariche mobili oscilla attorno ad una posizione
di equilibrio, si parla di corrente alternata. In tal caso le cariche, mediamente, non si spostano
significativamente dalla posizione originale. Se l’oscillazione delle cariche può essere
globalmente descritta in termini di moto armonico, si dice che la corrente alternata è
sinusoidale dal momento che può essere matematicamente descritta da una sinusoide.
1.2 Sinusoide
La sinusoide è la rappresentazione grafica della funzione seno di un angolo α al variare
dell’angolo stesso. Se l’angolo dipende linearmente dal tempo, ad esempio secondo la relazione:
con ω costante, la sinusoide si presta molto bene a descrivere le oscillazioni armoniche. Per
questo motivo una corrente alternata sinusoidale può essere espressa da una funzione del tipo:
dove la funzione seno è moltiplicata per una costante A, l’ampiezza, in modo da poter
rappresentare grandezze anche con valori superiori a 1 o inferiori a −1. La grandezza ω prende
il nome di pulsazione. Essendo ω concettualmente una velocità angolare si ha, detto T il periodo
(tempo necessario per compiere un giro o per una oscillazione completa):
1.3 Differenza di potenziale alternata sinusoidale
Le cariche elettriche, come ogni sistema fisico, si muovono se, tra la posizione nello spazio in cui
si trovano e quella che occuperanno in un istante successivo, esiste una differenza di energia
potenziale. Le cariche positive si spostano verso regioni a energia (potenziale) minore, le
cariche negative verso regioni a energia (potenziale) maggiore.
Per spostare cariche elettriche è allora necessario creare una differenza di energia potenziale
EP tra due posizioni nello spazio.
Invece di EP, misurata in joule, si preferisce usare una grandezza ad essa correlata e
direttamente misurabile: la differenza di potenziale elettrico, indicata genericamente con la
lettera V (oppure U) e a volte anche con la lettera E, quando ci si riferisce ad una caratteristica
dei generatori detta forza elettromotrice (fem).
Se si indica con EP la differenza di energia potenziale tra due punti e con Q la quantità di
carica che viene spostata tra quei due punti, la differenza di potenziale, misurata in volt, è:
Se la differenza di potenziale ha andamento sinusoidale:
anche il moto delle cariche sarà di tipo oscillatorio sinusoidale.
1.4 Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico
Un moto relativo tra un conduttore e un campo magnetico
è
all'origine della differenza di potenziale o forza elettromotrice
(fem) indotta che si manifesta sul conduttore stesso. Rispetto a un
dato sistema di riferimento è del tutto indifferente chi sia a
muoversi. Ciò che importa è che esista una velocità relativa tra
campo e conduttore.
L’esempio che segue offre una buona partenza
per
comprendere i meccanismi di formazione della forza
elettromotrice, le sue caratteristiche e alcuni aspetti teorici.
Una spira rettangolare ABCDEF aperta, di dimensioni BC =40
cm, CD = 50 cm, ruota attorno all'asse parallelo al lato minore, con
una frequenza di 50 Hz all'interno di un campo magnetico costante
di intensità B = 0.8 T (fig.1.1).
Fig. 1.1 - Spira rotante in un campo magnetico
o magnetico costante
2
1.4.1 Valore massimo della fem sui lati attivi
Con il termine lati attivi indichiamo quelle parti della spira, nel nostro caso i conduttori BC e DE,
che diventano sede di forza elettromotrice (fem) indotta. Le altre parti della spira non danno
alcun contributo alla fem poiché il loro moto nel campo magnetico avviene senza tagliare linee
di campo, ovvero non ha nessuna componente della velocità che sia trasversale al campo
magnetico.
La fem indotta in ciascuno dei lati attivi può essere calcolata applicando la legge:
nella quale ωt è l’angolo che la spira forma con un asse x di
riferimento e ω coincide quindi con la velocità angolare
della spira.
Nell’esempio:
rad/s
La velocità periferica, essendo r il raggio del moto
circolare, è data da:
m/s
Per ogni lato attivo si ha una fem indotta:
Concludiamo che su ogni lato attivo è presente una fem
sinusoidale:
Fig. 1.2 - Scomposizione della
velocità periferica del lato attivo
che assume il valore massimo di 25,2 V per
quando
, ovvero
.
1.4.2 Forza elettromotrice indotta e forza di Lorentz
L'espressione
della fem indotta deriva dalla particolare struttura della forza
di Lorentz, espressa dal prodotto vettoriale:
(1.4)
Questa forza agisce sulle cariche elettriche che attraversano un campo magnetico
velocità . Il suo modulo, per definizione di prodotto vettoriale è:
con
(1.5)
se
è l’angolo formato dai due vettori
e .
3
Per effetto della forza di Lorentz, le cariche mobili, cioè gli elettroni, vengono spinti lungo il
conduttore attivo, provocando un accumulo ad una delle due estremità. All'altra estremità
restano scoperte cariche positive (fisse) in quantità corrispondente a quelle negative spostate,
realizzando di fatto una separazione tra cariche di segno opposto.
La separazione delle cariche produce un campo elettrico , che, all'equilibrio, genera una
forza:
(1.6)
uguale ed opposta alla forza di Lorentz. Da qui il segno meno che compare nella formula. Il
vettore campo elettrico e il suo modulo avranno allora espressione:
(1.7)
(1.8)
e supponendo per semplicità che le due distribuzioni di carica siano concentrate agli estremi del
conduttore di lunghezza , possiamo calcolare la differenza di potenziale dovuta all'esistenza del
campo elettrico:
(1.9)
Si può poi facilmente dedurre dalla figura 1.2 che
, prendendo come riferimento
per gli angoli l'asse x. Poiché
si conclude che:
(1.10)
Data la geometria del sistema (fig. 1.2), si individua la componente secondo l’asse x della
velocità (componente trasversale rispetto al campo magnetico):
(1.11)
Il confronto con la (1.10) permette di affermare che solamente la componente della velocità
perpendicolare alle linee di campo ha effetto ai fini della produzione di fem indotta.
1.4.3 Casi particolari: fem massima, fem nulla
Da quanto precedentemente detto si deduce che la fem indotta assume il massimo valore
quando è massima la componente trasversale della velocità:
cosa che avviene quando l’angolo che la spira forma con l’asse x assume i valori:
4
Fig. 1.3 – La fem è massima
Fig.1.4 – La fem è nulla.
La fem indotta è nulla negli istanti in cui la componente trasversale della velocità ha valore
zero. Ciò avviene quando:
Si osservi che in questa situazione la velocità periferica dei lati attivi è parallela o
antiparallela rispetto alle linee del campo magnetico
1.4.4 Massima differenza di potenziale ai capi della spira
Tra i terminali A ed F della spira si misura una differenza di potenziale che, istante per istante, è
la somma delle fem indotte nei singoli lati attivi. Il valore dipende dai versi delle fem. I versi
sono determinabili empiricamente con la regola della mano destra (pollice → velocit{, indice →
campo, medio → fem).
In figura 1.3 sono rappresentati i versi istantanei delle fem nella situazione in cui si hanno i
valori massimi: la fem è uscente (verso il lettore) per il lato attivo superiore, entrante per quello
inferiore. Percorrendo la spira si osserva che i versi sono concordi e quindi i valori vanno
sommati. Poiché le due fem sono uguali, eM1 = eM2 , ai terminali della spira si avrà una fem
doppia rispetto ad una qualsiasi delle due:
V
dove abbiamo usato gli indici 1 e 2 per distinguere le due fem. Su ogni lato attivo la fem si
invertirà 2 volte per ogni rotazione, ma i versi reciproci non cambieranno e le due fem andranno
quindi sempre sommate.
1.4.5 Da e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday con il calcolo differenziale
L’espressione della legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica è:
(1.12)
5
Ora vediamo se, trasformando opportunamente la formula
, se ne possa
dedurre la discendenza dalla legge di Faraday. Intanto osserviamo che la spira possiede due lati
attivi e quindi per tutta la spira:
(1.13)
Alla velocità possiamo sostituire:
, ottenendo:
Notiamo però che il prodotto 2rl è la superficie S della spira, allora:
Fig. 1.6 – Flusso nullo, fem massima
Fig. 1.5 - Flusso massimo, fem nulla
ma
è il massimo valore del flusso concatenato, che
si ha quando la spira è in posizione orizzontale (fig. 1.5), quindi:
(1.14)
Il massimo valore del flusso si ha quando la fem indotta è
nulla, (fig. 1.5) invece il flusso è nullo quando la spira è in
posizione verticale, fig.1.6, situazione in cui la fem è massima.
Il flusso che attraversa la spira è determinato dalla sezione
retta ( fig. 1.7),
, proiezione della
superficie su un piano perpendicolare alle linee di campo.
Essendo quindi
, concludiamo che anche il flusso ha
andamento sinusoidale:
(1.15)
Si riconosce subito nell’espressione
rispetto al tempo t della funzione
6
:
la derivata
Fig. 1.7 - Per il calcolo del flusso
Moltiplicando a destra e a sinistra per l’ampiezza del flusso e cambiando segno:
Alla fine, a seguito delle equazioni (1.14) e (1.15), otteniamo proprio l’espressione della
legge di Faraday:
1.4.6 Da e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday senza il calcolo differenziale
Una dimostrazione rigorosa richiede necessariamente il calcolo differenziale, tuttavia si
possono comprendere le conclusioni precedenti con ragionamenti che comportano un certo
grado di approssimazione.
La legge di Faraday può essere espressa in forma approssimata come equazione alle
differenze finite:
in cui il simbolo Δ ha il significato di “variazione delle grandezza”. Ad esempio se t rappresenta
un istante di tempo e t’ un istante successivo, avremo:
Se il flusso varia nel tempo, nel passare dall’istante t al successivo t’, vi è stata una variazione:
la dipendenza dal tempo della funzione flusso è data (1.15) da:
quindi, essendo
costante:
e ci possiamo dunque occupare solamente della variazione di
:
e del rapporto:
anzi, per maggiore generalità, possiamo porre
da cui
e quindi:
7